高中物理模块要点回眸11开普勒三定律的理解和应用新人教版必修

（1）第一定律：太阳系中各行星是以椭圆轨道运行的，太阳处在这些椭圆的一个焦点上。

（2）第二定律：太阳和行星的连线在相等时间内扫过相等的面积。

如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上，如果时间间隔相等，即，那么面积A=面积B，由此可见，行星在远日点a的速率最小，在近日点b的速率最大。

上图中太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

即。

（3）第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，其表达式为，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量，但k的大小与中心天体的质量有关。

例1、冥王星原来是在九大行星之列的，可在2006年8月，国际天文学联合会大会正式通过决议，将冥王星降级，即将它从九大行星队伍中开除。

取而代之以“矮行星”的称呼来安慰它，这已经足以令冥王星十分的“郁闷”，可美国科学家的最新发现却又使冥王星很“受伤”！当时人们认为冥王星应该是矮行星中的“老大”，但加利福尼亚理工学院天文学家迈克尔·布朗等人研究报告说，另一颗矮行星厄里斯的质量大约比冥王星大27%，是目前已知最大的矮行星，关于下列说法正确的是A. 八大行星是围绕太阳运动的，而且都在同一椭圆轨道上B. 矮行星不是绕太阳而是绕其他行星运动的C. 冥王星被降级以后其轨道也发生了相应的变化D. 冥王星与厄里斯有着一个共同的轨道焦点答案：D例2、飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为，求飞船由A点到B点所需要的时间。

解析：开普勒第三定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的，但也适用于卫星、飞船绕行星的运动。

因此，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时其轨道半径的三次方跟周期平方的比值等于飞船绕地球沿椭圆轨道运行时其半长轴的三次方跟周期平方的比值。

第四讲 开普勒三定律与万有引力定律【知识梳理】一、开普勒行星运动三定律1. 开普勒第一定律：2. 开普勒第二定律：3. 开普勒第三定律：二、万有引力定律1. 万有引力定律内容：2. 万有引力定律表达式：3. 万有引力常量：⑴ 开普勒第一定律中不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。

⑵ 开普勒第二定律中行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。

⑶ 开普勒第三定律的表达式k Tr =23中，k 是与太阳有关而与行星无关的常量，如果认为行星的轨道是圆的，式中半长轴r 代表圆的半径。

⑷开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于卫星。

适用于卫星时,23k Tr =，常量k ’是由行星决定的另一常量，与卫星无关。

【例题1】太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？【变式训练1】、已知地球半径约为R=6.4⨯106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。

图4-1（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。

如图4-1所示。

（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2RMmGmg =。

赤道上：物体所受重力最小，22自ωmR R Mm Gmg -= 自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。

（3）一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为2RMmGmg = 【例题2】已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？【变式训练2】经测定，太阳光到达地球需要经过500s 的时间，已知地球的半径为6.4×106m ，试估算太阳质量与地球质量之比。

开普勒三大定律的内容及意义开普勒三大定律是什么，有什么重要的意义？想知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“开普勒三大定律的内容及意义”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的内容!开普勒三大定律的内容开普勒在1609年发表了关于行星运动的两条定律，一条是开普勒第一定律，也叫轨道定律，内容是所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律，也叫面积定律，对于任何一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。

用公式表示为：SAB=SCD=SEK到了1619年时，开普勒又发现了第三条定律，也就是开普勒第三定律，也称为周期定律，内容为所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

开普勒不仅为哥白尼的日心说找到了数量关系，更找到了物理上的依存关系，使天文学假说更加的符合自然界本身的真实。

行星运动三大定律的发现为经典天文学奠定了基石，并导致数十年后万有引力定律的发现。

开普勒全名约翰尼斯开普勒，出生于1571年，死于1630年，开普勒是德国近代著名的天文学家，数学家，物理学家和哲学家。

开普勒以数学的和谐性探索宇宙，在天文学方面作出了巨大的贡献，开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说，并在天文学方面有突破性的成就的人物，被后世的科学家称为天上的立法者。

开普勒是哥白尼日心说的忠实信徒，为此开普勒做了不少天文测量，并在天文学方面作出了许多积极的贡献，1604年他观察到了银河系内的一颗超新星，历史上称它为开普勒新星，1607年，开普勒观测了一颗大慧星，就是后来的哈雷慧星，到了1609年，开普勒发表了多项有关行星运动的理论，当中包括了开普勒第一定律和开普勒第二定律，1618年，开普勒再次发表了有关行星运动的开普勒第三定律的论文。

开普勒三大定律的意义开普勒的三定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了托勒密繁杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心宇宙体系。

开普勒三定律二、重难点提示重点：理解和掌握开普勒行星运动定律，感悟科学精神、科学方法。

难点：利用开普勒三大定律解决相关问题。

1. 两种学说（1）地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

（2）日心说：太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

（3）局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，这与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。

2. 开普勒定律（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2）开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即23TR =k ，k 是一个对所有行星而言都相同的常量。

3. 行星运动的近似处理（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的线速度（或角速度）大小不变，即行星做匀速圆周运动。

（3）所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

例题1 关于行星运动，下列说法正确的是（ ）A. 地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动B. 太阳是宇宙的中心，地球是围绕太阳运动的一颗行星C. 宇宙每时每刻都是运动的，静止是相对的D . 不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限性的思路分析：宇宙是一个无限的空间，太阳系只是其中很小的一个星系，日心说的核心是认为太阳是各行星运动的中心。

答案：CD例题2 下列说法中正确的是（ ）A . 太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点B . 太阳系中的八大行星的轨道并不都是椭圆C . 行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向D . 行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 思路分析：太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，选项A 正确，B 错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C 正确。

知识点一开普勒三定律知识点一开普勒三定律开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等相等．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T2＝k .知识点二万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比．2．公式：F ＝G m 1m 2r2 ，G 为万有引力常量，G ＝6.67×10-11 N·m 2/kg 2.3．适用条件：适用于可以看作质点的物体之间的相互作用．质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r 为两球心之间的距离．题型一对开普勒行星运动定律的理解行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，a 3T2＝k 的表达式中a 就是圆的半径R注意：在太阳系中，比例系数k 是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k 值不相同，k 值与中心天体有关．该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体．如对绕地球飞行的卫星来说，它们的k 值相同与卫星无关．[例1] 飞船以半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T .如果飞船要返回地面，可在轨道的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间．题型二估算天体的质量和密度(1)估算中心天体质量的基本思路①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r 就可以求出中心天体的质量M. ②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R 就可以求出中心天体的质量M.（2）估算中心天体的密度ρ测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T[例2] 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T ＝130 s ．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解．(计算时星体可视为均匀球体，引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2)2-1．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )A ．恒星质量与太阳质量之比B ．恒星密度与太阳密度之比C ．行星质量与地球质量之比D ．行星运行速度与地球公转速度之比2-2天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为( )A ．1.8×103 kg/m 3.B ．5.6×103 kg/m 3.C ．1.1×104 kg/m 3.D ．2.9×104 kg/m 3.题型三计算天体表面的重力加速度在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G02mg RMm(g 0表示天体表面的重力加速度). 注意：①在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 0时，常运用GM ＝g 0R 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来.由于这种代换的作用巨大，此式通常称为黄金代换式. ②利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：在行星表面重力加速度： G02mg RMm=所以g 0=2R GM 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：h mg h R Mm G=+2)(,所以g h =2)(h R GM+ [例3] 地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？3-1火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( )A ．0.2 gB ．0.4 gC ．2.5 gD ．5 g3-2．(2009·江苏高考)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半径R 约45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 22G (其中c 为光速，G 为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )A ．108m/s 2B ．1010m/s 2C ．1012m/s 2D ．1014m/s 2人造卫星宇宙速度【知识梳理】知识点一人造卫星基本特征：把天体运动看成是匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供．表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法 G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝mr (2πT)2 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算．知识点二宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度) 指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的最小发射速度．其大小为v 1＝ 7.9 km/s.2．第二宇宙速度(脱离速度) 在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度．其大小为v 2＝ 11.2 km/s.3．第三宇宙速度(逃逸速度) 在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度．其大小为v 3＝ 16.7 km/s.知识点三同步卫星概念：相对地面静止的卫星称为同步卫星．基本特征：①周期为地球自转周期T ＝ 24h ；②轨道在赤道平面内；③运动的角速度与地球的自转角速度相同；④高度h 一定；⑤轨道和地球赤道为共面同心圆；⑥卫星运行速度一定．题型一描述人造卫星的各物理量与轨道半径的关系名师点拨1 卫星的向心加速度、绕行速度、角速度、周期和半径的关系(1)由G Mm r 2＝ma 有a ＝GMr 2，故r 越大，a 越小．(2)由G Mm r 2＝m v 2r有v ＝GMr，故r 越大，v 越小．人造地球卫星的最大运行速度v m ＝GM R＝7.9 km/s. (3)由G Mmr 2＝mrω2有ω＝GMr 3，故r 越大，ω越小． (4)由G Mm r 2＝mr (2πT)2有T ＝4π2r 3GM，故r 越大，T 越大．人造地球卫星的最小周期T min ＝4π2R 3GM≈85 min. 注意：1.a 、v 、ω、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．2．a 、v 、ω、T 皆与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体的质量M 决定．3．人造卫星的轨道圆心一定与地心重合．[例1] 有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比r 1∶r 2＝4∶1，求这两颗卫星的：(1)线速度之比．(2)角速度之比．(3)周期之比．(4)向心加速度之比．1-1．在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R ，地面上的重力加速度为g ，则( )A ．卫星运动的速度为2RgB ．卫星运动的周期为4π2R gC ．卫星运动的加速度为g2D ．卫星的动能为mgR4题型二计算第一宇宙速度 1．第一宇宙速度的理解和推导G Mm R 2＝m v 12R ，v 1＝GM R＝7.9 km/s 或mg ＝m v 12R，v 1＝gR ＝7.9 km/s2．其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，v 1＝g ′R ′，g ′为该天体表面的重力加速度，R ′为该天体的半径．注意：(1)三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度． (2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度．[例2] 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？(地球表面的重力加速度g 为9.8 m/s 2.，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s) 2-1．1990年5月，中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，其直径2R ＝32 km.如该小行星的密度和地球的密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？(已知地球半径R 0＝6 400 km ，地球的第一宇宙速度v 1≈8 km/s)题型三卫星、飞船的变轨问题卫星的“变轨问题”分析卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动.当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即2rMmG =r v m 2时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变时，轨道半径将发生变化.(1)速度突然增大时2rMmG ＜r v m 2，万有引力小于向心力，做离心运动.(2)速度突然减小时，2rMmG ＞r v m 2，万有引力大于向心力，做向心运动.[例3] “神舟”六号飞船的成功飞行为我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”获得了宝贵的经验．假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．求：(1)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．(2)飞船在A 点处点火时，动能如何变化？(3)飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间．3-1．图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是( )A ．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B ．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C ．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D ．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力题型四关于地球同步卫星的问题 .地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h ＝86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.(4)高度一定：据2r Mm G =m r T 224π得r=3224πGMT＝4.24×104 km ，卫星离地面高度h ＝r －R≈6R(为恒量).(5)速率一定：运动速度v ＝2πr/T ＝3.07 km/s(为恒量). (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 注意：1.一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度不超过v ＝7.9 km/s.2．一般卫星的轨道是任意的，同步卫星的轨道在赤道平面内．但无论是一般卫星还是同步卫星，其轨道平面一定通过地球的球心．[例4] 2009年4月15日零时16分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，成功将第二颗北斗导航卫星送入预定轨道．这次发射的北斗导航卫星，是中国北斗卫星导航系统建设计划中的第二颗组网卫星，是地球同步静止轨道卫星．该卫星在预定轨道正常运行时，下列说法正确的是()A．它一定位于赤道的上空B．它可能经过北京上空C．其周期为1个月D．它的线速度大于7 900 m/s《曲线运动万有引力》章末知识整合【知识网络】四、卫星问题1．为什么第一宇宙速度既是卫星的最小发射速度，又是最大的环绕地球的速度？卫星的发射速度越大，升得越高，轨道半径越大，但环绕速度却越小．因为卫星到达轨道的过程中，要克服重力做功，所以轨道半径越大，发射速度越大；又由于卫星稳定运行时，环绕地球运GM(其中r为轨道半径，M为地球的质量)，所动的速度：v＝r以轨道半径r越大，环绕速度v却越小．当r＝R(R为地球半径)时，v＝7.9km/s(第一宇宙速度)为卫星的最大环绕速度，但此时轨道半径r最小，因此发射速度为最小．2．地球赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的向心力有何不同？地球赤道上的物体随地球一起自转，向心力由万有引力的一个分力提供；近地卫星和地球同步卫星的向心力全部由万有引力提供．地球赤道上的物体和地球同步卫星的角速度相同，地球同步卫星的角速度小于近地卫星的角速度．3．卫星的速度变化时，卫星如何运动？绕地球运行的卫星速度增大时，所需向心力增大，卫星要做离心运动，轨道半径增大，但卫星在向高轨道运动过程中，由于要克服重力做功．卫星速度减小．卫星稳定运行时，运动速度v ＝rGM ，所以卫星在高轨道运动的速度小于卫星速度增大前在原轨道运动的速度．绕地球运行的卫星速度减小时，所需向心力减小，卫星要做向心运动，轨道半径减小，但卫星在向低轨道运动过程中，重力做正功，卫星速度增大．卫星稳定运动时，运动速度v ＝rGM ，所以卫星在低轨道运动的速度大于卫星速度减小前在原轨道运动的速度．[例4] 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2( r 2< r 1)，以E 1K 、E 2K 表示卫星在这两个轨道上的动能．T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则( ) A ．E 2K < E 1K ，T 2< T 1 B ．E 2K < E 1K ，T 2> T 1 C ．E 2K > E 1K ，T 2< T 1 D ．E 2K > E 1K ，T 2> T 1【解析】卫星受阻力作用后动能减小，所需要的向心力减小，此时地球对卫星的万有引力大于卫星所需的向心力，从而卫星要做向心运动而往下运动致使半径减小，但是低轨道上的运行速度比高轨道的大，而后结合运动规律分析即可得解．由G 2r Mm=m r v 2可得：v=rGM又因为E K =21mv 2=rGMm 2,则E K ∝r 1所以E 2K >E 1K ,又由G2r Mm =mr(T π2)2,得：T=GMr 34π,则T ∝3r ，所以T 2<="" bdsfid="306" p="">【答案】 C6．万有引力与航天问题中常用的模型有如下几种：一、“同步卫星”模型地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全球通信和转播电视信号．同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天体——环绕天体”模型．同步卫星具有四个一定：①定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面；②定运行周期：与地球的自转周期相同，即T ＝24 h ；③定运行高度：由G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )(2πT )2，得同步卫星离地面的高度为：h ＝3GMT 24π2－R ≈3.6×104 km ；④定运行速率：v ＝GMr≈3.0 km/s.一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，即可实现全球通信(两极有部分盲区)．为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心的张角不能小于3°，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星，可见，空间位置也是一种资源．二、“地球自转忽略”模型在地球表面，分析计算表明：物体在赤道上所受的向心力最大，也才是地球引力的0.34%，故通常情形可忽略地球的自转效应，近似地认为质量为m 的物体重力等于所受的地球引力，即mg ＝G Mm R 2.所以，地表附近的重力加速度为g ＝GMR2.利用这一思路，我们可推出“黄金代换式” GM ＝gR 2.若物体在距地面高h 处，则有mg ′＝G Mm(R ＋h )2.所以，在距地面高h处的重力加速度为g ′＝GM (R ＋h )2＝g (R R ＋h)2. 【例5】“神舟”六号飞船发射升空时，火箭内测试仪平台上放一个压力传感器，传感器上面压着一个质量为m 的物体，火箭点火后从地面向上加速升空，当升到某一高度时，加速度为a ＝g 2，压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压力的1716，已知地球的半径为R ，g 为地面附近的重力加速度，试求此时火箭离地面的高度．三、“星体自转不解体”模型指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为：①具有与星球自转相同的角速度和周期；②万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力．因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相同，但周期不同)，也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径不同)．这三种情况又极易混淆，同学们应弄清．四、“双星”模型对于双星问题要注意：①两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；②两星球绕两星球间连线上的某点(转动中心)做圆周运动的角速度ω或周期T 的大小相等；③两星球绕转的半径r 1、r 2的和等于两星球间的距离L ，即r 1＋r 2＝L .说明万有引力公式和向心力公式中都有r 这个物理量，但它们的含义不同：万有引力定律中的r 是指两物体间的距离，而向心力公式中的r 则指的是圆周运动的半径．一般情况下，它们二者是相等的，如月球绕地球的运动，但在此双星问题中则根本不同：万有引力定律中的r ＝L ，而向心力公式中的r 则分别为r 1和r 2，它们的关系是r 1＋r 2＝L .【例7】在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星．已知两颗恒星质量分别为m 1、m 2，两星之间的距离为L ，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度．五、“卫星变轨”模型解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：①若F 供＝ F 求，供求平衡——物体做匀速圆周运动；②若F 供< F 求，供不应求——物体做离心运动；③若F 供> F 求，供过于求——物体做向心运动．2．一行星绕恒星做圆周运动.由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为 v .引力常量为 G ，则( )A ．恒星的质量为v 3T 2πGB ．行星的质量为4π2v 3GT 2C ．行星运动的轨道半径为vT 2πD ．行星运动的加速度为2πvT3．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星.若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝4 3πR 3，则可估算月球的( ) A ．密度B ．质量C ．半径D ．自转周期。

开普勒第三定律的适用范围开普勒第三定律，听上去有点高深，但其实说白了就是关于行星运动的一个规律。

大家可能听过，简单来说，它说的是行星距离太阳越远，公转周期就越长。

这就像我们在学校里上课，最后一排的同学总是要等到下课铃响才有机会走出教室，哈哈，开玩笑啦！不过，这个定律背后可不是那么简单，它其实是宇宙的一个奥秘，能够让我们更好地理解星星和行星之间的关系。

说到适用范围，咱们先得搞明白这个定律是在哪些情况下靠谱。

开普勒第三定律主要是针对太阳系里的大行星，比如地球、火星、木星等。

你可以想象一下，像木星那么庞大的家伙，它绕着太阳转的时间可真是“悠然自得”。

而那些小行星，或者说是像彗星这种不太“按套路出牌”的小家伙，开普勒的定律就不太管用啦，真是像街边小摊的生意，变化无常，谁也说不准。

再说了，这个定律主要是在牛顿万有引力法则的框架下成立的。

牛顿老爷子可是大名鼎鼎，定律一出，真是风靡一时，大家都开始用它来解释各种运动现象。

可想而知，开普勒的定律也沾了不少光。

对于那些受万有引力影响的天体，开普勒的定律就显得特别好使，犹如牛刀小试，简单又有效。

不过，咱们也不能把它当作万能钥匙。

开普勒的定律在某些情况下也有点“力不从心”。

比如，当你考虑那些质量巨大的天体，或者说是彼此之间相互作用的情况时，开普勒的定律就不太灵光了。

这就好比你和朋友一起打篮球，虽然你们有默契，但如果碰上一个超级巨星，那就得另当别论啦！所以，开普勒第三定律虽然很牛，但也有局限。

开普勒的定律就像一扇窗户，让我们看到一个更大的宇宙景象。

它的适用范围虽有限，但它揭示的却是宇宙中一种深邃的和谐美。

就像一首美妙的交响曲，虽然每个音符都有它的位置，但合在一起才能产生动人的旋律。

宇宙的舞蹈总是错综复杂，但开普勒的定律让我们在这复杂的舞步中找到了些许规律，真是让人感叹不已。

现代科学的发展让我们对这些定律有了更深的理解。

新发现的天体和现象不断涌现，咱们的视野也在不断扩展。

专题6 开普勒三定律及万有引力定律（教师版）一、目标要求目标要求重、难点开普勒三定律重点万有引力定律的基本概念重点万有引力与重力的关系重难点1.开普勒三定律（1）开普勒第一定律：又称轨道定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．（2）开普勒第二定律：又称面积定律，对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等S AB=S CD=S EK.（3）开普勒第三定律：又称周期定律，所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等．用公式表示：32akT，其中比例常数k与行星无关只与太阳有关．（4）对开普勒三定律的理解①开普勒三定律是实验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，主要是从运动学的角度描述了行星绕太阳的运动规律．②开普勒三定律否定了天体运行的圆轨道想法，建立了正确的行星轨道理论；它还指出行星绕太阳运行时远日点速率小，近日点速率大；开普勒第三定律提示了周期和轨道半径的关系，该定律具有普遍性，后面将学到的人造卫星也涉及相似的常数，此常数与卫星无关，只与地球质量有关．2．万有引力定律 (1)推导过程：①简化轨道：把实际的椭圆轨道看成是圆形轨道，天体做匀速圆周运动． ②圆周运动条件：引力向F F =，即2v F m r=．③开普勒定律的运用由于2π=r v T ，则2222π1()4π==⋅r rF m m T r T322'22224π()4π===r m m m k k T r r r ，其中32r k T =，'24π=k k ，所以2m F r∝=．④牛顿第三定律的结论：太阳对行星的引力与行星质量成正比，与距离平方成反比，而根据牛顿第三定律可知太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，性质相同．因此行星对太阳的引力一定与太阳质量成正比，因此'122m m F r∝．(2)定律内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比．把上面的结论写成等式122m m F Gr =，此式即为万有引力定律的公式表达形式． 公式中的G 叫做引力常量，116.6710G -=⨯N·m 2/kg 2．物理意义：对于任何物体来说，G 值都是相同的，它在数值上等于质量为1 kg 的两个物体，相距1 m 时的相互作用力．3．对万有引力定律的理解 (1)适用条件：①当两个物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看成质点，直接使用万有引力定律计算．②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们之间的引力也可直接用公式计算，但式中r 是指两球心间距离．③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力．(2)万有引力的性质：①普遍性：万有引力存在于任何两个有质量的物体之间． ②相互性：万有引力的作用是相互的，符合牛顿第三定律．③一般物体之间虽然存在万有引力，但是很小，天体与物体之间或天体之间的万有引力才比较显著．(3)万有引力定律的意义：①万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一，将天地间的规律统一起来，第一次提示了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑．②消除了人们的迷信思想，使人们有信心、有能力理解天地间的各种事物，解放了思想，在科学文化的发展上起到了积极的推动作用．4．地球上的重力和万有引力的关系在地球表面上的物体所受的万有引力引F 可以分解成物体所受的重力mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力F ，如图所示，其中2引MmF GR=，而2F mr ω=(1)当物体在赤道上时，引F 、mg 、F 三力同向，此时F 达到最大值2max F mR ω=，重力加速度达到最小值2min 2引F F Mg GR mRω-==-； (2)当物体在两极的极点时，0F =，引F mg =，此时重力等于万有引力，重力加速度达到最大值，此最大值为max 2M g G R =；因为地球自转角速度很小，22Mm G mR Rω，所以在一般情况下计算时认为2Mm mg GR =。

万有引力与航天考点微专题1 开普勒三定律一知能掌握 1.开普勒三定律定律 内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量2. 开普勒三定律的理解和应用（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．（3）开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 3.从动力学角度和能量角度理解第二定律二 探索提升【典例1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】 C【解析】由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A 错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B 错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C 正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D 错误．【典例2】某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a ，近日点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时行星的速率为( )A ．v b ＝b a v aB ．v b ＝a b v aC ．v b ＝ab v a D ．v b ＝bav a 【答案】 C【解析】如图所示，A 、B 分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的面积相等，取足够短的时间Δt ，则有：v a ·Δt ·a ＝v b ·Δt ·b ，所以v b ＝a bv a .【典例3】地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为( )A ．0.19B ．0.44C ．2.3D ．5.2【答案】B【解析】据开普勒第三定律R 3木T 2木＝R 3地T 2地，得木星与地球绕太阳运动的周期之比T 木T 地＝R 3木R 3地，线速度v ＝2πR T，故两行星线速度之比v 木v 地≈0.44，故B 项正确． 三高考真题1.(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【答案】 B【解析】开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．2.(多选)(2016·江苏卷·7)如图1所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )图1A ．T A >TB B ．E k A >E k BC ．S A ＝S B D.R A 3T A 2＝R B 3T B2 【答案】 AD【解析】由GMm R 2＝mv 2R ＝m 4π2T 2R 和E k ＝12mv 2可得T ＝2πR 3GM ，E k ＝GMm2R，因R A >R B ，则T A >T B ，E k A <E k B ，A 对，B 错；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，则对于卫星A 、B ，S A 不一定等于S B ，C 错；根据开普勒第三定律知，D 对．四 实践拓展1．地球在绕太阳转动的同时，本身绕地轴在自转，形成了春、夏、秋、冬四个季节，则下面说法正确的是( )A ．春分时地球公转速率最小B ．夏至时地球公转速率最小C ．秋分时地球公转速率最小D ．冬至时地球公转速率最小 【答案】B【解析】由开普勒第二定律知，地球与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．夏至时地球运动至远日点附近，离太阳最远，其速率最小，故B 正确．2．太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现数十颗．下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数．则两卫星相比较，下列判断正确的是( )卫星 距土星的距离/km半径/km 质量/kg 发现者 土卫五 527 000 765 2.49×1021卡西尼 土卫六1 222 0002 5751.35×1023惠更斯C ．土卫六的向心加速度较小D ．土卫五的公转速度较大 【答案】ACD【解析】比较同一个行星的两卫星的运动情况，其方法与比较太阳的任意两颗行星的运动情况的方法一样．卫星本身的大小、形状与其运动快慢无关．筛选所给的信息，其重要信息是：卫星离土星的距离，设其运动轨道是圆形的，且做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律：轨道半径的三次方与公转周期的二次方的比值相等，得选项A 正确．土卫六的周期较大，则由匀速圆周运动的知识得，土卫六的角速度较小，故选项B 错误．根据匀速圆周运动向心加速度公式a ＝ω2r ＝(2πT )2r 及开普勒第三定律r 3T 2＝k 得a ＝4π2T2r＝4π2·r 3T 2·1r 2＝4π2k 1r 2，可知轨道半径大的向心加速度小，故选项C 正确．由于v ＝2πr T＝2πr 3T 2·1r＝2πk ·1r，可知轨道半径小的公转速度大，故选项D 正确． 3.我国发射的第一颗人造卫星，其近地点高度h 1＝439 km ，远地点高度h 2＝2 384 km ，求卫星在近地点与远地点运动的速率之比v 1v 2.(已知R 地＝6 400 km ，结果用h 1、h 2、R 地表示，不计算具体数值)【答案】R 地＋h 2R 地＋h 1【解析】根据开普勒第二定律，地球和卫星的连线在相等时间内扫过的面积相等．Δt 时间内，卫星在近地点和远地点扫过的面积分别为12R 21θ1和12R 22θ2，则12R 21θ1＝12R 22θ2.即12R 21ω1Δt ＝12R 22ω2Δt 又v 1＝R 1ω1，v 2＝R 2ω2故v 1R 1＝v 2R 2，v 1v 2＝R 2R 1＝R 地＋h 2R 地＋h 14.地球到太阳的距离为水星到太阳的距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？ 【答案】12.6 【解析】设地球绕太阳运转周期为T 1，水星绕太阳运转周期为T 2，由开普勒第三定律有a 31T 21＝a 32T 22.因地球和水星都绕太阳做近似匀速圆周运动，故T 1＝2πa 1v 1，T 2＝2πa 2v 2.联立上式得v 1v 2＝a 2a 1＝12.6. 5.2012年9月19日，我国月球探测工程首席科学家欧阳自远在发展中国家科学院第23届院士大会上表示，我国探月工程将在2013年发射“嫦娥三号”．假设“嫦娥三号”升空后，先进入近地圆轨道，然后在地面控制中心发出的指令下经过一系列的变轨后被月球捕获，经两次制动后绕月球做半径为R 的圆周运动，如图所示，其运行周期为T . 当“嫦娥三号”快运动到A 点时地面控制中心发出指令，使其速率降低到适当数值，从而使其沿着以月心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和月球表面在B 点相切，这样就可实现“嫦娥三号”在月球的表面登陆．如果月球半径为R 0，求“嫦娥三号”由A 点运动到B 点经历的时间．【答案】14R ＋R 032R3T .【解析】“嫦娥三号”绕月球做圆周运动时，有R 3T2＝k“嫦娥三号”进入椭圆轨道运动时，其椭圆轨道的半长轴为R ＋R 02，有(R ＋R 02)3/T ′2＝k解得“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的周期T ′＝R ＋R 038R3T “嫦娥三号”由A 点运动到B 点经历的时间为t ＝12T ′＝14R ＋R 032R3T .6.设地球E (质量为M )是沿圆轨道绕太阳S 运动的，当地球运动到位置P 时，有一艘宇宙飞船(质量为m )在太阳和地球连线上的A 处，从静止出发，在恒定的推进力F 的作用下，沿AP 方向做匀加速运动，如图所示，两年后到达P 处(飞船与地球之间的引力不计)，再过半年到达Q 处．根据以上条件，求地球与太阳之间的引力．【答案】【解析】 设半年时间为t ，地球绕太阳运行的半径为R ，则飞船由A 运动到P 点的时间为4t ，到达Q 点的时间为5t ，P 、Q 两点的距离为2R ，根据牛顿第二定律和运动学公式，得2R ＝12×F m (5t )2－12×F m (4t )2＝9Ft 22m地球绕太阳运行的周期为一年，即T ＝2t ，其向心力由地球与太阳间的引力提供，所以F 引＝F 向＝MR 4π2T 2＝4π2MR 2t 2＝π2MR t 2，解得F 引＝9π2MF 4m .[【答案】9π2MF4m7.如图所示，在半径为R 的铅球中挖出一个与铅球相切的球形空穴，空穴直径为R ，并通过铅球的球心．在未挖出空穴前铅球质量为M .求挖出空穴后铅球与距铅球球心距离为d 、质量为m 的小球(可视为质点)间的万有引力．【答案】 GMm 7d 2－8dR ＋2R 28d 2d －R 22【解析】设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F 1，挖出的球形实体(质量为M8，这里不再具体计算)与小球间的万有引力为F 2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F ，则有F 1＝F ＋F 2.根据万有引力定律可得F 1＝G Mm d2，F 2＝GMm 8d －R22故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为F ＝F 1－F 2＝G Mm d2－GMm 8d －R22＝GMm 7d 2－8dR ＋2R 28d 2d －R 22.8.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC ．(R －d R)2D ．(RR －d)2【答案】【解析】由题意可知，地球表面深度为d 的地壳部分对矿井底部的引力为零，半径为R －d 的部分“地球”对矿井的引力为mg ′＝GM ′m R －d 2，位于地球表面的物体m 根据万有引力定律得，mg ＝GMmR 2，根据质量分布均匀的物体的质量和体积成正比可得：M ′M ＝R －d3R 3，由以上三式可得，g ′g ＝1－dR，A 项正确．。

一.必备知识1.开普勒三定律 定律 内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量 2.（1）微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a 、b ，取足够短的时间Δt ，则行星在Δt 时间内的运动可看作匀速直线运动，由S a ＝S b 知12v a ·Δt ·a ＝12v b ·Δt ·b ，可得v a ＝v b b a 。

行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

（2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。

半径等于半长轴。

（3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

（4）开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

二.经典例题精讲：例1：(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。

若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于T0 4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功思维引导：(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？提示：不相等。

(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？提示：没有。

答案：CD解析：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。

《开普勒行星运动三定律》讲与练一、内容第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

第二定律（速率定律）：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

其数学表达式为：，式中k是只与太阳有关的常量。

二、推广推广之一：行星绕太阳的圆周运动行星绕太阳运动的椭圆轨道的长、短半轴的长度相差不太大。

因此，可将行星绕太阳的椭圆轨道运动视为圆周轨道运动。

这样，开普勒行星运动三定律可叙述如下：1．所有行星围绕太阳运动的轨道，是半径不同的同心的圆，太阳处在圆心上；2．行星绕太阳的运动，是匀速圆周运动；3．所有行星的轨道的半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

其数学表达式为：。

推广之二：任何天体的圆周运动开普勒行星运动三定律，还可推广到任何天体的环绕运动。

即一个天体环绕另一个天体的运动都是匀速圆周运动，圆周轨道的半径与公转周期满足。

此处的与原式中的k不同，它与运动天体所环绕的天体有关，对于不同的环绕天体不同。

三、重难点1．正确理解开普勒行星运动定律，要注意以下几点：①行星速度的变化：第一定律说明了行星绕太阳运动的轨道的几何形状及太阳所处的位置，所有行星的椭圆轨道的一个焦点是重合的。

由于是椭圆轨道，运动中行星到太阳的距离将发生变化，太阳对其的万有引力将发生变化，做功情况也将变化。

从近日点向远日点运动，太阳的万有引力做负功，行星的引力势能增大，动能或速度变小；从远日点向近日点运动，太阳的万有引力做正功，行星的引力势能减小，动能或速度变小。

因此，行星经过近日点时的速度最大，经过远日点时的速度最小。

第二定律说明了运动中行星的速度大小随位置变化的规律。

由于在相等的时间里，行星与太阳连线扫过相等的面积，运动中，行星离太阳的距离变化，使得扇形的半径变化。

因此，相等时间里行星运动经过的弧长变化，线速度变化。

开普勒三大定律知识点总结
一、第一定律
开普勒的第一定律又称椭圆轨道定律，它指出：行星绕太阳运行的轨道是一个
椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。

这意味着行星并不是沿着圆形轨道运行的，而是沿着一个略微变形的椭圆轨道运行。

在椭圆轨道中，太阳并不位于中心，而是处于离中心稍远的一个焦点位置。

二、第二定律
开普勒的第二定律被称为面积定律，它描述了行星在其椭圆轨道上的运动速度。

该定律指出：行星与太阳之间的连线在相等的时间内，扫过的面积是相等的。

这意味着，当行星离开太阳较近的地方时，它速度会加快；而当行星远离太阳时，速度会减慢。

这就解释了为什么行星在远离太阳的地方速度较慢，在靠近太阳的地方速度较快的原因。

三、第三定律
开普勒的第三定律被称为周期定律，它揭示了行星绕太阳公转的时间与其轨道
半长轴的立方成正比的关系。

换句话说，如果我们知道一个行星绕太阳公转一周需要多少时间，通过这个定律我们就可以推断出其距离太阳的平均距离。

这个定律为我们研究天体运动提供了极大的帮助，让我们更深入地理解了行星运动的规律。

结论
开普勒的三大定律为我们揭示了太阳系中行星运动的规律，为我们解释日月星
辰之间的关系提供了有力的依据。

通过深入研究和理解这些定律，我们可以更好地认识到宇宙中的奥秘，揭示自然界中的规律和秩序。

开普勒定律的发现对天文学的发展产生了深远的影响，也为我们打开了探索宇宙深处的大门，带来了更多的思考和探索的动力。