人教版六年级下册数学正比例和反比例 正比例

正比例与反比例★知识概要一、正比例1、知识点归纳总结：前提：必须是两个相关的量。

要求：一种量变化，另一种量也随着变化。

具体表现是：这两种量中相对应的两个数的比值（即商）一定。

结论：这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系就叫做正比例关系。

字母表示法：设x与y是两种相关联的量，k是x与y的比值（定值），则x/y=k（一定）或y/x=k（一定）。

正比例的判断方法：（2步）（1）先判断这两种量是不是相关联的量（什么叫相关联的量？），一种量是不是随着另一种量的变化而变化。

（2）再判断这两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定，若一定，则这两种量是成正比例，否则就不成正比例。

注意:例如12÷4=3这种情况，不能说12和4成反比例关系，因为成正比例关系的必须是两个量，可以取不同数值的两个量，不能是具体的数字。

3、正比例的图像特点：正比例的图像时一条经过原点的直线。

二、反比例：1、知识点归纳总结：前提：必须是两个相关的量。

要求：一种量变化，另一种量也随着变化。

具体表现是：这两种量中相对应的两个数的乘积一定。

结论：这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系就叫做反比例关系。

字母表示法：设x与y是两种相关联的量，k是x与y的乘积（k为定值），则xy=k（一定）。

2、反比例的判断方法：（2步）（1）先判断这两种量是不是相关联的量，一种量是不是随着另一种量的变化而变化。

（2）再判断这两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定，若一定，则这两种量是成反比例，否则就不成反比例。

注意:例如3×4=12这种情况，不能说3和4成反比例关系，因为成反比例关系的必须是两个量，可以取不同数值的两个量，不能是具体的数字。

★ 精讲精练例1、判断（1）如果3x=8y ，其中x 和y 均不为0，那么y 与x 成正比例。

（ √ ）（2）黄豆的出油率一定，榨出豆油的重量和所需要的黄豆的重量成正比例（ √ ）（3）装订每个练习本所用纸的页数一定，装订的本数和所需要的纸的总张数成正比例。

人教版小学六年级数学下册知识点_数学知识点人教版小学六年级数学下册知识点一：比例1.理解比例的意义和基本性质，会解比例。

2.理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。

3.认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。

4.了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。

5.认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。

6.渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。

7.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

如：2：1=6：8.组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

9.比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

例如：由3：2=6：4可知3×4=2×6；或者由x×1。

5=y×1。

2可知x：y=1.2：1.5。

10.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

例如：3：x=4：8，内项乘内项，外项乘外项，则：4x=3×8，解得x=6。

11.正比例和反比例：（1）成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k（一定）例如：①速度一定，路程和时间成正比例；因为：路程÷时间=速度（一定）。

②圆的周长和直径成正比例，因为：圆的周长÷直径=圆周率（一定）。

③圆的面积和半径不成比例，因为：圆的面积÷半径=圆周率和半径的积（不一定）。

④y=5x，y和x成正比例，因为：y÷x=5（一定）。

正比例和反比例的课堂讲义教材导入：1.两种相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。

2.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

高度和底面积是成反比例的量，高度与底面积成反比例关系。

（一）正比例的意义例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表：填空：1、表中有和两种量，当时间是1小时，路程是当时间是2小时，路程是，这说明时间这种量变化了，路程这种量也。

2、观察表格：我们从左往右观察，时间扩大2倍，对应的路程也倍，时间扩大3倍，对应的路程也倍……从右往左观察，时间缩小8倍，对应的路程也；时间缩小7倍，对应的路程也……通过观察，我们发现路程是随着的变化而变化的。

时间扩大路程也扩大，时间缩小路程也。

它们扩大、缩小的规律是。

3、比值60，实际上是火车的：将这些式子所表示的意义写成一个关系式：路程＝速度(—定)。

时间4、小结：通过刚才的观察和分析．我们知道路程和时间是两种 的量。

(两种相关联的量。

)路程和时间这两种量的变化规律是 。

(路程和时间的比的比值(速度)总是一定的。

)【规律方法】理解成正比例的意义。

判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。

不要省去任何一步。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：xy= K （一定）。

【变式训练1】【难度分级】 A1、下面各题中哪两种量成正比例?为什么? ①笔记本单价一定，数量和总价。

②汽车行驶速度一定，行驶的路程和时间。

③工作效率一定，工作时间和工作总量。

六年级下册数学教案《 4.2.正比例和反比例第1课时正比例》人教版一. 教材分析《4.2.正比例和反比例》是人教版六年级下册数学的教学内容。

这部分内容主要让学生理解正比例和反比例的概念，能够辨识生活中的正比例和反比例关系，并运用比例知识解决实际问题。

本节课是这一单元的第一课时，重点是让学生掌握正比例的定义和判断方法。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

他们在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、交流等活动，理解正比例的概念，掌握正比例的判断方法。

同时，学生在生活中已经积累了一些关于比例的经验，为本节课的学习奠定了基础。

三. 教学目标1.让学生理解正比例的概念，能够判断两个相关联的量之间成正比例。

2.培养学生运用比例知识解决实际问题的能力。

3.激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识。

四. 教学重难点1.重点：掌握正比例的定义和判断方法。

2.难点：辨识生活中的正比例关系，运用比例知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用情境导入法，激发学生的学习兴趣。

2.运用实例分析法，让学生直观地理解正比例的概念。

3.采用合作交流法，培养学生的团队协作能力。

4.运用练习巩固法，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT或黑板。

2.准备一些生活中的实例，用于讲解正比例关系。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT或黑板展示一些生活中的图片，如行驶的汽车、升空的火箭等，引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中的物体有什么共同的特点？”让学生思考并回答，从而引出本节课的主题——正比例。

2.呈现（10分钟）讲解正比例的概念，并通过实例让学生直观地理解正比例关系。

例如，讲解速度、时间和路程之间的关系，引导学生判断它们是否成正比例。

同时，让学生举例说明生活中其他的正比例关系。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出生活中的一个正比例关系，并运用所学的判断方法进行验证。

第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。

要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。

如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。

2.正比例关系的图像。

正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。

3.反比例的意义。

（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。

4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。

关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。

如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。

【诊断自测】1.填空。

（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。

（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。

（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。

（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。

2.选择。

（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。

A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。

B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。

C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。

（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。

A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。

正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：()一定k xy= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。

工总工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量 路程时间＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。

（2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？ （1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。

（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）若符合()一定k xy=，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。

【典型例题】题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。

六年级下册数学教案：正比例和反比例——人教新课标教学目标知识与技能1. 理解正比例和反比例的概念：使学生能够正确区分两种相关联的量是否成正比例或反比例。

2. 掌握判断方法：培养学生通过观察、计算和分析，判断两种量成正比例还是反比例的能力。

3. 解决实际问题：运用正、反比例的知识解决生活中的实际问题。

过程与方法1. 观察与抽象：通过实例观察，引导学生抽象出正比例和反比例的数学模型。

2. 合作学习：鼓励学生进行小组讨论，共同探究正、反比例的特点和判定方法。

3. 应用拓展：通过练习和案例分析，使学生能够将所学知识应用到更广泛的领域。

情感态度与价值观1. 培养数学兴趣：通过生动的实例和有趣的活动，激发学生对数学学习的兴趣。

2. 培养合作意识：通过小组合作，培养学生团队协作和沟通的能力。

3. 培养探究精神：鼓励学生主动探索、发现和解决问题，培养其科学探究的精神。

教学内容第一课时：正比例的意义和性质一、导入- 利用生活实例引入正比例概念，如身高与体重的关系。

二、新课讲解- 定义：明确正比例的定义，即两个量的比值保持不变。

- 性质：介绍正比例的基本性质，如若一个量增加，另一个量也按比例增加。

三、例题演示- 通过例题，展示如何判断两种量是否成正比例，并解释判断的依据。

四、课堂练习- 设计练习题，让学生独立完成，巩固对正比例概念的理解。

第二课时：反比例的意义和性质一、复习导入- 复习正比例的知识，并引出反比例的概念。

二、新课讲解- 定义：明确反比例的定义，即两个量的乘积保持不变。

- 性质：介绍反比例的基本性质，如若一个量增加，另一个量按比例减少。

三、例题演示- 通过例题，展示如何判断两种量是否成反比例，并解释判断的依据。

四、课堂练习- 设计练习题，让学生独立完成，巩固对反比例概念的理解。

第三课时：正、反比例的应用一、复习导入- 复习正比例和反比例的知识，并强调其应用的重要性。

二、案例分析- 分析实际生活中的例子，如行程问题，让学生理解正、反比例在解决实际问题中的应用。

六年级下册数学教学设计：正比例和反比例的意义——人教新课标一、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解正比例和反比例的概念，掌握正比例和反比例的判断方法，并能够运用这些概念解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳和推理，学生能够培养数学思维和解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生合作学习的意识和探究精神。

二、教学内容1. 正比例的概念：如果两个相关联的量的比值（也就是商）一定，那么这两个量就成正比例。

2. 反比例的概念：如果两个相关联的量的乘积一定，那么这两个量就成反比例。

三、教学重点与难点1. 重点：掌握正比例和反比例的判断方法，能够运用这些概念解决实际问题。

2. 难点：理解正比例和反比例的内涵，能够准确判断两个量之间的关系。

四、教学过程1. 导入- 利用生活实例引入正比例和反比例的概念，如“一辆汽车行驶的距离与所需时间的关系”。

- 提问：这两个量之间有什么关系？如何判断两个量之间的关系？2. 探究正比例- 活动一：让学生观察并记录数据，如汽车行驶的距离与时间。

- 活动二：引导学生计算距离与时间的比值，观察是否有规律。

- 活动三：总结正比例的概念，并给出判断正比例的方法。

3. 探究反比例- 活动一：让学生观察并记录数据，如一块土地的面积与所需种子数量。

- 活动二：引导学生计算面积与种子数量的乘积，观察是否有规律。

- 活动三：总结反比例的概念，并给出判断反比例的方法。

4. 实践应用- 任务一：给出一些实际问题，让学生判断两个量之间是正比例还是反比例。

- 任务二：让学生自己设计一个问题，并解答。

5. 总结与反思- 让学生回顾所学内容，总结正比例和反比例的判断方法。

- 引导学生反思学习过程，提高学习效率。

五、教学评价1. 过程性评价：观察学生在探究活动中的表现，如观察数据、计算比值、总结规律等。

2. 终结性评价：通过课后作业、小测验等方式，检查学生对正比例和反比例的理解和应用能力。