2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换一课一练(含解析)人教A版必修一

5.5.2简单的三角恒等变换课标要求素养要求1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.问题 1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？2.半角公式是如何推导出来的？3.半角公式的符号是怎样确定的？提示 1.α2是α的半角，α是2α的半角.2.半角公式的推导是利用公式cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.1.半角公式在利用公式时，注意符号的选取sin α2＝±1－cos α2cos α2＝±1＋cos α2. tan α2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式).tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式).2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ).其中tan φ＝ba ，φ所在象限由a 和b 的符号确定，或者sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 教材拓展补遗[微判断] 1.sin 15°＝±1－cos 30°2.(×) 提示 sin 15°＝1－cos 30°2. 2.对于α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立.(×)提示 ∵sin α＝2sin α2cos α2，只有当cos α2＝1时sin α2＝12sin α才能成立. 3.若5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则cos θ4＝1＋a2.(×)提示 ∵θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2为第三象限角，故cos θ4＝－1＋a 2.[微训练]1.化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为________.解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 答案 tan 2α2.函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 的最小值为________.解析 f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫513cos x ＋1213sin x＝13sin(x ＋φ)(其中tan φ＝512)， ∴f (x )min ＝－13. 答案 －133.已知sin α＝55，cos α＝255，则tan α2＝________.解析 因为sin α＝55>0，cos α＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限，所以tan α2>0，故tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1－2551＋255＝5－2. 答案5－2[微思考]1.半角公式中的符号是如何确定的？提示 (1)当给出角α的具体范围时，先求α2的范围，然后根据α2的范围确定符号. (2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.2.sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？提示 右边＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－φ2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2cos φ2＋cos θ2sin φ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2cos φ2＋sin θ2sin φ2 ＝2⎝⎛sin θ2cos θ2·cos 2φ2＋sin 2θ2·sin φ2cos φ2＋cos 2θ2sin φ2cos φ2＋⎭⎪⎫sin 2φ2sin θ2cos θ2＝sin θ·cos 2φ2＋sin 2θ2sin φ＋cos 2θ2sin φ＋sin 2φ2sin θ ＝sin θ＋sin φ＝左边.∴故等式成立.题型一 利用半角公式求值注意角的范围【例1】 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角. 当α2为第二象限角时， sin α2＝1－cos α2＝33，cos α2＝－1＋cos α2＝－63，tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－22；当α2为第四象限角时， sin α2＝－1－cos α2＝－33， cos α2＝1＋cos α2＝63， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－22.规律方法 利用半角公式求值的思路(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算. (4)下结论：结合(2)求值.【训练1】 已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( ) A.3 B.－3 C.13D.－13解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.答案 B题型二 三角函数式的化简 注意α2是α的半角，α是2α的半角 【例2】 化简：（1－sin α－cos α）⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0).解 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0, 所以sin α2<0， 所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α. 规律方法 探究三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 【训练2】 设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos 2α.解 ∵α∈(3π2，2π)，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos α>0，cos α2<0，故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α＝cos 2α2＝|cos α2|＝－cos α2.题型三 三角恒等式的证明 原则：由繁到简【例3】 证明：2sin x cos x（sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x（2sin x 2cos x 2＋1－2sin 2x 2－1）（2sin x 2cos x 2－1＋2sin 2x2＋1）＝2sin x cos x2sin x 2（cos x 2－sin x 2）·2sin x 2（cos x 2＋sin x 2） ＝2sin x cos x 4sin 2x 2cos x ＝2sin x 2cos x 22sin 2x 2＝cos x2sin x 2.右边＝1＋2cos 2x 2－12sin x 2cos x 2＝cos x2sin x 2， 所以左边＝右边，即等式成立.规律方法 探究证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想. (2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.【训练3】 求证：1cos 2θ－tan θ·tan 2θ＝1. 证明 1cos 2θ－tan θ·tan 2θ＝1cos 2θ－sin θsin 2θcos θcos 2θ ＝cos θ－2sin 2θcos θcos θcos 2θ＝cos θ（1－2sin 2θ）cos θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝cos 2θcos 2θ＝1.题型四 利用辅助角公式研究函数性质【例4】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝k π＋5π12，k ∈Z .规律方法 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障. 【训练4】 已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解 (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3（1－cos 2x ）8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22. 此时x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝k π－π8，k ∈Z .一、素养落地1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.3.a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(ab ≠0)，其中tan φ＝ba ，φ 所在象限由a ，b 确定，掌握实质并能熟练应用. 二、素养训练1.若cos 2α＝－45，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则sin α＝( )A.31010 B.1010 C.35D.－1010解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝1－cos 2α2＝31010. 答案 A2.下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 答案 D3.设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( ) A.1＋a 2 B.1－a 2 C.－1＋a 2D.－1－a 2解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a 2.答案 D4.已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，b ∈R )，则A ＝________，b ＝________.解析 2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴A ＝2，b ＝1.答案2 15.化简：1＋cos θ＋sin θ1－cos θ＋sin θ＋1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ.解 原式＝2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ22sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2＋2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2 ＝cos θ2sin θ2＋sin θ2cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2sin θ2cos θ2＝2sin θ.基础达标一、选择题1.函数y ＝3sin 4x ＋3cos 4x 的最大值是( ) A. 3 B.2 3 C.3D.6解析 y ＝3sin 4x ＋3cos 4x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 4x ＋12cos 4x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴y max ＝23，故选B. 答案 B2.已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.－13B.－23C.13D.23 解析 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23. 答案 D3.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形解析 sin A sin B ＝12(1＋cos C )， 即2sin A sin B ＝1＋cos C ，∴2sin A sin B ＝1－cos A cos B ＋sin A sin B ， 故得cos(A －B )＝1，又因为A －B ∈(－π，π)，∴A －B ＝0，即A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形. 答案 B4.函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π2的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 由题意，得f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x ).又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D. 答案 D5.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tanα2等于( ) A.－12 B.12 C.2D.－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－351－45＝－3， ∴1＋tan α21－tan α2＝1－31＋3＝－12. 答案 A 二、填空题6.化简1＋sin 2的结果是________.解析1＋sin 2＝sin 21＋cos 21＋2sin 1cos 1＝（sin 1＋cos 1）2＝|sin 1＋cos 1|， 因为1∈(0，π2)，所以sin 1>0，cos 1>0， 则1＋sin 2＝sin 1＋cos 1. 答案 sin 1＋cos 17.在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝________. 解析 sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos （B ＋C ）2＋2cos 2A －1＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19. 答案 －198.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期为________. 解析 f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12(sin 2x －cos 2x )＋32＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝π. 答案 π 三、解答题9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝a ·cos B －ba －b ·cos B ，求证tan 2A2tan 2B 2＝a ＋ba －b .证明 因为cos A ＝a ·cos B －ba －b ·cos B，所以1－cos A ＝（a ＋b ）·（1－cos B ）a －b ·cos B，1＋cos A ＝（a －b ）·（1＋cos B ）a －b ·cos B，所以1－cos A 1＋cos A ＝（a ＋b ）·（1－cos B ）（a －b ）·（1＋cos B ），而1－cos A 1＋cos A＝2sin 2A22cos 2A 2＝tan 2A 2，1－cos B 1＋cos B＝2sin 2B 22cos 2B 2＝tan 2B 2，所以tan 2A2＝a ＋b a －b ·tan 2B2，即tan 2A 2tan 2B 2＝a ＋ba －b .10.已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2与tan α－β2的值.解 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213， 所以cos α＝－35，cos β＝513.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365.因为π2<α<π，且0<β<π2， 所以0<α－β<π，即0<α－β2<π2， 所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565.法一 由0<α－β2<π2，得sin α－β2＝1－cos 2α－β2＝46565，所以tan α－β2＝sin α－β2cos α－β2＝47.法二 由0<α－β<π，cos(α－β)＝3365，得 sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝5665. 所以tan α－β2＝sin （α－β）1＋cos （α－β）＝56651＋3365＝47. 能力提升11.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ). 12.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.(2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？(取2＝1.414)解 (1)由题意，可知点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与BC 的交点为F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，所以AB ＝OF －12AD ＝R cos θ－R sin θ.所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4－R 2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(2)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， 所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 有最大值.S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m 2). 故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.35 m 2.。

5.5.2 简单的三角恒等变换一、升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=， 21cos 2sin 2αα-= 二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）sin2a ＝1cos 2a - cos 2a ＝1cos 2a+1cos sin 1cos tan.21cos 1cos sin ααααααα--===++以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1cos tan,tan 21cos 2sin αααααα-==+ ； 2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-=== 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 三、积化和差与和差化积公式 1、积化和差1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=-++1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=-++1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=--+2、和差化积sin sin 2sincos22x y x yx y +-+= sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2coscos22x y x yx y +-+= cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 四、辅助角公式对于形如sin cos a x b x +的式子，可变形如下：sin cos a x b x +=222222sin cos a ba b x x a b a b ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭ 由于上式中22a a b +和22ba b+的平方和为1，故令2222cos ,sin a b a ba bϕϕ==++，则sin cos a x b x +=()22sin cos cos sin a b x x ϕϕ++=22sin()a b x ϕ++ 其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定， 或由22sin b a bϕ=+和22cos a a bϕ=+共同确定．五、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+； 221tan 2cos 1tan 2ααα-=+； 22tan2tan 1tan 2ααα=-六、三角函数化简“三看”原则七、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将()f x 化为sin cos a x b x +的形式； （2）构造)cos sin ()(x ba b x ba ab a x f ⋅++⋅++=222222（3）和角公式逆用，得()22)f x a b x ϕ=++ (其中φ为辅助角)；（4）利用()22)f x a b x ϕ=++研究三角函数的性质； （5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．题型一 半角公式与万能公式的应用【例1】已知,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则tan2α=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13- 【答案】D 【解析】由sin tan21cos ααα=+，又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3sin 5α=-，则4cos 5α=， 所以1tan 23α=-.故选：D【变式1-1】已知π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B 10C ．310D 310【答案】A【解析】由π3,π,sin 25αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，得2234cos 1sin 155αα⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭，ππππ,2224αα<<∴<<，cos 02α>， 411cos 105cos 222αα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭= 所以cos πcos 22αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭10故选：A.【变式1-2】若3sin 5θ=，5π3π2θ<<，则tan cos 22θθ+=（ ） A ．103 B ．103 C ．3103 D ．3103【答案】B【解析】因为3sin 5θ=，5π3π2θ<<，所以24cos 1sin 5θθ=-=-， 因为5π3π422θ<<，所以sin 02θ<，cos 02θ<， 所以1cos 310sin 22θθ-=-，1cos 10cos 22θθ+=-= 所以sin 2tan32cos2θθθ==， 则10tan cos 32210θθ+=，故选：B.【变式1-3】已知()tan 3πα+=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．310 C ．34 D 310【答案】A【解析】()tan 3tan 3παα+=⇒=，222tan 233cos 2sin 221tan 135παααα⨯⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭故选：A【变式1-4】若sin 11cos 2αα=+，则sin cos αα+的值为________.【答案】75【解析】∵sin 1tan 1cos 22ααα==+，∴222112tan1tan 2172224sin cos 151tan 1tan 1224αααααα-⨯+-+=+==+++. 故答案为：75.题型二 积化和差与和差化积的应用【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值： （1）sin15sin105︒+︒； （2）sin20sin40sin80︒+︒-︒； （3）cos40cos60cos80cos160︒+︒+︒+︒． 【答案】（16（2）0；（3）12. 【解析】（1）1510515105326sin15sin1052sincos 2sin 60cos(45)22222+-︒+︒==-=⨯=. （2）sin20sin40sin802sin30cos10cos10cos10cos100︒+︒-︒=-=-=. （3）1cos40cos60cos80cos160(cos40cos80)cos202︒+︒+︒+︒=︒+︒+-︒1112cos60cos20cos20cos20cos20222=︒︒+-︒=︒+-︒=.【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值： （1）cos15cos75︒︒； （2）sin20sin40sin80︒︒︒． 【答案】（1）14；（23【解析】（1）由积化和差公式得：cos15cos75︒︒ ，()()1cos 1575+cos 15752=︒+︒︒-︒⎡⎤⎣⎦1cos90+cos602⎡⎤=⎣⎦14=； （2）由积化和差公式得：sin20sin40sin80︒︒︒()()1cos 2040cos 2040sin802⎡⎤=-︒+--︒︒⎣⎦11sin80sin80cos 2042=-︒+ ()111sin80sin100sin 60422=-︒+⨯+113sin 80sin 8044=-︒+︒3=【变式2-2】下列关系式中正确的是（ ） A ．sin5sin32sin8cos2θθθθ+= B ．cos3cos52sin4sin θθθθ-=- C ．1sin3sin5cos4cos 2θθθθ-=- D ．()()1cos cos sin sin 2x y x y x y --+=⎡⎤⎣⎦ 【答案】D【解析】A 中，()()sin5sin3sin 4sin 42sin 4cos θθθθθθθθ+=++-=，A 错；B 中，()()cos3cos5cos 4cos 42sin 4sin θθθθθθθθ-=--+=，B 错；C 中，()()sin3sin5=sin 4sin 42cos4sin θθθθθθθθ---+=-，C 错；D 中，()()()11cos cos 2sin sin sin sin 22x y x y x y x y --+=⨯=⎡⎤⎣⎦，D 正确.故选：D【变式2-3】若1cos cos sin sin 2x y x y +=， 2sin 2sin 23x y +=，则()sin +=x y （ ） A ．23 B ．23- C ．13 D ．13- 【答案】A【解析】因为1cos cos sin sin 2x y x y +=，所以()1cos 2-=x y ，因为2sin 2sin 23x y +=， 所以()()22sin cos 3+-=x y x y ，所以()122sin 23+⨯=x y ，所以()2sin 3+=x y ，故选：A ．【变式2-4】求值：cos40cos80cos80cos160cos160cos40︒︒︒︒︒++︒.【答案】34- 【解析】原式()()()()8040804016018016081cos cos cos cos 220⎡⎤=-++++⎡⎤++-⎣⎦⎣⎦ ()()1cos c 160401040os 26⎡⎤+-⎣⎦+111cos cos cos 24c s 120400os o 008co 20c s120222⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+++++⎣⎦ ()13cos 40cos80cos 20024=++- ()()360206020cos 241cos s 0co 2=⎡⎤-+--⎦+⎣()132cos60cos20cos2024=︒︒-︒- ()133cos20cos20244=--=-︒︒.【变式2-5】在ABC 中，若30B =，则cos sin A C 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A C A C A C A C A C A C A C +--=+--=，所以，()()()111cos sin sin sin sin 242A C A C A C A C =+--=--⎡⎤⎣⎦， 30B =，则0150A <<，则()1502150AC A A A -=--=-，且有1502150150A -<-<，则()1sin 1A C -≤-≤，故()1113cos sin sin ,4244A C A C ⎡⎤⎡⎤=--∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：C.题型三 辅助角公式及其应用【例3】将下列各式化成()sin A x ϕ+的形式： （13cos x x -； （226.444x x ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）2sin .6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（225.12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】（1）312cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭原式2cos sin sin cos 66x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin .6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）213sin 2244x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=--⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式2sin sin cos cos 6464x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22246212x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭25.12x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值： （1）13cos 2y x x =+； （2）sin cos y x x =-； （3）sin 3y x x =； （4）sin 232y x x =.【答案】（1）最大值为1，最小值为1-；（222（3）最大值为2，最小值为2-；（4）最大值为2，最小值为2-【解析】（1）13cos sin sin 26y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为1，最小值为1-； （2）sin cos 24y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴22-（3）sin 32sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-；（4）sin 2322sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-.【变式3-2】（多选）若13sin cos()2x x x ϕ+=+，则ϕ的值可能为（ ） A ．6π-B ．6πC ．56πD ．116π【答案】AD 【解析】因为13sin cos cos sin sin cos 2666πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x x x x x cos 26x k ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故26k πϕπ=-+，故ϕ的值可能为11,66ππ-．故B ，C 错误.故选：AD.【变式3-3】已知πcos()63x -= πcos cos()3x x +-等于（ ）A 23B ．± 23C ．－1D ．1 【答案】D【解析】π13π3cos cos()cos cos 331326x x x x x x ⎛⎫+-=+=-== ⎪⎝⎭，故选：D【变式3-4】已知函数2()23cos 2cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值，以及此时x 的取值. 【答案】（1）[,],Z 36k k k ππππ-++∈；（2）当6x π=，最大值为3；当6x π=-，最小值为0.【解析】（1）由函数2()23cos 2cos 32cos 21f x x x x x x =+=++2sin(2)16x π=++，令222,Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得,Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为[,],Z 36k k k ππππ-++∈.（2）由（1）知()2sin(2)16f x x π=++因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当262x ππ+=时，即6x π=，函数()f x 取得最大值，最大值为3；当ππ266x时，即6x π=-，函数()f x 取得最小值，最小值为0.题型四 三角恒等变换的化简问题【例4】化简4sin 24cos 24tan12cos12︒︒︒︒+=（ ） A ．1 B 2 C 3 D ．2【答案】C【解析】4sin 24cos 242sin 48sin12tan12cos12cos12︒︒︒︒︒︒︒++=()2sin 6012sin12cos12︒︒︒︒-+=3cos12sin12sin123︒︒︒-+==故选：C.【变式4-1】化简()()sin5cos513︒+︒︒=（ ） A 2B ．22C ．2D 2【答案】D【解析】()()22cos103sin10sin5cos513222︒+︒︒+︒︒︒+︒⎭2sin 4022sin 40cos402sin8022cos10︒︒︒︒=︒⋅==︒ D.【变式4-2】若1cos sin 222αα=，则1sin cos 124ααπα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．12 C 2D ．22【答案】B 【解析】因为1cossin 222αα=，所以tan 22α=， 所以()1sin cos 1sin cos 1cos sin 124ααααπααα++++=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222sin cos 2cos tan 121122222222sincos2sin tantan 22222ααααααααα+++====+++． 故选：B【变式4-3】若2πθπ<<，tan 3θ=-，22cos 2θ=+_________．【答案】45- 【解析】因为2πθπ<<，tan 3θ=-，∴sin 0,cos 0θθ><，()2222cos 2222cos 1θθ=++-222222cos (sin cos )2cos 4cos θθθθθ-==-222222cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--==++194195-==-+. 故答案为：45-.【变式4-4cos 40sin 5013sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒︒︒-︒︒-︒︒+︒.23 cos 40sin 50(13tan10)sin 20sin 40cos 20cos 40sin 701cos 40︒+︒+︒︒-︒︒-︒︒+︒()()()()22223sin10cos10cos 40sin 50sin 3010sin 3010cos10cos 3010cos 3010sin 70cos 20sin 20cos 20sin 20︒+︒︒+︒-︒-︒+︒︒=︒-︒-︒+︒︒︒+︒+︒-︒ ()2sin 3010cos 40cos 402cos30sin10cos102sin 30sin102sin 70cos 20︒+︒︒+︒⋅-︒︒︒=︒︒︒︒2sin 40cos 40cos 40cos30cos10sin 302sin 70cos 20︒︒︒+︒︒=︒︒︒sin80cos 40cos1032sin 70cos 20︒︒+︒=︒︒232cos 20=︒2232cos 20=︒2232cos 20=︒23=【变式4-5】求证：22(1cos 2)(2sin 1)tan12sin 44tan 12ααααα+-=-.【答案】证明见解析 【解析】证明：22(1cos 2)(2sin 1)tan2tan 12αααα+--221()tan 22cos cos 2tan 2αααα=-⋅⋅-222tan2cos cos 21tan 2αααα-⋅=⋅2t cos c an os2ααα⋅=⋅s cos c in os2ααα⋅=⋅1sin 2cos 22αα=⋅1sin 44α=所以原等式成立．题型五 三角形中的三角恒等变换【例5】在ABC ∆中，若sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【解析】因为sin cos()1sin()cos 22A B A B ππ-=--所以sin sin 1cos cos A B A B =-所以cos cos sin sin 1A B A B +=，所以()cos 1A B -= 因为(),0,A B π∈，所以0A B -=，即A B = 所以三角形为等腰三角形；故选：D【变式5-1】已知ABC ，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】A 【解析】依题意，sin()sin()cos()cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-， 则有2sincos 2cos cos 2222A B A B A B A B +-+-=，在ABC 中，ππ222A B --<<，即cos02A B->， 因此tan12A B +=，又π022A B +<<，于是得π24A B +=，即π2A B +=， 所以ABC 是直角三角形.故选：A【变式5-2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=．则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】由A B C π++=知，()sin sin A B C =+，∴()()2sin sin sin B C B C A +⋅-=＝()2sin B C +，0B C π<+<，()sin 0B C +≠， ()()sin sin B C B C ∴-=+，∴cos sin 0B C =，∵在△ABC 中，sin 0C >，∴cos 0B =， ∵0B π<<，∴2B π=，即△ABC 为直角三角形．故选：C ．【变式5-3】在△ABC 中，2,3ACB π∠=AB 边上的高1,,CD AD x DB y ===，则x y +的最小值为_________.【答案】23【解析】23ACB π∠=，3A B π∴+=，∴3B A π=-，03A π<<，AB x y =+11tan tan A B =+cos cos sin sin A B A B =+sin()sin sin A B A B+=32sin sin()3A A π=-3231sin (cos sin )A A A =-32311sin 2cos 2A A =+-3211sin(2)264A π=+-，∵03A π<<，∴52666A πππ<+<，∴当262A ππ+=时，x ＋y 的最小值为23 故答案为：23。