(完整版)高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x－3＝0的倾斜角是( )A．45°B．60°C．90°D．不存在答案：C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x 的值是( )A．－3或4 B．－6或2C．3或－4 D．6或－2答案：D3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是( )A．相交B．相离C．外切D．内切答案：D4．在同一个直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )答案：C5．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案：B6．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.答案：A7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有( )A．4对B．3对C．2对D．1对答案：B8．(2013·辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△AOB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－ba ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 答案：C9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( ) A．1∶1 B．1∶ 2C.2∶ 3 D．3∶2答案：A10．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列，命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC 的平面β(不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m的位置关系为________．解析：圆心到直线的距离为d ＝1＋m2，圆半径为m ，∵d －r ＝1＋m2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2＞0，∴直线与圆的位置关系是相离．答案：相离13．两条平行线2x ＋3y －5＝0和x ＋32y ＝1间的距离是________．答案：3131314．(2013·大纲卷)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则AB ＝R .取AB 中点M ，连接OM 、KM ，由圆的性质知OM ⊥AB ，KM ⊥AB ，所以∠KMO 为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO ＝60°.在Rt △KMO 中，OK ＝32，所以OM ＝OKsin 60°＝3.在Rt △OAM 中，因为OA 2＝OM 2＋AM 2，所以R 2＝3＋14R 2，解得R 2＝4，解得R 2＝4，所以球O 的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的斜率；解析：当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在， 当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．解析：当m ＝－1时，α＝π2，当m ≠－1时，k ＝1m ＋1∈⎝⎛⎦⎤－∞，－3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3，综上，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．(2013·上海卷)(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为π6，求该三棱柱的体积．解析：因为CC1∥AA1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝π6，在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝33·6＝18 3.17.(2013·江西卷)(本小题满分14分)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，求直线l的斜率．解析：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝12·sin∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－3318．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S ，则S ＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π，体积为V ，则V ＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π，所以几何体的表面积为176＋20π(cm 2)，体积为192＋16π(cm 3)．19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22 AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；证明：连EA交BD于F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC .又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .(2)求BD 与平面EBC 所成角的大小；解析：∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴BC ⊥AC ，又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角． 又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG＝30°.(3)求几何体EFBC的体积．答案：V EFBC＝V FEBC＝13S△EBC·FG＝13·12·a·2a2·12·2a2＝a324.20．(2013·江苏卷)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；解析：由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围．解析：因为圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C[a,2(a－2)]，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋(y－3)2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．过点(，－)，(－，)的直线的斜率为－，则的值为( )．．．．【解析】由题意知＝＝－，∴＝.【答案】．在轴、轴上的截距分别是－、的直线方程是( )．－－＝．－－＝．－＋＝．－＋＝【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝，即－＋＝.【答案】．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )．【解析】设正方体的棱长为，球的半径为，则π＝π，∴＝.又∵＝＝，∴＝.【答案】．关于空间直角坐标系中的一点()有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③与点关于轴对称的点的坐标为(－，－，－)；④与点关于坐标原点对称的点的坐标为(，－)；⑤与点关于坐标平面对称的点的坐标为(，－)．其中正确的个数是( )．．．．【解析】点到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点关于轴对称的点的坐标为(，－，－)，故③错；与点关于坐标原点对称的点的坐标为(－，－，－)，故④错；⑤正确，故选.【答案】．如图，在四面体中，，分别是与的中点，若＝＝，⊥，则与所成的角为( )图．°．°．°．°【解析】取的中点，连接，，则∠为所求，可证△为直角三角形，⊥，＝，＝，从而可得∠＝°.【答案】．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )图．π．π【解析】由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积＝柱－半球＝π××－×××＝，选.【答案】．已知圆＋＋＋＋＝和定点(，－)，若过点的圆的切线有两条，则的取值范围是( )．(－∞，)．(－，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－)【解析】因为方程＋＋＋＋＝表示一个圆，所以＋－＞，所以＜.由题意知点(，－)在圆外，所以＋(－)＋×＋×(－)＋＞，解得＞－，所以－＜＜.【答案】．如图，在斜三棱柱­的底面△中，∠＝°，且⊥，过作⊥底面，垂足为，则点在( )。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ­ABCD 的体积是三棱锥E ­ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ­ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ­ABCD ＝2V E ­ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ­ABCD ＝32V E ­ABC ，所以V P ­ABCD ＝3V E ­ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥P­ADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ­ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1­DC ­A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z ＋2＝i,则在复平面内,z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A2．在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,A ＝30°,则sin B ＝( ) A ．13 B ．23 C ．23D ．223【答案】A3．某校高一年级有男生450人,女生550人,若在各层中按比例抽取样本,总样本量为40,则在男生、女生中抽取的人数分别为( )A ．17,23B ．18,22C ．19,21D ．22,18【答案】B4．已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |＝2,|b |＝1,则a －2b 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 【答案】C5．在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80～100分的学生人数是( )A ．25B ．20C ．18D ．15【答案】D6．2021年是中国共产党成立100周年,电影频道推出“经典频传：看电影,学党史”系列短视频,首批21支短视频全网发布,传扬中国共产党伟大精神,为广大青年群体带来精神感召．小李同学打算从《青春之歌》《闪闪的红星》《英雄儿女》《焦裕禄》等四支短视频中随机选择两支观看,则选择观看《青春之歌》的概率为( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】A7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该沙田的面积为( )A ．15平方千米B ．18平方千米C ．21平方千米D ．24平方千米【答案】C【解析】设在△ABC 中,a ＝13里,b ＝14里,c ＝15里,∴由余弦定理得cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513,∴sin C ＝1213.故△ABC 的面积为12×13×14×1213×5002×11 0002＝21(平方千米)．故选C ．8．在三棱锥ABCD 中,△ABC 与△BCD 都是正三角形,平面ABC ⊥平面BCD ,若该三棱锥的外接球的体积为2015π,则△ABC 的边长为( )A ．332 B ．634 C ．633 D ．6【答案】D【解析】如图,取BC 中点M ,连接AM ,DM .设等边△ABC 与等边△BCD 的外心分别为N ,G ,三棱锥外接球的球心为O ,连接OA ,OD ,ON ,OG .由V ＝4π3R 3＝2015π,得外接球半径R ＝15.设△ABC 的边长为a ,则ON ＝GM ＝13DM ＝36a ,AN ＝23AM ＝33a .在Rt △ANO 中,由ON 2＋AN 2＝R 2,得a 212＋a 23＝15,解得a ＝6.故选D ．二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列说法中错误的是( )A ．若事件A 与事件B 互斥,则P (A )＋P (B )＝1B ．若事件A 与事件B 满足P (A )＋P (B )＝1,则事件A 与事件B 为对立事件C ．“事件A 与事件B 互斥”是“事件A 与事件B 对立”的必要不充分条件D ．某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”互为对立事件【答案】ABD【解析】若事件A 与事件B 互斥,则有可能P (A )＋P (B )<1,故A 不正确；若事件A 与事件B 为同一事件,且P (A )＝0.5,则满足P (A )＋P (B )＝1,但事件A 与事件B 不是对立事件,B 不正确；互斥不一定对立,对立一定互斥,故C 正确；某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”既不互斥也不对立,D 错误．故选ABD ．10．如图是民航部门统计的今年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表,根据图表,下面叙述正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 【答案】ABC【解析】由图可知深圳对应的小黑点最接近0%,故变化幅度最小,北京对应的条形图最高,则北京的平均价格最高,A 正确；深圳和厦门对应的小黑点在0%以下,故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降,B 正确；条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州,C 正确；平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京,D 错误．故选ABC ．11．△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →＝2a ,AC →＝2a ＋b ,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．a ⊥bC ．b ∥BC →D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】ACD【解析】由AB →＝2a ,得a ＝12AB →,又AB ＝2,所以|a |＝1,即a 是单位向量,A 正确；a ,b 的夹角为120°,B 错误；因为AC →＝AB →＋BC →＝2a ＋b ,所以BC →＝b ,C 正确；(4a ＋b )·BC →＝4a ·b ＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝－4＋4＝0,D 正确．故选ACD ．12．如图,点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积不变B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．DP ⊥BC 1D ．平面PDB 1⊥平面ACD 1【答案】ABD【解析】连接BD 交AC 于点O ,连接DC 1交D 1C 于点O 1,连接OO 1,则OO 1∥BC 1,所以BC 1∥平面AD 1C ,动点P 到平面AD 1C 的距离不变,所以三棱锥PAD 1C 的体积不变,又因为V 三棱锥PAD 1C ＝V 三棱锥AD 1PC ,所以A 正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ,A 1P ⊂平面A 1C 1B ,所以A 1P ∥平面ACD 1,B 正确；由于当点P 在B 点时,DB 不垂直于BC 1,即DP 不垂直BC 1,故C 不正确；由于DB 1⊥D 1C ,DB 1⊥AD 1,D 1C ∩AD 1＝D 1,所以DB 1⊥平面ACD 1,又因为DB 1⊂平面PDB 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 1,D 正确．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13．已知复数z ＝1＋3i 1－i ,z －为z 的共轭复数,则z 的虚部为________．【答案】－2【解析】由z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i2＝－1＋2i,得z －＝－1－2i,∴复数z 的虚部为－2.14．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,已知该组数据的中位数为众数的2倍,则：(1)该组数据的上四分位数是________； (2)该组数据的方差为________． 【答案】(1)9 (2)11.25【解析】(1)一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,3,x ,7,8,10,11,其中x ≠7,∵该组数据的中位数为众数的2倍,∴x ＋72＝2×3,解得x ＝5.∵8×0.75＝6,∴该组数据的上四分位数是8＋102＝9.(2)该组数据的平均数为：18(1＋3＋3＋5＋7＋8＋10＋11)＝6,∴该组数据的方差为18[(1－6)2＋(3－6)2＋(3－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＋(11－6)2]＝11.25.15．a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边．已知ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,A ＝45°,a ＝2,则c ＝________.【答案】4105【解析】由ab cos(A －B )＝a 2＋b 2－c 2,得cos(A －B )＝2·a 2＋b 2－c 22ab＝2cos C ＝－2cos(A＋B ),整理,得3cos A cos B ＝sin A sin B ,所以tan A tan B ＝3.又A ＝45°,所以tan A ＝1,tan B ＝3.由sin B cos B ＝3,sin 2B ＋cos 2B ＝1,得sin B ＝31010,cosB ＝1010.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫31010＋1010＝255.由正弦定理,得c ＝a sin C sin A ＝4105. 16．如图,AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,BE 与CD 交于P 点,若AP →＝mAB →＋nAC →,则m ＝________,n ＝________．【答案】311 211【解析】因为AB →＝3AD →,AC →＝4AE →,且E 、P 、B 三点共线,D 、P 、C 三点共线,所以存在x ,y 使得AP →＝xAE →＋(1－x )AB →＝14xAC →＋(1－x )AB →.因为AP →＝yAC →＋(1－y )AD →＝yAC →＋13(1－y )AB →,所以⎩⎪⎨⎪⎧14x ＝y ，1－x ＝13（1－y ），解得x ＝811,y ＝211,所以AP →＝14×811AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－811AB →＝211AC →＋311AB →＝311AB →＋211AC →.又因为AP →＝mAB →＋nAC →,所以m ＝311,n ＝211.四、解答题：本题共6小题,17题10分,其余小题为12分,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z ＝m 2－m i(m ∈R),若|z |＝2,且z 在复平面内对应的点位于第四象限． (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i,求实数a ,b 的值．解：(1)∵z ＝m 2－m i,|z |＝2,∴m 4＋m 2＝2,得m 2＝1.又∵z 在复平面内对应的点位于第四象限,∴m ＝1,即z ＝1－i.(2)由(1)得z ＝1－i,∴z 2＋az ＋b ＝1＋i ⇒(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.∴(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得a ＝－3,b ＝4.18．在①b ＋b cos C ＝2c sin B ,②S △ABC ＝2CA →·CB →,③(3b －a )cos C ＝c cos A ,三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决问题．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足________． (1)求cos C 的值；(2)若点E 在AB 上,且AE →＝2EB →,EC ＝413,BC ＝3,求sin B ．解：(1)若选①：因为b ＋b cos C ＝2c sin B ,由正弦定理可得sin B ＋sin B cos C ＝2sin C sin B ．因为sin B ≠0,所以1＋cos C ＝2sin C ．联立⎩⎨⎧1＋cos C ＝2sin C ，sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝13,sin C ＝223,故cos C ＝13. 若选②：因为S △ABC ＝2CA →·CB →,所以12ab sin C ＝2ba cos C ,即sin C ＝22cos C ＞0,联立sin 2C ＋cos 2C ＝1,可得cos C ＝13.若选③：因为(3b －a )cos C ＝c cos A ,由正弦定理可得(3sin B －sin A )cos C ＝sin C cosA ,所以3sinB cosC ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为sin B ≠0,所以cos C ＝13.(2)由余弦定理可得cos ∠AEC ＝AE 2＋EC 2－AC 22AE ·EC ＝49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ,cos ∠BEC ＝BE 2＋EC 2－BC 22BE ·EC＝19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ,因为cos ∠AEC ＋cos ∠BEC ＝0,所以49c 2＋EC 2－b 243c ·EC ＋19c 2＋EC 2－a 223c ·EC ＝0,即2c 2＋9EC 2－3b 2－6a 2＝0,则2c 2－3b 2＝6a 2－9EC 2＝6×9－9×419＝13,①同时cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝13,即b 2－c 2＝2b －9,②联立①②可得b 2＋4b －5＝0,解得b ＝1,则c ＝22,故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝223,则sin B＝13. 19．如图所示,在四棱锥MABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,∠CDA ＝90°,AD ＝4,BC ＝CD ＝2,△MBD 为等边三角形．(1)求证：BD ⊥MC ；(2)若平面MBD ⊥平面ABCD ,求三棱锥CMAB 的体积． (1)证明：取BD 中点O ,连接CO 、MO ,如图所示： ∵△MBD 为等边三角形,且O 为BD 中点,∴MO ⊥BD ． 又BC ＝CD ,O 为BD 中点,∴CO ⊥BD ．又MO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面MCO . ∵MC ⊂平面MCO ,∴BD ⊥MC ．(2)解：∵平面MBD ⊥平面ABCD ,且平面MBD ∩平面ABCD ＝BD ,MO ⊥BD , ∴MO ⊥平面ABCD ．由(1)知MB ＝MD ＝BD ＝22,MO ＝MB 2－BO 2＝6,S △ABC ＝12BC ·CD ＝2,∴V CMAB ＝V MABC ＝13×S △ABC ×MO ＝263.20．某冰糖橙为甜橙的一种,云南著名特产,以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)．某采购商打算采购一批该橙子销往省外,并从采购的这批橙子中随机抽取100箱,利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表：等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 售价/(元·kg －1)36302418(2)按照分层抽样的方法,从这100箱橙子中抽取10箱,试计算各等级抽到的箱数； (3)若在(2)抽取的特级品和一级品的箱子上均编上号放在一起,再从中抽取2箱,求抽取的2箱中两种等级均有的概率．解：(1)依题意可知,样本中的100箱不同等级橙子的平均价格为36×410＋30×310＋24×110＋18×210＝29.4(元/kg)． (2)依题意,珍品抽到110×40＝4(箱),特级抽到110×30＝3(箱),优级抽到110×10＝1(箱),一级抽到110×20＝2(箱)．(3)抽到的特级有3箱,编号为A 1,A 2,A 3,抽到的一级有2箱,编号为B 1,B 2. 从中抽取2箱,有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共10种可能,两种等级均有的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2)共6种可能,∴所求概率p ＝610＝35.21．已知向量a ＝(3cos ωx ,sin ωx ),b ＝(cos ωx ,cos ωx ),其中ω＞0,记函数f (x )＝a ·b .(1)若函数f (x )的最小正周期为π,求ω的值；(2)在(1)的条件下,已知△ABC 的内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,且a＝4,b ＋c ＝5,求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝3cos 2ωx ＋sin ωx ·cos ωx ＝3（cos 2ωx ＋1）2＋sin 2ωx2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. ∵f (x )的最小正周期为π,且ω＞0,∴2π2ω＝π,解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32. 由0＜A ＜π,得π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,解得A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得16＝b 2＋c 2－bc .联立b ＋c ＝5,得bc ＝3. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.22．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组,第一组：[20,25),第二组：[25,30),第三组：[30,35),第四组：[35,40),第五组：[40,45),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户,五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分别记为1～5组,从5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛,分别代表相应组的成绩,年龄组中1～5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中1～5 组的成绩分别为93,98,94,95,90.①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②以上述数据为依据,评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05,∴6x＝0.05,解得x ＝120.(2)设中位数为a ,则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5,∴a ＝953≈32,则中位数为32.(3)①5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94,方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94,方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8.②从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更稳定．。

模块综合检测（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共１２小题,每小题5分,共６0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１．过点A（３,-4）,B(－2,m)的直线l的斜率为-２,则m的值为( ）A.６ﻩB.1Ｃ．２ﻩ D.４解析：选Ａ由题意知kＡB＝错误!未定义书签。

=－2,∴ｍ=6．2．圆x2+y２+２ｘ-４y＝0的圆心坐标和半径分别是( ）Ａ.(1，-2）,５B．（1,－2）,错误!C.(－１,2)，5 ﻩD.（-1,2),错误!未定义书签。

解析：选D圆的方程化为标准方程为（x+1）２＋（ｙ-2)２=5,其圆心是（-1,２），半径为错误!未定义书签。

3.在空间直角坐标系O­xyz中,点A在ｚ轴上,它到点（2错误!,错误!,1）的距离是错误!,则点A 的坐标是（)Ａ．(０,０，-1) B.(0,１,１)C.(0，0,1）Ｄ．（0,0,13)解析：选Ｃ由点Ａ在z轴上,可设A（０，0,z）,∵点A到点（2错误!未定义书签。

,错误!，１)的距离是13,∴（２错误!未定义书签。

－0)2＋(＼r(5）-0)2＋（z－1）2＝13，解得z＝１,故A 的坐标为（0，０，1),故选Ｃ．4.过点（1,２)且与原点距离最大的直线方程是（）A.x＋2ｙ－5＝0 B．2ｘ＋ｙ－4=0C．x+3y－7＝0 ﻩ D.x-2ｙ+3=0解析:选Ａ结合图形可知,所求直线为过点（1,２)且与原点和点（1,２）连线垂直的直线，其斜率为－错误!未定义书签。

,直线方程为y－２＝－1２（x-1),即x＋2y－5＝0．5．若直线l1和l２是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内，l是平面α与平面βﻬ的交线,则下列命题正确的是（)Ａ．l与l1，l2都不相交Ｂ.l与l1,l2都相交C．ｌ至多与l１，l２中的一条相交D.ｌ至少与l1,l２中的一条相交解析：选D由直线ｌ1和l2是异面直线可知l1与l２不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交．6．若点P(2,-1)为圆（x-1）２+y2＝25的弦AB的中点,则直线ＡB的方程是（ )A.x-ｙ-３＝0 Ｂ.２x＋ｙ－3=０C．x＋y－1=０ D.２x－y-5＝0解析:选A 设圆心为Ｃ(1，0),则AB⊥CP，∵k CP＝-1,∴k AB＝1,∴直线AB的方程是ｙ+1=x－2,即x－ｙ-3＝0。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为() A．6 B．1C．2 D．4【解析】由题意知k AB＝m＋4－2－3＝－2，∴m＝6.【答案】 A2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是() A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0【解析】由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.【答案】 C3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．2 2 B.22 3C.423 D.433【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则43πR3＝323π，∴R＝2.又∵3a＝2R＝4，∴a＝43 3.【答案】 D4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①点P到坐标原点的距离为13；②OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ④与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ⑤与点P 关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 点P 到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；与点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.【答案】 A5．如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为( )图1A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 因为MN ⊥DC ，MN ⊥MC ， 所以MN ⊥平面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1，所以AD 1⊥DM . 【答案】 D6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )图2A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15【解析】 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.【答案】 B7．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以 4＋4－4k ＞0，所以k ＜2.由题意知点P (1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k ＞0，解得k ＞－2，所以－2＜k ＜2.【答案】 C8．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 如图，取BC 的中点E ，连接DE 、AE 、AD .依题设知AE ⊥平面BB 1C 1C .故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为2，则AE ＝32×2＝3，DE ＝1.∵tan ∠ADE ＝AE DE ＝31＝3， ∴∠ADE ＝60°，故选C. 【答案】 C9．(2015·开封高一检测)若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )①若直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β； ④若直线m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m ⊥n . A ．② B ．②③ C ．①③D ．②④【解析】 对于①，m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面； 对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与n 一定平行，故②正确； 对于③，还有可能n ∥β；对于④，把m ，n 放入正方体中，如图，取A 1B 为m ，B 1C 为n ，平面ABCD 为平面α，则m 与n 在α内的射影分别为AB 与BC ，且AB ⊥BC .而m 与n 所成的角为60°，故④错．因此选A.【答案】 A10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43【解析】在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝1＋43＝213，故选B. 【答案】 B11．(2016·重庆高一检测)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若P A 长度的最小值为2，则k 的值是( )【导学号：09960153】A ．3 B.212 C ．2 2D ．2【解析】 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心是(0,1)，半径是r ＝1，∵P A 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，P A 长度的最小值为2，∴圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的最小距离为5，由点到直线的距离公式可得|1＋4|k 2＋1＝5，∵k ＞0，∴k ＝2，故选D. 【答案】 D12．(2016·德州高一检测)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的体积为( )A.212a 3 B.a 312 C.24a 3D.a 36【解析】 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ，又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D -ABC＝13S △ABC ·DO ＝13×12×a 2×22a ＝212a 3. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知两条平行直线的方程分别是2x ＋3y ＋1＝0，mx ＋6y －5＝0，则实数m ＝________.【解析】 由于两直线平行，所以2m ＝36≠1－5，∴m ＝4.【答案】 414．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x . 横放时水桶底面在水内的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π. 【答案】 (π－2)∶4π15．已知一个等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，另一顶点C 的轨迹方程是________．【解析】 设点C 的坐标为(x ，y )， 则由|AB |＝|AC |得 (x －3)2＋(y －20)2 ＝(3－3)2＋(20－5)2， 化简得(x －3)2＋(y －20)2＝225.因此顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)． 【答案】 (x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)16．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋(－4)2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．【解】 若直线l 1，l 2的斜率都不存在，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.综上知，满足条件的直线方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程．【导学号：09960154】【解】(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为5，故圆心距为(2－0)2＋(－1－1)2＝22，又0<22<25，故两圆相交．(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x ＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．图3(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.【证明】 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， ∴MD ∥AP .又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC .(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴MD ⊥PB .又∵MD ∥AP ，∴AP ⊥PB . 又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC . ∵BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ，∴BC ⊥平面APC . 又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .20．(本小题满分12分)已知△ABC 的顶点A (0,1)，AB 边上的中线CD 所在的直线方程为2x －2y －1＝0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0.(1)求△ABC 的顶点B 、C 的坐标；(2)若圆M 经过A 、B 且与直线x －y ＋3＝0相切于点P (－3,0)，求圆M 的方程． 【解】 (1)AC 边上的高BH 所在直线的方程为y ＝0，所以AC 边所在直线的方程为x ＝0，又CD 边所在直线的方程为2x －2y －1＝0， 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12， 设B (b,0)，则AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，12，代入方程2x －2y －1＝0， 解得b ＝2， 所以B (2,0)．(2)由A (0,1)，B (2,0)可得，圆M 的弦AB 的中垂线方程为4x －2y －3＝0，① 由与x －y ＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y ＋x ＋3＝0，②①②联立可得，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，半径|MA |＝14＋494＝502，所以所求圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图4(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E -ABC 的体积．【解】 (1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC . 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值.【导学号：09960155】【解】 (1)法一 线段AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0. 所以圆M 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二 设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，(r ＞0)， 根据题意得⎩⎨⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2. 故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PCMD 的面积为S ＝S △PMC ＋S △PMD ＝12|CM |·|PC |＋12|DM |·|PD |.又|CM |＝|DM |＝2，|PC |＝|PD |，所以S ＝2|PC |，而|PC |＝|PM |2－|CM |2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PCMD面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合检测（B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R, 则这个几何体的体积是（）A. -Tt R3B. 2兀R3C.兀R3D. -Tt R33 3 32.已知水平放置的^ ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B' O' = C' O3=1, A O=手，那么△ ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形3.已知直线m、n与平面a、3 ,给出下列三个语句：①若m // a , n // a ,则m // n; ②若m // a , n, a ,则n± m;③若m± a , m//3,则a，3.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知两点A（—1,3）, B（3,1）,当C在坐标轴上，若/ ACB= 90° ,则这样的点C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.三视图如图所示的几何体的全面积是（）A. 2+ 2B. 1+ 2C. 2+ 3D. 1+ 36.已知圆心为(2, — 3), 一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是(A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x-2)2+(y+3)2=21C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=527.如右图，在正四棱柱ABCD- ABC1D1中，E、F分别是AB i、BG的中点，则以下结论中不成立的是( )A. EF与BB i垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A i C i异面8.过圆x2+y2=4上的一点（1,3）的圆的切线方程是（）A. x+S y-4=0B. \l"3x — y= 0C. x+M=0D. x-黄y—4=09.若x、y 满足x2 + y2—2x+4y—20=0,则x2+y2的最小值是（）A.器-5B. 5-V5C. 30— 10 5D.无法确定10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴者B相切，则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-7)2=13B.(x—2)2+(y—1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=13 2 2D.x—2 +(y—1) = 111.设r>0,两圆(x—1)2+(y+3)2=r2与x2+y2= 16 可能( )A.相离B.相交C.内切或内含或相交D,外切或外离12. 一个三棱锥S— ABC的三条侧棱SA、SR SC两两互相垂直，且长度分别为1,水, 3,已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 16 兀B. 32 兀C. 36 兀D. 64 兀二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知11：2x+my+1 = 0与12：y=3x- 1,若两直线平行，则m的值为14.如图所示，已知ABL平面BCD, BC± CD,则图中互相垂直的平面有15.已知直线5x+ 12y+a= 0与圆x2 —2x+y2= 0相切，则a的值为.16.过点P(1,/)的直线l将圆C: (x—2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)已知△ ABC中，/ ACB= 90° ,SAL平面ABC, AD± SC.求证：AD,平面SBC.AC 边上的高线 BH 所在直线方程为 x- 2y —5= 0,求⑴顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.19. (12分)已知点P(0,5)及圆 得的线段长为4、/3,求l 的方程.18. (12分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0, C: x2+y2+4x-12y + 24=0,若直线l 过点P 且被圆C 截20.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S=2TT rl,其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R, 高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？.(12分)如图，长方体ABO ABC1D1中，AB= AD= 1, AA1=2,点P为DDi的中点. 求证：(1)直线BD1//平面PAC;(2)平面BDDi,平面PAC;(3)直线PB，平面PAC.22.(12 分)已知方程x2 + y2—2x—4y+m= 0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x+ 2y—4= 0相交于M、N两点，且OM，ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.模块综合检测(B)答案1. D [由三视图知该几何体为半径为R的球，知V= 47t R3.] 32. A3. C [①中m与n可能相交，也可能异面，・•.①错误.]4. C [由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点.以AB为直径的方程是(x+1)(x-3) + (y-3)(y-1)=0,令x= 0,解得y= 0 或4;令y = 0,解得x= 0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0), (0,4), (2,0).]5. A [由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示.故全面积S= 2+ 2J2.]6. C [该圆过原点.]7. D [连接AB, .. E是AB i 中点，・•. EC A1B,，EF是△A i BC i 的中位线，EF// AiO,故D不成立.]8. A [过圆x2+y2= r2上一点(x o, y0)的切线方程为x o x+ y o y=r2.]9. C [配方得(x—1)2+(y+2)2 = 25,圆心坐标为(1, —2),半径r = 5,所以"27了的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即 5 —、/5,故可求x2+y2的最小值为30—10\/5.]10.B [设圆心为(a, b),由题意知b=r=1,」|4a-3| p - -1.= ^2—又. a>0,…a= 2,，圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2= 1.]11.C [由于点(1, —3)在圆x2+y2=16内，所以内切或内含或相交. ]12.A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4.，球半径为2, S球=4TI R2=16兀.]13.14. 平面 ABD ，平面 BCD,平面 ABC ，平面BCD,平面 ABC ，平面 ACD.15. 8 或—1816.解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为17. 证明 •. /ACB= 90° , .BC±AC. 又SAL 平面ABC, BC 平面ABC, • .SAL BC,又 SAP AC=A, 「•BC ，平面 SAC. . AD 平面 SAC, BC± AD.又 SC AD, SCn BC= C, SC 平面 SBC, BC 平面 SBC, ADJ 面 SBC.18 .解(1)由题意，得直线 AC 的方程为 2x+ y — 11 = 0.得点C 的坐标为（4,3）.、“m+ 5(2)设 B(m, n), M ,n+ 1于是有 m + 5 — 2— — 5=0,即 2m —n —1 = 0 与 m —2n — 5= 0 联立, 解得B 点坐标为(—1, — 3), 于是有 I BC ： 6x-5y-9= 0.19 .解解析I5M + 12X0+a| .52+ 1221,解得a= 8或—18.2x — y — 5= 02x+ y- 11 = 0n+ 1 2r 因为R= H-x所以r= R一—•x.H如图所示，|AB|= 4木,设D是线段AB 的中点，则CD± AB,，|AD|= 25，|AC|= 4. 在Rt^ACD中，可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：v— 5=kx,即kx—y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：| 216^ 5| = 2,得k = 3,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.,'k + 1 4又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0.，所求直线l的方程为x=0或3x—4y+20=0.20.解（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（如图所示）.设所求圆柱的底面半径为r,它的侧面积S圆柱侧=2 71rx.所以S 圆柱侧= 2 兀Rx—(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值.H这时圆柱的高x= 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.21.证明(1)设ACn BD= O,连接PO,在4 3口口中，•••P、O分别是DD1、BD的中点，PO// BD1,又PO 平面PAC, BD1 /平面PAC,・・・直线BD1//平面PAC.(2)长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB=AD= 1,「•底面ABCD是正方形，AC± BD.又DDL平面ABCD, AC 平面ABCD,AC± DD i,又BDA DDi= D, BD 平面BDDi,DDi 平面BDDi, •. AC,平面BDDi,. AC 平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi.(3)「PC2=2, PB2=3, B i C2=5,・•.PC2+ PB2=B i C2, APB i C是直角三角形，PB i^PC.同理PB iX PA,又PAn PC= P, PA 平面PAC,PC 平面PAC, •,・直线PBi,平面PAC.22.解(i)(x—i)2+(y —2)2=5—m, .. m<5.(2)设M(x i, y i), N(x2, y2),则xi=4 — 2yi, x2=4 — 2y2,则x i*= i6—8(y i+y2) + 4y i y2.OMXON, x i x2+ y i y2= 0.&知识就是力量&•• i6 — 8(y i+y?) + 5y[y2= 0 ①x= 4— 2yx2+ y2— 2x— 4y+ m= 0得5y2— 16y+ m + 8 = 016 8+myi + y2 = —, yiy2=-.5 5,.、一8代入①得，m=-.5(3)以MN为直径的圆的方程为(x— x i)(x — X2)+ (y — y i)(y — y2)= 0即x2+ y2—(x i + x2)x— (y i+ y2)y= 0「•所求圆的方程为x2+ y2—_x——y=0.5 5。

高中数学立体几何测试题（理科）一、选择题：1．下列说法不正确的是A 圆柱的侧面展开图是一个矩形B 圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D 圆台平行于底面的截面是圆面2、下面表述正确的是A、空间任意三点确定一个平面B、分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面C、直线上的两点和直线外的一点确定一个平面D、不共线的四点确定一个平面3、“a、b是异面直线”是指①a∩b=∅，且a和b不平行；②a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β=∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b=∅；④a⊂平面α，b ⊄平面α；⑤不存在平面α，使得a⊂平面α，且b⊂平面α都成立。

上述说法正确的是A ①④⑤B ①③④C ②④D ①⑤4、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A、垂直B、平行C、相交不垂直D、不确定5、下列命题中正确命题的个数是①一条直线和另一条直线平行，那么它和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行。

A 、0B 、1C 、2D 、36、一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是A 、异面B 、相交C 、平行D 、不确定 7、直线a 与b 垂直，b 又垂直于平面α，则a 与α的位置关系是A 、a α⊥B 、//a αC 、a α⊆D 、a α⊆或//a α 8、如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 9．已知二面角α－AB －β为︒30，P 是平面α内的一点，P 到β的距离为1．则P 在β内的射影到AB 的距离为（ ）． A ．23B ．3C ．43 D ．2110、若,m n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 二、填空题：11、三条两两相交的直线可确定12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．下列叙述中不正确的序号是________．①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②每一条直线都有唯一对应的倾斜角；③与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°；④若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α.【解析】当α＝90°时，tan α不存在，所以④错误，由直线斜率和倾斜角的知识知①②③正确．【答案】④2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．【解析】如图所示，由V＝Sh得，S＝4，即正四棱柱底面边长为2.∴A1O1＝2，A1O＝R＝ 6.∴S 球＝4πR 2＝24π. 【答案】 24π3．已知直线l 1：ax ＋4y －2＝0与直线l 2：2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为________．【解析】 垂足(1，c )是两直线的交点，且l 1⊥l 2，故－a 4·25＝－1，∴a ＝10.l 1：10x ＋4y －2＝0.将(1，c )代入l 1，得c ＝－2；将(1，－2)代入l 2，得b ＝－12.则a ＋b ＋c ＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 【答案】 －44．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．【解析】 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝1. 设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，∴θ＝180°.【答案】 180°5．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________. 【导学号：60420098】【解析】 当截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，即直线方程为4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，将点(3，－4)代入得a ＝－1，即直线方程为x ＋y ＋1＝0.【答案】 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝06．若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．【解析】配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以x2＋y2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x2＋y2的最小值为30－10 5.【答案】30－10 57．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是________．(填序号)①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.【解析】当l⊥α，α⊥β时不一定有l⊂β，还有可能l∥β，故①不对；当l∥α，α∥β时，l⊂β或l∥β，故②不对；若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β相交或l∥β或l⊂β，故④不对．【答案】③8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．【解析】连结B1C交BC1于O，则B1C⊥BC1，又A1B1⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，取D1B的中点O1，连结O1O，则∠BO1O就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角．不妨设正方体棱长为1，则BD1＝3，BO＝22，O1O＝12，在Rt△BOO1中，tan∠BO1O＝BOO1O＝ 2.【答案】 29．已知直线l：y＝x＋m(m∈R)，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，则该圆的方程为__________．【解析】由题意知P(0，m)，又直线l与圆相切于点P，则MP⊥l，且直线l的倾斜角为45°，所以点P的坐标为(0,2)，|MP|＝22，于是所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.【答案】(x－2)2＋y2＝810．从直线3x＋4y＋8＝0上一点P向圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长的最小值为__________．【解析】圆心到直线的距离为d＝|3＋4＋8|5＝3，圆的半径为1，所以四边形PACB的周长的最小值为232－12＋2＝42＋2.【答案】42＋211.图1如图1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】如图，取A1B1的中点M，连结GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中，∠HGM＝60°.【答案】60°12．侧棱长为a的正三棱锥P­ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．【解析】侧棱长为a的正三棱锥P­ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa2.【答案】3πa213．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________.【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a>0，结合图象(略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.【答案】 114．(2014·全国卷Ⅱ改编)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ONOM ≥22.而ON ＝1，∴OM ≤2.∵M 为(x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 【答案】 [－1,1]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.【解】 (1)∵l 1∥l 2，∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1，得m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝8.16．(本小题满分14分)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，且B 1D ⊥BC 1.(1)求证：A 1C ∥平面B 1AD ； (2)求证：BC 1⊥平面B 1AD .图2【证明】 (1)如图，连结BA 1交AB 1于点O ，连结OD .由棱柱知侧面AA 1B 1B 为平行四边形，所以O 为BA 1的中点．又D 是BC 的中点，所以OD ∥A 1C .因为A 1C ⊄平面B 1AD ，OD ⊂平面B 1AD ，所以A 1C ∥平面B 1AD . (2)因为D 是BC 的中点，AB ＝AC ，所以AD ⊥BC .因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C .因为BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC 1.又BC 1⊥B 1D ，且AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面B 1AD .图317．(本小题满分14分)如图3所示，圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求|AB |；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程．【解】 (1)过点O 作OG ⊥AB 于G ，连接OA ，当α＝135°时，直线AB 的斜率为－1，故直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，∴|OG |＝|0＋0－1|2＝22，∴|GA |＝8－12＝152＝302， ∴|AB |＝2|GA |＝30.(2)连结OP .当弦AB 被P 平分时，OP ⊥AB ，此时k OP ＝－2，∴k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.图418．(本小题满分16分)(2015·安徽高考)如图4，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ­ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值．【解】 (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高．又PA ＝1， 所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在直角△BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.19．(本小题满分16分)(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－1 3，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165. 20．(本小题满分16分)如图5(1)，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图5(2)所示的三棱锥A ­BCF ，其中BC ＝22.(1) (2)图5(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F ­DEG 的体积V F ­DEG . 【解】 (1)证法一：在折叠后的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ，所以ADAB ＝AEAC ，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .证法二：在折叠前的图形中，因为AB ＝AC ，AD ＝AE ， 所以AD AB ＝AE AC ，所以DE ∥BC ，即DG ∥BF ，EG ∥CF .在折叠后的图形中，仍有DG ∥BF ，EG ∥CF .又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF .又DG ∩EG ＝G ，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF .又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ， 所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF .又BF ＝CF ＝12，BC ＝22， 所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ， 所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG＝EG＝23×12＝13，AG＝23×32＝33，所以FG＝AF－AG＝3 6.故三棱锥F­DEG的体积为V三棱锥F－DEG＝13S△DEG·FG＝13×12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫132×36＝3 324.。

数学必修二综合测试题一．选择题*1.下列叙述中，正确的是（ ）（A ）因为,P Q αα∈∈，所以∈α（B ）因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂（C ）因为α⊂，∈，∈，所以∈α（D ）因为AB α⊂,AB β⊂,所以()A αβ∈⋂且()B αβ∈⋂*2．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ）． (A)30 (B)45 (C)60 (D)135*3.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）．(A)-3或 4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2*4.长方体的三个面的面积分别是632、、，则长方体的体积是（ ）． A ．23B ．32C ．6D ．6 *5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为（ ）A 、2a πB 、22a πC 、32a πD 、a π24*6.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）（A ）只有一条 （B ）无数条 （C ）是平面α内的所有直线 （D ）不存在**7.已知直线l 、m 、n 与平面α、β给出下列四个命题：①若m ∥l ，n ∥l ，则m ∥n ②若m ⊥ ，m ∥， 则 ⊥③若m ∥ ，n ∥ ，则m ∥n ④若m ⊥ ，⊥，则m ∥或m其中假命题．．．是（ ）． (A) ① (B) ② (C) ③主视图左视图俯视图x y O x y O x y O xyO(D) ④**8.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．**9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ * ）． (A) 4π(B) 54π(C) π (D) 32π**10.直线03y 2x =--与圆9)3y ()2x (22=++-交于E 、F 两点，则∆（O 是原点）的面积为（ ）． A ．52B ．43C ．23D ．556**11.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A 、34k ≥或4k ≤- B 、34k ≥或14k ≤-C 、434≤≤-k D 、443≤≤k ***12.若直线k 24kx y ++=与曲线2x 4y -=有两个交点，则k的取值范围是（ ）．A ．[)∞+,1 B ．)43,1[-- C ．]1,43(D ．]1,(--∞二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．**13.如果对任何实数k ，直线(3＋k)x ＋(1-2k)y ＋1＋50都过一个定点A ，那么点A 的坐标是 ． **14.空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，、、两两垂直，且，那么这个球面的面积是 ． **15．已知222212:1:349O x y O x y +=+=圆与圆（－）（＋），则12O O 圆与圆的位置关系为 ．①②***16．如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②），则图①中的水面高度为．三．解答题：**17．（本小题满分12分）如图，在OABC中，点C（1，3）．（1）求所在直线的斜率；（2）过点C做⊥于点D，求所在直线的方程．**18．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V－ABCD中，AC BD M VM与交于点，是棱锥的高，若6cmAC=，5cmVC=，求正四棱锥V-ABCD的体积．B***19．（本小题满分12分）如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱、的中点． （1）求证：∥平面1D 1； （2）求证：平面1C 1⊥平面1D 1．***20. （本小题满分12分）已知直线1l ：0 ，2l ：2=0王新敞（Ⅰ）求证：对m ∈R ，1l 与 2l 的交点P 在一个定圆上；（Ⅱ）若1l 与定圆的另一个交点为1P ，2l 与定圆的另一交点为2P ，求当m 在实数范围内取值时，⊿21P PP 面积的最大值与对应的m ．***21. （本小题满分12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A 1111中，（1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11A C 位置关系，并给出证明；（2）证明1B D ⊥面11A BC ；（3）求线AC 到面11A BC 的距离； （4）若以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.ABD BCD E F****22．（本小题满分14分）已知圆O：221+=和定点A(2,1)，由x y圆O外一点(,)P a b向圆O引切线，切点为Q，且满足PQ PA=．(1) 求实数a、b间满足的等量关系；(2) 求线段长的最小值；(3) 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．参考答案一.选择题 二.填空题 13. )2,1(- 14. 2a 3π 15. 相离16. (1a 三.解答题17. 解: (1) 点O （0，0），点C （1，3），∴ 所在直线的斜率为30310OC k -==-.（2）在OABC 中，//AB OC ,⊥，∴ ⊥.∴ 所在直线的斜率为13CD k =-.∴所在直线方程为13(1)3y x -=--，3100x y +-=即.18. 解法1：正四棱锥V -ABCD 中，是正方形，11163222MC AC BD ∴===⨯=().且11661822ABCDS AC BD =⨯⨯=⨯⨯=(2). VM 是棱锥的高,∴△中，4VM ==().∴正四棱锥V －ABCD 的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(3).解法2：正四棱锥V -ABCD 中，是正方形，∴ 11163222MC AC BD ===⨯=().且AB BC AC === . ∴2218ABCD S AB ===(2).VM 是棱锥的高,∴△中，4VM ==(). ∴正四棱锥V 111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(3). 19. （1）证明:连结.在长方体1AC 中，对角线11//BD B D 又 E 、F 为棱、的中点，//EF BD ∴.B11//EF B D ∴. 又B 1D 1平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ ∥平面1D 1.（2） 在长方体1AC 中，1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1平面A 1B 1C 1D 1，∴ 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面1C 1.又 B 1D 1平面1D 1，∴平面1C 1⊥平面1D 1．20. 解：（Ⅰ）1l 与 2l 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，∴ 1l 与 2l 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：0)1y (y )2x (x =-+- 即0y x 2y x 22=--+王新敞（Ⅱ）由（1）得1P （0,0）、2P （2,1），∴⊿21P PP 面积的最大值必为45r r 221=⋅⋅． 此时与12P P 垂直，由此可得3或13-．21.解：（1）在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ，易知BE即为直线l ，∵AC ∥11A C ，AC ∥l ，∴l ∥11A C .（2）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ，同理可证1A B ⊥1B D ，又11A C ⋂1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .（3）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BA C -中有111111B BA C B A B C V V --=，即1111111133A BC ABC S h SBB ∆∆⋅=⋅，∴h =（4）1(,,0),(,,)C a a C a a a 22. 解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥由勾股定理有222PQ OP OQ=-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =. 即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-. 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=.（2）由230a b +-=，得23b a =-+. PQ === 故当65a =时，min PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | = | ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | = 2×2 + 1－3 |,2 2 + 1 2 ) = . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆 O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP==故当65a =时，minOP=此时, 3235b a =-+=，min1R. 得半径取最小值时圆P的方程为22263()()1)55x y -+-=．解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆 P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 2 + 1 2)) －1 = －1.又 l ’：x －2y = 0,解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( ,).∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.。

高中数学必修二综合测试题(含答案)高二数学必修二综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①② B．②④ C．①③ D．②③2.过点P(1,3)且垂直于直线x2y3的直线方程为（）A．2x y1 B．2x y5 C．x2y5D．x2y73.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝3x的距离是()A．2 B．2 C．1 D．34.已知F1,F2是椭圆x2/16+y2/9=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且A．2 B． C． D．5.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是()A．若m//α,n⊥α，则m//n B．若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC．若m//α,n//α，则m//n D．若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68 C．5或－34 D．－687.已知ab0，则直线ax+by=c通过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）A．1/5 B．113° C． D．232°9.在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧面BC1C 的中心为D，则AD与平面BC1C所成角的大小是()10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD 成60°的角；④AB与CD所成的角是60°。

模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)， 又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程． 解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

高二数学必修二综合测试题班级_______________ XX___________________ 总分：________________ 一、选择题〔本大题共12小题，每小题5分，共60分〕 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔〕 A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔〕 A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是〔〕15y 9x 22=+Q PC'B'A'C BAA ．15B ．13C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45C ．60 D ．9010．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V〔11题〕 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD 〔12题〕C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相二、填空题〔本大题共4小题，每小题5分，共20分〕13．一个几何体的三视图与其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值X 围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图8558855第14题分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.〔17题〕18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. 〔1〕求21--x y 的最大值与最小值；〔2〕求y x +2的最大值与最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． 〔1〕证明：PQ ∥平面ACD ；〔2〕求AD 与平面ABE 所成角的正弦值〔19题〕20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， 〔1〕XX 数m 的取值X 围；〔2〕若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。