成才之路人教B数学必修1同步测试：第2章综合测试B 含答案

综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·新课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)[答案] A[解析] A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩B ＝[－2，－1]，所以选A. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2][答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e－1即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以 y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f [f (12)]＝( )A.12 B.413 C ．－95D.2541[答案] B[解析] 由于|12|<1，所以f (12)＝|12－1|－2＝－32，而|－32|>1，所以f (－32)＝11＋(－32)2＝1134＝413，所以f [f (12)]＝413，选B. 5．log 43、log 34、log 43 34的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 43 34B ．log 34>log 43>log 43 34C ．log 34>log 43 34>log 43D ．log 43 34>log 34>log 43[答案] B[解析] 将各式与0,1比较．∵log 34>log 33＝1， log 43<log 44＝1，又0<34<1，43>1，∴log 4334<0.故有log 4334<log 43<log 34.所以选B.6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8．(2015·安徽高考)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 [答案] C[解析] 由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图像可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0；当x ＝0时，f (0)＝bc 2>0，所以b >0；当y ＝0，ax ＋b ＝0，所以x ＝－ba>0，所以a <0.故a <0，b >0，c <0，选C.9．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B.112 C.18 D.38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.10．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等价于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．11．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞)[答案] C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x <log a 3.12．有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．19B ．20C ．21D ．22[答案] C[解析] 操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知log a 12>0，若a x 2＋2x －4≤1a ，则实数x 的取值范围为________．[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) [解析] 由log a 12>0得0<a <1.由a x2＋2x －4≤1a得a x 2＋2x －4≤a －1， ∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1.14．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围________ . [答案] 1<a <54[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1<a ，∴1<a <54.15．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ， 则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0， 即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．16．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的值． (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．[分析] A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B . [解析] A ＝{－4,0}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ①若0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1. 当a ＝1时，B ＝A ；当a ＝－1时，B ＝{0}，则B ⊆A .②若－4∈B ，则a 2－8a ＋7＝0，解得a ＝7，或a ＝1. 当a ＝7时，B ＝{－12，－4}，B ⃘A .③若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，a <－1. 由①②③得a ＝1，或a ≤－1. (2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .∵A ＝{－4,0}，又∵B 中至多只有两个元素， ∴A ＝B . 由(1)知a ＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12 [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性． [解析] (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝log 12 x 是减函数，∴f (x )＝log 12[(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数． [解析] f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在[0,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，解之得－1≤m <12.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件： ①f (x )在D 上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]∈D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ]．那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由． (2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，求实数k 的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) [解析] (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b －b 3＝a，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足②，即⎩⎨⎧k ＋a ＋2＝ak ＋b ＋2＝b即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根，且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f (k )≥0Δ>02k ＋12>k解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值范围为(－94，－2]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 12(x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。

其次章 2.1 第2课时一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是导学号 96660826 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因此，若∠A 、∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推想空间四周体的性质C ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式D ．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°[答案] A[解析] 选项B 是类比推理，选项C 、D 是归纳推理，只有选项A 是演绎推理． 2．下列说法中正确的是导学号 96660827 ( ) A ．演绎推理和合情推理都可以用于证明 B ．合情推理不能用于证明 C ．演绎推理不能用于证明 D ．以上都不对 [答案] B[解析] 合情推理不能用于证明．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的缘由是导学号 96660828 ( )A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．4．“由于对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是导学号 96660829 ( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数不肯定正确．由于a >1还是0<a <1不能确定，所以选A. 5．完全归纳推理是( )的推理导学号 96660830 ( ) A ．一般到个别 B ．个别到一般 C ．一般到一般 D ．个别到个别[答案] B[解析] 完全归纳推理是个别到一般的推理．6．△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 肯定是导学号 96660831 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 [答案] C[解析] ∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，即∠C 为钝角． 二、填空题7．以下推理过程省略的大前提为：____________.导学号 96660832 由于a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab . [答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b＋c .8．对于函数f (x )＝2xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为实数，则a 的取值范围是________．导学号 96660833[答案] 0<a <4[解析] 要使f (x )定义域为R ，则x 2＋ax ＋a ≠0，即Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 三、解答题9．求证：对任意不相等正实数a 、b ，有(a b)a －b >1. 导学号 96660834[证明] 当a >b >0时，有a b >1，a －b >0，由指数函数的单调性知(a b )a －b >(ab)0＝1，当b >a >0时，有0<ab <1，a －b <0，则(a b )a －b >(ab )0＝1.综上：(ab)a －b >1.一、选择题1．三段论：“①雅安人肯定坚强不屈；②雅安人是中国人；③全部的中国人都坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是导学号 96660835( )A ．③②B ．③①C ．①②D ．②③[答案] A[解析] 由三段论推理的定义可知大前提为③，小前提为②.2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提导学号 96660836( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B[解析] 大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”．3．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是导学号 96660837( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ [答案] A[解析] 依据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．二、填空题4．(2022·全国卷Ⅱ文，16)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3． 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．导学号 96660838[答案] 1和3[解析] 由丙所言可能有两种状况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言状况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言状况．故甲持有“1和3”．5．△ABC 中，若a 2b 2＝tan Atan B ，则△ABC 的外形是________．导学号 96660839[答案] 直角三角形或等腰三角形[解析] 由正弦定理得，a 2b 2＝sin 2Asin 2B ＝tan A tan B ＝sin A cos Asin Bcos B＝sin A ·cos B cos A ·sin A ，于是有sin A sin B ＝cos Bcos A即sin A ·cos A －sin B ·cos B ＝0，∴sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.6．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m 、n ∈N ＋都有： ①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)． 给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论为________． 导学号 96660840[答案] (1)(2)(3) [解析] 由条件可知，由于f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9. 又由于f (m ＋1,1)＝2f (m,1)， 所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1) ＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26. 故(1)(2)(3)均正确．三、解答题7．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，DE ∥BA .求证ED ＝AF ，写出“三段论”形式的演绎推理．导学号 96660841[解析] 大前提：同角相等，两直线平行 ∴前提：∠BFD ＝∠A .结论：DF ∥EA .大前提：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 小前提：DE ∥BA 且DF ∥EA ， 结论：四边形AFDE 是平行四边形． 大前提：平行四边形的对边相等， 小前提：ED 和AF 为平行四边形的对边， 结论：ED ＝AF .8．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．导学号 96660842[分析] 本题主要考查用“三段论”证明函数的单调性的方法，解决此类问题应先找出证明的大前提，然后在大前提下证明小前提满足大前提，从而得出结论．[证明] 对∀x 1、x 2∈I ，且x 1<x 2，若f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数．大前提 设x 1、x 2是(－1，＋∞)上的任意两数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∵a >1，且x 1<x 2，∴ax 1<ax 2，x 1－x 2<0. 又∵x 1>－1，x 2>－1，∴(x 1＋1)(x 2＋1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．小前提 ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．结论9．求证函数f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1的值恒大于零．导学号 96660843 [解析] 当x >0时，x 6，x 3，x 2，x,1都为正数，由于x >0时，f (x )>0恒成立． 当－1≤x ≤0时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1＝x 6＋x 2(1＋x )＋(1＋x )>0恒成立． 当x <－1时， f (x )＝x 6＋x 3＋x 2＋x ＋1 ＝x 3(x 3＋1)＋x (x ＋1)＋1， ∵x <－1，∴x 3<－1，x ＋1<0，∴x 3＋1<0， ∴x 3(x 3＋1)>0，x (x ＋1)>0，又1>0， ∴x <－1时，f (x )>0恒成立． 综上所述，函数f (x )的值恒大于零．。

第一章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BB1所在直线是导学号 03310456()A．相交B．平行C．不垂直的异面直线D．垂直的异面直线[答案] A[解析]依据棱台的定义可知，DD1与BB1延长后肯定交于一点，故选A．2．不在同始终线上的五个点，最多能确定平面的个数是导学号 03310457()A．8 B．9C．10 D．12[答案] C[解析]要确定平面个数最多，须任意四点不共面，从A、B、C、D、E五个点中任取三个点确定一个平面，即ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE共10种状况，选C．3．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱肯定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体肯定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱肯定是直棱柱；④长方体肯定是正四棱柱．其中正确的命题个数是导学号 03310458()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正方体；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④明显错误，故选A．4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是导学号 03310459() A．①③B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析]正方体和球体的三个视图都相同，故选C．5．若球的半径扩大到原来的2倍，那么其体积扩大到原来的()倍导学号 03311031()A．64 B．16C．8 D．4[答案] C[解析]设球的半径为R，其体积V＝43πR3，当球半径扩大到原来的2倍时，其体积V′＝43π(2R)3＝8V．6．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为导学号 03310460()A．112B．5C．92D．4[答案] D[解析] 本题考查三视图，棱柱体积公式．由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S ＝2×[12(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V ＝4，由“长对正、宽相等、高平齐”确定几何体的外形及尺寸、角度等．7．已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β，能推出m ∥β的是导学号 03310461( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤[答案] D [解析]⎭⎬⎫m ⊂αα∥β⇒m ∥β，故选D ．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点E 为A 1C 1上的一点，则直线CE 肯定垂直于导学号 03310462( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1[答案] B[解析] 由BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1易知BD ⊥平面A 1ACC 1，而CE ⊂平面A 1ACC 1，故BD ⊥CE ． 9．已知圆柱的侧面开放图矩形面积为S ，底面周长为C ，它的体积是导学号 03310463( ) A ．C 34πSB ．4πSC 3C ．CS 2πD ．SC 4π[答案] D[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，，则⎩⎪⎨⎪⎧Ch ＝SC ＝2πr，∴r ＝C 2π，h ＝SC，∴V ＝πr 2·h ＝π⎝⎛⎭⎫C 2π2·S C ＝SC 4π． 10．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、62，则该三棱锥的外接球的表面积为导学号 03310464( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π[答案] B[解析] 设P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2ac ＝3bc ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝2c 2＝3．∴外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22＝62． ∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π．11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是导学号 03310465( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥面AC ， ∴AC ⊥B 1B ，又∵AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ， ∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD－A1B1C1D1得B1D1∥BD，B1D1⊄面ABCD，BD⊂面ABCD，∴B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD，故B正确．V A－BEF ＝12AC×12BB1×EF＝13×12×12×22＝224．∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．因线段B1D1上两个动点E、F，且EF＝12，当E、F移动时，A到EF的距离与B到EF的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确．12．已知圆锥的母线长为5 cm，圆锥的侧面开放图如图所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A动身，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程为导学号 03310466()A．8 cm B．5 3 cmC．10 cm D．5π cm[答案] B[解析]连接AA1，作OC⊥AA1于C，由于圆锥的母线长为5 cm，∠AOA1＝120°，所以AA1＝2AC＝5 3 cm．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，这个平面图形的面积为________.导学号 03310467[答案]2＋22[解析]S直观图＝[1＋(1＋22)]×222＝(2＋22)24＝22＋14．又S直观图S平面图＝24，∴S平面图＝(22＋14)24＝2＋22．14．已知两个球的表面积之比为19，则这两个球的半径之比为__________. 导学号 03310468[答案]1 3[解析]设两球的半径分别为R1、R2，由题意得4πR214πR22＝19，∴R1R2＝13．15．已知平面α、β和直线m，给出以下条件：①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.要使m⊥β，则所满足的条件是________.导学号 03310469[答案]②④[解析]⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αα∥β⇒m⊥β．16．(2022·浙江文，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.导学号 03310470[答案]8040[解析]由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)一个棱锥的底面是边长为a的正三角形，它的一个侧面也是正三角形，且这个侧面与底面垂直，求这个棱锥的体积和全面积.导学号 03310471[解析] 如图所示，平面ABC ⊥平面BCD ，△ABC 与△BCD 均为边长为a 的正三角形，取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCD ，故棱锥A －BCD 的高为AE ，△BCD 的面积为34a 2，AE ＝32a ， ∴V A －BCD ＝13·34a 2·32a ＝18a 3．连接DE ，∵AE ⊥平面BCD ，DE ⊂平面BCD ，∴AE ⊥DE ， 在Rt △AED 中，AE ＝ED ＝32a ，∴AD ＝2·32a ＝62a ．取AD 中点F ，连接CF ，则CF ⊥AD ． 在Rt △CDF 中，DF ＝12·62a ＝64a ，∴CF ＝CD 2－DF 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫64a 2＝104a ． ∴S △ACD ＝12AD ·CF ＝12×62a ×104a ＝158a 2．∵△ABD ≌△ACD ，S △ABD ＝158a 2． 故S 全面积＝34a 2＋34a 2＋2×158a 2＝23＋154a 2．∴棱锥的体积为 18a 3，全面积为23＋154a 2．18．(本题满分12分)如图，矩形AMND 所在平面与直角梯形MBCN 所在的平面垂直，MB ∥NC ，MN ⊥MB .导学号 03310472(1)求证：平面AMB ∥平面DNC ； (2)若MC ⊥CB ，求证：BC ⊥AC ．[解析] (1)∵四边形AMND 是矩形，∴AM ∥DN ，又∵MB ∥NC ， AM ∩MB ＝M ，DN ∩NC ＝N ， ∴平面AMB ∥平面DNC ． (2)∵平面AMND ⊥平面MBCN ，平面AMND ∩平面MBCN ＝MN ，AM ⊥MN ， ∴AM ⊥平面MBCN ，∴AM ⊥BC ．∵BC ⊥MC ，AM ∩MC ＝M ，∴BC ⊥平面AMC ，∴BC ⊥AC ．19．(本题满分12分)(2022·山东文，18)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .导学号 03310473(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G 、H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH ∥平面ABC ． [解析] (1)由于EF ∥DB ，所以EF 与DB 确定平面BDEF .连接DE ．由于AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，由于FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI、HI．在△CEF中，由于G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，由于H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．由于GH⊂平面GHI，所以CH∥平面ABC．20．(本题满分12分)如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.导学号 03310474(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积．[解析](1)∵AB ⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD．(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝12．∵M是AD的中点，∴S△ABM＝12S△ABD＝14．由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V C－ABM＝13S△ABM·h＝112．21．(本题满分12分)如下三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的主视图和左视图(单位：cm).导学号 03310475(1)画出该多面体的俯视图；(2)依据给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．[解析] (1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．(3)证明：如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′，由于E 、G 分别为AA ′、A ′D ′中点， 所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′， 又BC ′⊄平面EFG ， 所以BC ′∥平面EFG ．22．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面相互垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°.导学号 03310476(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由于平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， 所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF ．由于△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°． 又由于∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°， 即EF ⊥BE ．由于BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE ．(2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE ，取BE 的中点N ，连接CN 、MN ， 则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN ． 由于CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内， 所以PM ∥平面BCE ．。

选修1－2综合力量检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于导学号 966601176 ()A．－3B．3C．－3i D．3i[答案] A[解析]∵z＝1＋2i，∴z2＝(1＋2i)2＝1＋22i－2＝－1＋22i.∴z2－2z＝－1＋22i－2－22i＝－3.简解：z2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－2－1＝－3.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是分数，整数又是有理数，则整数是分数”，结论明显是错误的，错误的缘由是导学号 966601177 ()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析]整数这个整体属于有理数的范围，但不满足大前提中的结论，由于大前提不是对全部的有理数加以定义的，故推理形式错误．3．对下列三种图形，正确的表述为导学号 966601178 ()A．它们都是流程图B．它们都是结构图C．(1)(2)是流程图，(3)是结构图D．(1)是流程图，(2)(3)是结构图[答案] D[解析]结合流程图和结构图的特征可知D选项正确．4．在如图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是导学号 966601179 ()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)[答案] D[解析](1)为函数关系，(4)关系不明显，(2)(3)具有相关关系．5．下列说法中，正确的是导学号 966601180 ()①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④D．①③[答案] B[解析]①回归方程只适用于我们所争辩的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．6．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是导学号 966601181 ()A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析]由归纳推理可知D正确．7．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a、b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a、b∈C，若a－b＝0，则a＝b”(C为复数集)；④“a、b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a、b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为导学号 966601182 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①明显错误；∵复数不能比较大小，∴④错误；②③正确．8．观看：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，…，对于任意的正实数a 、b ，使a ＋b <211成立的一个条件可以是导学号 966601183 ( )A ．a ＋b ＝20B ．a ＋b ＝21C ．ab ＝20D ．ab ＝21 [答案] B[解析] 由给出的三个不等式观看其特点可得a ＋b ＝21.9．分类变量X 和Y 的列联表为下表，则下列说法正确的是导学号 966601184 ( )y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA.ad －bc 越小，说明X 和Y B ．ad －bc 越大，说明X 和Y 关系越强 C ．(ad －bc )2越大，说明X 与Y 关系越强 D ．(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 关系越强 [答案] C[解析] χ2＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，∴(ad －bc )2越大，说明X 、Y 关系越强．10．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于导学号 966601185 ( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，∴复数(2－i)2对应的点(3，－4)位于复平面内的第四象限．11．假如执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①Z ＝12i ；②z ＝－14＋34i ；③z ＝22＋12i ；④z ＝12－32i ，那么输出的复数是导学号 966601186 ( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] D[解析] |z |＝|12－32i|＝(12)2＋(32)2＝1.故选D. 12．已知a <b ，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤是导学号 966601187 ( ) ∵a <b ，∴a ＋a <b ＋a ，即2a <b ＋a ，…① ∴2a －2b <b ＋a －2b ，即2(a －b )<a －b ，…② ∴2(a －b )·(a －b )<(a －b )·(a －b )， 即2(a －b )2<(a －b )2.…③∵a <b ，∴(a －b )2>0，∴可证得2<1.…④ A ．① B ．② C ．③ D ．④[答案] C[解析] 步骤③，由于a <b ，所以a －b <0，依据“不等式两边同乘一个负数，不等号方向转变”，步骤③错误．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．观看下列等式： 导学号 9666011881＝1，1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， ……猜想第n 个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )．14．设z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12，则|z |＝__________.导学号 966601189[答案] 625[解析] ∵z ＝(4－3i )4(3－i )6(1－i )12 ∴|z |＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．导学号 966601190[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本学问．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．(2022·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号 96661191 ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”肯定共线． 其中的真命题是________(写出全部真命题的序号)． [答案] ②③[解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)与P ′1(－yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B 不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y 0x 2＋y 2y ′＝－x0x 20＋y20，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋C x 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不肯定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和帮助工关于桑毛虫皮炎发病状况结果如表： 导学号 966601192采桑 不采桑 合计 患者人数 18 12 健康人数 5 78 合计利用2×2概率是多少？[解析] 由于a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113. 所以χ2＝n (ad －bc )3(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%. 18．(本题满分12分)求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．导学号 966601193 [证明] ∵a 2＋b 2≥2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴a 2＋b 2≥22|a ＋b |≥22(a ＋b )， 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．19．(本题满分12分)某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元，请设计一个表示按人数收取卫生费的流程图．导学号 966601194[解析] 流程图如图所示：20．(本题满分12分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．导学号 966601195[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋a －1＝0b －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i 4－3i＝3＋4i.21．(本题满分12分)实数a 、b 、c 、d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1. 求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数． 导学号 966601196[证明] 假设a 、b 、c 、d 中全都是非负数， 即a 、b 、c 、d ≥0，由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得(a ＋b )(c ＋d )＝1，即ac ＋ad ＋bc ＋bd ＝1， ∴ac ＋bd ＝1－ad －bc ≤1. 与条件ac ＋bd >1冲突．故a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．22．(本题满分14分)化学反应中催化剂能加快化学反应，现统计肯定量的高锰酸钾加热后生成的氧气的体积x 与加热时间y 的一组数据，如下表.导学号 966601197 x 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y /分钟100200210185155135170205235125(1)(2)求回归直线方程．[解析] (1)用x 轴表示生成的氧气体积，y 轴表示加热时间，可作散点图，如图所示．由图可知，各点分布在一条直线四周，它们呈线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.计算得x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x i y i ＝287 640，∑i ＝110x 2i ＝265 448，则b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈1.267，a ^＝y －b ^x ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.。

其次章综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．直线x＋(m＋1)y＋3＝0与直线mx＋2y－1＝0平行，则m的值为导学号 03310963()A．1B．－2C．2或－1 D．－2或1[答案] D[解析]由题意，得1×2－m(m＋1)＝0，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或1．经检验知当m＝－2或1，满足题意．2．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为导学号 03310964()A．－2 B．2C．6 D．2或6[答案] D[解析]由题意得(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝(x－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2，解得x＝2或6．3．直线l：x－y＋1＝0关于y轴对称的直线方程为导学号 03310965()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0[答案] A[解析]用－x替换方程x－y＋1＝0的x，得－x－y＋1＝0，即x＋y－1＝0，故选A．4．假如方程Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，则A、B、C满足导学号 03310966()A．B·C＝0 B．A≠0C．B·C＝0且A≠0 D．A≠0且B＝C＝0[答案] D[解析]直线是y轴，则斜率不存在且过点(0,0)．斜率不存在，得B＝0.A、B不同时为0，得A≠0，又过点(0,0)，得C＝0．5．直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－1)x＋(m－4)y＋2＝0相互垂直，则m的值为导学号 03310967 ()A．12B．－2C．－12或2 D．－2或12[答案] C[解析]由题意，得(m＋2)(m－1)＋m(m－4)＝0，解得m＝－12或2．6．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系肯定是导学号 03310968()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案] C[解析]本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1<2．所以直线与圆相交，故选C．7．若圆的一条直径的两端点分别是(－1,3)和(5，－5)，则此圆的方程是导学号 03310969()A．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0 B．x2＋y2－4x－2y－20＝0C．x2＋y2－4x＋2y＋20＝0 D．x2＋y2－4x＋2y－20＝0[答案] D[解析]圆心坐标为(2，－1)，半径为(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25，即x2＋y2－4x＋2y－20＝0．8．方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示圆，则k的取值范围是导学号 03310970()A．k＝4或k＝－1 B．k>4或k<－1C．－1<k<4 D．以上都不对[答案] B[解析]方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0，可化为(x＋k)2＋(y＋2)2＝k2－3k－4，由题意，得k2－3k－4>0，∴k>4或k<－1．9．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是导学号 03310971( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．取决于k 的值[答案] A[解析] 解法一：∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2y ＝0的内部， ∴直线与圆相交．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2－2y ＝0，得(1＋k 2)x 2－1＝0，Δ＝4(1＋k 2)>0，故直线与圆相交．10．已知直线x ＋3y －7＝0，kx －y －2＝0与x 轴，y 轴围成的四边形有外接圆，则实数k 的值是导学号 03310972( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6[答案] B[解析] 由题意，知两直线垂直， ∴1·k ＋3·(－1)＝0，∴k ＝3．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是导学号 03310973( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 设圆心坐标为(x ，y )，由题意知x >0，y ＝1． 由点到直线的距离公式，得|4x －3|42＋32＝1，∴4x －3＝±5，∵x >0，∴x ＝2．故所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1．12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为导学号 03310974( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11[答案] A[解析] 直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移一个单位后为2(x ＋1)－y ＋λ＝0，即2x －y ＋2＋λ＝0，又直线2x －y ＋2＋λ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则|－2－2＋2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或7．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知a <0，直线l 1：2x ＋ay ＝2，l 2：a 2x ＋2y ＝1，若l 1⊥l 2，则a ＝________.导学号 03310975 [答案] －1[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a 2＋2a ＝0， ∴a ＝－1或a ＝0.∵a <0，∴a ＝－1．14．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________.导学号 03310976 [答案] x －y ＋1＝0[解析] 由x 2＋2x ＋y 2＝0得圆心C (－1,0)， 所求直线与x ＋y ＝0垂直，∴所求直线的斜率为1， ∴所求直线的方程为x －y ＋1＝0．15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于____________.导学号 03310977[答案]254[解析] ∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为 x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，令y ＝0，得x ＝5， ∴S △＝12×52×5＝254．16．一束光线从点A (－2,2)动身，经x 轴反射到圆C ：(x －4)2＋(y －6)2＝1上的最短路程是______.导学号 03310978[答案] 9[解析] A 关于x 轴对称点A 1(－2，－2)，⊙C 的圆心C (4,6)，|A 1C |＝10，∴最短路程为|A 1C |－1＝9．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知两直线l 1：(3＋m )x ＋9y ＝m －1，l 2：2x ＋(1＋2m )y ＝6.导学号 03310979 (1)m 为何值时，l 1与l 2垂直； (2)m 为何值时，l 1与l 2平行．[解析] (1)由题意得2(3＋m )＋9(1＋2m )＝0， 解得m ＝1516．(2)由题意得(3＋m )(1＋2m )－18＝0， 解得m ＝－5或32．当m ＝－5时，l 1与l 2重合；当m ＝32时，l 1与l 2平行．18．(本题满分12分)已知直线l 1：x ＋2y －3＝0与l 2：2x －y －1＝0的交点是P ，直线l 过点P 及点A (4,3).导学号 03310980(1)求l 的方程；(2)求过点P 且与l 垂直的直线l ′的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝02x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1． ∴P (1,1)，∴l 的方程为：y －13－1＝x －14－1，即l ：2x －3y ＋1＝0．(2)∵所求直线l ′与l 垂直， ∴斜率为－32．又∵l ′过点(1,1)，∴所求直线l ′的方程为y －1＝－32(x －1)，即3x ＋2y －5＝0．19．(本题满分12分)△ABC 中，点A (1,1)、B (4,2)、C (－4,6).导学号 03310981(1)求BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求BC 边上的高及△ABC 的面积．[解析] (1)BC 边的中点D 的坐标为(0,4)，∴中线AD 的斜率k ＝4－10－1＝－3，故中线AD 的方程为y －4＝－3(x －0)， 即3x ＋y －4＝0．(2)BC 边所在直线的斜率为k BC ＝6－2－4－4＝－12，BC 边所在直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0．点A 到BC 边的距离d ＝|1＋2－8|12＋22＝5，∴BC 边上的高为5， |BC |＝(－4－4)2＋(6－2)2＝45．∴S △ABC ＝12×45×5＝10．20．(本题满分12分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，点C 在x 轴上.导学号 03310982(1)求Rt △ABC 外接圆的方程；(2)求过点(－4,0)且与Rt △ABC 外接圆相切的直线的方程．[解析] (1)由题意可知点C 在x 轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)，又AB ⊥BC ，则k AB ·k BC ＝－1， 即－222·22a＝－1，解得a ＝4．则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9．(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y ＝kx ＋4，即 kx －y ＋4k ＝0． 当圆与直线相切时，有d ＝|5k |k 2＋1＝3，解得k ＝±34，故所求直线方程为y ＝34(x －4)或y ＝－34(x －4)，即3x －4y －12＝0或3x ＋4y －12＝0．21．(本题满分12分)一圆与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0都相切，圆心在直线2x ＋y ＋1＝0上，求圆的方程.导学号 03310983[解析] 两平行直线之间的距离为|－5＋3|1＋9＝210，∴圆的半径为110，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝110，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0|a ＋3b －5|10＝110|a ＋3b －3|10＝110，解得⎩⎨⎧a ＝－75b ＝95．故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋752＋⎝⎛⎭⎫y －952＝110． 22．(本题满分14分)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是多少？导学号 03310984[解析] 解法一：将圆的一般方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，r ＝1，如图所示，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |，|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB ＝|P A |·|AC |也越来越大．当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，明显，当点P 到达一个特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形P ACB 取得最小值．此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴|P A |＝|PC |2－|AC |2＝32－12＝22，故(S 四边形P ACB )最小值＝2·12·|P A |·|AC |＝22．解法二：设点P 的坐标为(x ，y )， 则|PC |＝(x －1)2＋(y －1)2，由勾股定理及|AC |＝1， 得|P A |＝|PC |2－|AC |2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，故S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·12·|P A |·|AC |＝|P A |＝(x －1)2＋(y －1)2－1.欲求S 四边形P ACB 的最小值，只需求|P A |的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )的距离的平方的最小值，也就是点C (1,1)，到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的平方，这个最小值d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3×1＋4×1＋8|32＋422＝9． 故(S 四边形P ACB )最小值＝9－1＝22．。

本册综合测试(B)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知空间两点P (－1,2，－3)，Q (3，－2，－1)，则P 、Q 两点间的距离是导学号 03311007( ) A ．6 B ．2 2 C ．36 D ．2 5[答案] A[解析] 由空间两点间距离公式，得|PQ |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(－1＋3)2＝6．2．在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为导学号 03311008( )A ．13B ．0C ．8D ．－2[答案] C[解析] 设点C 的坐标为x ，由题意，得 d (A ，B )＝3－(－2)＝5；d (B ，C )＝x －3＝5， ∴x ＝8．3．(2022·北京文，5)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为导学号 03311009( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2[答案] C[解析] 由圆的标准方程(x ＋1)2＋y 2＝2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0的距离d ＝|－1－0＋3|2＝2．4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，肯定是这个三角形的平行投影的中位线． 其中正确的命题有导学号 03311010( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④[答案] D[解析] 垂直线段的平行投影不肯定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不肯定是角平分线，故③错；由于线段的中点的平行投影仍旧是线段的中点，所以中位线的平行投影仍旧是中位线，故④正确．选D ．5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是导学号 03311011( )[答案] D[解析] 如图所示，由图可知选D ．6．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my ＝0上任意一点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点N 也在圆上，则m 的值为导学号 03311012( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] D[解析] 由题可知，直线x ＋y ＝0过圆心(1，－m2)，∴1－m2＝0，∴m ＝2．7．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是导学号 03311013( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5[答案] D[解析] 设圆心C (a,0)，由题意r ＝5＝|a |5，∴|a |＝5，∵a <0，∴a ＝－5，∴圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5． 8．对于直线m 、n 和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 导学号 03311014( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β[答案] C[解析] 对于选项C ，∵m ∥n ，n ⊥β，∴m ⊥β， 又∵m ⊂α，∴α⊥β．9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为导学号 03311015( ) A ．3π B ．3π3 C ．3π D ．3π2[答案] B[解析] 设圆锥的母线长为l ， 则34l 2＝3，∴l ＝2． ∴圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，故其体积V ＝13πr 2h ＝3π3．10．有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为导学号 03311016( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．36π cm 2[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，其表面积S ＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝3×5π＋9π＝24π cm 2．11．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是导学号 03311017( ) A ．(－1,1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，113 C ．⎝⎛⎭⎫－113，113 D ．⎝⎛⎭⎫－15，15 [答案] C[解析] ∵点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，∴(5a ＋1－1)2＋(12a 2)<1， 即25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1169，∴－113<a <113．12．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1,2)，则ab 的值为导学号 03311018( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，得点P (－1,2)在直线ax ＋by －3＝0上，∴－a ＋2b －3＝0，即a ＝2b －3． 圆x 2＋y 2＋4x －1＝0的圆心为(－2,0)，半径r ＝5，∴|－2a －3|a 2＋b 2＝5，∴a 2－12a ＋5b 2－9＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b －3a 2－12a ＋5b 2－9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2．故ab ＝2．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知两条直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0和l 2：2x ＋ay －1＝0(b <0)，若l 1⊥l 2且直线l 1的纵截距为1时，a ＝________，b ＝________.导学号 03311019[答案] 0 －8[解析] ∵l 1⊥l 2，∴2a ＋8a ＝0， ∴a ＝0．又直线l 1：ax ＋8y ＋b ＝0，即8y ＋b ＝0的纵截距为1， ∴b ＝－8． 14．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －3＝0(m <0)的半径为2，则其圆心坐标为________.导学号 03311020[答案] (－1,0)[解析] 方程x 2＋y 2－2mx －3＝0可化为(x －m )2＋y 2＝3＋m 2， ∴3＋m 2＝4，∴m 2＝1，∵m <0，∴m ＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．15．已知圆锥母线长是10，侧面开放图是半圆，则该圆锥的侧面积为________.导学号 03311021 [答案] 50π[解析] 设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝10π，∴r ＝5． ∴圆锥的侧面积S ＝πrl ＝50π．16．一个半球的表面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是________.导学号 03311022[答案]109Q [解析] 设半球的半径为R ，则圆柱的底面半径也为R ，设圆柱的高为h ． 由题意得2πR 2＋πR 2＝Q ，∴R 2＝Q3π．又23πR 3＝πR 2h ，∴h ＝23R ． ∴圆柱的表面积S ＝2πRh ＋2πR 2＝43πR 2＋2πR 2＝103πR 2＝103π·Q 3π＝109Q ．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程.导学号 03311023[解析] 当斜率k 不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k ，则k ≠0，l 的方程为y －2＝k (x －43)．令x ＝0，得y ＝2－43k >0，令y ＝0，得x ＝43－2k >0，∴k <32．由S ＝12(2－43k )(43－2k )＝6，解得k ＝－3或k ＝－34．故所求直线方程为y －2＝－3(x －43)或y －2＝－34(x －43)，即3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0．18．(本题满分12分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.导学号 03311024(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1⊥l 2， ∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0． (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2， ∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43．∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326．19．(本题满分12分)已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且经过点A (6,1)，求圆C 的方程.导学号 03311025[解析] ∵圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设圆心坐标为(3a ，a )，又圆C 与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，圆的标准方程为(x －3a )2＋(y －a )2＝9a 2， 又∵过点A (6,1)，∴(6－3a )2＋(1－a )2＝9a 2，即a 2－38a ＋37＝0，∴a＝1或a＝37，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321．20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q 为底面圆周上一点.导学号 03311026(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)假如∠AOQ＝60°，QB＝23，求此圆锥的体积．[解析](1)连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．∵OH⊂平面SOC，∴QB⊥OH，又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB．(2)连接AQ.∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝23，∴AB＝23cos60°＝4．∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝12AB＝2，∴V圆锥＝13π·OA2·SO＝83π．21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.导学号 03311027(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．[解析](1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又∵M是线段AC1的中点，∴MF∥AN．又∵MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1．又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．22．(本题满分14分)如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.导学号 03311028(1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．[解析] (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC ． ∵BM MA ＝BNNC ，∴MN ∥AC ． ∴BD ⊥MN ．∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN ． ∴MN ⊥平面BDD 1．∵无论P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，故总有MN ⊥BP ． (2)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1．∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1． 取BD 1的中点E ，连接PE ， 则PE ∥BD .∴PE ⊥面ACC 1． 又∵PE ⊂面APC 1， ∴面APC 1⊥面ACC 1．。

其次章 2.1 2.1.3第1课时一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()导学号62240362A．y＝1x2B．y＝x3C．y＝x0D．y＝x2[答案] D[解析]∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有() 导学号62240363A．a>12B．a≤12C．a>－12D．a<12[答案] A[解析]由题意2a－1>0，∴a>12.3．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是() 导学号62240364A．f(x1)－f(x2)x1－x2>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．x1－x2f(x1)－f(x2)>0[答案] C[解析]由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．4．(2022～2021学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是() 导学号62240365 A．a<4 B．a≤4C．a>4 D．a≥4[答案] D[解析]函数f(x)的图象的对称轴为x＝a，由题意得a≥4.5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上() 导学号62240366A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或是减函数D．无法确定单调性[答案] D[解析]函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不肯定是增函数．如图所示．6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则() 导学号62240367A．f(1)>f(2) B．f(－a)<f(a)C．f(0)<f(a) D．f(1)<f(2)[答案] A[解析]∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(1)>f(2)，故选A．二、填空题7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f(34)，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．导学号62240368[答案]m≥n[解析]a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)， ∴m ≥n .8．已知函数f (x )的图象如图．则f (x )的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．导学号62240369[答案] [－3,1] 2 －3[解析] 由图可知f (x )的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3. 三、解答题9．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f (x )＝x2x －1，证明函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．导学号62240370[证明] 设任意x 1∈(1，＋∞)，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2. f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－1－x 12x 1－1＝2x 1x 2－x 2－2x 1x 2＋x 1(2x 2－1)(2x 1－1)＝x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0. 又∵x 1>1，x 2>1， ∴2x 1－1>0,2x 2－1>0，∴x 1－x 2(2x 2－1)(2x 1－1)<0， ∴f (x 2)<f (x 1)．故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．10．推断函数f (x )＝－x 3＋1在R 上的单调性．导学号62240371 [证明] 函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数． 设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋1＋x 31－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224，∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋3x 224>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0， ∴Δy <0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数.一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是( ) 导学号62240372 A ．y ＝1－x 2B ．y ＝－1x C ．y ＝x －1 D ．y ＝4x[答案] D[解析] 函数y ＝1－x 2，y ＝－1x ，y ＝x －1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y ＝4x 在(－∞，0)上为减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝8＋2x －x 2，那么( ) 导学号62240373A ．f (x )在(－∞，0)上是减函数B ．f (x )是减函数C ．f (x )是增函数D ．f (x )在(－∞，0)上是增函数[答案] D[解析] 函数f (x )＝8＋2x －x 2的图象为开口向下，对称轴是x ＝1的抛物线，∴函数f (x )在(－∞，0)上是增函数．3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) 导学号62240374 A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减[答案] C[解析] y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≥－2)－x －2 (x <－2)，作出y ＝|x ＋2|的图象， 易知在[－3，－2]上为减函数， 在[－2,0]上为增函数．4．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( ) 导学号62240375 A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )[答案] A[解析] ∵f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a 、b ∈R ，且a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a ， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 二、填空题5．若f (x )＝x 2＋2mx ＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m 的取值范围为________． 导学号62240376 [答案] m ≤－1[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2的对称轴为x ＝－m ，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m ≥1，∴m ≤－1.6．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间为________．导学号62240377 [答案] (－∞，－12][解析] 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－12， ∴函数的递减区间为(－∞，－12]． 三、解答题7．设函数f (x )是R 上的单调增函数，F (x )＝f (x )－f (2－x )．导学号62240378 求证：函数F (x )在R 上是单调增函数． [证明] 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，∵函数f (x )是R 上的单调增函数， ∴f (x 1)<f (x 2)，f (2－x 1)>f (2－x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)<0，f (2－x 1)－f (2－x 2)>0，∴F (x 1)－F (x 2)＝[f (x 1)－f (2－x 1)]－[f (x 2)－f (2－x 2)]＝[f (x 1)－f (x 2)]＋[f (2－x 2)－f (2－x 1)]<0，即F (x 1)－F (x 2)<0，所以F (x 1)<F (x 2)．∴函数F (x )在R 上是单调增函数． 8．争辩函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a ≠12)在(－2，＋∞)上的单调性．导学号62240379 [解析] 设x 1、x 2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋1x 2＋2－ax 1＋1x 1＋2＝(ax 2＋1)(x 1＋2)－(ax 1＋1)(x 2＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝(2a －1)(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2).∵x 1>－2，x 2>－2，x 1<x 2， ∴x 1＋2>0，x 2＋2>0，x 2－x 1>0.因此，当a >12时，2a －1>0，此时f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是增函数；当a <12时，2a －1<0，此时f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 1)>f (x 2)，此时函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上是减函数．。

第二章 §2 2.2一、选择题1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )[答案] A[解析] 因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s 随t 的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A 图比较适合题意．2．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1 B ．f (x )＝x 2－2x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋2x －1 D ．f (x )＝x 2－2x －1[答案] A[解析] 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3} [答案] A[解析] 由对应法则y ＝x 2－2x ，得0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A.4．若f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 [答案] B[解析] 令1x ＝t ，则x ＝1t.∵x ≠0，且x ≠1，∴t ≠1，且t ≠0. ∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1.∴f (x )＝1x －1.故选B.5．如图中的图像所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) [答案] B[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ，再将点(1，32)代入，排除选项D ，故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x >0)－1 (x ＝0)2x －3 (x <0)，则f {f [f (5)]}为( )A ．0B ．－1C ．5D ．－5[答案] D[解析] 根据分段函数解析式可知， f (5)＝0，而f (0)＝－1， f (－1)＝2×(－1)－3＝－5. 故f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5. 二、填空题7．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1}，集合B ＝{y |y ＝－x 2＋4x }，则A ∩B ＝________. [答案] {x |－1≤x ≤4}(或写成{y |－1≤y ≤4})[解析] A 是函数y ＝x ＋1的定义域，则A ＝{x |x ≥－1}．B 是二次函数y ＝－x 2＋4x 的值域，则B ＝{y |y ≤4}．则A ∩B ＝{x |－1≤x ≤4}．8．已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2x ＋1，则f [g (x )]＝________. [答案] 4x 2＋4x ＋2[解析] ∵f (x )＝x 2＋1，g (x )＝2x ＋1， ∴f [g (x )]＝f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＋1＝4x 2＋4x ＋2. 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (－1≤x <0)，x 2(0≤x <1)，x (1≤x ≤2).(1)求f (－8)，f (－23)，f (12)，f (32)的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的值域．[分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式． (1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值． (2)在不同的区间，依次画出函数图像． (3)函数的值域是各段函数值的集合的并集．[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)因为－8∉[－1,2]，所以f (－8)无意义． 因为－1≤x <0时，f (x )＝－x ， 所以f (－23)＝－(－23)＝23.因为0≤x <1时，f (x )＝x 2， 所以f (12)＝(12)2＝14.因为1≤x ≤2时，f (x )＝x ，所以f (32)＝32.(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2]． 10．求下列函数的解析式．(1)已知f (1－x )＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [解析] (1)∵f (1－x )＝x 2－3x ＋2＝(1－x )2＋1－x ， ∴f (x )＝x 2＋x .(2)令x ＋1＝t ，则t ≥1.即x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (3)∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1⇒⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f (1f (2))的值为( )A.1516 B ．4 C.89 D ．18[答案] A[解析] f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，∴f (1f (2))＝f (14)＝1－(14)2＝1516.2．已知f ⎝⎛⎭⎫x2－1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( ) A ．－14B.14 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.或先求f (x )的解析式，再由f (m )＝6，求m 的值．二、填空题3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >100[解析] 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .4．已知f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (2)＝________. [答案] －1[解析] 设f (x )的定义域为C ，由f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x 知， x ∈C ，1x ∈C ，将原式中的x 换为1x，原式仍成立，即有f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ＝3x .与原式联立⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝3x，f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，解得f (x )＝2x－x ，∴f (2)＝22－2＝1－2＝－1.三、解答题5．(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )． [解析] (1)∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f [f (x )]＝4x －1.∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1知c ＝1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左端展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1. 6．画出下列函数的图像： (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|；(2)y ＝2x －3，x ∈Z ，且|x |≤2； (3)y ＝x 2－2|x |－1；(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0).[解析] (1)y ＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x <－3)，8 (－3≤x <5)，2x －2 (x ≥5).图像如图(1)所示．(2)y ＝2x －3，∵x ∈Z ，且|x |≤2.∴x ＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．(3)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1(x <0).图像如图(3)所示．(4)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)－x 2－2x (x <0)的图像如图(4)所示．7．如图所示，半径为R 的圆的内接等腰梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 之间的关系式，并求出它的定义域．[解析] 设腰长AD ＝BC ＝x ， 作DE ⊥AB 交AE 于点E ，连接BD ， 则∠ADB ＝90°，∴Rt △ADE ∽Rt △ABD .∴AD 2＝AE ·AB ，AE ＝x 22R .∴CD ＝AB －2AE ＝2R －x 2R.∴周长y 满足关系式y ＝2R ＋2x ＋⎝⎛⎭⎫2R －x 2R ＝－x2R＋2x ＋4R . 即周长y 与腰长x 之间的关系式为y ＝－1R x 2＋2x ＋4R .∵四边形ABCD 为圆内接梯形，∴AD >0，AE >0，CD >0.即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 22R>0，2R －x 2R >0，⇒0<x <2R .所以函数的定义域为{x |0<x <2R }.。

综合测试题(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014，江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝()A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}，故选C. 2．已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2][答案] D[解析] 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}， B ＝{x |x ≤2}．所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减少的函数是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |[答案] C[解析] 利用偶函数定义及单调性的判断方法求解． A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 是非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减少的，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增加的．故选C.4．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b[答案] C[解析] ∵－log 30.3＝log 3103>1且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4 ∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x为增函数，∴5 log 23.4>5log 3103>5log 43.6即5 log 23.4>(15) log 30.3>5 log 43.6，即a >c >b .5．(2013·浙江高考)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 本题考查指、对运算． 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .6．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝0B ．a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝3D ．以上答案均不正确 [答案] B[解析] 对称轴x ＝1，当a >0时在[2,3]上递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2，f (3)＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，在[2,3]上递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝5，f (3)＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故选B.7. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B ．12C ．2D ．4[答案] B[解析] ∵当a >1或0<a <1时，a x 与log a (x ＋1)的单调性一致， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝a ，即1＋log a 1＋a ＋log a (1＋1)＝a ，∴a ＝12.8．已知函数f (x )满足：x ≥4，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124 B ．112C.18 D ．38[答案] A[解析] f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×13＝124，选A.9．函数f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] f (x )＝(x －1)ln|x |－1的零点就是方程(x －1)ln|x |－1＝0的实数根，而该方程等于方程ln|x |＝1x －1，因此函数的零点也就是函数g (x )＝ln|x |的图像与h (x )＝1x －1的图像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点．10．若f (x )＝x －2x ＋2(x ∈R )，且f (x －2x ＋2)＝－x2，则x 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．0[答案] A[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f (x －2x ＋2)＝x －2x ＋2－2x －2x ＋2＋2＝－x －63x ＋2＝－x 2.∴2(x ＋6)＝(3x ＋2)x ， 即x 2＝4，∴x ＝±2. 又x ≠－2，∴x ＝2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(2014·天津文，12)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． [答案] (－∞，0)[解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令u ＝x 2，则函数u ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又∵y ＝lg u 是增函数，∴函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间为(－∞，0)．12．方程9x －6·3x －7＝0的解是________． [答案] x ＝log 37[解析] 原方程可化为(3x )2－6·3x －7＝0， 即(3x －7)(3x ＋1)＝0，又∵3x ＋1>0，∴3x ＝7，则原方程的解是x ＝log 37.13．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． [答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝⎛⎭⎫13x －1.而⎝⎛⎭⎫13x －1>0，∴m ≥0.故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)．14.某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．[答案][解析] 设矩形的长为x ，则宽为1－4x 6，饲养场的总面积为y ，则有y ＝3x ·1－4x 6＝－2x 2＋12x . 当x ＝18时，y 有最大值，此时宽为112，故每个矩形的长宽之比为时，围出的饲养场的总面积最大．15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1－x －2a ， x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案] －34[解析] 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系． 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ； f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2. 解得a ＝－34.当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a . f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1， 因为f (1－a )＝f (1＋a )所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)综上，满足条件的a ＝－34.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设A ＝{2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集． [解析] (1)∵A ∩B ＝{2}，∴8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0.∴a ＝－5. ∴A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}． (2)U ＝{12，－5,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．(3)(∁U A )∪(∁U B )的子集为： ∅，{－5}，{12}，{－5，12}．17．(本小题满分12分)已知：函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174，(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间(0，12)上的单调性并证明．[解析] (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴－ax －b x ＋c ＝－ax －bx －c ，∴c ＝0. ∴f (x )＝ax ＋bx.又f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x.函数f (x )在区间(0，12)上为减函数．证明如下： 任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(2－12x 1x 2)＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，12)上为减函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有唯一零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)∵函数f (x )在区间(－1,1)上有唯一零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (－1)<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <1，或⎩⎨⎧a <2，a >1.∴1<a <2.(2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∵f (－1)>0，f (1)<0，f (0)＝2817>0，∴零点在(0,1)上．又f (0.5)＝0， ∴f (x )＝0的根为0.5.19．(本小题满分12分)某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，解得k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25)(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75之间， 故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.20．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时的解析式为f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值．[解析] (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，又∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]．(2)∵f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )最大值为a －1， 当2<a <4时，f (x )最大值为a 24，当a ≥4时，f (x )最大值为2a －4.21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝log 12 (x 2－mx －m .)(1)若m ＝1，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的值域为R ，求实数m 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m 的取值范围． [解析] (1)m ＝1时，f (x )＝log 12(x 2－x －1)，由x 2－x －1>0可得：x >1＋52或x <1－52，∴函数f (x )的定义域为(1＋52，＋∞)∪(－∞，1－52)．(2)由于函数f (x )的值域为R ，所以z (x )＝x 2－mx －m 能取遍所有的正数从而Δ＝m 2＋4m ≥0，解得：m ≥0或m ≤－4.即所求实数m 的取值范围为m ≥0或m ≤－4. (3)由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥1－3(1－3)2－m (1－3)－m >0⇒2－23≤m <2. 即所求实数m 的取值范围为[2－23，2)．。

本册综合测试题(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >a }，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥1D ．a ≤2[答案] A[解析] 将集合A 、B 分别表示在数轴上，如图所示．∵A ⊆B ，∴a ≤1.2．(2022～2021学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数g (x )＝2x ＋5x 的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,2)D ．(－2，－1)[答案] B[解析] g (－1)＝12－5<0，g (0)＝20＝1>0，故选B ．3．已知f (x 2)＝ln x ，则f (3)的值是( ) A ．ln3 B ．ln8 C ．12ln3D ．－3ln2 [答案] C[解析] 设x 2＝t ，∵x >0，x ＝t ， ∴f (t )＝ln t ＝12ln t ，∴f (x )＝12ln x ，∴f (3)＝12ln3.4．(2022～2021学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＝( )A ．－5B ．5C ．3D ．－3[答案] B[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (2)＝5.又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝5. 5．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2的值是( )A ．1B ．14C ．22D ．23[答案] D[解析] ∵m ＝(2＋3)－1＝2－3， n ＝(2－3)－1＝2＋ 3.∴(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2 ＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2(3＋3)2＝2436＝23. 6．函数f (x )＝x 2－5x ＋6x －2的定义域是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x <2或x >3}C ．{x |x ≤2或x ≥3}D ．{x |x <2或x ≥3}[答案] D[解析] 解法一：验证排解法：x ＝3时，函数f (x )有意义，排解A 、B ；x ＝2时，函数f (x )无意义，排解C ，故选D ．解法二：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6≥0x －2≠0，解得x <2或x ≥3，故选D ．7．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称． 依据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( ) A ．过点(3,0) B ．顶点(2，－2) C ．在x 轴上截线段长是2 D ．与y 轴交点是(0,3) [答案] B。