60实变函数与泛函分析 微分与不定积分

实变函数论、拓扑学与泛函分析微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。

数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。

也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。

比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。

以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。

又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。

十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。

后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。

这个证明使许多数学家大为吃惊。

由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。

人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。

这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。

比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。

它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。

什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。

也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。

实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。

实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。

实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是数学家们在研究函数分析的时候提出的一种理论模式。

实变函数论是一门理论体系，其研究的对象主要是和函数之间的关系。

泛函分析则注重对函数本身的进行分析。

实变函数论与泛函分析介绍如下：一、实变函数论1.定义实变函数论是指研究将一个变量关于另一个变量而又依赖于一个参数时函数的行为和性质的学科。

它试图分析它们之间的关系，在有限或无限的变量区间上建立关于函数的数学模型和理论，并导出用于解决数学问题的一般定理和式子。

2.应用实变函数论在各个数学学科，特别是微积分学中有着重要的地位。

在微积分中，它们被用来研究函数和变量之间的关系，帮助分析变量的变化率、局部变化规律以及参数对变量的影响等方面的数学模型，以及表示形式的分析等等。

二、泛函分析1.定义泛函分析是一门概括实变函数性质的学科。

它是研究实变函数的性质的一种新的数学方法，其研究的主要对象是函数本身的特征。

它不仅仅关注实变函数的变化规律以及参数对变量的影响，而且重视函数本身的一般特征。

2.应用泛函分析在数学中广泛应用，用它可以分析函数表示形式、函数图像、数值函数特征等，以及函数变量范围等方面的信息。

泛函分析可以快速求解实变函数存在的问题，例如函数的变换矩阵以及函数的定义域等等，并可以用来帮助分析实变函数在不同区间的特征。

它还可以帮助机器学习和统计学家们更好地探索实变函数方程的内在特征。

总之，实变函数论与泛函分析是数学家们用来研究函数的理论尝试，涉及到函数之间的关系、特征以及数学上的分析。

它们在数学学科中都具有重要的地位，为数学应用研究提供了强有力的帮助。

《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。

这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。

目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。

数学中的微积分与泛函分析1.极限：函数在某一点的极限值，极限的性质与运算法则，无穷小与无穷大，极限存在与不存在的判定方法。

2.导数：导数的定义，导数的性质与运算法则，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导，导数在实际问题中的应用。

3.积分：积分的定义，积分的基本性质与运算法则，不定积分与定积分的计算，换元积分，分部积分，定积分的应用。

4.微分方程：微分方程的定义，微分方程的解法，常微分方程与偏微分方程，微分方程在实际问题中的应用。

二、泛函分析1.赋范线性空间：赋范线性空间的定义，基本性质与运算法则，范数的等价条件，赋范线性空间的对偶空间。

2.内积空间：内积空间的定义，内积的性质与运算法则，正交基，正交分解，内积空间的对偶空间。

3.希尔伯特空间：希尔伯特空间的定义，希尔伯特空间的基本性质，正交补，格伦平均定理，希尔伯特空间的对偶空间。

4.巴拿赫空间：巴拿赫空间的定义，巴拿赫空间的基本性质，巴拿赫空间的对偶空间，巴拿赫空间的应用。

5.泛函极限与连续性：泛函极限的定义，泛函极限的性质与运算法则，泛函的连续性，连续泛函的性质与运算法则。

6.赋范线性空间中的算子：算子的定义，算子的性质与运算法则，算子的谱，算子的本征值与本征向量，算子的扩张与降维。

7.泛函方程：泛函方程的定义，泛函方程的解法，抽象泛函方程，变分法，泛函方程在实际问题中的应用。

8.泛函分析在其他学科中的应用：泛函分析在数学物理中的作用，泛函分析在计算机科学中的应用，泛函分析在经济学、生物学等其他学科中的应用。

习题及方法：一、微积分习题1.极限习题：求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x趋近于1时的极限值。

答案：当x趋近于1时，分子x^2 - 1趋近于0，分母x - 1趋近于0，所以f(x)的极限值为1。

2.导数习题：求函数f(x) = x^3的导数。

答案：f’(x) = 3x^2。

3.积分习题：计算不定积分I = ∫(1/x)dx。

实变函数与泛函分析要点实变函数是指定义在实数集上的函数。

泛函分析是数学领域中的一个分支，研究无穷维的向量空间中的函数，函数可以是函数空间的元素，也可作为泛函作用于其他函数上。

以下是实变函数与泛函分析的一些重要要点：1.实变函数的定义与性质：实变函数是一个定义在实数集上的函数，即其自变量和值都是实数。

实变函数可以分为一元函数和多元函数两种。

一元实变函数常见的类型包括常值函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

多元实变函数一般是一元实变函数的扩展，引入了多个实数自变量。

2.实变函数的极限与连续性：实变函数的极限概念与数列极限类似，但要考虑函数在自变量无穷大时的极限。

连续函数是实变函数中很重要的一类，其定义是指函数在其定义域内的任意点上都有极限，并且极限值等于函数在该点的函数值。

连续函数具有许多重要的性质，如介值定理、最大最小值定理、魏尔斯特拉斯逼近定理等。

3.实变函数的导数与微分：实变函数的导数是研究实变函数变化率的重要工具，通过导数可以求得函数的切线、切平面、切量等。

导数的定义是函数在一点处的极限，有了导数概念之后，可以引入微分的概念，将实变函数局部线性化。

4.实变函数的积分与级数：实变函数的积分是对函数在一定区间上的面积或曲线下面积进行求和的过程。

具体可以分为定积分和不定积分两种，常见的积分方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。

级数是实变函数的另一个重要概念，是无穷多项之和的极限形式，数学分析中常用到的级数包括幂级数、傅里叶级数等。

5.泛函分析的基本概念：泛函是一个将向量空间中的函数映射到实数域的映射，也可以理解为对函数进行描写或度量的方式。

泛函分析是考虑无穷维向量空间上的泛函的性质与运算的数学分支。

泛函分析包括拓扑向量空间、线性算子、度量性等方面的内容。

6.泛函分析中的函数空间：函数空间是泛函分析中一个重要的研究对象，它是一组具有特定性质的函数的集合。

常见的函数空间包括连续函数空间、可测函数空间、Lp 空间等。

实变函数与泛函分析长春理工大学数学研究生入学加试《实变函数与泛函分析》考试大纲一、总体要求考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。

较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。

二、教材《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.三、考试内容（一）集合1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛；4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等；5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；6. 知道不存在具有最大基数的集合。

（二）点集1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间；2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质；4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理；5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。

（三）测度论1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、Gδ型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类；（四）可测函数1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系；2. 理解Egorov定理，Lusin定理；3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。

《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。

2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。

二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。

“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。

三、课程教学内容第一章 集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。

2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。

熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。

熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。