2016届二轮 转化与化归思想 专项突破训练 全国通用

第 21 讲 转变与化归思想1. 设 a 、 b ∈ R ， a 2＋ b 2＝ 1，则 a ＋ b 的最小值是 ________． 答案：－ 2分析：利用 a 2＋ b 2 ≥ a ＋ b 2可获得，也能够用圆的性质来办理．2 212. 设函数 f(x)(x ∈ R )为奇函数， f(1) ＝ 2， f(x ＋ 2) ＝ f(x) ＋ f(2) ，则 f(5) ＝________．答案：523. 以点 (2，－ 1)为圆心且与直线 x ＋ y ＝ 6 相切的圆的方程是 ________． 答案： (x － 2)2＋ (y ＋ 1)2＝ 2524. 函数 f(x) ＝ cos2x － 2 3sinxcosx 的最小正周期为 ________． 答案： π5. 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，等差数列n 3n ＋ 26{b n } 的前 n 项和为 T n ，且 S＝ ，则 a＝T nn ＋ 1b 6________．答案： 3512a 6 S 11分析： b 6＝ T 11.x 2 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ ABC 的极点 A( －4，0)和 C(4 ，0)，极点 B 在椭圆252＋ y＝ 1 上，则sinA ＋sinC＝ ________．9sinB答案： 54分析：点 A 、 C 是椭圆的两个焦点，sinA ＋ sinC ＝ BA ＋ BC ＝ 2a ＝a ＝ 5 .sinB AC2c c 47. 设 a 、 b 、 c>0 且 a(a ＋ b ＋ c)＋ bc ＝ 4－ 2 3，则 2a ＋ b ＋ c 的最小值是 ________．答案： 2 3－2分析：由 a(a ＋ b ＋ c)＋ bc ＝ 4－ 2 3，得 (a ＋ b)(a ＋ c)＝ 4－ 2 3.2a ＋ b ＋ c ＝ (a ＋b)＋ (a ＋ c)≥2 （ a ＋b ）（ a ＋ c ）＝ 2 （ 3－ 1） 2＝ 2 3－ 2.8. 已知函数 f(x) ＝ ax 2－2x － 1，x ≥ 0，是偶函数， 直线 y ＝ t 与函数 y ＝ f(x) 的图象自左向x 2＋ bx ＋ c ， x ＜ 0右挨次交于四个不一样点 A 、 B 、 C 、D. 若 AB ＝ BC ，则实数 t 的值为 ________．答案：－74f(x) ＝ e x － 1， g(x) ＝－ x 2＋ 4x － 3 ，如有 f(a) ＝ g(b) ，则 b9. 已知函数的取值范围为____________ ．答案： 2－ 2＜ b ＜2＋ 2分析： f(a) ＝ e a － 1＞－ 1， g(b)＝－ b 2＋4b － 3＞－ 1，故－ 1＜ g(b) ＜1，解得2－ 2＜ b ＜2＋ 2.x y10. 已知 x 、y 为正数，则 2x ＋y ＋ x ＋ 2y 的最大值为 ______________ ．答案： 2311. 在△ ABC 中，内角∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知 sinB(tanA ＋ tanC)＝ tanAtanC.(1) 求证： a 、 b 、 c 成等比数列；(2) 若 a ＝1， c ＝ 2，求 △ ABC 的面积 S.(1) 证明：由已知得 sinB(sinAcosC ＋ cosAsinC) ＝ sinAsinC ，则 sinBsin(A ＋ C)＝ sinAsinC ，则 sin 2B ＝ sinAsinC ，再由正弦定理可得 b 2＝ ac ， ∴ a 、 b 、 c 成等比数列．(2) 解：若 a ＝ 1， c ＝2，则 b 2＝ ac ＝ 2，2227， ∴ cosB ＝ a ＋ c － b＝3， sinB ＝ 1－ cos 2B ＝ 2ac 44 ∴ △ ABC 的面积1 1 7 7 . S ＝ acsinB ＝ ×1× 2× ＝42 2 412. 设 a ≥0，f(x) ＝ x －1－ ln 2x ＋ 2alnx(x>0) ．(1) 令 F(x) ＝xf ′ (x)，议论 F(x) 在 (0，＋ ∞)内的单一性并求极值；(2) 求证：当 x>1 时，恒有 x>ln 2x －2alnx ＋ 1.(1) 解：依据求导法例，有 f ′ (x)＝ 1－ 2lnx ＋ 2a ，x ＞ 0，xx 故 F(x) ＝ xf ′(x)＝ x － 2lnx ＋2a ， x ＞ 0，于是 F ′(x)＝1－ 2x ＝ x －x 2， x ＞ 0. 列表以下：x(0， 2) 2 (2，＋ ∞) F ′ (x)－＋F(x)] 极小值 F(2) Z 故知 F(x) 在 (0， 2)内是减函数，在 (2，＋ ∞)内是增函数，因此，在 x ＝2 处获得极小值 F(2)＝ 2－ 2ln2 ＋ 2a ，无极大值．(2) 证明：由 a ≥0知 F(x) 的极小值 F(2)＝ 2－ 2ln2 ＋ 2a ＞0.于是由上表知，对全部x ∈(0，＋ ∞)，恒有 F(x) ＝ xf ′ (x)＞ 0.进而当 x ＞0 时，恒有 f ′(x)＞ 0，故 f(x) 在(0，＋ ∞)内单一增添． 因此当 x ＞1 时， f(x) ＞f(1) ＝ 0，即 x － 1－ ln 2x ＋ 2alnx ＞0，故当 x ＞1 时，恒有 x ＞ln 2 x －2alnx ＋ 1.x 2 y 213. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 a 2 ＋ b 2＝ 1(a>b>0) 过点 (1， 1)． (1) 若椭圆的离心率为2，求椭圆的方程； 2(2) 若椭圆上两动点 P 、 Q ，知足 OP ⊥OQ.① 已知命题： “直线 PQ 恒与定圆 C 相切 ”是真命题， 试直接写出圆 C 的方程； (不需要解答过程 )M 点，二次函数 y ＝ x 2－ m 的图象过点 M. 点 A 、B 在 ② 设①中的圆 C 交 y 轴的负半轴于该图象上，当 A 、 O 、 B 三点共线时，求 △MAB 的面积 S 的最小值．解： (1) 由 e ＝ 2，因此 a ∶ b ∶ c ＝ 2∶ 1∶ 1.2设椭圆方程为x 2y 2112b 2＋ b 2＝ 1，将 (1， 1)代入得 2b 2＋b 2＝ 1，2323，椭圆方程为 x 2 2y2因此 b ＝ ， a ＝＋＝ 1.23 3(2) ① x 2＋ y 2＝1.2② 由题意，二次函数为y ＝ x － 1.2由y ＝ x － 1，消去 y 得， x 2－ kx －1＝ 0.y ＝ kx ，设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2 )，则 x 1＋ x 2＝ k ， x 1x 2＝－ 1.因此 S＝1OM · |x2－ x1|＝1（ x1＋ x2）2－ 4x1x2＝1k2＋ 4. 222当 k＝ 0 时，△ MAB 的面积 S 的最小值为 1.转动练习 (七 )21. 已知会合 A ＝ {3 ， m } ， B ＝ { － 1， 3， 2m － 1} ．若AB ，则实数m ＝ ________．答案： 12分析： m ＝ 2m － 1m ＝ 1.22. 双曲线 x 2－y＝1 的渐近线方程为 ________． 4 答案： y ＝ ±2x3. 若复数 z ＝1－ mi(i 为虚数单位， m ∈ R )， z 2＝－ 2i ，则复数 z 的虚部为 ________．答案：－ 122分析：由 z ＝－ 2i ，得 (1－ m )－ 2mi ＝－ 2i ，∴－ 2m ＝－ 2m ＝ 1.4. 若 {a n } 为等差数列， S n 是其前 n 项的和，且 S 11＝22π，则 tana 6＝ ________．3答案：－ 3a 1＋ a 1122π 2π分析： S 11＝ 3 ＝ 2 × 11＝ 11a 6， a 6＝ 3 ， tana 6＝－ 3.5. 若以连续掷两次骰子分别获得的点数m 、 n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋ y ＝ 5 上的概率为 ________．1答案： 9P ＝4＝1分析：这是一道典型的古典概率题，.36 96. 履行右边的程序框图，若P ＝ 15，则输出的 n ＝________．答案： 57. 函数 f(x) ＝ x － 2lnx 的单一递加区间为 ________.答案： (2，＋ ∞)分析：函数 f(x) ＝x － 2lnx 的定义域为 (0，＋ ∞)， f ′ (x)＝ 1－ 2＞0，解得 x ＞ 2，故函数单x 调递加区间为 (2，＋ ∞)．log 2x ，x>0 ， 则 f[f( 1 )] ＝ ________． 8. 已知函数 f(x) ＝答案： 13x ， x ≤ 0，49 11分析： f1＝－ 2， f f－ 21 .4 ＝ log 2 4 ＝ f(－ 2)＝ 3 ＝499. 设向量 a ＝ (cos α ， sin α )， b ＝ (cos β ， sin β )，此中 0<α <β<π .若 |2a ＋ b|＝ |a － 2b|，则β － α＝ ________．答案： π2分析： |a|＝ |b|＝1，由 |2a ＋ b|＝ |a － 2b|，得 (2a ＋ b )2＝ (a － 2b )2，∴a ·b ＝ 0，即cos α cosπβ ＋ sin α sin β ＝ 0，亦即 cos( β－ α)＝0.又 0＜β－ α＜ π ，∴ β － α＝ 2 .x 2＋ 4y 210. 已知实数 x 、 y ，知足 xy ＝ 1，且 x ＞2y ＞ 0，则 x － 2y 的最小值为 __________．答案： 411. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为 F 1、 F 2，且它们在第一象限的交点为 P ，△ PF 1 F 2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形．若 PF 1＝ 10，双曲线的离心率的取值范围为 (1， 2)，则该椭圆的离心率的取值范围是________．答案： 1，23 51 2c510c5 分析： PF 2＝ 2c ， 5－ c ∈ (1，2)， 2＜ c ＜ 3 ，椭圆的离心率 e ＝5＋ c ＝ 1－ 5＋ c ∈ 3，5 . 12. 设函数 f(x) 知足 f(x) ＝ f(3x) ，且当 x ∈ [1， 3)时， f(x) ＝ lnx. 若在区间 [1， 9)内，存在 3个不一样的实数 x 1 ， x 2 ， x 3，使得 f （ x 1） ＝ f （ x 2） ＝f （ x 3）＝ t ，则实数 t 的取值范围为 x 1 x 2 x 3______________．答案：ln3， 19 3e分析：当 x ∈ [3， 9)时， f(x) ＝ f1 13x ＝ ln 3x ＝ lnx － ln3.设直线 y ＝ tx 与曲线 f(x) ＝ lnx － ln3相切于 (x ， f(xlnx 0－ ln3 ＝ f ′(x1，解得 x ＝ 3e ，于是 t ＝10)) ，则 t ＝x 00)＝x13e .另一方面， x ∈[3，9)时，图象的最右端点为(9， ln3) ，于是 t 2＝ln3.作出表示图可知，t 介于 t 1 与 t 2 之间．故答案9ln31为 9 ，3e .13. 在锐角三角形 ABC 中，已知内角∠ A 、∠B 、∠ C 所对的边长分别为 a 、b 、c ，且 tanA3－ tanB ＝ (1＋ tanAtanB) ．(1) 若 c 2＝ a 2＋ b 2－ ab ，求∠ A 、∠ B 、∠ C 的大小；(2) 已知向量 m ＝ (sinA ， cosA)， n ＝ (cosB ， sinB) ，求 |3m － 2n |的取值范围． 解：由已知，得 tanA － tanB ＝3，∴tan(A － B) ＝ 31＋ tanAtanB 33.π ππ π ∵ 0＜A ＜ ，0＜B ＜ ，∴ － ＜A －B ＜ ，2 222π∴ A －B ＝6 .a 2＋b 2－c 2π(1) 由已知，得 cosC ＝2ab＝ 1，∴ ∠C ＝23.A ＋B ＋C ＝ π ，π 5ππA －B ＝ ，由6解得∠ A ＝ 12 ，∠B ＝ 4.π ，C ＝ 3∴ ∠ A ＝ 5π，∠ B ＝π ，∠ C ＝ π12 43 .(2) (3m － 2n )2＝ 9m 2＋ 4n 2－ 12m ·n ＝13－ 12(sinAcosB ＋ cosAsinB)π＝13－ 12sin(A ＋B) ＝ 13－12sin 2B ＋ 6 .π∵ △ ABC 为锐角三角形，A－ B＝，6πππ∴C＝π－ A －B< 2，A ＝6＋ B< 2 .ππππ5π∴＜B＜，＜2B＋＜6326 6 .∴ sin 2B＋π∈1， 1.622π∴ |3m－ 2n| ＝13－12sin 2B＋∈ (1，7)．∴ |3m－ 2n|的取值范围是(1，7) ．14.如图，已知三棱锥 ABPC 中， AP⊥ PC, AC⊥ BC ，M 为 AB 的中点， D 为 PB 的中点，且△ PMB 为正三角形．(1)求证： DM ∥平面 APC;(2)求证：平面 ABC ⊥平面 APC ；(3)若 BC ＝4， AB ＝ 20，求三棱锥 DBCM 的体积．(1)证明：由已知得 MD 是△ ABP 的中位线，∴ MD ∥AP.∵ MD 平面 APC ，AP 平面 APC，∴ MD∥平面 APC.(2)证明：∵△ PMB 为正三角形， D 为 PB 的中点，∴MD ⊥PB，∴ AP⊥ PB.∵ AP ⊥PC， PB∩PC＝P，∴ AP ⊥平面 PBC.∵BC 平面 PBC，∴ AP ⊥ BC.∵BC⊥ AC ， AC ∩AP ＝ A ，∴ BC ⊥平面 APC.∵BC 平面 ABC ，∴ 平面 ABC ⊥平面 APC.(3)解：由题意可知 MD ⊥平面 PBC，∴MD 是三棱锥 DBCM 的高．又△ PMB 为正三角形，∴BP＝BM ＝ 10.易知 BC⊥ PC， CP＝102－42＝ 2 21，1S△BCP＝221，h＝ MD ＝33S△BCD＝2BP＝×10＝ 5 3.221∴V MDBC＝3Sh＝ 10 7.15.某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的公司，每一批产品 A 上市销售 40 天所有售完，该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场的销售状况进行了追踪检查，检查结果如图①、图②、图③所示，此中图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示外国市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品 A 的销售收益与上市时间的关系 (国内外市场同样 )．(1) 分别写出国内市场的日销售量 f(t) 、外国市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 的上市时间的关系式；(2) 每一批产品 A 上市后，问哪一天这家公司的日销售收益最大？最大是多少？①②③2t ， 0≤ t ≤ 30，解： (1) f(t) ＝－ 6t ＋ 240， 30＜ t ≤40，g(t)＝－ 203t 2＋ 6t ， 0≤ t ≤ 40.(2) 设每件产品 A 的销售收益为 q(t)，3t ， 0≤ t ≤20，则 q(t) ＝60， 20＜ t ≤ 40.进而这家公司的日销售收益 Q(t) 的分析式为－ 209t 3＋ 24t 2， 0≤ t ≤ 20，Q(t) ＝－ 9t 2， 20＜ t ≤30，＋ 480t － 9t 2＋ 14 400， 30＜t ≤40.① 当 0≤t ≤20时， Q ′ (t) ＝－ 27 2＋ 48t ＝ t （ 20×48－ 27t ） ≥0， 20 t 20∴ Q(t) 在区间 [0， 20] 上单一递加，此时 Q max (t) ＝ Q(20) ＝ 6 000.② 当 20＜ t ≤30时， Q(t) ＝－ 9 t － 80 2 *，3 ＋ 6 400， t ∈ N∴ Q max (t)＝ Q(27) ＝ 6 399.③ 当 30＜ t ≤40， Q(t) ＜ Q(30) ＝ 6 300.综上所述， Q max (t) ＝Q(27) ＝ 6 399.故第 27 天这家公司的日销售收益最大，最大值为6 399 元．16. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过点 F 1(0，－ c)、 F 2(0， c)、 A( 3c ， 0)三点，此中 c ＞0.(1) 求圆 M 的标准方程 (用含 c 的式子表示 )；(2) 已知椭圆 y 2 x 2 222D 、 B ，圆 M 与 x 轴 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0)( 此中 a － b ＝ c )的左、右极点分别为a b的两个交点分别为 A 、C ，且 A 点在 B 点右边， C 点在 D 点右边．①求椭圆离心率的取值范围； ②若 A 、B 、M 、O 、C 、D(O 为坐标原点 )挨次平均散布在 x 轴上， 问直线 MF 1 与直线 DF 2的交点能否在一条定直线上？假如，恳求出这条定直线的方程；若不是，请说明原因．2222解： (1) 设圆 M 的方程为 x ＋ y ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0(D ＋ E －4F ＞ 0)．22 3c － Ec ＋F ＝ 0， D ＝－ 3 c ，c 2＋ Ec ＋F ＝ 0，则由题设，得解得3c 2＋ 3Dc ＋ F ＝ 0， E ＝ 0，2F ＝－ c .圆 M 的方程为 x 2＋ y2－ 2 33cx － c 2＝ 0，3 224 2圆 M 的标准方程为x － 3 c ＋ y ＝ 3c .(2) ① 圆 M 与 x 轴的两个交点 A( 3c ， 0)、 C － 33c ， 0 ，3c ＞ b ，3c ＞b ，又 B(b ， 0)， D( － b ， 0)，由题设3c 2＞ a 2－ c 2，∴1c 2＜ a 2－ c 2. 3解得 1＜ c ＜ 3，即 1＜ e ＜ 32 a 222 .1－3即33 c ＞－ b ， 3 c ＜b ，3 ∴ 椭圆离心率的取值范围为，2 ② 由 (1)，得 M3 c ， 0 .32.33由题设，得 3c － b ＝ b － 3 c ＝ 3 c ， ∴ b ＝23－ 23 33 c ， D c ， 0 .x y ∴ 直线 MF 1 的方程为 3 － c ＝ 1，3c直线 DF 2 的方程为－2 x ＋ y＝ 1.3 c3c由以上两式，得直线MF 1 与直线 DF 2 的交点 Q(43 c ， 3c)，易知 k OQ ＝33为定值，34∴ 直线 MF 1 与直线 DF 2 的交点 Q 在定直线 y ＝ 3 3 x 上．4。

技法增强训练 ( 四) 转变与化归思想题组 1正与反的互相转变1．由命题“存在 x 0∈ R ，使 e| x 0－ 1| － m ≤0”是假命题，得 m 的取值范围是 ( －∞， a ) ，则实数 a 的取值是 ()A ． ( －∞， 1)B ． ( －∞， 2)C ． 1D ． 2C 命题“存在x 0∈ R ，使 e|x 0－ 1| － ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意 x ∈R ，使me | x－1|－m ＞0”是真命题，可得 m 的取值范围是 ( －∞， 1) ，而 ( －∞， a ) 与 ( －∞， 1) 为同一区间，故 a ＝ 1.]2．(2016 ·开封模拟 ) 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录取三人，这五人被录取的时机均等，则甲或乙被录取的概率为()1 3 A. 5B ．579 C. 10D ．101 9D 甲或乙被录取的对峙面是甲、乙均不被录取，故所求事件的概率为1－ 10＝10.] 3．若二次函数 f ( x ) ＝ 4 2－ 2( －2) x － 2 2 － ＋ 1 在区间－ 1,1] 内最少存在一个值 c ，使得x p ppf ( c ) ＞0，则实数 p 的取值范围为 ________．－3，3假如在－ 1,1]f－，内没有值满足f ( c ) ＞ 0，则?2f1p ≤－ 2或 p ≥1，333?p ≤－ 3 或 p ≥2，取补集为－ 3＜p ＜ 2，即为满足条件的p 的取值范p ≤－ 3或 p ≥ 2围．故实数 p 的取值范围为－ 3，3.]24．若椭圆x 222 ＞0) 与连接两点 (1,2) ，(3,4)的线段没有公共点，则实数的取＋y ＝ a (aa2AB值范围为 ________．0，3 2 ∪ 82，＋∞易知线段 AB 的方程为 y ＝ x ＋ 1， x ∈1,3] ，22y ＝ x ＋1，322 2由x＋ y 2＝ a 2，得 a ＝ 2x ＋ 2x ＋ 1，x ∈ 1,3]， 29241∴ ≤a ≤ .22又 a＞0，3 282∴2≤a≤2.AB没有公共点时，实数 a 的取值范围为3282.]故当椭圆与线段0，2∪ 2，＋∞5．已知点A(1,1)x2y2121是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，F，F是椭圆的两焦点，且满足|AF|＋| AF2| ＝ 4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点 B是椭圆上任意一点，当| AB| 最大时，求证：A，B 两点关于原点O不对称．x2y2解 ](1)由椭圆定义，知 2a＝ 4，因此a＝ 2. 因此4＋b2＝分1124x2y2把 A(1,1)代入，得4＋b2＝1，得b＝3，因此椭圆方程为4＋4＝1.4 分32224826因此 c ＝ a －b ＝4－＝，即c＝.3332626，0 .6 分故两焦点坐标为－3，0 ，3(2)反证法：假设 A， B 两点关于原点 O对称，则 B 点坐标为(－1，－1)，7分此时 |AB|＝22，而当点B取椭圆上一点M(－2,0)时，则 |AM|＝10，因此 |AM|>|AB|.10分从而知题组 2 6．设| AB| 不是最大，这与| AB| 最大矛盾，因此命题成立.12 分主与次的互相转变2f ( x)是定义在R上的单调递加函数，若 f (1－ ax－ x )≤f (2－ a)对任意a∈－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.【导学号：85952008】(－∞，－1]∪0，＋∞ )∵ f ( x)是R 上的增函数，∴ 1－ax－x2≤2－a，a∈－ 1,1] ．①①式可化为 ( x－ 1) a＋x2＋1≥0，对a∈－ 1,1] 恒成立．令 g( a)＝( x－1) a＋x2＋1，g－＝ x2－x＋2≥0，则2g＝ x ＋ x≥0，即实数 x 的取值范围是(－∞，－1]∪0，＋∞)．]7．已知函数f ( x) ＝x3＋3ax－ 1，g( x) ＝f′(x) －ax－ 5，此中f′(x) 是f ( x) 的导函数．对满足－ 1≤a≤1的全部a的值，都有g( x) ＜0，则实数x的取值范围为 ________．－2， 1 由题意，知g( x) ＝ 3x2－ax＋ 3a－ 5， 3令 φ ( a ) ＝(3 － x ) a ＋ 3x 2－ 5，－ 1≤ a ≤1.对－ 1≤ a ≤1，恒有 g ( x ) ＜ 0，即 φ ( a ) ＜ 0，φ＜ 0， 3x 2－ x － 2＜ 0，∴即2＋ －8＜0，φ －＜ 0，3 xx2解得－ 3＜x ＜ 1.2故当 x ∈ － ， 1 时，对满足－ 1≤ a ≤1的全部 a 的值，都有 g ( x ) ＜ 0.] 38．关于满足 0≤ p ≤4的全部实数 p ，使不等式 x 2＋ px ＞ 4x ＋ p － 3 成立的 x 的取值范围是________．( － ∞ ，－ 1) ∪ ( 3，＋ ∞ ) 设 f ( p ) ＝ ( x － 1) p ＋ x 2－ 4x ＋ 3，则当 x ＝ 1 时， f ( p ) ＝ 0，因此 x ≠1.f ＞ 0， f ( p ) 在 0≤ p ≤4上恒正，等价于f＞ 0，即x －x －＞ 0，解得 x ＞ 3 或 x ＜－ 1.]2－ 1＞0，x1 3a 424 29．已知函数 f ( x ) ＝ 3x＋ 2－3 x ＋ 3－ 3a x (0 ＜ a ＜ 1，x ∈R) ．若关于任意的三个实数 x 1，x 2， x 3∈1,2] ，都有 f ( x 1) ＋ f ( x 2) ＞ f ( x 3) 恒成立，务实数 a 的取值范围．解 ]由于′()＝284 2 2＋ －2)，2 分x＋ a －x ＋ － a ＝ x － (xf x 3 333 a2 因此令 f ′(x ) ＝ 0，解得 x 1＝ ， x 2＝ 2－a .3 分3由 0＜ a ＜ 1，知 1＜2－ a ＜2.2 因此令 f ′(x ) ＞ 0，得 x ＜ 或 x ＞ 2－ a ； 4 分32令 f ′(x ) ＜ 0，得 3＜ x ＜ 2－ a ，因此函数 f ( x ) 在 (1,2 － a ) 上单调递减，在 (2 －a, 2) 上单调递加 .5 分a2因此函数 f ( x ) 在 1,2] 上的最小值为 f (2 － a ) ＝6(2 － a ) ，最大值为 max{ f (1) ， f (2)} ＝max 1－ a ， 2a .6 分3 6 3由于当 2 1 a 20＜a ≤时， － ≥ a ； 7 分53 6322 1 a当 5＜ a ＜ 1 时， 3a ＞3－ 6， 8 分由对任意 x ，x ，x ∈ 1,2]，都有 f ( x ) ＋ f ( x ) ＞ f ( x ) 恒成立，得 2f ( x )＞ f ( x ) ( x ∈ 1,2]) ．123123min max2a21 a因此当 0＜a ≤ 5时，必有 2× 6(2 － a ) 3－6，10 分＞222联合 0＜a≤5可解得1－2＜a≤5；2a22当＜ a＜1时，必有2× (2－a)＞ a，56322联合5＜ a＜1可解得5＜ a＜2－ 2.2综上，知所务实数 a 的取值范围是1－2＜a＜2－2.12 分。

【命题热点突破一】分类与整合思想例1、(1)[2015·湖北卷] 设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P 0(0<P 0<1)，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．①张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为79，求P 0的值；②若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 (1)B[t 5]＝5，则5≤t 5<6，即 515≤t<615，⑤因为615<313，所以515≤t<615与313≤t <514的交集为空集．所以n 的最大值是4.(2)解：①由已知得，张三中奖的概率为23，李四中奖的概率为P 0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”为事件A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”．因为P(X ＝5)＝23P 0，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝1－23×P 0＝79，所以P 0＝13.若E(2X 1)<E(3X 2)，则83<6P 0，即49<P 0<1； 若E(2X 1)＝E(3X 2)，则83＝6P 0，即P 0＝49.综上所述，当0<P 0<49时，他们都选择方案甲进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当49<P 0<1时，他们都选择方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望较大；当P 0＝49时，他们选择方案甲或方案乙进行抽奖，累计得分的数学期望相等．【特别提醒】分类与整合思想是最重要的数学思想方法之一，是高考考查的重点，涉及的试题各类题型均有．从2015年高考看，在部分选择题、填空题中也需要分类讨论才能解决问题，高考中的分类与整合思想的考查已经不仅仅局限在函数导数、概率的解答题中．【变式探究】(1)[2015·广东卷] 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s)|0≤p<s ≤4，0≤q<s ≤4，0≤r<s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中元素的个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50(2)已知函数f (x )＝m ln x ＋2m x －e x x 2.①若m ≤0，求函数f (x )的单调区间；②若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求m 的取值范围．【答案】(1)A【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都可取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64(种)；当s ＝3时，p ，q ，r 都可取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27(种)；当s ＝2时，p ，q ，r 都可取0，1中的一个，有2×2×2＝8(种)；当s ＝1时， p ，q ，r 都取0.所以card (E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t ＝0时，u 可取1，2，3，4中的一个；当t ＝1时，u 可取2，3，4中的一个；当t ＝2时，u 可取3，4中的一个；当t ＝3时，u 取4.所以t ，u 的取值共有1＋2＋3＋4＝10(种)，同理v ，w 的取值也有10种，所以card (F)＝10×10＝100，所以card (E)＋card (F)＝100＋100＝200.(2)解：①函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝m x －2m x 2－e x ·x 2－e x ·2x x 4＝（mx －e x ）（x －2）x 3. 当m≤0时，mx －e x <0，所以当x ∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．(ii )当m>1时，g′(x)＝m －e x ＝e ln m －e x ，所以当x ∈(0，ln m)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(ln m ，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(ln m)＝m(ln m －1)． 若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （0）<0，g （ln m ）>0，g （2）<0，0<ln m<2，解得e <m<e22.综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，m 的取值范围为(e ，e 22)． 【命题热点突破二】化归与转化思想例2、(1)[2015·四川卷] 已知函数f(x)＝2x ，g(x)＝x 2＋ax(其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．(2)P ，Q 为△ABC 内不同的两点．若3PA →＋2PB →＋PC →＝0，3QA →＋4QB →＋5QC →＝0，则S △PAB ∶S△QAB＝________．【答案】(1)①④ (2)2∶5(2)如图所示，以A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系．设△ABC 的面积为S ，P(x 1，y 1)，B(m ，0)，C(a ，b)，则3(x 1，y 1)＋2(x 1－m ，y 1)＋(x 1－a ，y 1－b)＝(0，0)，解得y 1＝b 6，即△PAB 的高为△CAB 的高的16，故△PAB 的面积为16S.设Q(x 2，y 2)，则3(x 2，y 2)＋4(x 2－m ，y 2)＋5(x 2－a ，y 2－b)＝(0，0)，解得y 2＝512b ，即△QAB 的高为△CAB 的高的512，故△QAB 的面积为512S.所以S △PAB ∶S △QAB ＝16∶512＝2∶5.【特别提醒】化归与转化思想的实质是把已知问题化为更容易解决的问题，如把数的问题转化为形的问题、把空间问题转化为平面问题、把立体几何问题转化为空间向量问题等．在数学方法中，换元法、割补法、坐标法等都是化归与转化思想的具体体现．【变式探究】(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．a ≤－1C ．－1≤a ≤1D ．a ≥1或a ≤－1(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．9B ．10C ．11D .232【答案】(1)C (2)C【解析】(1)已知不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，其顶点坐标分别为(－3，3)，(3，－3)，(3，9)．根据已知，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3≤－3a ＋3≤3a ＋9，3a －3≤3a －3≤3a ＋9，3a －3≤3a ＋9≤3a ＋9.解得－1≤a≤1.(2)该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×3－13×12×2×1×3＝12－1＝11. 【高考真题解读】1．[2015·安徽卷] 已知数列{a n }是递增的等比数列．a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【答案】2n －12．[2015·福建卷] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，2]【解析】函数f(x)的大致图像如图所示．∵当x≤2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴要使f(x)在R 上的值域是[4，＋∞)， 只需当x >2时，f (x )∈[4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4， 解得1<a ≤2.3．[2015·山东卷] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 【答案】1【解析】∵y ＝tan x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，∴y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为tan π4＝1.又∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.4．[2015·四川卷] 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．【答案】120【解析】由题意知，万位上排4时，有2×A 34个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A 34个，故共有5×A 34＝120(个)．5．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【答案】－146．[2014·陕西卷改编] 设函数f(x)＝ln x ＋mx ，m ∈R .若对任意b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，则m 的取值范围是________．【答案】[14，＋∞) 【解析】对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立，∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立，∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 7．[2015·湖北卷改编] 已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则AB 中元素的个数为________．【答案】45方法二：x1的取值为－1，0，1，x2的取值为－2，－1，0，1，2，x1＋x2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3；同理y1＋y2的不同取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.当x1＋x2＝－3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，同理，x1＋x2＝3时，y1只能等于零，此时y1＋y2≠±3，多出2个，共多出4个．所以A⊕B中元素的个数为7×7－4＝45.。

思想方法训练4 转化与化归思想一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2<a<22.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.C.D.3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.[-1,0]C.[0,1]D.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.45.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.47.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-2ax2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是()A.B.C.D.12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为()A.+1B.C.D.13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是.14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.15.已知函数f(x)=eln x,g(x)=f(x)-(x+1)(e=2.718……).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).思想方法训练4转化与化归思想一、能力突破训练1.C解析M∩N=⌀等价于方程组无解.把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0, ①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.D解析由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-b3.A解析设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.4.C解析设P(x,y),则x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+=1+当m=0时,d max=3.5.A解析设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.C解析因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.(-13,13)解析若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.(-2,6)解析f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.解g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,∴m+4-3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4-3x在x∈(t,3)内恒成立,则m+4-9,即m≤-故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.10.解 (1)由题意知当a=0时,f(x)=x3-3x,所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a在x∈(0,+∞)时恒成立.设g(x)=,则g'(x)=,当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,故实数a的取值范围为二、思维提升训练11.B解析显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.=sin∠PAB.设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得C(1,2),|AC|=2∴sin∠BAC=,的最小值为故应选B.12.A解析如图,取F2P的中点M,则=2又由已知得2=0,即=0,又OM为△F2F1P的中位线,在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.13.[3,+∞)解析由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在区间[0,1]上有实数解.又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,所以g(x)∈[3,+∞).故所求实数a的取值范围是a≥3.14.(-4,0)解析将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.15.(1)解∵g(x)=f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x)=-1(x>0).令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),则>ln=ln,∴1>ln 2,>ln>ln,…,>ln,叠加得1++…+>ln=ln(n+1).。

专题能力训练24转化与化归思想一、选择题1。

方程sin2x+cos x+k=0有解,则k的取值范围是( ）A.—1≤k≤54B.-54≤k≤0C。

0≤k≤54D。

-54≤k≤1答案：D解析：求k=—sin2x-cos x的值域.k=cos2x-cos x-1=(cosx-12)2−54。

当cos x=12时,k min=-54,当cos x=—1时，k max=1，∴-54≤k≤1,故选D.2。

方程m+√1-x=x有解，则m取得最大值( ）A。

1 B.0C。

—1 D.—2答案:A解析:由原式得m=x—√1-x,设√1-x=t(t≥0),则x=1-t2.∴m=1-t2-t=54−(t+12)2。

∵m=54−(t+12)2在[0，+∞）上是减函数，∴t=0时，m的最大值为1.3。

过双曲线x2a2−y2b2=1上任意一点P，引与实轴平行的直线,交两渐近线于R，Q两点，则PR⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ）A。

a2B。

b2C。

2ab D。

a2+b2答案:A解析：当直线RQ与x轴重合时，｜PR⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=a,故选A。

4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )A。

245B。

285C。

5 D.6答案：C解析:∵x〉0,y〉0,由x+3y=5xy,得15(1y+3x)=1。

∴3x+4y=15(3x+4y）(1y+3x)=15(3xy+4+9+12yx)=135+15(3xy+12yx)≥135+15×2√3xy·12yx=5（当且仅当x=2y时取等号），∴3x+4y的最小值为5.5。

设F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的左,右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）·F2P⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,O为坐标原点,且|PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=√3|PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则该双曲线的离心率为（)A.√3+1B.√3+12C.√6+√2D。

【高考调研】（新课标）2016届高考数学二轮专题复习 第一部分 论方法 专题4 转化与化归思想作业4 理一、选择题1．(2015·武汉调研)设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )A ．3B ．9C ．12D ．18答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，则A ，B ，C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F (0,3)，准线方程为y ＝－3.因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.又根据抛物线的定义可得|FA |＝y 1－(－3)＝y 1＋3， |FB |＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC |＝y 3－(－3)＝y 3＋3，所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18.2．(2015·唐山调研)已知点F 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则当|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为( )A ．(－2，0)B ．(0，－1)C ．(43，13)D ．(2，0)答案 B解析 由题意知椭圆的左焦点为F (－1,0)，设椭圆的右焦点为E ，则E (1,0)，根据椭圆的定义，知|PF |＝22－|PE |，所以|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋22－|PE |＝22＋(|PQ |－|PE |)，易知|PQ |－|PE |≤|QE |，当且仅当P 是QE 的延长线与椭圆的交点，即P 的坐标为(0，－1)时，等号成立，故|PQ |＋|PF |的最大值为22＋|QE |＝22＋32＝52，此时点P 的坐标为(0，－1)．3．(2015·南昌调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4b －1＋16a －1a －1b －1＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )(1a ＋1b)＝20＋4(b a＋4ab)≥20＋4×2b a ·4ab＝36， 当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 4．若α、β∈[－π2，π2]，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2答案 D解析 令f (x )＝x sin x ，∵x ∈[－π2，π2]，f (x )为偶函数，且当x ∈[0，π2]时，f ′(x )≥0，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，在[－π2，0]上为减函数．∴αsin α－βsin β>0⇔f (|α|)>f (|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2.5．(2015·九江模拟)在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，点D 满足2BD →＝3DC →，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝( )A ．－85B.95 C.85 D ．－95答案 D解析 因为2BD →＝3DC →，所以BD →＝35BC →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋35BC →＝AB →＋35(AC →－AB →)＝35AC→＋25AB →.所以AD →·BC →＝(35AC →＋25AB →)·BC →＝(35AC →＋25AB →)·(AC →－AB →)＝35AC →2－15AB →·AC →－25AB →2＝35×22－15×2×3×cos60°－25×32＝－95.6．(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.7．(2015·广州调研)棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a 33B.a 34 C.a 36 D.a 312答案 C解析 所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为22a ，高为正方体边长的一半， ∴V ＝2×13(22a )2·a 2＝a36.8．(2015·保定模拟)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D 解析方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图像有两个不同的交点．因为当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，所以f (x )＝1x ＋1－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，1x ＋1－1，x ∈－1，0.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )，x ∈(－1,1]的图像，由图像可知，当直线y ＝m (x ＋1)与函数f (x )的图像在区间(－1,1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为(0，12]．二、填空题9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案22解析 由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直线l 的距离最大，所以当圆心(2,0)与点(1，2)的连线与直线l 垂直时，弦长最短．此时直线l 的斜率k ＝22. 10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________. 答案 45解析 如图所示，设过点M (3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，代入y 2＝2x 并整理，得k 2x 2－(23k 2＋2)x ＋3k 2＝0.则x 1＋x 2＝23k 2＋2k2. 因为|BF |＝2，所以|BB ′|＝2.不妨设x 2＝2－12＝32是方程的一个根，可得k 2＝332－32，所以x 1＝2.S △BCF S △ACF ＝12|BC |·d12|AC |·d ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝22＋12＝45. 11．(2015·山西四校联考)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)，且f (π4)＝f (－π12)，则函数f (x )图像的对称轴为________．答案 x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析 易知函数f (x )的最小正周期为π，而f (π4)＝f (－π12)，所以f (x )图像的一条对称轴为x ＝π12，故函数f (x )的图像的对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．12．(2015·河北五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )>0，则不等式xf (x )<0的解集是________．答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 显然x ≠0，故不等式xf (x )<0与不等式f x x <0同解．记g (x )＝f xx，可知g (x )是奇函数，且当x >0时，g ′(x )＝xf ′x －f xx 2>0，此时g (x )为增函数，又g (2)＝f 22＝0，所以不等式g (x )＝f xx<0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)，即不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．13．(2015·衡水月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，设P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2的外角平分线所在的直线为l ，过F 1，F 2分别作l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当P 在椭圆上运动时，R ，S 所形成的图形的面积为________．答案 πa 2解析如图，△PF 1M 中，PR ⊥F 1M 且PR 是∠F 1PM 的平分线，所以|MP |＝|F 1P |，可得|PF 1|＋|PF 2|＝|PM |＋|PF 2|＝|MF 2|，根据椭圆的定义，可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，即动点M 到点F 2的距离为定值2a ，因为R 为F 1M 的中点，O 为F 1F 2的中点，所以R 的轨迹是以点O为圆心，半径为a 的圆．同理点S 的轨迹是以点O 为圆心，半径为a 的圆．故R ，S 所形成的图形的面积为πa 2.三、解答题14．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan2α的值； (2)求β.解析 (1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－432＝－8347.(2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.所以β＝π3.15．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，且(a －c )·(b －2c )＝0，求|b －c |的最小值．解析方法一 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段OB 中点，则OD →＝12b ，CD →＝12b －c ，CA→＝a －c ，由题意可知(a －c )⊥(12b －c )，即∠ACD ＝90°，可知点C 的轨迹是以Q 为圆心，以AD 为直径的圆．又|b －c |＝|CB →|，问题转化为求定点B 与圆上动点C 距离的最小值．而|b －c |最小值为BQ －r .给出计算：半径r ＝12|12b －a |＝32，又因为OQ →＝12(OA →＋OD →)＝12(a ＋12b )，故|BQ →|＝|OQ →－OB →|＝|12a －34b |＝72，所以|b －c |min ＝7－32. 方法二 0＝(a －c )·(12b －c )＝[(b －c )－b 2]·[(b －c )＋(a －b )]＝(b －c )2＋(b －c )·(a －32b )－b 2·(a －b )＝|b －c |2＋|b －c ||a －32b |cos α－12(a ·b －b 2)，易得|a －32b |＝7，令|b －c |＝x (x >0)，原式＝x 2＋7x cos α＋1＝0，故cos α＝－x 2＋17x.又由cos α∈[－1,1]得x 2－7x ＋1≤0，得7－32≤x ≤7＋32.所以|b －c |min ＝7－32. 16．(2015·福建八县联考)已知x ∈R ，函数f (x )＝2x ＋k ·2－x，k ∈R .(1)若函数f (x )为奇函数，且f (2m ＋1)＋f (m 2－2m －4)>0，求实数m 的取值范围； (2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )>2－x成立，求实数k 的取值范围． 解析 (1)∵函数f (x )为奇函数且x ∈R ，∴f (0)＝0，即20＋k ×20＝0，解得k ＝－1，∴f (x )＝2x －2－x. ∵f ′(x )＝2x ln2＋2－x ln2＝(2x ＋2－x)ln2>0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∵f (2m ＋1)＋f (m 2－2m －4)>0，即f (2m ＋1)>f [－(m 2－2m －4)]， ∴2m ＋1>－(m 2－2m －4)， ∴m <－3或m > 3.(2)∵∀x ∈[0，＋∞)，2x ＋k ·2－x >2－x ，即22x＋k >1，∴k >1－22x对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴k >(1－22x )max .又∵t ＝1－22x ＝1－4x在[0，＋∞)上单调递减， ∴t ≤1－40＝0，∴k >0.17．(2015·北京房山期末)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为22，且抛物线y 2＝42x 的焦点是椭圆M 的一个焦点．(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点．求点O 到直线l 的距离的最小值．解析 (1)由题意，抛物线的焦点为(2，0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则c ＝2，由e ＝22，得a ＝2，所以b 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋m ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－4)＝8(2＋4k 2－m 2)>0.①设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2， 由于点P 在椭圆M 上，所以x 204＋y 202＝1.从而4k 2m21＋2k22＋2m21＋2k22＝1，化简，得2m 2＝1＋2k 2，经检验满足①式． 又因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2＝12＋k 21＋k2＝1－121＋k2≥1－12＝22.当且仅当k ＝0时等号成立．当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为(－2,0)或(2,0)，直线l 的方程为x ＝±1，所以点O 到直线l 的距离为1.所以点O 到直线l 的距离最小值为22.。

思想方法训练4 转化与化归思想思想方法训练第8页一、能力突破训练1.已知M={(x ,y )|y=x+a },N={(x ,y )|x 2+y 2=2},且M ∩N=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.a>2 B.a<-2 C.a>2或a<-2 D.-2<a<2 答案:C解析:M ∩N=⌀等价于方程组{y =x +a ,x 2+y 2=2无解.把y=x+a 代入到方程x 2+y 2=2中,消去y ,得到关于x 的一元二次方程2x 2+2ax+a 2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a )2-4×2×(a 2-2)<0,由此解得a>2或a<-2. 2.已知e 1,e 2是两个单位向量,且夹角为π3,则e 1+t e 2与t e 1+e 2的数量积的最小值为( ) A.-32 B.-√36C .12D .√33答案:A解析:∵(e 1+t e 2)·(t e 1+e 2)=t e 12+(t 2+1)e 1·e 2+t e 22=t |e 1|2+(t 2+1)|e 1||e 2|cos π3+t |e 2|2=12t 2+2t+12=12(t+2)2-32,∴当t=-2时,可得最小值为-32.3.设P 为曲线C :y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 横坐标的取值范围为( ) A .[-1,-12] B .[-1,0]C .[0,1]D .[12,1]答案:A解析:设P (x 0,y 0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f (x )=x 2+2x+3,f'(x )=2x+2, 0≤2x 0+2≤1,-1≤x 0≤-12,故选A.4.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:设P(x,y),则{x=cosθ,y=sinθ,x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+√2=1+√2.当m=0时,d max=3.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x ∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.已知函数f(x)=ax3+b sin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=()A.-5B.-1C.3D.4答案:C解析:因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg(lg10lg2×lg2)=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+b sin t+4=5,所以at3+b sin t=1,所以f(-t)=-at3-b sin t+4=-1+4=3.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案:(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d=√22=|c|13,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.已知函数f(x)=m2sin 2x+√3m cos2x-√32m+n(m>0).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)设x ∈[0,π2],f (x )的最小值是1-√3,最大值是3,求实数m ,n 的值. 解:(1)f (x )=m2sin 2x+√3m cos 2x-√32m+n =m2sin 2x+√32m (2cos 2x-1)+n =m (12sin2x +√32cos2x)+n=m sin (2x +π3)+n.∵m>0,∴由2k π+π2≤2x+π3≤2k π+3π2,k ∈Z , 即k π+π12≤x ≤k π+7π12,k ∈Z ,可知函数f (x )的单调递减区间为k π+π12,k π+7π12,k ∈Z . (2)当x ∈[0,π2]时,2x+π3∈[π3,4π3],则-√32≤sin (2x +π3)≤1.∵f (x )的最小值是1-√3,最大值是3,∴f (x )的最大值为m+n=3,最小值为-√32m+n=1-√3,得m=2,n=1. 10.已知函数f (x )=23x 3-2ax 2-3x.(1)当a=0时,求曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程;(2)已知对一切x ∈(0,+∞),af'(x )+4a 2x ≥ln x-3a-1恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)由题意知当a=0时,f (x )=23x 3-3x ,所以f'(x )=2x 2-3. 又f (3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f (x )在点(3,f (3))处的切线方程为15x-y-36=0. (2)f'(x )=2x 2-4ax-3,则由题意得2ax 2+1≥ln x ,即a ≥lnx -12x 2在x ∈(0,+∞)时恒成立.设g (x )=lnx -12x 2,则g'(x )=3-2lnx 2x 3,当0<x<e 32时,g'(x )>0;当x>e 32时,g'(x )<0, 所以当x=e 32时,g (x )取得最大值,且g (x )max =14e ,故实数a 的取值范围为[14e 3,+∞).二、思维提升训练11.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P (x ,y )为抛物线上的动点,又点A (-1,0),则|PF ||PA |的最小值是( ) A .12B .√22C .√32D .2√33答案:B解析:显然点A 为准线与x 轴的交点,如图,过点P 作PB 垂直准线于点B ,则|PB|=|PF|.∴|PF ||PA |=|PB ||PA |=sin ∠PAB.设过A 的直线AC 与抛物线切于点C ,则0<∠BAC ≤∠PAB ≤π2,∴sin ∠BAC ≤sin ∠PAB.设切点为(x 0,y 0),则y 02=4x 0,又y 0x+1=y'|x=x 0=√x ,解得{x 0=1,y 0=2,∴C (1,2),|AC|=2√2.∴sin ∠BAC=2√2=√22,∴|PF ||PA |的最小值为√22.故应选B.12.设F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,O 为坐标原点,且|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则该双曲线的离心率为( ) A .√3+1 B .√3+12C .√6+√2D .√6+√22答案:A解析:如图,取F 2P 的中点M ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又由已知得2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又OM 为△F 2F 1P 的中位线,∴F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PF 1F 2中,2a=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(√3-1)|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由勾股定理,得2c=2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴e=3-1=√3+1.13.已知各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足a n ,b n ,a n+1成等差数列,b n ,a n+1,b n+1成等比数列,且a 1=1,a 2=3,则数列{a n }的通项公式为 . 答案:a n =n 2+n 2解析:由题设可得2b n =a n +a n+1,a n+1=√n b n+1故a n =√n -1b n ,代入2b n =a n +a n+1, 得2b n =√n b n -1+√b n b n+1即2√n =√b n -1+√b n+1则{√n }是等差数列.∵a 1=1,a 2=3,∴2b 1=4,即b 1=2.∴b 2=a 22b 1=92.∴{√n }的公差d=√b 2−√b 1=3√22−√2=√22, ∴√b n =√2+(n-1)√22=√2(n+1)2, 即√b n =√2∴√b n+1=√2.∴a n+1=√b n b n+1=(n+1)(n+2)2.∴a n =n (n+1)2.14.已知f (x )=m (x-2m )(x+m+3),g (x )=2x -2,若∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,则m 的取值范围是 . 答案:(-4,0)解析:将问题转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0的解集的子集求解.∵g (x )=2x -2<0,∴x<1.又∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0,∴[1,+∞)是f (x )<0的解集的子集. 又由f (x )=m (x-2m )(x+m+3)<0知m 不可能大于等于0,因此m<0. 当m<0时,f (x )<0,即(x-2m )(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f (x )<0的解集为{x|x ≠-2},满足题意; 若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f (x )<0的解集为{x|x>2m 或x<-m-3}, 依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f (x )<0的解集为{x|x<2m 或x>-m-3}, 依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满足条件的m 的取值范围是-4<m<0. 15.已知函数f (x )=eln x ,g (x )=1e f (x )-(x+1)(e =2.718……). (1)求函数g (x )的极大值;(2)求证:1+12+13+…+1n >ln(n+1)(n ∈N *).答案:(1)解∵g (x )=1e f (x )-(x+1)=ln x-(x+1),∴g'(x )=1x -1(x>0).令g'(x )>0,解得0<x<1;令g'(x )<0,解得x>1.∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴g (x )极大值=g (1)=-2.(2)证明由(1)知x=1是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,∴g (x )≤g (1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x ≤x-1(当且仅当x=1时等号成立). 令t=x-1,得t ≥ln(t+1),取t=1n (n ∈N *), 则1n >ln (1+1n )=ln (n+1n ),∴1>ln 2,12>ln 32,13>ln 43,…,1n >ln (n+1n),叠加得1+12+13+…+1n >ln (2×32×43×…×n+1n)=ln(n+1).。