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《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题一、采样复习笔记本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。
学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。
（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。
（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。
（4）了解数字微分器及其频率特性。
（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1冲激串采样（1）冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。
该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）在时域中有x p（t）＝x（t）p（t）在频域中有即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
图7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。
如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。
其中频率2ωM称为奈奎斯特率。
已知这些样本值，重建x（t）的办法：①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。
②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。
2零阶保持采样（1）零阶保持的含义在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。
图7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。
第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。
简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。
若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。
（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。
即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。
在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。
二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
2．性质2收敛域内不包含任何极点。
3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。
4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。
5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。
6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。
7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。
而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记资料第1章信号与系统1.1 复习笔记本章内容是信号与系统分析的基础。
主要介绍了信号的分类和基本运算，学完本章读者要重点掌握的内容有：（1）掌握信号的分类方法及其特点：连续/离散、周期/非周期、奇/偶、能量/功率。
（2）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义及性质。
（3）掌握常见连续/离散信号的波形及其表达式。
（4）掌握信号的时域运算和波形变换方法。
（5）掌握系统互连方法及其特点。
一、连续时间和离散时间信号1连续时间信号和离散时间信号（见表1-1-1）表1-1-1 信号的定义和表示方法图1-1-1 信号的图形表示（a）连续时间信号；（b）离散时间信号2信号能量与功率（见表1-1-2）表1-1-2 能量和功率的计算公式3能量信号和功率信号的特点（见表1-1-3）表1-1-3 能量信号和功率信号的特点二、自变量的变换1基本变换（见表1-1-4）表1-1-4 自变量的基本变换2周期信号与非周期信号（见表1-1-5）表1-1-5 周期信号与非周期信号的定义及特点3偶信号与奇信号（见表1-1-6）表1-1-6 偶信号与奇信号的定义及特点【注】任何信号＝偶信号＋奇信号，即x（t）＝E v{x（t）}＋O d{x（t）}，其中E v{x （t）}＝（1/2）[x（t）＋x（－t）]，O d{x（t）}＝（1/2）[x（t）－x（－t）]，E v{x （t）}为x（t）的偶部，O d{x（t）}为x（t）的奇部。
三、指数信号与正弦信号1连续时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-7）表1-1-7 连续时间复指数信号与正弦信号的表达式与特点2离散时间复指数信号与正弦信号（见表1-1-8）表1-1-8 离散时间复指数信号与正弦信号3离散时间复指数序列的周期性质（1）离散时间指数信号的周期性的要求为了使信号是周期的，周期为N＞0，就必须有，也就是要求ω0N必须是2π的整数倍，即必须有一个整数m，满足：ω0N＝m2π或ω0/（2π）＝m/N。
第一章作业解答1.9解：（b ）jt t t j e e e t x --+-==)1(2)(由于)()(2)1()1())(1(2t x e e e T t x T j t j T t j ≠==++-+-++-，故不是周期信号；（或者：由于该函数的包络随t 增长衰减的指数信号，故其不是周期信号；） （c ）n j e n x π73][= 则πω70= 7220=ωπ是有理数，故其周期为N=2； 1.12解：]4[1][1)1(]1[1][43--=--==+---=∑∑∞=∞=n u m n mk k n n x m k δδ-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 n1…减去：-3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 nu[n-4]等于：-3 –2 –1 0 1 23 4 5 6 n…故：]3[+-n u 即：M=-1，n 0=-3。
1.14解：x(t)的一个周期如图(a)所示，x(t)如图(b)所示：而：g(t)如图(c)所示……dtt dx )(如图（d ）所示：……故：)1(3)(3)(--=t g t g dtt dx 则：1t ,0t 3,32121==-==；A A 1.15解：该系统如下图所示： 2[n]（1）]4[2]3[5]2[2]}4[4]3[2{21]}3[4]2[2{]3[21]2[][][1111111222-+-+-=-+-+-+-=-+-==n x n x n x n x n x n x n x n x n x n y n y即：]4[2]3[5]2[2][-+-+-=n x n x n x n y（2）若系统级联顺序改变，该系统不会改变，因为该系统是线性时不变系统。
（也可以通过改变顺序求取输入、输出关系，与前面做对比）。
1.17解：（a ）因果性：)(sin )(t x t y =举一反例：当)0()y(,0int s x t =-=-=ππ则时输出与以后的输入有关，不是因果的；（b ）线性：按照线性的证明过程（这里略），该系统是线性的。
第2章线性时不变系统2.1 复习笔记一、离散时间线性时不变系统：卷积和1．用脉冲表示离散时间信号把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列δ[n－k]的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。
2．线性系统的卷积和（1）输入x[n]表示为一组移位单位脉冲的线性组合。
（2）h k[n]为该线性系统对移位单位脉冲δ[n－k]的响应。
（3）线性系统对输入x[n]的响应y[n]就是系统对这些单个移位脉冲响应的加权线性组合，即3．线性时不变系统的卷积和或叠加和用符号记为意义：既然一个线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，那么线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征。
4．用图解的方法来计算卷积和（1）对某一n值，比如n＝n0，已求得y[n]画出了信号h[n0－k]，将它与x[k]相乘，并对所有的k值将乘积相加。
（2）求下一个n值，即n＝n0＋1时的y[n]画出信号h[(n0＋1)－k]，即将信号h[n0－k]右移一点即可；（3）对于接下来的每一个n值，继续上面的过程把h[n－k]一点一点地向右移，再与x[k]相乘，并对所有的k将全部乘积相加。
二、连续时间线性时不变系统：卷积积分1．用冲激表示持续时间信号任意信号x(t)可表示成了一个加权的移位冲激函数的和上式为连续时间冲激函数的筛选性质。
2．连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示（1）单位冲激响应h(t)也就是h(t)是系统对δ(t)的响应。
（2）卷积积分或叠加积分意义：一个连续时间线性时不变系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。
两个信号x(t)和h(t)的卷积标记为3．求解连续时间信号的卷积的步骤（1）在任意时刻t的输出y(t)是输入的加权积分，对x（τ）其权是h（t－τ）。
（2）为了求出对某一给定t时的这个积分值，首先需要得到h（t－τ）。
（3）h（t－τ）是τ的函数，t为某一固定值，利用h（τ）的反转再加上平移（t＞0时就向右移t；t＜0时就向左移|t|），就可以求得h（t－τ）。
Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号 x(t) 如图 original 所示，请画出下列信号并给予标注：a)x(t-1)b)x(2-t)c)x(2t+1)d)x(4-t/2)e)[x(t)=x(-t)]u(t)f)x(t)[ δ(t+3/2)- δ(t-3/2)](d),(e),(f)1.22一离散时间信号 x[n] 如图 original 所示，请画出下列信号并给予标注。
a)x[n-4]b)x[3-n]c)x[3n]e) x[n]u[3-n]f) x[n-2] δ [n-2]1.23确定并画出图 original 信号的奇部和偶部，并给予标注。
1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。
a)x(t)=3cos(4t+ π /3) T=2π/4=π/2;b)x(t)=e j( t 1) T=2π/π=2;2c)x(t)=[cos(2t- π /3)] 2 x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2 π/3))]/2, so T=2π/4=π/2;d)x(t)= E v {cos(4 π t)u(t)} 定义 x(0)=1/2, 则 T=1/2;e)E v {sin(4 π t)u(t)}非周期f ) x(t)= e(2t n)n假设其周期为 T 则e (2t n)= e(2t n 2T)= e(2t (n 2T))= e(2t n)n n n n所以 T=1/2( 最小正周期 ) ；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。
(a)x[n]=sin(6 π /7+1)N=7(b)x[n]=cos(n/8- π ) 不是周期信号2(c)x[n]=cos( π n /8)假设其周期为 N，则(n N)2/8 n2/8＋2k所以易得 N=8(d) x[n]= cos( n) cos( n)24N=8(e) x[n]= 2cos( n) sin( n) 2cos( n )4 8 2 6N=161.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。
《信号与系统》考研奥本海姆版配套2021考研真题库第一部分考研真题精选一、选择题1下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（）。
[西安电子科技大学2012研]A．f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）B．f（t）δ（t）＝f（0）δ（t）C．D．【答案】A查看答案【解析】A项，正确结果应该为f（t）δ′（t）＝f（0）δ′（t）－f′（0）δ（t）。
2x（t）＝asint－bsin（3t）的周期是（）。
[西南交通大学研]A．π/2B．πC．2πD．∞【答案】C查看答案【解析】因为asint的周期为T1＝2π/1＝2π，bsin（3t）的周期为T2＝2π/3，因为T1/T2＝3/1为有理数，因此x（t）是周期信号，且x（t）＝asint－bsin （3t）的周期是3T2＝T1＝2π。
3序列f（k）＝e j2πk/3＋e j4πk/3是（）。
[西安电子科技大学2012研]A．非周期序列B．周期N＝3C．周期N＝6D．周期N＝24【答案】B查看答案【解析】f1（k）＝e j2πk/3的周期N1＝2π/（2π/3）＝3，f2（k）＝e j4πk/3的周期N2＝2π/（4π/3）＝3/2，由于N1/N2＝2为有理数，因此f（k）为周期序列，周期为2N2＝N1＝3。
4积分[西安电子科技大学2011研]A．2B．1C．0D．4【答案】A查看答案【解析】5序列乘积δ（k＋1）δ（k－1）＝（）。
[西安电子科技大学研]A．0B．δ（k）C．δ（k＋1）D．δ（k－1）【答案】A查看答案【解析】根据f（k）δ（k－k0）＝f（k0）δ（k－k0），因此δ（k＋1）δ（k－1）＝δ（2）δ（k－1）＝0。
6信号f1（t）＝2，f2（t）的波形如图1-1-1所示，设y（t）＝f1（t）*f2（t），则y（11）＝（）。
[西安电子科技大学2011研]图1-1-1A．1B．0C．2D．3【答案】B查看答案【解析】7已知一连续系统在输入f（t）作用下的零状态响应为y（t）＝f（4t），则该系统为（）。
《信号与系统》考研奥本海姆版考研复习笔记和典型题一、采样复习笔记本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。
学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。
（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。
（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。
（4）了解数字微分器及其频率特性。
（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。
一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理1冲激串采样（1）冲激串采样的定义冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号x（t）。
该周期冲激串p（t）称为采样函数，周期T称为采样周期，而p（t）的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
（2）冲激串采样过程（见图7-1-1）在时域中有x p（t）＝x（t）p（t）在频域中有即X p（jω）是频率ω的周期函数，它由一组移位的X（jω）的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
图7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理频带宽度有限信号x（t），在|ω|＞ωM时，X（jω）＝0。
如果ωs＞2ωM，其中ωs ＝2π/T，那么x（t）唯一地由其样本x（nT），n＝0，±1，±2，…，所确定。
其中频率2ωM称为奈奎斯特率。
已知这些样本值，重建x（t）的办法：①产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。
②将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs－ωM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x（t）。
2零阶保持采样（1）零阶保持的含义在一个给定的瞬时对x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图7-1-2所示。
图7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程零阶保持的输出x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图7-1-3所示。
①用一个单位冲激响应为h r（t），频率响应为H r（jω）的线性时不变系统来处理x0（t）。
②给出一个H r（jω），以使r（t）＝x（t）。
这就要求若H r（jω）的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-1-4所示。
零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。
图7-1-3 零阶保持输出x0（t）的原理图图7-1-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性需要注意以下两点：①零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而不用附加任何低通滤波；②H r（jω）不可能真正实现，必须进行充分近似设计。
二、利用内插由样本重建信号内插是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，也就是用一连续信号对某一组样本值的拟合。
1零阶保持零阶保持可以看成在样本之间进行内插的一种形式，图7-1-5是零阶保持和理想内插滤波器的传输函数。
图7-1-5 零阶保持和理想内插滤波器的传输函数2线性内插（一阶保持）（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7-1-6所示。
图7-1-6 线性内插（虚线表示原始信号，实线表示线性内插）（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）①输入x r（t）＝x p（t）*h（t）时上式体现了在样本点x（nT）之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。
②对于理想低通滤波器H（jω），h（t）为所以有按照上式在ωc＝ωs/2时的重建过程如图7-1-7所示，其中（a）图表示带限信号x （t），（b）图表示x（t）的样本冲激串；（c）图表示用sinc函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。
图7-1-7 利用sinc函数的理想带限内插3高阶保持零阶保持是一种很粗糙的近似，高阶保持是更为平滑的内插手段，它们所产生的恢复信号具有更好的平滑度。
三、欠采样的效果：混叠现象混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。
即当ωs＜2ωM时，x（t）的频谱X（jω）不在X0（jω）中重复，因此利用低通滤波不能把x（t）从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号x r（t）不等于x（t）。
需要注意：采样定理明确要求采样频率大于信号中最高频率的2倍，而不是大于或等于最高频率的2倍。
四、连续时间信号的离散时间处理1对连续时间信号的处理方法处理方法分为以下三个过程，框图如图7-1-8所示。
（1）连续时间到离散时间的转换（C/D）：x d[n]＝x c（nT）。
（2）离散时间系统内部处理，x d[n]和y d[n]都是对应于x c（t）和y c（t）的离散时间信号。
（3）离散时间到连续时间的转换（D/C），实现的是作为它的输入的各样本点之间的内插。
图7-1-8 连续时间信号的离散时间处理2连续时间信号x c（t）和它的离散时间表示x d[n]之间的关系。
把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节，整个系统的表示如图7-1-9所示，其中图（a）表示整个系统；图（b）表示两种采样率的x p（t），虚线包络代表x c（t）；图（c）表示两种不同采样率的输出序列。
图7-1-9 用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换需要注意：连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示。
3X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）的关系x c（t）和y c（t）的连续时间傅里叶变换分别用X c（jω）和Y c（jω）表示；而x d[n]和y d[n]的离散时间傅里叶变换分别用X d（e jΩ）和Y d（e jΩ）表示。
（1）用x c（t）的样本值来表示x p（t）的连续时间傅里叶变换X p（jω）又δ（t－nT）的傅里叶变换是e－jωnT，所以现在考虑x d[n]的离散时间傅里叶变换，即因为x d[n]＝x c（nT），因此从而可得X d（e jΩ）和X p（jω）的关系又因为因此得到（2）X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）三者之间的关系（见图7-1-10）①X d（e jΩ）是X p（jω）的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。
②x d[n]和x r（t）之间的频谱关系，是通过先把x c（t）的频谱X c（jω）按进行周期重复，然后再跟着一个按的线性频率尺度变换联系起来的。
图7-1-10 在两种不同采样率下，X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ）之间的关系4利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统（见图7-1-11）图7-1-11 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统图7-1-12 图7-1-11所示系统的频域说明其中（a）连续时间信号的频谱X c（jω）；（b）冲激串采样以后的谱；（c）离散时间序列x d[n]的谱；（d）H d（e jΩ）和X d（e jΩ）相乘后得到的Y d（e jΩ）；（e）H p（jω）和X p（jω）相乘后得到的Y P（jω）；（f）H c（jω）和X c（jω）相乘后得到的Y c（jω）。
（1）图7-1-12左边是某一代表性的频谱X c（jω）、X p（jω）和X d（e jΩ），其中假定ωM＜ωs/2，所以没有混叠发生。
相应于时间滤波器输出的谱Y d（e jΩ）是X d （e jΩ）和H d（e jΩ）相乘，如图7-1-12（d）所示。
（2）变换到Y c（jω）就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7-1-12（e）和图7-1-12（f）所示。
（3）因为Y d（e jΩ）是两个互为重叠的频谱积，如图7-1-12（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。
（4）将图7-1-12（a）和（f）进行比较，可得Y c（jω）＝X c（jω）H d（e jωT），在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7-1-12的整个系统事实上就等效于一个响应为H c（jω）的连续时间系统，而H c（jω）与离散时间频率响应H d （e jΩ）的关系为等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。
5数字微分器连续时间理想带限微分器的频率响应及用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应如表7-1-1所示。
表7-1-1 连续时间理想带限微分器及相应离散时间滤波器的频率响应6半采样间隔延时在输入x c（t）是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出关系为y c（t）＝x c（t－Δ），Δ代表延时时间。
连续时间延时系统频率响应的模和相位特性及相应的离散时间延时系统的频率响应的模和相位特性如表7-1-2所示。
表7-1-2 连续时间延时系统及相应的离散时间延时系统的频率响应五、离散时间信号采样1脉冲串采样（1）离散时间采样系统（见图7-1-13）由采样过程形成的新序列x p[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即图7-1-13 离散时间采样系统（2）X（e jω），P（e jω）和X p（e jω）的关系在时域中有在频域内有采样序列p[n]的傅里叶变换是式中采样频率ωs＝2π/N。
于是有图7-1-14 一个离散时间信号经脉冲串采样后的频域效果其中图7-1-14（a）原始信号的频谱；（b）采样序列的频谱；（c）在ωs＞2ωM 时已采样信号的频谱；（d）在ωs＜2ωM时已采样信号的频谱，这时发生了混叠。
（3）信号的恢复在ωs＞2ωM没有频谱重叠的情况下（见图7-1-15），X（e jω）如实地在ω＝0和2π的整数倍附近再现，这样x[n]就能利用增益为N，截止频率大于ωm而小于ωs－ωM的低通滤波器从x p[n]中恢复出来。
（该低通滤波器的截止频率为ωs/2）图7-1-15 利用理想低通滤波器从样本中完全恢复一个离散时间信号其中（a）一个带限信号采样并从样本中恢复的方框图；（b）信号x[n]的频谱；（c）x p[n]的频谱；（d）截止频率为ωs/2的理想低通滤波器的频率响应；（e）重建信号x r[n]的频谱。
（4）该低通滤波器的单位脉冲响应重建的序列x r[n]是x r[n]＝x p[n]*h[n]，或者等效地写成上式代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。
在一般应用中，往往使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式为其中h r[n]是内插滤波器的单位脉冲响应。
2离散时间抽取与内插（1）离散时间抽取提取每第N个点上的样本的过程称为抽取。
抽取通常指每隔10抽1，现在通指每隔N（不一定为10）取1的运算。
