含参数导数问题的三个基本讨论点

穿透迷雾求归路――对含有参数的导数问题的一些分析 延安中学 黄伟谨 内容简介：导数作为最为重要的数学工具之一，在数学物理等学科中有非常广泛的应用。

自从导数内容成为高中数学教材以后，与导数有关的问题特别是含有参数的导数问题成为近年来高考的热点。

含有参数的导数问题自然与成为了中学数学老师和学生重点关注的对象。

由于含有参数的导数问题在解题过程中往往需要对参数进行求值或讨论分析，本文主要介绍了几种常用的求值方法，以及如何用分类及构造的方法求参数的取值范围。

关键词：参数 导数 极值 最值 分类讨论 构造导数作为最为重要的数学工具之一，在数学物理等学科中有非常广泛的应用。

自从导数内容成为高中数学教材以后，与导数有关的问题特别是含有参数的导数问题成为近年来高考的热点。

含有参数的导数问题自然与成为了中学数学老师和学生重点关注的对象。

由于含有参数的导数问题在解题过程中往往需要对参数进行求值或讨论分析，因此它也是高中学生答题的难点，本文主要针对这一问题加以分析讨论，以供参考。

对含有参数的导数问题中的参数进行求值。

比较常见与典型的有下面几种情况：在含在参数的导数问题中，最为常见的一类求值问题是已知函数的极值点（有时是最值），利用函数)(x f y =在在0x x =处取得极大值或极小值时，此时0)('=x f 将0x x =代入即可求出参数的值。

例一．（2012年高考（江苏））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值;解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，.另一类常见的对参数求值的问题主要研究函数m x g x f +=)()(（其中)(x g 为已知函数），在这一问题中由于)(x g 是已知的，所以函数m x g x f +=)()(的基本图形是固定的，参数m 仅仅决定函数m x g x f +=)()(的上下位置。

导数中的参数问题(解析版)导数中的参数问题（解析版）在微积分学中，导数是一个重要的概念，常被用来研究函数的变化率和极值等性质。

然而，在实际应用中，函数中常常含有参数，这就引发了导数中的参数问题。

本文将从多个角度解析导数中的参数问题，并探讨其在实际情境中的应用。

一、导数定义与基本性质（无参数）首先，我们需要回顾导数的定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数定义为导函数f'(x)。

导数衡量了函数在某点的切线斜率，反映了函数在该点的变化趋势。

在一般情况下，函数的表达式中并不含有参数。

此时，我们可直接按照传统的导数定义来求导，例如对于函数f(x) = x^2，我们可以通过求导来得到f'(x) = 2x。

导数有一些基本性质，如可加性、常数因子、幂次法则等。

这些性质在求解无参数的导数问题时非常有用，能够帮助我们简化计算与分析过程。

二、含参数的函数的导数求解当函数中含有参数时，求解导数问题就不再像无参数的情况那样简单。

此时，我们需要对参数进行求导，其中常用的方法有隐函数求导法和代数方法。

1. 隐函数求导法当函数表达式中存在隐含的关系式时，我们可以使用隐函数求导法来求解参数相关的导数问题。

例如，考虑函数f(x, y) = x^2 + y^2 = 1，其中y是参数。

我们可以通过对该函数进行求导来得到df/dx的表达式，即导数关于自变量x的函数。

2. 代数方法对于一些特定的参数问题，我们可以通过代数方法巧妙地求解导数。

例如，对于函数f(x, a) = x^a，其中a是参数，我们可以利用对数函数的性质来求导，即将f(x, a)转化为ln(f(x, a))，然后利用导数的链式法则和幂次法则得到df/dx的表达式。

三、参数问题的实际应用导数中的参数问题在实际应用中扮演着重要的角色，能够帮助我们解决各种实际问题。

以下是几个典型的应用场景：1. 物理学中的参数问题在物理学中，很多函数表达式含有参数，例如自由落体运动的位移函数，电路中的电流与电压关系等。

导数含参数的知识点
嘿，咱今天就来好好聊聊导数含参数这个事儿！你想想看啊，导数就像是一个神奇的工具，能帮我们理解函数变化的快慢。

可当这导数里有了参数，哇哦，那就像是一场更刺激的冒险了！
比如说，有个函数f(x)=ax²+bx+c，这里的 a 就是个参数呀！当 a 的
值变化的时候，整个函数的图像形态都会发生改变呢！这不就好像你换了一套不同风格的衣服，整个人的感觉都不一样了嘛！
咱再举个例子，假设有个函数g(x)=mx³+nx²。

如果 m 很大，那这个
函数在某些地方变化得可就超级快呀！就像一辆跑车在赛道上飞驰；要是
m 很小，那可能就像骑自行车，慢悠悠的。

而且哦，研究导数含参数的时候，那真的是要小心又小心。

有时候就差那么一点点，结果可能就完全不同啦！像在解一些题目时，得仔细分析参数的取值范围，这可不能马虎。

比如说要找到函数的极值点，就得根据参数的不同情况来讨论呢！你说这是不是得打起十二分精神？
我就记得有一次做作业，碰到一道导数含参数的题目，我一开始还不以为意，结果越做越觉得不对劲，后来才发现是自己没考虑到参数的一种特殊
情况。

哎呀，那可真是让我懊恼极了！还好我及时发现，重新认真分析，最后终于做出来了，那种成就感真的是无与伦比呀！
总的来说，导数含参数虽然有点难搞，但只要我们认真对待，多做练习，就一定能掌握它！就像我们征服一座高峰一样，虽然过程充满挑战，但登顶之后的喜悦是无法用言语来形容的！加油吧，我们都能行！。

使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
利用导数来解决含参函数单调性问题，是一个经典的数学问题，也是高数学习者常遇到的一大难题。

要想确定一个参数函数的单调性，就要考虑它的导数变化，这就引出了利用导数来解决含参函数单调性的讨论方法。

首先，我们必须了解如何计算函数的导数。

对于一元函数，可以从原函数中求得导数的定义，即求偏导；也可以使用分部法及牛顿法，直接求出导数；而多元函数的导数一般由偏导方程式求得，其中可利用梯度、相对极值等概念计算函数的偏导数及其导数大小。

之后，可以利用导数把单调性转化为数学上的一种判断，即若一函数的导数大小符合特定条件，则该函数的单调性也得到确定，不断更新函数的参数就可以实现单调性。

如果在更新函数参数的过程中，函数的导数量一直大于0，则函数具有上升的单调性，反之，如果函数的导数量一直小于0，则函数具有下降的单调性。

此外，利用导数来解决含参函数单调性的另一个方面就是，可以根据该函数的导数表达式，计算其函数值的变化与自变量的变化。

当自变量变化时，就可以求取函数的导数值，从而归结出函数某个确定点处的单调性。

总之，利用导数来解决含参函数单调性，总结起来就是这样：首先，计算函数导数，然后根据函数的导数表达式近似计算函数某一确定点处的单调性；最后，根据函数的导数大小，可以判断该函数的单调性，并利用不断更新函数参数的过程来最大程度地实现单调性。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

重点：1、含参数单调性的讨论；2、函数在某个区间单调求参数取值范围难点：含参数单调性的讨论一、基本知识点A 、在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：1.先明确定义域（通常针对的是对数函数）2.求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）。

即在定义域范围内恒单调递增或递减。

3.当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）4.根据参数的范围划分好单调区间。

B 、函数在给定某个区间内的单调，求参数的取值范围的解题思路或步骤： 主体思路跟上面类似，结合单调区间判定极值点相对位置。

C 、函数是给定的，单调区间是含有参数的解题思路和步骤：先把函数的单调区间明确，而条件中的单调区间是函数单调区间的某个子集。

二、基础模块例1. 设函数x kx x x f +-=23)( 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;例2. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。

求函数()f x 的单调区间与极值点。

例3. 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈求函数()f x 的单调区间例4. 已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;例5. 已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.例6. 已知函数f （x ）=x 3+3x 2若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.三、拓展模块例1. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.例2. 设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.例3. 已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。

从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。

一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。

通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾 1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）疑难解释1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x )－0 ＋g (x )极小值所以当x ＝3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

由一道高考题探究含参数的函数如何讨论导数问题近年总有含参数的函数近年总有含参数的函数((或数列或数列))的考题的考题,,一般都可用常规方法求解一般都可用常规方法求解..首先概念要清楚首先概念要清楚, , 含参数的函数不是一个函数含参数的函数不是一个函数,,参数的值不同参数的值不同,,就是不同的函数其次其次,,应该对参数分类应该对参数分类,,即按照参数的不同变化范围分成若干情形参数的不同变化范围分成若干情形,,再分别讨论再分别讨论. . . 含参数的函数含参数的函数含参数的函数((或数列或数列))的问题在高考中都是以综合题的方式出现的是以综合题的方式出现的,,其主要以考查考生分析问题其主要以考查考生分析问题,,逻辑推理的能力为主逻辑推理的能力为主..在平时的复习备考中要有针对性的进行训练备考中要有针对性的进行训练..下面我们以一道含参数的函数讨论导数问题的高考题为例加以说明以说明. . 例.已知函数已知函数 1()e 1ax x f x x-+=-. (Ⅰ) ) 设设a >0, >0, 讨论讨论讨论 y = f (x ) ) 的单调性的单调性的单调性; ;(Ⅱ) ) 若对任意若对任意若对任意 x ∈(0,1) (0,1) 恒有恒有恒有 f (x ) >1, ) >1, 求求 a 的取值范围的取值范围. .解题指导:本题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查逻辑推理能力基本方法，考查逻辑推理能力..本题的解法是常规方法本题的解法是常规方法, , , 但需要我们函数概念清楚、逻辑推但需要我们函数概念清楚、逻辑推理能力强理能力强. . . 解答时需要注意三点解答时需要注意三点解答时需要注意三点, , , 一是本类题目应该对参数一是本类题目应该对参数a 进行分类讨论进行分类讨论, , , 而不是对函而不是对函数的定义域分类讨论数的定义域分类讨论, , , 具体到本题具体到本题具体到本题, , , 应该分应该分0<a <2, a =2, a >2三种情况讨论三种情况讨论. . . 二是在函数单二是在函数单调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）, , , 则函数在这个区间上单增（减）”中则函数在这个区间上单增（减）”中则函数在这个区间上单增（减）”中,,“区间”这个条件也是不能少的这个条件也是不能少的, , , 本小题函数的定义域不是区间本小题函数的定义域不是区间本小题函数的定义域不是区间, , , 需要把定义域分成区间需要把定义域分成区间需要把定义域分成区间, , , 再判再判定函数在每一区间的单调性定函数在每一区间的单调性. . . 三是注意细节三是注意细节三是注意细节, , , 如数学符号书写应该正确如数学符号书写应该正确如数学符号书写应该正确, , , 以及本小题两问以及本小题两问中参数a 的变化范围不同的变化范围不同. . . 解答如下解答如下解答如下. .解: (: (ⅠⅠ) ) 函数函数f (x )的定义域为的定义域为(-(-(-∞∞, 1), 1)∪∪(1, +(1, +∞∞), ), 导数为导数为导数为ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22. (ⅰ) ) 当当0<a <2时, , 导数恒正导数恒正导数恒正, , , 故故f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞) ) 为增函数为增函数为增函数. . (ⅱ) ) 当当a =2时, ),1,0(,0)(¹¹>¢x x x f 故f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞)仍为增函数增函数. .(ⅲ) ) 当当a >2时, , 解解0)(=¢x f 得x =±aa 2-, x (-(-∞∞, -a a 2-) (-a a 2-,a a 2-) (aa 2-, 1) (1, + (1, +∞∞) )(x f ¢ + -+ + )(x f ↗↘ ↗ ↗ f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, -a a 2-), (aa 2-, 1), (1, +, 1), (1, +∞∞) ) 为增函数为增函数为增函数, , f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (-a a 2-,aa 2-)为减函数为减函数. . (Ⅱ) ) 参数参数a 的变化范围和的变化范围和((Ⅰ) ) 不同不同不同, , , 但由但由但由((Ⅰ) ) 知仍分三种情形讨论知仍分三种情形讨论知仍分三种情形讨论. .(ⅰ) ) 当当0< a ≤2时, , 由由(Ⅰ) ) 知知f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (- (-∞∞, 1) 1) 为增函数为增函数为增函数, , , 故对于任意故对于任意x ∈(0,1) 1) 恒有恒有恒有 f (x ) > f (0) =1, (0) =1, 因而这时因而这时a 满足要求满足要求. .(ⅱ) ) 当当a >2时, , 由由(Ⅰ) ) 知知f (x ) ) 在区间在区间在区间 (- (-a a 2-,aa 2-)为减函数为减函数, , , 故在区间故在区间故在区间(0, (0, a a 2-) ) 内任取一点内任取一点内任取一点, , , 比如取比如取210=x aa 2-, , 就有就有就有 x 0∈(0, 1) (0, 1) 且且 f (x 0) < f (0) =1, 因而这时a 不满足要求不满足要求. . (ⅲ) ) 当当a ≤0时, , 对于任意对于任意x ∈(0, 1) (0, 1) 恒有恒有恒有 1()e 1ax x f x x -+=-≥111>-+xx , , 这时这时a 满足要求满足要求. . 综上可知综上可知, , , 所求所求所求 a 的取值范围为的取值范围为 a ≤2.反思提高: 含参数的函数含参数的函数((或数列或数列))问题难点在于对参数值的分类讨论问题难点在于对参数值的分类讨论..讨论的原则应该是解除参数值的不确定性是解除参数值的不确定性..也就是说参数值如何阻碍解题也就是说参数值如何阻碍解题,,就怎么讨论就怎么讨论..比如该题在比如该题在((Ⅰ)中,确定导函数ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22的正负时的正负时,,关键是要确定22ax a +-的正负的正负,,而2a-的正负不确定就无法判定导函数ax x a ax x f ---+=¢e )1(2)(22的正负的正负..所以分0<a <2, a =2, a >2三种情况讨论三种情况讨论. .错源分析:解答不够严谨会导致许多同学出现错误解答不够严谨会导致许多同学出现错误, , , 例如计算出“当例如计算出“当0<a <2时, , 导数恒导数恒正”后正”后, , , 就说“就说“f (x ) ) 在在R 上为增函数”或“f (x ) ) 在定义域为增函数”在定义域为增函数”在定义域为增函数”, , , 前者错在没有考前者错在没有考虑定义域虑定义域, , , 后者错在没有掌握好单调性判定定理后者错在没有掌握好单调性判定定理后者错在没有掌握好单调性判定定理, , , 忽视了本题里函数的定义域不是区间忽视了本题里函数的定义域不是区间忽视了本题里函数的定义域不是区间. . 这些是实质性的错误这些是实质性的错误. . . 还有类似的错误还有类似的错误还有类似的错误, , , 如写如写“f (x ) ) 在在(-(-∞∞, 1)1)∪∪(1, +∞)为增函数”, , 这这也可能仅仅是数学式写错了也可能仅仅是数学式写错了, , , 不该用“∪”不该用“∪”不该用“∪”. . . 数学式写错的还有“数学式写错的还有“f (x ) ) 在在]1,(-¥为增函数”数”, , , 这里不应该用中括号这里不应该用中括号这里不应该用中括号 “]”.另一类容易出现的错误是第另一类容易出现的错误是第((Ⅰ)问中不讨论参数的值问中不讨论参数的值, , , 第第(Ⅱ)问中只讨论a >0情形情形. . 第(Ⅱ)问中还有容易导致的逻辑错误问中还有容易导致的逻辑错误. . . 例如“因为例如“因为f (0)=1, (0)=1, 故只要故只要f (x ) ) 在区间在区间在区间 (0, (0,1)1)为增函数”为增函数”为增函数”, , , 这样也能得出正确结果这样也能得出正确结果这样也能得出正确结果, , , 但是推理过程是有错的但是推理过程是有错的但是推理过程是有错的, , , 错误原因在于“错误原因在于“f (0)=1, 且f (x ) ) 在区间在区间在区间 (0, 1) (0, 1) (0, 1)为增函数”这个命题是“对任意为增函数”这个命题是“对任意为增函数”这个命题是“对任意 x ∈(0,1) (0,1) 恒有恒有恒有 f (x ) >1) >1”的充”的充分条件而难以证明是必要条件分条件而难以证明是必要条件. .。