点直线平面之间的位置关系练习题含答案

空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()图7－3－74．(2013·揭阳模拟)如图7－3－7，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A.55B.255C.12D．25．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC二、填空题图7－3－86．(2013·深圳质检)如图7－3－8是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．7．(2013·韶关模拟)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．图7－3－98．如图7－3－9所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．三、解答题图7－3－109．如图7－3－10所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．图7－3－1110．如图7－3－11所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1A，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．图7－3－1211．如图7－3－12，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A—EBC的体积．解析及答案一、选择题1．【解析】①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．【答案】B2．【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C3．【解析】在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与QR为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】D4．【解析】如图，取AC中点G，连FG、EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝12BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝FGFE＝25＝255.【答案】B5．【解析】由公理1知，命题A正确．对于B，假设AD与BC共面，由A正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论B正确．对于C，如图，当AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小变化时，AD与BC不一定相等，故不正确．对于D，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BC⊥AE，BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.故D正确．【答案】C二、填空题6．【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.【答案】②③④7．【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．【答案】①8．【解析】取A1C1的中点D1，连接B1D1，因为D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.所以cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，所以∠AB1D1＝60°.【答案】60°三、解答题9．【解】在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD 的交线．如图所示．10．【证明】如图所示，取B1B的中点G，连接GC1，EG，∵GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴FB∥C1G，且FB＝C1G，∵D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴四边形D1C1GE为平行四边形．∴GC1∥D1E，且GC1＝D1E，∴FB∥D1E，且FB＝D1E，∴四边形EBFD1为平行四边形．又∵FB＝FD1，∴四边形EBFD1是菱形．11．【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝2＋2－32×2×2＝14.(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA＝1，V A—EBC＝V E—ABC＝13×34×4×1＝33.。

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面练习1.判断下列命题是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.（1）书桌面是平面.（2）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.（3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.【答案】（1）×；（2）×；（3）√.【解析】【分析】根据平面性质可知（1）错误，根据公理2知（2）错误，根据公理3可判断（3）正确.【详解】（1）由平面性质知，平面具有无限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面；（2）根据公理2可知，若两个平面有一个共点，则有过该点的唯一交线，可知有无限个公共点，且在一条直线上，故判断错误；根据公理3，不共线的三个点确定一个平面，因此两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，正确.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质，属于容易题.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.3.不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论.【答案】4个【解析】【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数.【详解】可确定4个平面，如图：由不共线的三个点确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC ,平面ACD ,平面ABD ,平面BCD ，共4个平面.【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形：（1）点A 在平面α内，点B 在平面α外；（2）直线a 经过平面α外的一点M ；（3）直线a 既在平面α内，又在平面β内.【答案】（1）,A B αα∈∉，如图.（2）,M M a α∉∈，如图.（3）,a a αβ⊂⊂，如图.【解析】【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可.【详解】（1）,A B αα∈∉，如图：（2）,M M a α∉∈，如图：（3）,a a αβ⊂⊂或=a αβI ，如图：【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系例1：如图8.4-16，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中， l αβ= ，a A α= ，a B β⋂=.在（2）中，l αβ= ，a α⊂，b β⊂，a l P = ，b l P = ，a b P = .例2：如图8.4-17，AB B α⋂=，A αÏ，a α⊂，B a ∉.直线AB 与a 具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB 与a 是异面直线.理由如下.若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B β∈，a β⊂.由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α⊂，进而A α∈，这与A αÏ矛盾.所以直线AB 与a 是异面直线.练习5.如果两条直线a 与b 没有公共点，那么a 与bA.共面B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线a 与b 的位置关系.【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则a 与b 平行或异面.故选：D.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.6.设直线a b ，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a 与b （）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】按直线的三种位置关系分析．【详解】如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，当'A B 所在直线为a ，BC '所在直线为b 时，a 与b 相交；当'A B 所在直线为a ，B C '所在直线为b 时，a 与b 异面.故选：D.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．7.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，判定直线AB 与AC ，直线AC 与A C ''，直线A B '与AC ，直线A B '与C D '的位置关系.【答案】见解析【解析】【分析】按直接的三种位置关系判断．【详解】解：直线AB 与AC 相交；直线AC 与A C ''平行；直线A B '与AC 异面；直线A B '与C D '异面.【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题．8.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α.（）（2）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行.（）（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.（）（4）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√【解析】【分析】（1）举反例说明；（2）分析三种位置关系的可能性．由线面平行的性质定理得平行线，平面内与这平行相交的直线，与平面外的那条直线异面；（3）把与平行平行的直线平移，观察与平面的位置关系；（4）由线面平行的定义判断．【详解】（1）当直线1与平面α相交时，直线1上也有无数个点不在平面α内；（2）也可能异面；（3）也可能直线在平面内；（4）∵1∥a ，∴l 与α没有公共点，∴l 与α内任意一条直线都没有公共点.答案：（1）×（2）×（3）×（4）√【点睛】本题考查线面平行的定义与性质．掌握线面平行的定义是解题基础．9.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊂，b β⊂，//αβ．判断直线,a b 的位置关系，并说明理由．【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【解析】【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ，直线,a b 分别在平面α，β内，可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点，那么这个点也是平面α，β的公共点，这与是平面α，β平行矛盾．因此直线,a b 不相交，它们是平行直线或异面直线．习题8.4复习巩固10.画出满足下列条件的图形：（1）,,,a b a b A c A ααα⊂⊂⋂=⋂=；（2）,,,//,//l AB CD AB l CD lαβαβ⋂=⊂⊂【答案】见解析【解析】【分析】由题意直接画图即可.【详解】如图【点睛】本题主要考查的是空间图形的画法，直线和平面的位置关系，基本知识的考查，是基础题.11.经过同一条直线上的3个点的平面A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数多个D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据平面的性质，直接判定即可得出结果.【详解】经过一条直线可以作无数多个平面.故选：C.【点睛】本题主要考查由线确定平面的数量，熟记基础题型.12.若直线a 不平行于平面α且a α⊄，则下列结论成立的是A.平面α内的所有直线与a 异面B.平面α内不存在与a 平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a 平行D.平面α内的直线与a 都相交【答案】B【解析】【分析】由题意知直线a 与平面α相交，依次判断选项即可.【详解】解:由条件知直线a 与平面α相交，则平面α内的直线与a 可能相交，也可能异面.不可能平行故选:B.【点睛】本题考查判断直线与平面相交，属于基础题.13.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”（1）两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.（）（2）四边形可以确定一个平面.（）（3）若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是异面直线.（）【答案】①.√②.×③.×【解析】【分析】根据空间中的平面公理与推理，以及异面直线的定义，对命题进行判断即可.【详解】对于(1)，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面，(1)正确；对于(2)，当四边形是空间四边形时不能确定一个平面，(2)错误；对于(3)，若a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，且,a b αβ⊂⊂，则a ，b 是平行、相交、异面直线，(3)错误.【点睛】本题主要考查的是平面公理与推论的应用问题以及异面直线的判定，是基础题.14.填空题（1）如果a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．【答案】①.2②.直线平行于平面或直线在平面内③.//b α或b 与α相交【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系；（3）利用图形可判断b 与α的位置关系.【详解】（1）因为a 、b 是异面直线，直线c 与a 、b 都相交，则c 与a 、c 与b 可分别确定一个平面，故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知//αβ，//a α，则//a β（如图1），a β⊂（如图2）.（3）已知两条相交直线a 、b ，且//a 平面α，如下图所示：如图3所示，可知//b α，如图4所示，b 与α相交.故答案为：（1）2；（2）直线与平面平行或直线在平面内；（3）//b α或b 与α相交.15.正方体各面所在平面将空间分成几部分？【答案】27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分，同理中层、下层也分别把空间分成9个部分，因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题.综合运用16.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？请说说你的理由.【答案】共面，理由见解析【解析】【分析】先说明两条平行直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内即可.【详解】共面.两条平行直线确定唯一的平面，又第三条直线与两条平行直线都相交，第三条直线有两个点在此平面内，则第三条直线也在这个平面内，所以这三条直线共面.【点睛】本题主要考查的线共面的判定，以及学生对平面基本性质的理解和应用，是基础题.17.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？【答案】三条直线两两平行且不共面，一共可以确定三个平面；如果三条直线相交于一点，则最多可以确定三个平面.【解析】【分析】这三条直线象三棱柱的三条侧棱根据平面的基本性质可以确定3个平面，得到结果；满足相交于一点的三条直线能够确定一个平面或三个平面，从而得出其最多可以确定几个平面.【详解】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则可以确定3个平面；②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定1个平面；当这三条直线不在同一个平面时，则可以确定3个平面；这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定3个平面.【点睛】本题考查查平面的基本性质及其应用，考查进行简单的合情推理，本题是一个推论应用问题，是一个基础题.18.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明.【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.拓广探索19.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【解析】【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断.【详解】还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD.【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题.20.在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法，类似地，直线有什么基本特征？如何刻画直线的这些基本特征？【答案】答案见解析.【解析】【分析】写出直线的特点：直的，无限延伸，无粗细，不可以测量长度，再指出直线的对称性即可.【详解】直线的基本特征：直线是直的，没有粗细，没有端点，可以向两端无线延展、不可以测量长度；刻画直线的基本特征：直线是轴对称图形，它有无数条对称轴，直线本身以及与它垂直的直线都是它的对称轴.变式练习题21.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，点G，H分别在边CD，DA上，且满足12CG GD，DH＝2HA.求证：四边形EFGH为梯形．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用条件证明,EF HG互相平行，且不相等即可证得四边形为梯形.【详解】证明：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF12AC = .又21DHHA=，21DGGC=，所以DH DGHA GC=，从而HG23AC=，所以EF∥HG且EF≠HG，故四边形EFGH为梯形．22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分别为AD，AB，C1D1，B1C1的中点．求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质及等角定理，即可得到答案；【详解】证明：如图，取A1B1的中点K，连接BK，KM.易知四边形MKBC为平行四边形，所以CM∥BK.因为A1K∥BQ且A1K＝BQ，所以四边形A1KBQ为平行四边形，从而A 1Q ∥BK .由基本事实4有A 1Q ∥CM .同理可证A 1P ∥CN .因为∠PA 1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反，所以∠PA 1Q ＝∠MCN .23.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：D ，E ，A ，C 四点共面且DE ＝13AC .【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN ，证明DE ∥MN 且DE ＝23MN ，原题即得证.【详解】证明：如图，连接PD ，PE 并延长，分别交AB ，BC 于点M ，N ，因为D ，E 分别是△PAB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC 且MN ＝12AC .在△PMN 中，因为23PD PE PM PN ==，所以DE ∥MN 且DE ＝23MN .所以DE ∥AC 且DE ＝23×12AC ＝13AC .则D ，E ，A ，C 四点共面．24.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，点F 在CD 上，点H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.【详解】证明连接GE ，HF .因为E ，G 分别为BC ，AB 中点，所以1//2GE AC .因为DF ∶FC ＝1∶3，DH ∶HA ＝1∶3，所以1//3HF AC .从而GE ∥HF 且GE HF ≠，故G ，E ，F ，H 四点共面且四边形EFHG 为梯形，因为EF 与GH 不能平行，设EF ∩GH ＝O ，则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD .而平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EF ，GH ，BD 交于一点．25.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）直线1A B 与直线1D C 的位置关系是___________；（2）直线1A B 与直线1B C 的位置关系是_______________；（3）直线1D D 与直线1D C 的位置关系是______________；（4）直线AB 与直线1B C 的位置关系是______________.【答案】①.平行.②.异面.③.相交.④.异面.【解析】【分析】（1）根据题意得出四边形11A BCD 为平行四边形，即可得出结论；（2）根据异面直线的定义判断即可；（3）直线1D D 与直线1D C 相交于一点，则直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交；（4）根据异面直线的定义判断即可.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，四边形11A BCD 为平行四边形.11//A B D C ∴.（2）直线1A B 与直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线1A B 与直线1B C 的位置关系是异面.（3）直线1D D 与直线1D C 相交于点1D ，所以直线1D D 与直线1D C 的位置关系是相交.（4）直线AB 直线1B C 不同在任何一个平面内，所以直线AB 与直线1B C 的位置关系是异面.故答案为：(1)平行；(2)异面；(3)相交；(4)异面【点睛】本题主要考查了判断直线与直线的位置关系，属于基础题.26.如图所示，G 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 延长线上的一点，E ，F 是棱AB ，BC 的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．（1）过点G 及AC .（2）过三点E ，F ，1D .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，由图可得交线；（2）根据公理，连接EF 分别交DC 、DA 的延长线于点P ，Q ，连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE 由图可得交线.【小问1详解】连接GA 交11A D 于点M ，连接GC 交11C D 于点N ；连接MN ，AC ，则MA ，CN ，MN ，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．【小问2详解】连接EF 交DC 的延长线于点P ，交DA 的延长线于点Q ；连接1D P 交1CC 于点M ，连接1D Q 交1AA 于点N ；连接MF ，NE ，则1D M ，MF ，FE ，EN ，1ND 为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。

高一数学点直线平面之间的地位关系强化演习题一.选择题1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则准确的结论是（ ）A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α订交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 消失ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内2．给出下列关于互不雷同的直线l.m.n 和平面α.β.γ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线,l ⊂α,m ⊂β,则α∥β; ②若α∥β,l ⊂α,m ⊂β,则l∥m;③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n. 个中真命题的个数为( )A.3B.2 C3．假如一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面组成一个“正交线面临”.在一个正方体中,由两个极点肯定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面临”的个数是（ ）（A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）364． 已知二面角l αβ--的大小为060,m n 、为异面直线,且m n αβ⊥⊥，,则m n 、所成的角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 5．如图,点P 在正方形ABCD 地点的平面外,PD⊥平面ABCD,PD ＝AD,则PA 与BD 所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7．设m .n 是两条不合的直线,α.β是两个不合的平面.考核下列命题,个中准确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,8．设A.B.C.D 是空间四个不合的点,鄙人列命题中,不准确．．．的是（ ）A ．AC 与BD 共面,则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线C ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD =BC D ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD ⊥BC9．若l 为一条直线,αβγ，，为三个互不重合的平面,给出下面三个命题：①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，;②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥;③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 个中准确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图,在正三棱锥P —ABC 中,E.F 分离是PA.AB 的中点,∠CEF＝90°,若AB ＝a,则该三棱锥的周全积为( ) A.2233a + B.2433a + C.243a D.2436a + 11．如图,正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2,E F 、分离为AB.A 1C 1的中点,则EF 的长是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）712．若P 是平面α外一点,则下列命题准确的是（ ）（A ）过P 只能作一条直线与平面α订交 （B ）过P 可作很多条直线与平面α垂直（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作很多条直线与平面α平行13．对于随意率性的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）订交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线14．对于平面α和共面的直线m .,n 下列命题中真命题是（ ）（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m .n 与α所成的角相等,则m ∥n15．关于直线m .n 与平面α.β,有下列四个命题：① 若//m α,//n β且//αβ,则//m n ;② 若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥; ③ 若m α⊥,//n β且//αβ,则m n ⊥;④ 若//m α,n β⊥且αβ⊥,则//m n . 个中真命题的序号式（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③16．给出下列四个命题：①垂直于统一向线的两条直线互相平行②垂直于统一平面的两个平面互相平行平③若直线12,l l 与统一平面所成的角相等,则12,l l 互相行④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都订交的两条直线是异面直线 个中假命题．．．的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．如图平面α⊥平面β, ,,A B AB αβ∈∈与两平面α.β所成的角分离为4π和6π.过A.B 分离作两平面交线的垂线,垂足为'A .B ',若AB=12,则''A B =（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）A'B'A B βα18．已知正四棱锥S ABCD-中,23SA=,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为（）A．1 B．3C． 2 D．319．已知三棱锥S ABC-中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．34B5C．7D．3420．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连可以或许焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值规模是（）A．（62B．（1,22C．6262D．（0,22）21．在半径为R的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个极点正好都在统一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个极点动身沿球面活动,经由其余三点后返回,则经由的最短旅程是（）A．2RπB．73RπC．83RπD．76Rπ22．已知,,,S A B C是球O概况上的点,SA ABC⊥平面,AB BC⊥,1SA AB==,2BC=则球O的概况积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π23．将半径都为１的４个钢球完整装入外形为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（ ）A ．3263+ B ．2+263C ．4+263D ．43263+24.如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是( ) A.点H 是△A 11D 111所成角为45°二.填空题1．多面体上,位于统一条棱两头的极点称为相邻的,如图,正方体的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,正方体上与极点A 相邻的三个极点到α的距离分离为1,2和4,P 是正方体的其余四个极点中的一个,则P 到平面α的距离可能是：①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）2．平行四边形的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,已知个中有两个极点到α的距离分离为1和2 ,那么剩下的一个极点到平面α的距离可能是：①1; ②2; ③3; ④4;以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）3．如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为1,则点1B 到平面1ABC 的距离为 .4．已知,,A B C 三点在球心为O ,半径为R 的球面上,AC BC ⊥,且AB R =,那么,A B 两点的球面距离为 ,球心到平面ABC 的距离为______________.5．如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60,ABC Dα则点C 到平面1ABC 的距离为______________.6．如图（同理科图）,在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60,则点1C 到直线AB 的距离为 .7．（如图,在6题上）正四面体ABCD 的棱长为l,棱AB ∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影组成的图形面积的取值规模是____________.8．如图,矩形ABCD 中,DC=3,AD=1,在DC 上截取DE=1,将△ADE 沿AE 翻折到D 1点,点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时,二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 .9．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=_____.10．已知正四棱椎的体积为12,地面的对角线为26,则正面与底面所成的二面角为____________.11．m n 、是空间两条不合直线,αβ、是空间两条不合平面,下面有四个命题： ①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒　③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　个中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.12．如图,已知三棱锥S －ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA ⊥底面ABC ,SA ＝3,那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________． 三.解答题：13.如图,正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4,点E 在C 1C上且C1E＝3EC.(1)证实A1C⊥平面BED;(2)求二面角A1-DE-B的正切值..在正△ABC中,E.F.P分离是AB.AC.BC边上的点,知足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2〔如图(1)〕.将△AEF沿EF折起到△A1EF的地位,使二面角A1-EF-B成直二面角,贯穿连接A1B.A1P〔如图(2)〕.(1)求证:A1E⊥平面BEP;(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(3)求二面角B-A1P-F的余弦值.一.选择题1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 7．B8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C15．D 16．D 17．B18．C;19．D;20．A;21．B;22．A;23．B;二.填空题1．①③④⑤ 2．①③ 3．217 4．13Rπ32R5．34 6．3 7．21[,]428. 32-9．63 10．3π 11．①,② 12.3913解法二:(1)证实:如图,贯穿连接B1C1C是A1C在面BCC1B1内的射影,在矩形BCC1B1中,B1B＝C1C＝4,BC＝B1C1＝2,C1E＝3,EC＝1.因为211==B B BC BC CE 且∠B 1BC ＝∠BCC 1＝90°, 所以△BB 1C∽△BCE.所以∠BB 1C ＝∠CBE.所以由互余可得∠BFC ＝90°.所以BE⊥B 1C.所以BE⊥A 1C;由四边形ABCD 为正方形,所以BD⊥AC. 所以BD⊥A 1C 且BD∩BE＝B. 所以A 1C⊥平面BDE.(2)贯穿连接OE,由对称性知必交A 1C 于G 点,过G 点作GH⊥DE 于点H,贯穿连接A 1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,∠GHA 1就是所求二面角的平面角,依据已知数据,盘算3651=G A , 在Rt△DOE 中,1530=GH ,所以55tan 11==∠GHGA GHA . 故二面角A 1DEB 的大小为55arctan . 解法一:无妨设正△ABC 的边长为3.(1)证实:在图(1)中,取BE 的中点D,贯穿连接DF. ∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2, ∴AF＝AD ＝2.而∠A＝60°, ∴△ADF 是正三角形. 又AE ＝DE ＝1,∴EF⊥AD. 在图(2)中,A 1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角. 由题设前提知此二面角为直二面角,∴A 1E⊥BE.又BE∩EF＝E,∴A 1E⊥平面BEF, 即A 1E⊥平面BEP.(2)在图(2)中,∵A 1E 不垂直于A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1E⊥BP.从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角,且BP⊥A 1Q. 在△EBP 中,∵BE＝BP ＝2,∠EBP＝60°, ∴△EBP 是等边三角形.∴BE＝EP. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1B ＝A 1P. ∴Q 为BP 的中点,且3=EQ . 又A 1E ＝1,在Rt△A 1EQ 中,3tan 11==∠EA EQQ EA , ∴∠EA 1Q ＝60°.∴直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为60°.(3)在图(3)中,过F 作FM⊥A 1P 于点M,贯穿连接QM.QF.(3)∵CF＝CP ＝1,∠C＝60°, ∴△FCP 是正三角形.∴PF＝1.又PQ ＝21BP ＝1, ∴PF＝PQ.①∵A 1E⊥平面BEP,EQ ＝EF ＝3, ∴A 1F ＝A 1Q.∴△A 1FP≌△A 1QP. 从而∠A 1PF ＝∠A 1PQ.②由①②及MP 为公共边知△FMP≌△QMP, ∴∠QMP＝∠FMP＝90°,且MF ＝MQ. 从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角. 在R t△A 1QP 中,A 1Q ＝A 1F ＝2,PQ ＝1, ∴51=P A . ∵MQ⊥A 1P, ∴55211=•=P A PQ Q A MQ . ∴552=MF . 在△FCQ 中,FC ＝1,QC ＝2,∠C＝60°, 由余弦定理得3=QF . 在△FMQ 中,872cos 222-=•-+=∠MQ MF QF MQ MF FMQ .∴二面角B-A 1P-F 的大小为87arccos -π.。

第1题. 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．因为EH 是ABD △的中位线，所以EH BD ∥，且． 同理，FG BD ∥，且BD ．因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。

试题类型：解答题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6第3题. 如图，已知长方体ABCD A BC D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？AE BHGCFD答案：（１）45þ；（２）60þ．第4题. 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ．⊄，则下列结论成立的是（）第5题. 若直线a不平行于平面α，且aαＡ．α内的所有直线与a异面Ｂ．α内不存在与a平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a平行Ｄ．α内的直线与a都相交答案：Ｂ．∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角第6题. 已知a，b，c是三条直线，角a b为．答案：θ．第7题. 如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条．答案：8条．第8题. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．∥则b与α的位置关系是．第9题. 已知两条相交直线a，b，aα平面∥，或b与a相交．答案：b a第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个．第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行．②CN与BE是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④ Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④答案：Ｃ．第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ． 答案：2MN AB CD <+．第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．答案：4．第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．答案：24245或．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：214a ．第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P = ，11AC EF Q = ．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图．（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．11Q AC ∈ ，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴= ． 又1AC R β= ，1R AC ∴∈． R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 答案：Ａ．第19题. 给出下列命题：和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ）Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 答案：Ｄ．第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线答案：Ｄ．第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD ，1O F ∥112BA ． 又1BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．∴1OEG O FH △≌△．第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④答案：Ｃ．第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交答案：Ｃ．第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行答案：Ｂ．第30题. 已知直线的倾斜角为α，若3sin5α=，则此直线的斜率为（）Ｃ．34±Ｄ．43±。

高一数学点直线平面之间的位置关系试题1. 三个平面可将空间最多分成（ ）部分 A ．4 B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】当三个平面两两相交且交线交与一点时，三个平面将空间分成的部分最多，此时将空间分成8部分。

【考点】平面的基本性质及推论．点评：本题以平面分空间的分类讨论为载体考查了空间中平面与平面之间的位置关系，建立好的空间想像能力是解答醒本题的关键.三个平面若两两平行，则三个平面将空间分成4部分；若两个平面平行，另一个平面与这两个平面都相交或三个平面两两相交且交同一条直线时，三个平面将空间分成6部分；若三个平面两两相交且交线不同时，三个平面将空间分成7部分；当三个平面两两相交且交线交与一点时，三个平面将空间分成8部分。

2. 如图，在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能【答案】B【解析】因为G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，所以,所以。

又因为M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以MN//BC ，所以。

【考点】线面平行的判定定理；线面平行的性质定理；公理4；重心的性质。

点评：我们要掌握重心性质:若G 1为△SAB 的重心，M 为AB 中点，则。

3. 关于空间两条直线a ，b 和平面α，下列命题正确的是( ) A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b C ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b D ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b【答案】D【解析】A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α，错误，因为直线a 可能在平面α内； B ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ，错误，a 与b 可能平行，也可能异面；C ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，错误，a 与b 可能平行，可能相交，也可能异面；D ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，正确，此为线面垂直的性质定理。

直线与平面的位置关系练习题直线和平面是几何中常见的基本要素，它们之间的位置关系也是我们在学习几何时需要掌握的重要内容。

下面我们来做一些关于直线与平面的位置关系的练习题。

1. 已知直线l与平面α相交于点A，直线l上的一点B在平面α内部。

则直线l和平面α的位置关系是________。

解析：直线l与平面α相交于点A，说明直线l与平面α有交集。

又由于直线上的一点B在平面α内部，说明直线l与平面α也有一些其他的点在平面α内部。

综上所述，直线l和平面α的位置关系是“有交集”。

2. 平面β包含直线m，且直线l与直线m平行，则直线l和平面β的位置关系是________。

解析：直线l与直线m平行，说明直线l与平面β没有交点。

但由于直线l和直线m的位置关系，直线l和平面β的位置关系可以是以下三种情况之一：1) 直线l在平面β内部；2) 直线l与平面β重合；3) 直线l与平面β平行但不重合。

根据题意，我们可以确定直线l和平面β的位置关系是“直线l在平面β内部”。

3. 直线n与平面γ相交于点P，直线n与平面δ相交于点Q，点P 与点Q在空间中重合，则直线n和平面γ、δ的位置关系是________。

解析：由于点P与点Q在空间中重合，说明直线n与平面γ、δ有一个公共的点。

因此直线n必然与平面γ和平面δ都有交点。

综上所述，直线n和平面γ、δ的位置关系是“有交集”。

4. 直线p与平面η相交于点M，直线p包含于平面η内。

则直线p和平面η的位置关系是________。

解析：直线p与平面η相交于点M，说明直线p与平面η有交集。

并且由于直线p包含于平面η内部，说明直线p上的其他点也在平面η内部。

综上所述，直线p和平面η的位置关系是“直线p包含于平面η内”。

5. 直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，直线r与平面ζ相交于点N，则直线q和直线r的位置关系是________。

解析：直线q与平面ζ平行但不在平面ζ内，说明直线q与平面ζ没有交点。

而直线r与平面ζ相交于点N，说明直线r与平面ζ有交点。

A直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（10小题，每小题4分，共40分．）1、若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（）A、球；B、圆柱；C、圆锥；D、三棱锥。

2.下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为（）A0 B1 C2 D33垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行 B相交 C异面 D以上都有可能4如右图所示，正三棱锥V ABC-（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F分别是,,VC VA AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A030 B090 C060 D随P点的变化而变化5右上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π6一个几何体的三视图如右下图，该几何体的表面积为（）A、280B、292C、360D、3727．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）Ａ16πＢ20πＣ24πＤ32π8已知在四面体ABCD中，,E F分别是,AC BD的中点，若2,4,AB CD EF AB==⊥，则EF与CD所成的角的度数为（）Ａ90Ｂ45Ｃ60Ｄ309.下列说法不正确的．．．．是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B过一条直线有且只有一个平面与已知平面平行C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D一个平面内有无数条直线与已知平面平行，则两个平面平行。

10下列命题正确的个数是（）．(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l； (2)若直线l平行于平面α内的无数条俯视图正(主)视图侧(左)视图直线，则α//l ； (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行； (4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（5小题，每小题4分，共20分．）1．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的 位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形2．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．3 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 4.下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行， 其中正确的个数有_____________ 三. 解答题(本大题满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ）（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．E D A CFG B 'C 'D '2．如图，已知P 是ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD//平面MAC3.如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的中点， 求证：//MN 平面SBCC4.如图所示，已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE=FC 1=B 1G=1，H 是B 1C 1的中点。

专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α,β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条()3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D -M 1AA 1,,C M D 积是_________________．11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中AB CD EF GH 相互异面的有__________对.12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．【证明】法一：因为AC∩AB＝A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.因此直线AB,BC,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,AC共面．法二：因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．法三：因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面α.因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,同理BC⊂α,AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能【参考答案】B　【解析】假设BE 与CF 是共面直线,设此平面为α,则E ,F ,B ,C ∈α,所以BF ,CE ⊂α,而A ∈CE ,D ∈BF ,所以A ,D ∈α,即有A ,B ,C ,D ∈α,与ABCD 为空间四边形矛盾,所以BE 与CF 是异面直线．二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【参考答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质αβ//αβ定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条//αβαβαβ//αβ件,故选B ．2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A ．1条或2条B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条【参考答案】D【解析】分类讨论：当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线；当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线；当β∩γ=b ,α∩β=a ,α∩γ=c 时,有3条交线.本题选择D 选项.3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为 ()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【参考答案】D【解析】利用展开图可知,线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂【参考答案】D【解析】若a 、b 是异面直线,且a ∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交．故选：D ．5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面【参考答案】C【解析】因为平面平面,直线,直线,//αβm α⊂n β⊂所以直线没有大众点,m n ，所以两条直线平行或异面.故选：C.6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．【参考答案】A【解析】因梯形的上下底边平行,根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线相交、平行或异面,故B 错．当直线和平面相交时,该直线上有无数个点不在平面内,故C 错．如果两个平面有三个大众点且它们共线,这两个平面可以相交,故D 错．综上,选A ．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面【参考答案】BC【解析】由公理2易知选项AD 正确；对于选项B ：如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B 错误;对于选项C:三个不同的大众点可在两平面的交线上.,故选项C 错误;故选: BC8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=【参考答案】ABD【解析】对于选项A:由公理1知,,故选项A 正确;l α⊂对于选项B ：因为表示不同的平面,由公理3知,平面相交,且,故选项B 正确;αβ，αβ，AB αβ= 对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时,若交点为A,则,故选项C 错误；l α⊄l α//l a l αA α∈对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．【参考答案】③④【解析】因为四边不共面,所以直线与是异面直线,所以①错误的；同理,直线与1,,,A M C C AM 1CC AM 也是异面直线,直线与是异面直线,直线与是异面直线,所以②是错误的；③是正确BN BN 1MB AM 1DD 的,④是正确的,故填③④．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D M 1AA 1,,C M D 积是_________________．【参考答案】92【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,又,．11MN CD CN MD ====92故参考答案为92AB CD EF GH11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.【参考答案】3【解析】画出展开图复原的几何体,所以C与G重合,F,B重合,所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH,AB与CD,GH与EF,共有3对．故参考答案为3．12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.【参考答案】4. 6.【解析】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.故参考答案为：；46四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，【参考答案】证明见解析【解析】证明：因为,所以直线与点可以确定平面,如图所示,D l ∉l D α因为,所以,又,所以.∈A l A α∈D α∈AD α⊂同理可证,,BD α⊂CD α⊂所以,,在同一平面内,AD BD CD α即直线,,共面AD BD CD 14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.【参考答案】略【解析】证明：∵AB ∥CD,∴AB,CD 可确定一个平面,设为平面β,∴AC 在平面β内,即E 在平面β内.而AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E,可知B,D,E 为平面α与平面β的大众点,根据公理3可得,B,D,E 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <11线,,相交于同一点.1A A 1B B 1CC 【参考答案】证明见解析【解析】证明∵,,11//AB A B 11AB A B <∴直线,确定一个平面,并且直线,相交,设.①1A A 1B B 11AA B B 1A A 1B B 11A A B B D ⋂=∵,∴与确定一个平面,11//AC A C AC 11A C 11AA C C ∵平面,∴平面.1A A ⊂11AA C C D ∈11AA C C 同理平面.D ∈11BB C C 又因为平面平面,∴.②11AA C C 111BB C C C C =1D C C ∈由①②可知,,,三线共点,即直线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C 1A A 1B B 1C C D 知识改变命运。

空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。

α∥βB。

α与β相交C。

α与β重合D。

α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。

a∥αB。

a与α相交C。

a与α不相交D。

a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有(。

)A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。

只有一个B。

至少有一个C。

可能没有D。

有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。

3条B。

4条C。

5条D。

6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。

过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。

过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。

过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。

若m‖α，n‖α，则m‖nB。

若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。

若m‖α，m‖β，则α‖βD。

XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。

a/2B。

a/3C。

a/23D。

2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。

PB⊥ADB。

平面PAB⊥平面PBCC。

直线BC∥平面PAED。

直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

1．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点E 为PC的中点，AC ∩BD ＝O ，求证EO ∥平面PAD ；(3)是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．解：(1)由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P －ABCD ＝13S ▱ABCD ·PC ＝23. (2)证明：∵EO ∥PA ，EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD .∴EO ∥平面PAD .(3)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，又∵AC ∩PC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE .2如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB ，EF ⊥F B ，∠BFC=90°，BF=FC ，H 为BC 的中点． (Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB ；Ⅱ)求证：AC ⊥平面EDB ；Ⅲ)求四面体B-DEF 的体积．(Ⅰ)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连结EC ，CH ，由于H 为BC 的中点，故，又，∴，∴四边形EFHC 为平行四边形， ∴EG ∥FH ，而EG 平面EDB ，∴FH ∥平面EDB 。

(Ⅱ)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ，而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH ， 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ，又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB 。

点、直线、平面之间位置关系基础练习题一、单选题1.在四面体ABCD中，AD=BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βB. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nC. 若m⊂α，n⊂β，α//β，且m，n共面，则m//nD. 若m//n，m//α，n//β，则α//β3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A. PA=PB=PCB. PA≠PB≠PCC. PA=PB>PCD. PA=PB<PC第II卷（非选择题）二、解答题（本大题共14小题，共168.0分）4.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．6.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN//平面PAD．7.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD//平面MAC．8.如图，P为▱ABCD所在平面外的一点，M，N分别为AB，PD的中点.求证：MN//平面PBC．9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE//平面PAB．10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA//平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．11.四棱锥P−ABCD中底面ABCD是矩形，M是PB的中点，PO⊥平面ABCD，AB=2,BC=1,PO=√3(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求三棱锥B−DMC的体积．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且∠PAB=∠PDC=90°．(1)证明：PA//平面BDM；(2)证明：平面PAB⊥平面PAD．13.如图，在四棱锥P−ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：EF//AB；(2)求三棱锥P−AEF的体积．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(1)证明：PA//平面MNC；(2)求三棱锥P−MNC的体积．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD：(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q−PCD的体积．16.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，ΔVAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点。

第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。

其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ． ①是假命题，②是真命题C ． ①②都是真命题D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5． 已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。

高一数学点直线平面之间的位置关系试题答案及解析1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设BC的中点为D，连接易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则,由余弦定理可以求得【考点】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：求空间两条异面直线所成的角，关键是先做出空间两条异面直线所成的角，另外需要注意空间两条异面直线所成的角的取值范围.2.在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设分别为边上的中点，则四点共面，且平面平面,又因为平面，所以点落在线段上，设的中点为，则当与重合时，与平面所成角的正切值有最大值为，当与或重合时，与平面所成角的正切值有最小值为2，故与平面所成角的正切值构成的集合是【考点】本小题主要考查点是直线与平面所成的角，其中分析出F落在线段HI上，是解答本题的关键.点评：求线面角，关键是先作出所成的角.3.四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________。

【答案】【解析】如图：E、F分别是AB,CD中点，连VE,EF，VF;则就是二面角的平面角；又所以三角形VEF为正三角形，所以4.直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形【答案】D【解析】当面ABC⊥α时，射影为一条线段，当面ABC不垂于α时，射影为钝角三角形.5.如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的()A．三边均与平面平行B．三边中至少有一边与平面平行C．三边中至多有一边与平面平行D．三边中至多有两边与平面平行【答案】B【解析】三个顶点正在平面同一侧，则三边都平行平面；两个顶点在同一侧，一个顶点在另一侧，则在同一侧的两个顶点所在的边平行平面.故选B6.过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.【答案】无数，一，一，无数【解析】过直线外一点作直线的垂线与该直线相交的只有一条，而与该直线异面的有无数条，所以过直线外一点作直线的垂线有无数条。

空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理 1．平面基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线，平行直线，异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.4．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 5．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 7．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( × ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ ) (3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) 教材改编题1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )A ．AB 与CD 是异面直线 B ．GH 与CD 相交C ．EF ∥CD D ．EF 与AB 异面 答案 ABC解析 把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G 与C 重合，点B 与F 重合，由图可知ABC 正确，EF 与AB 相交，故D 错． 2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β．且α∥β，则a 与b ( ) A ．共面 B ．平行 C ．是异面直线D ．可能平行，也可能是异面直线 答案 D解析 α∥β，说明a 与b 无公共点， ∴a 与b 可能平行也可能是异面直线．3．如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形， ∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD ．(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD ．题型一 基本事实应用例1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，连接D 1F ，CE ．求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明 (1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1． 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点． 教师备选如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q ．求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD ．∴EF ，BD 确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 设平面A 1ACC 1为α， 平面BDEF 为β． ∵Q ∈A 1C 1，∴Q ∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )答案ABC解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．题型二空间线面位置关系命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)下列推断中，错误的是( )A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案 C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案 C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．命题点2 异面直线所成角例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1，所以C 1P ⊥平面B 1BP ．又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP ．连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在Rt△C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6．方法二 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6．(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A ．222B ．53C ．1316D ．113答案 D解析 如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE ．又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1．∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3， ∴SC ＝32．∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10． ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10． ∴在等腰△SCF 中，tan∠CSF ＝102－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222322＝113． 教师备选1．(多选)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线B ．若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面C ．若a ，b 不同在平面α内，则a 与b 异面D ．若a ，b 不同在任何一个平面内，则a 与b 异面 答案 ABC2．在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22 答案 C解析 如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ．易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋BB 21＝5． 所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55． 思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)求异面直线所成的角的三个步骤一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练2 (1)如图所示，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 与MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案 ②④(2)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 答案 D解析 如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．图1 图2题型三 空间几何体的切割(截面)问题例4 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体中过M ，N ，C 1的截面图形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形答案 C解析 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C 1M ，CD 相交于点P ，直线C 1N ，CB 相交于点Q ，连接PQ 交直线AD 于点E ，交直线AB 于点F ，则五边形C 1MEFN 为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为______． 答案π2解析 以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线是以C 1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC 1B 1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2．延伸探究 将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°．以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形， 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝2． 又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ ． 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1， 同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点， ∴∠PEQ ＝π2，知PQ ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2．教师备选如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面α经过直线BD 且与直线C 1E 平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案 92解析 如图，过点B 作BM ∥C 1E 交B 1C 1于点M ，过点M 作BD 的平行线，交C 1D 1于点N ，连接DN ，则平面BDNM 即为符合条件的平面α，由图可知M ，N 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 故BD ＝22，MN ＝2， 且BM ＝DN ＝5， ∴等腰梯形MNDB 的高为h ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫222＝322， ∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92． 思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 跟踪训练3 (1)(多选)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) A ．截面形状可能为正三角形 B ．截面形状可能为正方形 C ．截面形状可能为正六边形 D ．截面面积最大值为3 3 答案 ACD解析 易知A ，C 正确，B 不正确，下面说明D 正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝62， 所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故D 正确．(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A 1C 的棱长为1，点M 在棱A 1D 1上，A 1M ＝2MD 1，过M 的平面α与平面A 1BC 1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案 3 2解析 在平面A 1D 1DA 中寻找与平面A 1BC 1平行的直线时，只需要ME ∥BC 1，如图所示，因为A 1M ＝2MD 1，故该截面与正方体的交点位于靠近D 1，A ，C 的三等分点处，故可得截面为MIHGFE ，设正方体的棱长为3a ， 则ME ＝22a ，MI ＝2a ，IH ＝22a ，HG ＝2a ，FG ＝22a ，EF ＝2a ，所以截面MIHGFE 的周长为ME ＋EF ＋FG ＋GH ＋HI ＋IM ＝92a ， 又因为正方体A 1C 的棱长为1，即3a ＝1， 故截面多边形的周长为32．课时精练1．下列叙述错误的是( )A ．若P ∈α∩β，且α∩β＝l ，则P ∈lB．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面C．三点A，B，C确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α答案 C解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案 A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件．4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面答案 D解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ， 则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22 ＝2a ，作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋2a2＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误；连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点，所以MN ∥B 1C ， 又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论正确的是( )A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．6．(多选)(2022·厦门模拟)下列说法不正确的是( )A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案ABD解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．图1 图27．(2022·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________． 答案105解析 如图所示，补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，则所求角为∠BC 1D 或其补角，∵BC 1＝2，BD ＝22＋1－2×2×1×cos60°＝3，C 1D ＝AB 1＝5， 易得C 1D 2＝BD 2＋BC 21，即BC 1⊥BD ， 因此cos∠BC 1D ＝BC 1C 1D ＝25＝105． 8．(2022·本溪模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β； ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 答案 ①②④解析 对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l 与平面内的任意直线垂直时，得到l ⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9．(2022·上海市静安区模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，CC 1的中点．(1)求异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．解 (1)如图，设BB 1的中点为H ，连接HF ，EH ，A 1H ，因为F 是CC 1的中点，所以A 1D 1∥CB ∥HF ，A 1D 1＝CB ＝HF ， 因此四边形A 1D 1FH 是平行四边形， 所以D 1F ∥A 1H ，D 1F ＝A 1H ，因此∠EA 1H 是异面直线A 1E 与D 1F 所成的角或其补角， 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是AB 的中点， 所以A 1E ＝A 1H ＝22＋12＝5，EH ＝12＋12＝2，由余弦定理可知，cos∠EA 1H ＝A 1E 2＋A 1H 2－EH 22A 1E ·A 1H ＝5＋5－22×5×5＝45，所以异面直线A 1E 与D 1F 所成的角的余弦值为45．(2)因为A 1D 1∥HF ，HF ⊄平面A 1D 1E ，A 1D 1⊂平面A 1D 1E ， 所以HF ∥平面A 1D 1E ，因此点H ，F 到平面A 1D 1E 的距离相等， 即111111F A D E H A D E D A EH V V V －－－＝＝，11D A EH V －＝13D 1A 1·1A EH S △＝13×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12×2×1×2－12×1×1＝1，所以三棱锥A 1－D 1EF 的体积为1．10．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，M 为AB 上一点．(1)若D 1E 与CM 相交于点K ，求证D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点； (2)若AB ＝2，AA 1＝4，∠BAD ＝π3，求点D 1到平面FBD 的距离．(1)证明 ∵D 1E 与CM 相交于点K ， ∴K ∈D 1E ，K ∈CM ，而D 1E ⊂平面ADD 1A 1，CM ⊂平面ABCD ， 且平面ADD 1A 1∩平面ABCD ＝AD ， ∴K ∈AD ，∴D 1E ，CM ，DA 三条直线相交于同一点K ． (2)解 ∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2， ∴BC ＝CD ＝2，而四棱柱的侧棱AA 1⊥底面ABCD ， ∴CC 1⊥底面ABCD ，又∵F 是CC 1的中点，CC 1＝4，∴CF ＝2， ∴BF ＝DF ＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3，∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×222－1＝7．设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3，又∵11D FBD B DD F V V －－＝， ∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217．即点D1到平面FBD的距离为421 7．11．(多选)(2022·太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是( )A．GH与EF平行B．BD与MN为异面直线C．GH与MN成60°角D．DE与MN垂直答案BCD解析如图，还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正确．12．(多选)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是( )A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案 BD解析 如图，连接MP ，AC ，因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，连接OD 1，ON ．因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ， 则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 正确．13．(2022·玉林模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别为A 1B ，B 1D 1，A 1D ，CD 1的中点，则直线EF 与PQ 所成角的大小是________．答案 π3解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则F 是A 1C 1的中点，又E 为A 1B 的中点，所以EF ∥BC 1，连接DC 1，则Q 是DC 1的中点，又P 为A 1D 的中点，所以PQ ∥A 1C 1，于是∠A 1C 1B 是直线EF 与PQ 所成的角或其补角．易知△A 1C 1B 是正三角形，所以∠A 1C 1B ＝π3． 14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，过P ，Q ，A 作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案 25＋95＋2133 解析 如图所示，过Q 作QM ∥AP 交BC 于M ，由A 1P ＝CQ ＝2，tan∠APA 1＝2，则tan∠CMQ ＝2，CM ＝CQtan∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1， C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12， 则C 1N ＝43，D 1N ＝83， 因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5，MQ ＝12＋22＝5，所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋PA＝5＋5＋2133＋103＋2 5 ＝25＋95＋2133．15．(2022·大连模拟)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的正方形，AA 1＝3，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 的平面记为α，则下列说法中错误的是( )A ．点B 到平面α的距离与点A 1到平面α的距离之比为1∶2B ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为732C ．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D ．平面α截直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1所得截面的形状为四边形 答案 D解析 对于A ，因为平面α过线段AB 的中点E ，所以点A 到平面α的距离与点B 到平面α的距离相等．由平面α过A 1A 的三等分点M 可知，点A 1到平面α的距离是点A 到平面α的距离的2倍，因此，点A 1到平面α的距离是点B 到平面α的距离的2倍．故选项A 正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N ．连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝2．连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN ．等腰梯形MEFN 的高h ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332．又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ V －－V M －PAE －V N －CFQ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256， 所以V 1＝1111ABCD A B C D V －－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1 图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明 因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ，同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE ∥BD ，故A ，B ，D ，E 四点共面．(2)解 因为AE ⊥平面DEFC ，BD ⊥平面DEFC ，EF ∥CD ，AE ∥BD ，DE ⊥CD ，所以AE 是四棱锥A －CDEF 的高，点A 到平面BCD 的距离等于点E 到平面BCD 的距离， 又AE ＝DE ＝1，CD ＝23，EF ＝3，BD ＝2，所以V ＝V A －CDEF ＋V A －BCD ＝13S 梯形CDEF ·AE ＋13S △BCD ·DE ＝736．。

2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 .下歹U命题正确的是................................. ()A .三点确定一个平面B .经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面 D .两条相交直线确定一个平面2.若直线a不平行于平面：•，且a二：•，则下列结论成立的是( )A .：•内的所有直线与a异面B.:-内不存在与a平行的直线C.内存在唯一的直线与a平行D.：•内的直线与a都相交3. ................................................................................................. 平行于同一平面的两条直线的位置关系.................................................. ( )A .平行B .相交C .异面D .平行、相交或异面4.正方体ABCD - A'B'C'D'中，AB的中点为M , DD'的中点为N ,异面直线B'M与CN所成的角是...................................... ( )A. 0B. 45C. 60D. 905. ................................................................................................. 平面与平面1平行的条件可以是 ( ....................................................... )A .:-内有无穷多条直线都与1平行B.直线a/r ,a// -且直线a不在〉内，也不在一：内C.直线a二書，直线b二「且al「，b//：D .：•内的任何直线都与一：平行6. ................................................................................................. 下列命题中，错误的是( )A .平行于同一条直线的两个平面平行B .平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交7.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是................................ ( )A. 3B. 2C. 1 D . 0&下列命题中错误的是............................. ( )A .如果平面爲」’「’，那么平面-■内所有直线都垂直于平面：B .如果平面爲」,那么平面:-一定存在直线平行于平面：C.如果平面:-不垂直于平面：，那么平面:-内一定不存在直线垂直于平面：D •如果平面〉_ , 1 ? ■- =1，那么丨_9.直线a//平面:-,P三：：：_，那么过点P且平行于:-的直线......... ( )A .只有一条，不在平面:-内B .有无数条，不一定在：•内C .只有一条，且在平面:-内D •有无数条，一定在:-内10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED 平行②CN与BE异面③CN与BM成60 ④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是( )A .①②③B .②④C.③④ D .②③④、填空题1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是___________________2.正方体ABCD—A'B'C'D'中，AC与BD'所成角 ______________________3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是____________________4.已知直线a, b和平面°，且a丄b, a丄。

答案点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系4.B 连接,VF BF ，则AC 垂直于平面VBF ，即A C P F ⊥，而//DE AC ，DE PF ∴⊥5.D 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交6.C 当三棱锥D ABC -体积最大时，平面DAC ABC ⊥，取AC 的中点O ， 则△DBO 是等要直角三角形，即045DBO ∠=二、填空题1.异面或相交 就是不可能平行2.0030,90⎡⎤⎣⎦ 直线l 与平面α所成的030的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l m ⊥，即m 与l 所成角的的最大值为090作等积变换：123411(),3434d d d d h ⨯+++=⨯而h = 4.060或0120 不妨固定AB ，则AC 有两种可能5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的三、解答题1.证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭。