初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-最值

初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。

接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。

一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。

2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。

3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。

4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。

二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。

2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。

3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。

4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。

5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。

三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。

2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。

3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。

四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。

2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。

3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。

4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。

五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。

2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。

六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。

2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。

3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。

全国奥林匹克数学初二竞赛题
全国奥林匹克数学初二竞赛题
一、数学逻辑
1、已知函数f(x)的定义域为[a,b],若f(a)=8,f(b)=15，求f(c)的值。

2、若函数f(x)的定义域为[a,b]，其图像对称轴的方程若为y=kx-k，求a，b的值。

3、已知椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以及它们到圆心的距离为a，求椭圆方程。

二、不等式
4、设a,b,c分别为正实数，求使a，b，c满足不等式x^2+2ax+2bx+c=0
的有界解集。

5、若x^2+2ax+2bx+c>0,其中a,b,c均为正实数，求对应的x的取值范围。

6、已知x，y,a,b均为正实数，求使x^2+2ax+2bx+y^2+2ay+2by=c的有
界解集。

三、函数
7、已知f(x)的定义域为[2,30]，求f(x)的最大值以及f（x）的最小值。

8、已知直线上有m,n两点，求m到n的最短距离以及对应的方程（以
y=mx+b的形式表示）。

9、已知椭圆上有m,n两点，求m到n的最短距离以及对应的方程（以ax^2+by^2+cx+dy+k=0的形式表示）。

四、应用题
10、已知某商品的销售总额为50万，还知该商品的单位成本为100元，求该商品的最大利润。

11、若有两段距离分别为a,b共需要t小时，若要同时全程行驶，求所
需的最大时间。

12、已知f（x）的定义域为[1,50]，求f（x）的单调递增区间及它们的
端点值。

初中数学奥赛中的常见知识点整理数学奥林匹克竞赛是一项用于培养学生数学思维、推理和问题解决能力的比赛，对参赛者的数学基础和解题能力有一定的要求。

在初中阶段，有一些常见的数学知识点是参加数学奥赛时必须熟练掌握的。

本文将整理出初中数学奥赛中常见的知识点，并进行简要介绍。

一. 平面几何1. 三角形和四边形的性质- 三角形内角和为180度- 等腰三角形的两个底角相等- 等边三角形的三个内角均为60度- 相邻补角和相对顶角互补2. 相似三角形- 对应角相等，对应边成比例- 两个等腰三角形相似，则它们全等3. 圆和圆的性质- 圆的周长为2πr，面积为πr²- 弦长关系：两个弦等长则弦上的圆心角相等，弧长相等则圆心角相等- 切线和切点：切线垂直于半径，切点是切线和圆的交点4. 平行线和全等三角形- 平行线的性质：同位角相等，内错角相加为180度- 直角三角形全等的条件：斜边和斜边对应的一个直角边相等二. 三角函数1. 弧度和角度- 弧长L = rθ，其中r是半径，θ是弧度- 弧度与角度的关系：弧度 = 角度× π / 1802. 正弦、余弦和正切- 正弦：sinθ = 对边 / 斜边- 余弦：cosθ = 邻边 / 斜边- 正切：tanθ = 对边 / 邻边3. 三角函数的周期性和特殊值- 正弦和余弦的周期为2π- 正弦和余弦的值域为[-1, 1]- 正切在θ为90度的整数倍时无定义三. 数列和等差数列1. 数列和- 等差数列的和：Sn = (a₁ + an) × n / 2，其中a₁为首项，an为末项，n为项数2. 等差数列的通项公式- 通项公式：an = a₁ + (n - 1) × d，其中d为公差四. 平面坐标系1. 平面直角坐标系- 原点和坐标轴- 坐标和距离公式- 点的对称性2. 坐标系中直线的性质- 斜率的意义和计算方法- 直线的方程和求交点的方法五. 可数与无限1. 自然数与整数- 自然数的性质与特点- 整数的性质与特点2. 有理数与无理数- 有理数和无理数的定义- 无理数的表示方式和性质六. 概率与统计1. 事件与概率- 事件的定义和表示- 概率的定义和计算方法2. 统计与频率- 数据的收集和整理- 频率和统计量的计算以上是初中数学奥赛中常见的知识点整理，涵盖了平面几何、三角函数、数列和等差数列、平面坐标系、可数与无限以及概率与统计等方面。

初中数学奥赛知识点梳理数学奥赛是一项对学生数学综合能力和创造力的考验。

在初中阶段，学生需要掌握一些重要的数学知识点，才能在奥赛中取得好成绩。

本文将从初中数学奥赛的角度，对一些重要的知识点进行梳理和总结，以帮助学生更好地备战数学奥赛。

一、代数与方程1. 分式分式是数学奥赛中经常涉及的内容。

学生需要掌握分式的加减乘除运算规则，化简分式和扩展公式等技巧。

2. 平方根与立方根平方根和立方根是奥赛中常见的要求。

学生需要掌握平方根和立方根的概念、性质和求解方法，能够灵活运用。

3. 不等式不等式在数学奥赛中常用于问题的建模和求解。

学生需要掌握不等式的基本性质，包括取等条件、合并不等式和解不等式等技巧。

4. 方程与方程组解方程是数学奥赛的核心考点之一。

学生需要掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，以及一元一次方程组和一元二次方程组的解法。

二、几何与三角1. 圆的性质圆是数学奥赛中经常出现的题型。

学生需要掌握圆的周长、面积、弧长的计算公式，以及切线和弦等概念的性质。

2. 相似三角形相似三角形是数学奥赛中的重要内容。

学生需要掌握相似三角形的判定方法、性质和应用，包括比例定理和角平分线定理等。

3. 同位角与同旁内角同位角和同旁内角是数学奥赛中常见的概念。

学生需要掌握同位角和同旁内角的性质，以及利用这些性质解题的方法。

4. 三角函数三角函数是数学奥赛中需要掌握的重要知识点。

学生需要掌握正弦、余弦和正切等三角函数的定义、性质和应用，能够运用三角函数解决实际问题。

三、概率与统计1. 排列与组合排列与组合是数学奥赛中常见的题型。

学生需要掌握排列和组合的计算方法，包括排列数和组合数的求解公式，能够灵活应用于实际问题。

2. 概率计算概率是数学奥赛中的重要内容。

学生需要掌握事件的概念、计算方法和性质，包括排列组合与概率的关系、加法法则和乘法法则等。

3. 数据统计数据统计是数学奥赛中经常出现的题型。

学生需要掌握数据的整理、分析和统计方法，包括图表的读取和制作，能够利用数据解决实际问题。

初中数学竞赛辅导讲义-求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于c bx ax y ++=2（0≠a ）(1)若a>0，则当a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；(2)若a<0，则当abx 2-=时， a b ac y 442-=最大值．【例题求解】【例1】 设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ．思路点拨 将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值．【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6 思路点拨 设k z y x =-=+=-32211，则222z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．【例3】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．思路点拨 由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45吨，向B 提供75吨，向C 提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．思路点拨 设乙基地向A 提供x 吨，向B 提供y 吨，这样总运费就可用含x ，y 的代数式表示；因为1000≤+≤y x 0，450≤≤x ，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有b a xb ax b x x a 22=≥+，即当且仅当b x x a =时，bxx a +有最小值ba2．注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+． 以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立．学历训练1．当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值为 ．2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为 、 米．3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为 ．4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( ) A ．21 B ．85C ．1D ．365．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )A ．2lB ．25C ．26D ．36 6．正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．27．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 项目 A B C D E F 每股(万元) 5 2 6 4 6 8 收益(万元)0．550．40．60．50．9l如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：作物品种 每亩地所需职工数每亩地预计产值蔬菜 21 1100元 烟叶 31 750元 小麦41 600元请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．9．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2． (1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ．11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为，最小值为 ．13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为 ．15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)； (2)设每辆车的月租金为x(x ≥3000)元，用含x 的代数式填空：16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润? 链接17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，未租出的车辆数租出的车辆数所有未租出的车辆每月的维护费租出的车每辆的月收益如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足： （1）21≤≤-i x ，n i Λ,2,1=； （2）1921=+++n x x x Λ； （3）9922221=+++n x x x Λ．求33231n x x x +++Λ的最大值和最小值．参考答案。

初中数学竞赛定理xx知识点汇总1、勾股定理(xx定理)2、射影定理(xx定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB 中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

九年级数学奥赛知识点总结数学奥赛作为一项具有挑战性和智力要求的竞赛，对学生的数学素养和运算能力提出了相对高的要求。

九年级作为中学学业的关键年级，数学奥赛知识点的掌握对于学生的奥赛成绩至关重要。

下面将对九年级数学奥赛知识点进行总结，并简要介绍重点内容。

1. 数的整除性：数的整除性是数论中一个重要的基本概念。

在数论中，我们关注的是整数之间的整除关系。

整数a除以整数b，如果能整除，即a可以被b整除，记作a|b，反之，如果不能整除，记作a∤b。

学生需要了解整除的概念及其性质，掌握整除的运算法则，熟练使用约数、倍数等概念和性质。

2. 比例与比例的运算：比例在数学中是一种重要的关系。

比例的含义是两个量之间的相互关系。

学生需要掌握比例的定义，理解比例的等价关系，熟练运用比例的四种运算：比例的乘除运算、比例的加减运算、比例的倒置、比例的求值。

3. 几何图形的性质：在几何学中，了解和掌握各种几何图形的性质是数学奥赛的必备知识。

例如：三角形的性质：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等，学生需要熟练掌握它们的定义和性质，能够灵活地应用到解题过程中。

四边形的性质：矩形、正方形、菱形等，学生需要掌握它们的特点和性质，能够利用它们的性质解题。

圆的性质：半径、直径、弦、弧等，学生需要了解它们的定义和性质，能够运用到解题过程中。

4. 分式运算：分式是数学中一个重要的概念，也是九年级数学奥赛中的一个重点。

学生需要熟练掌握分数的基本概念及其性质，理解分数的相等和约简，熟练运用分数的四则运算，包括分数的加减乘除，掌握分数的化简、比较大小等技巧。

5. 数列与等差数列：数列是由一组有序的数按照一定规律排列而成的序列。

等差数列是数学中重要的一种数列，它的特点是每一个数与它前面的数之差都是相等的。

学生需要了解数列的概念和性质，掌握数列的通项公式和求和公式，能够应用数列的知识解决实际问题。

总之，九年级数学奥赛知识点的掌握对于学生的奥赛成绩至关重要。

初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。

随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。

为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。

一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。

常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。

1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。

学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。

- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。

- 方程和不等式的应用问题解法。

1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。

学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。

同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。

二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。

学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。

同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。

2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。

学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。

此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。

2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。

学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。

三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。

学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。

初中奥林匹克数学竞赛题
题目：
在平面直角坐标系中，点P(a,b)满足a+b=3，若点Q的坐标为(q,3-q)，则PQ的最大值为多少？
解析：
1.理解题意：根据题目给出的条件，我们可以得到点P的坐标，同时，通过坐标系的图形可以确定点Q的坐标，由此，我们需要求出点P与点Q的距离，即PQ，找出PQ的最大值。

2.确定求解方法：由于我们需要求出P点与Q点的距离，可以运用勾股定理公式来计算，即√[(a-q)²+(b-3+q)²]。

为了使PQ达到最大值，我们可以通过推导计算，得出a、b、q的取值。

3.推导计算：根据题目知道，a+b=3，因此可得出b=3-a；又因为q+3-q=3，即q=1.5，代入勾股定理公式可以得到：
PQ=√[(a-1.5)²+(1.5-b)²]
化简可得：
PQ=√[(a-1.5)²+(a-1.5)²]
PQ=√2(a-1.5)²
由此，我们可以知道，当a=1.5时，PQ达到最大值。

4.结论：根据上述推导，我们得出结论：当点P的坐标为(1.5,1.5)时，PQ的值最大，为PQ=√2。

总结：
通过分析上述解题过程，我们可知，数学竞赛题目需要我们灵敏的思维和计算能力，同时要从生活中的实际问题去理解和解决。

因此，我们需要在平时多进行数学知识的学习和实践，锻炼自己的数学思维能力。

初中数学竞赛定理奥赛知识点汇总1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

数学竞赛：奥数知识点总结1. 引言在数学竞赛中，奥数（奥林匹克数学）是一项重要的领域。

奥数不仅要求解决复杂的问题，还要培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将总结一些常见的奥数知识点。

2. 数论2.1 质数与素数•质数是指只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。

•素数是指大于1且只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。

2.2 最大公约数与最小公倍数•最大公约数（GCD）是指同时能够整除两个或多个整数的最大正整数。

•最小公倍数（LCM）是指能被两个或多个整数整除且能被它们共有的所有质因子整除的最小正整数。

3. 代数3.1 四则运算与算术级别•四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

•算术级别是指计算过程中按照一定顺序进行运算，如先乘除后加减。

3.2 代数式与方程•代数式是由数或字母和运算符号组成的式子，可以包含变量。

•方程是等于号连接的两个代数式，求解方程即找到使等式成立的变量值。

4. 几何4.1 基本几何概念•点：空间中没有大小和形状的基本元素。

•直线：由无穷多个点组成且不弯曲或折线的路径。

•长度、面积和体积：用于测量物体的尺寸和容积。

4.2 图形的性质和关系•正方形：四边长度相等且四个角都为直角的四边形。

•相似图形：具有相同形状但大小不同的图形。

•平行线：在同一个平面上永远不会相交的直线。

5. 概率与统计5.1 概率概念•概率是指根据某种规律性，对随机事件发生可能性进行度量的一种方法。

5.2 统计学概念•统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科。

它包括描述统计和推断统计两个方面。

6. 解决奥数问题的方法6.1 列方程法•列方程法是通过将问题用代数式或等式表达，然后解决方程来解决问题的方法。

6.2 反证法•反证法是假设所需证明的命题为假，然后推导出与已知矛盾的结论，从而推断所需证明的命题为真。

结论本文概述了数学竞赛中常见的奥数知识点，包括数论、代数、几何、概率统计以及解决奥数问题的方法。

初中奥数知识点整理奥数，全名为奥林匹克数学竞赛，是一种培养学生数学兴趣和解决问题能力的数学竞赛。

它强调思维的灵活性、独立思考问题的能力以及应用数学知识解决实际问题的能力。

在初中阶段，学生通过参加奥数活动，可以提高自己的数学水平，培养逻辑思维和创新思维能力。

下面，就初中奥数的知识点进行整理。

1. 整数和有理数奥数中，整数和有理数是重要的基础内容。

学生需要掌握整数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法，并能灵活运用。

此外，还需要掌握有理数的概念、比较大小和运算规则。

对有理数的加减乘除运算要有一定的熟练度。

2. 方程与不等式方程和不等式是奥数中常见的问题类型。

学生需要学会解一元一次方程和一元一次不等式，并能运用它们解决实际问题。

对于二元一次方程和二元一次不等式，也需要掌握相关的解法和应用。

3. 几何奥数中的几何知识涉及到平面几何和立体几何。

学生需要对各种几何图形的性质和定理有一定的掌握，如直线、角、三角形、四边形、圆等。

此外，对于一些基本的几何变换和构造，如平移、旋转、对称等，也需要深入了解和熟练运用。

4. 空间想象空间想象题是奥数中的一种常见题型。

学生需要具备良好的空间想象力，能够准确判断和绘制图形的位置关系和形状特征。

此外，对于空间几何变换和投影等概念，也需要有一定的了解和应用能力。

5. 组合数学组合数学是奥数的一大重点内容。

学生需要了解排列、组合、二项式定理等基本概念，并能够运用它们解决问题。

对于概率的计算和应用也需要掌握。

6. 数列与数学归纳法数列是奥数中常见的数学概念。

学生需要学会判断数列的性质、求出其通项公式，以及计算数列的和。

与数列相关的数学归纳法也是奥数常用的证明方法，学生需要掌握归纳法的基本原理和应用技巧。

7. 函数函数是奥数中的重点内容之一。

学生需要了解函数的定义、性质和图像特征，并能够根据函数的表达式绘制函数图像。

此外，对于函数的复合、反函数和反函数的图像变换，也需要有一定的了解和掌握。

初中奥数竞赛常见题型总结在初中奥数竞赛中，有一些常见的题型会反复出现，掌握这些题型的解答方法可以帮助学生提升解题能力和竞赛成绩。

本文将对初中奥数竞赛中常见的题型进行总结和解析。

一、方程题方程题在初中奥数竞赛中出现的频率较高，解方程是解决问题的一种常用方法。

主要的方程题类型包括一次方程、二次方程、绝对值方程等。

1. 一次方程一次方程就是未知数的最高次数为1的方程。

解一次方程的基本步骤是化简、移项和合并同类项。

举个例子：题目：某店原价660元的商品进行了打折处理，现在的价格是原价的80%，问现在的售价是多少？解题思路：设现在的售价为x元，则根据题意可列出方程660 × 80% = x，化简得528 = x，因此现在的售价是528元。

2. 二次方程二次方程是未知数的最高次数为2的方程。

解二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。

举个例子：题目：已知二次方程x² + 5x + 6 = 0有两个不相等的实数根，求该二次方程的解。

解题思路：对于二次方程x² + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后分别解出x+2=0和x+3=0两个方程，得到x=-2和x=-3，因此该二次方程的解为x=-2和x=-3。

二、几何题几何题在初中奥数竞赛中经常出现，要求学生应用几何概念和性质来解决问题。

常见的几何题类型包括直角三角形、相似三角形、圆等。

1. 直角三角形直角三角形的一个角是90度，根据勾股定理和三角函数，可以求解直角三角形的边长和角度。

举个例子：题目：已知直角三角形的两条直角边长分别是3 cm和4 cm，求斜边长。

解题思路：根据勾股定理，斜边的平方等于直角边长的平方和。

所以，斜边长等于√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5，故斜边长为5 cm。

2. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形，相似三角形之间的边长成比例。

【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变(湖北赛区选拔赛试题)； 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．⌒注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．(永州市竞赛题)思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．⌒注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ． (江苏省竞赛题)2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．(湖北省黄冈市竞赛题)3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．22C ．2D ．13- (湖北省荆州市中考题)5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+(贵阳市中考题)6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定(桂林市中考题)7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． (1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．(加拿大数学奥林匹克试题)9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( ) A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．(全国初中数学联赛试题)13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU 相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．( “弘晟杯”上海市竞赛题)14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题)15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．(北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。

初中数学竞赛定理奥赛知识点汇总1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss 为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

初中奥数知识总结初中奥数是指面向初中生的数学竞赛活动，主要包括数学奥林匹克竞赛（简称为奥赛）和中学生数学联赛（简称为联赛）两大类。

这些竞赛旨在提高学生的数学素养、思维能力和问题解决能力，培养学生对数学的兴趣和热爱。

在初中奥数竞赛中，学生需要掌握一些基础的数学知识和技巧。

以下是对初中奥数常见知识点的总结。

1.质数与合数质数是只能被1和自身整除的数，例如2、3、5、7等；合数则是能够被其他数整除的数，例如4、6、8、9等。

学生需要了解质数与合数的概念，能够判断一个数是质数还是合数，并能找出一定范围内的质数。

2.最大公约数与最小公倍数最大公约数是指能够同时整除两个或多个数的最大的正整数，最小公倍数则是指能够同时被两个或多个数整除的最小的正整数。

学生需要学会求解两个数的最大公约数和最小公倍数的方法，能够灵活运用到实际问题中。

3.整式与分式整式是指系数和字母的乘积之和，例如3x + 2y + 5；分式是指两个整式的比值，例如（3x + 2y）/ 5。

学生需要了解整式与分式的概念，能够进行整式的加减乘除运算，化简和展开分式。

4.代数方程与方程组代数方程是含有未知数的等式，例如2x + 5 = 10；方程组是包含多个代数方程的一组等式，例如2x + y = 103x - 2y = 5学生需要学会解代数方程和方程组的方法，能够求解未知数的值，解决实际应用问题。

5.平面几何与立体几何平面几何是研究平面上的图形及其性质的数学分支，如直线、三角形、四边形等；立体几何是研究三维空间中的图形及其性质的数学分支，如立方体、圆锥体、球体等。

学生需要了解平面几何和立体几何的基本概念和定理，能够判断图形的性质，计算面积和体积。

6.概率与统计概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，统计是研究数据收集、整理和分析的学科。

学生需要了解概率和统计的基本概念，能够计算概率和处理统计数据，分析和解释统计结果。

7.数列与数列求和数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，例如1，3，5，7，9...；数列求和是将数列中的数相加得到的和。

初中数学竞赛辅导讲义---解直角三角形利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用：1．为线段、角的计算提供新的途径．解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限．2．解实际问题．测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形．【例题求解】【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(24-)m，则电线杆AB62的长为．思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件．【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=24-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( )A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形．注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除．在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解．【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ADC 是方程2)1(5)1(322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件．【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米)思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可．注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力．学历训练1．如图，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=31，BC=10，则AB 的长为 ．2．如图，在矩形ABCD 中．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若tan ∠AEH =34，四边形EFGH 的周长为40cm ，则矩形ABCD 的面积为 ．3．如图，旗杆AB ，在C 处测得旗杆顶A 的仰角为30°，向旗杆前北进10m ，达到D ，在D 处测得A 的仰角为45°，则旗杆的高为 ．4．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B 处船与小岛M 的距离为( )A ．20海里B ．20海里C ．315海里D ．3205．已知a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若关于x 的方程02)(2=-+-+b c ax x c b 有两个相等的实根，且sinB ·cosA —cosB ·sinA ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD 的面积是( )A ．24B ．34C ． 4D ．67．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，CD=1，已知AD 、BD 的长是关于x 的方程02=++q px x 的两根，且tanA —tanB=2，求p 、q 的值．8．如图，某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 点测得B 、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B 地测得C 地的仰角为60°．已知C 地比A 地高200米，则电缆BC 至少长多少米?(精确到0.1米)9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CBD ＝30，则DC AD = ．10．如图，正方形ABCD 中，N 是DC 的中点．M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则tan ∠ABM ＝ ．11．在△ABC 中，AB=26-，BC=2，△ABC 的面积为l ，若∠B 是锐角，则∠C 的度数是 ．12．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且c a =，若关于x 的一元二次方程022=+-c bx x 的两根之差为2，则等腰三角形的一个底角是( )A ． 15°B ．30°C ．45°D ．60°13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1和∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1＝∠2D ．无法确定14．如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 上一点，AE ⊥AF ，点E 在CB 的延长线上，EF 交AB 于点G ．(1)求证：DF ×FC ＝BG ×EC ；(2)当tan ∠DAF=31时，△AEF 的面积为10，问当tan ∠DAF=32时，△AEF 的面积是多少?15．在一个三角形中，有一边边长为16，这条边上的中线和高线长度分别为10和9，求三角形中此边所对的角的正切值．16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正在以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响．(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?17．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测角器高度不计)．(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)．参考答案。