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第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。
若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。
例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，TA 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232+-的特征值为_______例3 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______ 例5 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10200002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x 例6 设n 阶方阵A 满足0232=+-I A A ，求A 的特征值例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k例8 设A 为非零方阵，且0=mA (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似 例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵结论 总结1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A2 如果mλλ,,1 是方阵A 的特征值，m P P ,,1 是与之对应的特征向量，如mλλ,,1 互不相等时，m P P ,,1 线性无关3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值5 n 阶方阵A 与对角阵∧相似，即A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量6 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似对角化7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵n n A A ⨯=，必存在正交矩阵P ，使∧=-AP P 1，其中∧是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A 可逆的充要条件是A 的特征值全不为零习 题一 填空题1 设A 为3阶矩阵，其特征值为2,1,3-，则A =________ 1-A 的特征值为________，E A A +-322的特征值为________2 如果二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231,127B x y A 相似，则 __________==y x 3 若n 阶可逆阵A 的每行元素之和是)0(≠a a ，则数________一定是E A +-12的特征值4 设三阶矩阵A 有3个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则______=A5 若E A =2，则A 的特征值为________6 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n ,,2,1 ，则_______=+I A7 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101120101A 2≥n ，则_______21=--n n A A 8 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=61000512141A 则 ______lim =∞→n n A二 选择题1 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A A 的特征值为3,2,1，则( ) A ）8,4,2===z y x B) R z y x ∈==,4,1 C) R z y x ∈=-=,2,2 D) 3,4,1===z y x2 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x 123022有一特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-35，则)(=xA) 18- B) 16- C) 14- D) 12-3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111x A A 有特征值2,621==λλ (二重 )，且A 有三个线性无关的特征向量，则______=xA) 2 B) 2- C) 4 D) 4-4 若B A ~(等价 )，则有( )A ）B I A I -=-λλ B) B A =C) 对于λ，矩阵A 与B 有相同的特征值与特征向量 D) A 与B 均与一对角矩阵相似 5 已知矩阵A 的各列元素之和为3，则( )A) A 有一个特征值为3，并对应一个特征向量T )1,,1,1( B) A 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量T )1,,1,1( C) 3不一定是A 的特征值 D) A 是否有特征值不能确定 6 设A 是三阶矩阵,有特征值2,1,1-,则下列矩阵中可逆的是( ) A) A I - B) A I + C) A I -2 D) A I +2 三 解答题1. 设三阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次为：T )1,1,1(1=ξ，T )4,2,1(2=ξ，T )2,3,1(3=ξ，又向量T )3,1,1(=β1) 将β 用321,,ξξξ线性表示 2) 求βnA(n 为自然数)2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=06303012x A 有3个线性无关的特征向量，求100A3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 求A 的特征值与对应的特征向量，A 是否对角阵相似。
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。
若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。
例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，T A 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232+-的特征值为_______ 例3 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______ 例5 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10200002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x 例6 设n 阶方阵A 满足0232=+-I A A ，求A 的特征值 例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 例8 设A 为非零方阵，且0=m A (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似 例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵结 论 总结1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A2 如果m λλ,,1Λ是方阵A 的特征值，m P P ,,1Λ是与之对应的特征向量，如m λλ,,1Λ互不相等时，m P P ,,1Λ线性无关3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值5 n 阶方阵A 与对角阵∧相似，即A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量6 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似对角化7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵n n A A ⨯=，必存在正交矩阵P ，使∧=-AP P 1，其中∧是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A 可逆的充要条件是A 的特征值全不为零习 题一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则( )。
(a) ||1A = (b) A 的特征根都是1 (c) ()r A n = (d) A 一定是对称阵4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( )。
(a) 1200k k ==且 (b) 1200k k ≠≠且 (c) 120k k = (d) 1200k k ≠=且5. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( )。
(a) 1||n A λ- (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ6. 设2是非奇异阵A 的一个特征值,则211()3A -至少有一个特征值等于( )。
(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/47. 设n 阶方阵A 的每一行元素之和均为(0)a a ≠,则12A E -+有一特征值为( )。
(a)a (b)2a (c)2a+1 (d)2a +18. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）。
(a)线性相关 (b)线性无关(c)两两相交 (d)其和仍是特征向量9. 下列说法不妥的是（ ） (a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100321z y x A A 的特征值为3,2,1，则( )A ）8,4,2===z y x B) R z y x ∈==,4,1C) R z y x ∈=-=,2,2 D) 3,4,1===z y x11 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 123022有一特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35，则)(=xA) 18- B) 16- C) 14- D) 12-12 已知矩阵A 的各列元素之和为3，则( )A) A 有一个特征值为3，并对应一个特征向量T )1,,1,1(ΛB) A 有一个特征值为3，并不一定对应有特征向量T )1,,1,1(ΛC) 3不一定是A 的特征值 D) A 是否有特征值不能确定13 设A 是三阶矩阵,有特征值2,1,1-,则下列矩阵中可逆的是( )A) A I - B) A I + C) A I -2 D) A I +2二 填空题1 设A 为3阶矩阵，其特征值为2,1,3-，则A =________ 1-A 的特征值为________，E A A +-322的特征值为________2 如果二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231,127B x y A 相似，则 __________==y x 3 若n 阶可逆阵A 的每行元素之和是)0(≠a a ，则数________一定是E A +-12的特征值4 设三阶矩阵A 有3个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则______=A5 若E A =2，则A 的特征值为________6 设n 阶方阵A 的n 个特征值为n ,,2,1Λ，则_______=+I A7 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101120101A 2≥n ，则_______21=--n n A A 8 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=610005102141A 则 ______lim =∞→n n A 三 解答题 1. 设三阶矩阵A 的特征值为 3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次为： T )1,1,1(1=ξ，T )4,2,1(2=ξ，T )2,3,1(3=ξ，又向量T )3,1,1(=β1) 将β 用321,,ξξξ线性表示 2) 求βnA (n 为自然数) 2 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=06303012x A 有3个线性无关的特征向量，求100A3. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A 求A 的特征值与对应的特征向量，A 是否对角阵相似。
若相似，写出使∧=-AP P 1的矩阵P 及对角阵∧，并计算TA )2,3,1(10，5A 4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20135212b A ，已知1-=A ，A 的伴随矩阵*A 的特征值0λ对应的特征向量T )1,1,1(--=α，求0λ和b 的值四、证明题1设α为n 维非零列向量，T T n A a a a ααα==,),,,(21Λ证明：1） kA A =2 (k 为某常数) 2) α是A 的一个特征向量。
3) A 相似于对角阵。
2 设n 阶方阵A 有n 个对应于特征值λ的线性无关的特征向量，则E A λ=。
3 设n 阶方阵A 的每行元素之和都为常数a ，求证：1) a 为A 的一个特征值； 2) 对于任意自然数m ，m A 的每行元素之和都为m a4 设三阶方阵A 的三个特征值 321,,λλλ互异，分别对应于特征向量321,,ααα 证明：32121,ααααα+++ 都不是A 的特征向量。
5 设A ，B 为n 阶方阵，证明：BA AB ,都有相同的特征值。
6 设21,λλ是A 的两个不同的特征值， ξ是对应于1λ的特征向量，证明： ξ不是2λ的特征向量（即一个特征向量不能属于两个不同的特征值）。
答 案一 10B 11B 12 A 13 D二、1 6- 1-A 的特征值为：21,1,31- ；E A A +-322的特征值为：3,6,10；2. 1,2-=-=y x ；3. 12+a ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλA 5. 1± 6. )!1(+n 7. 0 8. 0三1 32122ξξξβ+-=， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=+++++23111322322322n n n n n n n A β2 ;3636330340132321341100100101100100100101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅--⋅--⋅+3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010005101011111P ,5215215223110101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯-⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3110423110413110413110413110423110413110413110413110425A 4 3,10-==b λ四、提示 1 略 2 略3 略 4 略 5 若AB 有特征值0，则0=AB ，从而0=BA 即BA 也有0为其特征值，若BA 有0≠λ为其特征值，令相应的特征向量为)0(≠ξ 则λξξ=BA ，两边右乘A ，有)()(ξλξA A AB = 则必有0≠=ξηA （否则，0=λξ从而0=λ，与假设矛盾），从而有ληη=AB ，即λ也是AB 的特征值，从而AB 与BA 的特征值一一对应，从而AB 与BA 有相似的特征值。
6 反证法。
