培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)-

有理数与无理数理解有理数、无理数的意义，并能对有理数进行分类。

1、有理数的概念：能够写成分数形式的数叫做有理数。

（整数和分数统称为有理数）．2. 无理数：无线不循环小数叫做无理数注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．一．有理数（共14小题）1．（2022秋•新吴区期中）下列各数中为有理数（）A．πB．C．3.3030030003…D．面积为2的正方形的边长a【分析】根据有理数和无理数的概念，即可解答．【解答】解：A．π是无理数，故A不符合题意；B．是分数，属于有理数，故B符合题意；C．3.3030030003…是无理数，故C不符合题意；D．面积为2的正方形的边长a，则，是无理数，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．2．（2020秋•新吴区期中）下列说法正确的是（）A．有理数分为正数、负数和零B．分数包括正分数、负分数和零C．一个有理数不是整数就是分数D．整数包括正整数和负整数【分析】直接利用有理数的有关定义分析判断即可．【解答】解：A、有理数包括正有理数、负有理数和零，故此选项错误；B、分数包括正分数、负分数，故此选项错误；C、一个有理数不是整数就是分数，故此选项正确；D、整数包括正整数、负整数0和零，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数，正确区分相关定义是解题关键．3．（2022秋•邗江区期中）下列各数：，0，0.1010010001，，3.1415926，其中有理数的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据有理数的概念：整数和分数统称为有理数，即可得到答案．【解答】解：在，0，0.1010010001，，3.1415926中，0，0.1010010001，，3.1415926是有理数，即有理数的个数是4，故选：A．【点评】本题考查了有理数，解题关键是掌握有理数的概念，注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数的形式，因而不属于有理数，π是无理数．4．（2022秋•江都区期中）在下列数1，6.7，﹣14，0，﹣，π中，属于整数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据有理数的分类即可解答．【解答】解：数1，6.7，﹣14，0，﹣，π中，属于整数的有1，﹣14，0，一共3个．故选：B．【点评】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．5．（2022秋•高港区期中）在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理数有个．【分析】根据有理数的定义选出正确答案，有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．【解答】解：在﹣4，，0，，3.14159，1.3，0.121121112…中，有理数有﹣4，，0，3.14159，1.3，共5个．故答案为：5．【点评】本题主要考查了有理数的定义，特别注意：有理数是整数和分数的统称，π是无理数．6．（2022秋•阜宁县期中）把下列各数分别填入相应的集合里：−2.5，3，0，π，2022．正有理数集合：{…}；负分数集合：{…}；整数集合：{…}；自然数集合：{…}．【分析】由有理数的有关概念，即可分类．【解答】解：−2.5，3，0，π，2022正有理数集合：{3，2022，…}；负分数集合：{−2.5，…}；整数集合：{0，2022，…}；自然数集合：{0，2022，…}．故答案为：3，2022；−2.5；0，2022；0，2022．【点评】本题考查有理数的有关概念，关键是准确掌握有理数的分类．7．（2022秋•启东市校级月考）请把下列各数填在相应的集合内：，﹣5，0.34，，20，﹣1，0．正数集合{……}；负整数集合{……}；整数集合{……}；分数集合{……}；非正数集合{……}；非负整数集合{……}．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：正数集合，0.34，20，…}；负整数集合{﹣5，﹣1，…}；整数集合{﹣5，0，20，﹣1，…}；分数集合，0.34，，…}；非正数集合{﹣5，，0，﹣1，…}；非负整数集合{0，20，…}．故答案为：，0.34，20；﹣5，﹣1；﹣5，0，20，﹣1；，0.34，；﹣5，，0，﹣1；0，20．【点评】本题考查了有理数，利用有理数的分类是解题关键．8．（2022秋•鼓楼区校级月考）请把下列各数填入相应的集合中：，5.2，0，，﹣22，2005，﹣0.3030030003…，﹣．正数集合：{…}；分数集合：{…}；整数集合：{…}；有理数集合：{…}．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：，5.2，0，，﹣22，2005，﹣0.3030030003…，﹣．正数集合：{，5.2，，2005，…}；分数集合：{，5.2，，﹣，…}；整数集合：{0，﹣22，2005，…}；有理数集合：{，5.2，0，，﹣22，2005，﹣，…}．故答案案为：，5.2，，2005；，5.2，，﹣；0，﹣22，2005；，5.2，0，，﹣22，2005，﹣．【点评】本题考查了有理数以及正数和负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．9．（2022秋•沭阳县校级月考）把下列各数填入相应的集合中：+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，正分数集合：{…}；正整数集合：{…}；整数集合：{…}；有理数集合：{…}．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，正分数集合：{0.75，，9%，…}；正整数集合：{+6，+8，…}；整数集合：{+6，﹣3，0，+8，…}；有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%，…}．故答案为：0.75，，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%．【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（2021秋•崇川区校级月考）把下列各数﹣1.5，，0，﹣0.101，3，﹣5填在相应集合里．非正数集合：{…}；分数集合：{…}；整数集合：{…}．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：非正数集合：{﹣1.5，0，﹣0.101，﹣5…}；分数集合：{﹣1.5，，﹣0.101…}；整数集合：{0，3，﹣5…}．故答案为：﹣1.5，0，﹣0.101，﹣5；﹣1.5，，﹣0.101；0，3，﹣5．【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题关键．11．（2022秋•灌云县月考）把下列各数填在相应的大括号里：1，﹣0.10，，﹣789，325，0，﹣20，10.10，1000.1整数集合：{…}负整数集合：{…}正分数集合：{…}负有理数集合：{…}【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：整数集合：{1，﹣789，325，0，﹣20…}负整数集合：{﹣789，﹣20…}正分数集合：{，10.10，1000.1…}负有理数集合：{﹣0.10，﹣789，﹣20…}故答案为：1，﹣789，325，0，﹣20；﹣789，﹣20；，10.10，1000.1；﹣0.10，﹣789，﹣20．【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12．（2020秋•泗阳县期中）下列各数：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…（每两个2之间多一个6），0.，其中有理数的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】直接利用有理数的概念分析得出答案．【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．13．（2022秋•新北区校级月考）下列各数：①﹣8 ②3.14 ③④⑤0.66666……⑥0.9181181118……．其中有理数有个．【分析】根据整数和分数统称为有理数，即可解答．【解答】解：在①﹣8 ②3.14 ③④⑤0.66666……⑥0.9181181118……中，其中有理数有①②③⑤，共4个．故答案为：4．【点评】此题考查有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．14．（2022秋•崇川区月考）将数分类：﹣2，0，﹣0.1314，11，，﹣4，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【分析】有理数分为：正整数、负整数、零、正分数、负分数；根据定义分类即可．【解答】解：正数有：11，，0.03，2%，非负数有：0，11，，0.03，2%，负分数有：﹣0.1314，﹣4，非负整数有：0，11，故答案为：11，，0.03，2%；0，11，，0.03，2%；﹣0.1314，﹣4；0，11．【点评】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，对所给的数进行准确地分类是解题的关键．二．无理数（共5小题）15．（2023•溧阳市一模）下列实数中，无理数是（）A．﹣3B．πC．D．2【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣3是整数，属于有理数，不符合题意；B．π是无理数，符合题意；C．是分数，是有理数，不符合题意；D．2是整数，属于有理数，不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）等有这样规律的数．16．（2022秋•江都区期末）下列数中是无理数的是（）A．2πB．3.1415926C．D．﹣3.6【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项判断即得答案【解答】解：A、2π是无理数，故本选项符合题意；B、3.1415926是有理数，故本选项不符合题意；C、是有理数，故本选项不符合题意；D、﹣3.6是有理数，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了无理数的概念，属于应知应会题型，熟知概念是关键．17．（2022秋•溧水区期末）在中，无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】运用无理数的概念进行辨别、求解．【解答】解：∵﹣，3.5，1.3是有理数，π，0.1010010001…是无理数，故选：B．【点评】此题考查了无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用相关概念进行正确地求解．18．（2022秋•海州区期中）下列八个数：﹣8，2.7，﹣2，，0.，0，3，0.8080080008……（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】利用无理数的定义来判断，无限不循环小数为无理数．【解答】解：在实数﹣8，2.7，﹣2，，0.，0，3，0.8080080008……（每两个8之间逐次增加一个0）中，无理数有，0.8080080008……（每两个8之间逐次增加一个0），共2个．故选：C．【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键．19．（2022秋•高邮市期末）在实数，π，﹣1.020*******……，0中无理数有个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：无理数有：π，﹣1.020*******……，共2个．故答案为：2．【点评】本题考查无理数的定义，解题的关键是注意无限不循环小数为无理数．一、单选题【答案】A【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项判断即得答案【详解】解：A、2π是无理数，故本选项符合题意；B、3.1415926是有理数，故本选项不符合题意；C、117是有理数，故本选项不符合题意；D、 3.6−是有理数，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念，属于应知应会题型，熟知概念是关键．【答案】C【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．【详解】解：227是分数，1.5、3.1415926是有限小数，均为有理数，故A、B、D不符合要求；面积为2C符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．【答案】C【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．【详解】解：A、74−是有理数，不符合题意；B、0是有理数，不符合题意；C、π是无理数，符合题意；D、0.12是有理数，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．二、填空题2.13131313，【答案】3【分析】根据有理数的分类进行判断即可，有理数分为整数和分数．【详解】解：5−和0是整数，3.14，34−，2.13131313是分数，2π是无理数，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的分类；熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【答案】 8.3+、90 4−、0、90、24−− 8.3+、0.8−、5−、3− 【分析】根据整数，正数，分数的概念求解即可． 【详解】2424−−=−，正数：8.3+、90；整数：4−、0、90、24−−；分数：8.3+、0.8−、15−、343−． 故答案为：8.3+、90；4−、0、90、24−−；8.3+、0.8−、15−、343−． 【点睛】此题考查了有理数的分类，整数，正数，分数的概念，解题的关键是熟练掌握整数，正数，分数的概念．【答案】2【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】无理数有：π，－1.020*******……，共2个故答案为：2【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是注意无限不循环小数为无理数．三、解答题非负整数：{_________…}整数：{__________…}负分数：{________…}【答案】262.49，，60，630−，，33.144−−，【分析】根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可得非负整数集合，根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合，根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得有理数集合．【详解】解：正数：{6，2.4，2 9…}非负整数：{6，0…}整数：{6，3−，0…}负分数：{33.144−−，…}故答案为：6，2.4，29；6，0；6，3−，0；34−， 3.14−．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．【答案】(1)0,2021,101−(2)2 3.01,2021,13−−−(3)22,15%,3.14,0.618 7+(4)22,15%,101,3.14,0.618 7+(5)0,2021−(6)22,0,15%,101,3.14,0.618 7+【分析】根据有理数的分类即可解答．【详解】（1）解：整数：0,2021,101−（2）解：负数：2 3.01,2021,13−−−（3）解：正分数：22,15%,3.14,0.618 7+（4）解：正有理数：22,15%,101,3.14,0.618 7+（5）解：非正整数：0,2021−（6）解：非负数：22,0,15%,101,3.14,0.618 7+【点睛】本题考查的是有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．一、单选题【答案】C【分析】根据有理数的概念和性质判断即可．【详解】∵0既不是正数，也不是负数，∴A正确，不符合题意；∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃，∴B正确，不符合题意；∵正方向可以自主确定，∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的，∴C不正确，符合题意；∵盈利1000元记作+1000元，则-200元表示亏损200元，∴D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．2．（2021秋·江苏苏州·七年级统考阶段练习）下面结论错误的是（）A．零是整数B．零不是整数C．零是自然数D．零是有理数【答案】B【分析】由于零是有理数，也是整数，还是自然数，由此可分别进行判断．【详解】解：A、零是整数，所以A选项的说法是正确的；B、零不是整数，所以B选项的说法是错误的；C、零是自然数，所以C选项的说法是正确的；D、零是有理数，所以D选项的说法是正确的．故选：B．【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确有理数的相关概念．3．（2021秋·江苏·七年级专题练习）下列说法错误的是（）A．0是最小的自然数B．0既不是正数，也不是负数C．0C︒是零上温度和零下温度的分界线D．海拔高度是0米表示没有高度【答案】D【分析】根据有理数0的特殊性质解答．【详解】解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是最小的自然数；④是正数和负数分界．【答案】4【分析】根据整数和分数统称为有理数，即可解答．【详解】解：在183.1430.666660.9181181118.22π−−⋯⋯⋯⋯，，，，，中，其中有理数有183.1430.666662−−⋯⋯，，，，，共4个．故答案为：4．【点睛】此题考查有理数，掌握有理数的定义是解答本题的关键．三、解答题【答案】见解析【分析】根据有理数的分类求解即可．【详解】解：正数集合：{153，2，3π…}； 无理数集合：{3π， 1.121121112−⋯（每两个2之间依次增加一个1）…}；分数集合：{ 2.5−，153…}； 非负整数集合：{ 0，2…}．【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．【答案】26+，227，0.6；26+，0，π，227，0.6；26+，0； 4.8−，227，0.6，8−【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【详解】解：正有理数集{26+，227，0.6}；非负数集{26+，0，π，227，0.6}；非负整数集{26+，0}；分数集{ 4.8−，227，0.6，58−}．故答案为：26+，227，0.6；26+，0，π，227，0.6；26+，0； 4.8−，227，0.6，58−．【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，解题的关键是注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 0.15，【答案】(1)3，2.004，14，3.14，()2.28−− (2)3，0，4−− (3)102.4,,0.153−−−(4)π，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）【分析】根据有理数和无理数的分类解答即可．【详解】（1）正有理数集合：3，2.004，114，3.14，()2.28−−…故答案为：3，2.004，114，3.14，-（-2.28）； （2）整数集合：3，0，4−−，… 故答案为：3，0，4−−（3）负分数集合：102.4,,0.153−−−…故答案为：102.4,,0.153−−−；（4）无理数集合：π，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0），…故答案为：π，－2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）．【点睛】此题考查了实数的定义：有理数和无理数统称为实数，以及有理数的分类，正确掌握实数的定义是解题的关键．。

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．52．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2 B ．﹣2与√−83 C ．﹣2与−12 D ．2与|﹣2|3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 24．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0 B ．x ≥﹣1 C ．x ＜﹣1 D ．x ＞﹣1且x ≠05．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．256．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离为5米，则旗杆的高度为（ ）米．A．5B．12C．13D．177．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：58．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√139．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤1610．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为，面积为．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．18．计算：（1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a3b−√ab3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC的其中两边长分别为1，√7，若△ABC为“类勾股三角形”，则另一边长为；（3）如果Rt△ABC是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且x＜y，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【北师大版】专题3.1第一次月考阶段性测试卷（10月培优卷，八上北师大第1~2章）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•滨海新区期末）25的算术平方根是（ ）A ．﹣5B ．±5C ．25D ．5 【答案】D【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：25的算术平方根是：5．故选：D ．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．2．（2023•邵阳县校级模拟）下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．﹣2与√(−2)2B ．﹣2与√−83C ．﹣2与−12D ．2与|﹣2| 【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、√(−2)2=2，﹣2与√(−2)2是互为相反数，故本选项正确； B 、√−83=−2，﹣2与√−83相等，不是互为相反数，故本选项错误；C 、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D 、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A ．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．3．（2022秋•徐汇区校级期末）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√0.2bB ．√12a −12bC ．√x 2−y 2D ．√5ab 2 【答案】C【分析】A 选项的被开方数中含有分母；B 、D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有C 选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A 、√0.2b =√5b 5； B 、√12a −12b =2√3a −3b ；D 、√5ab 2=√5a |b |；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C ．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．4．（2023•新都区模拟）代数式√x+1x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1且x ≠0B ．x ≥﹣1C ．x ＜﹣1D ．x ＞﹣1且x ≠0【答案】A【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意，得{x +1≥0x ≠0， 解得：x ≥﹣1且x ≠0．故选：A ．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x 的值．5．（2023春•孝感期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．6B ．9C ．13D ．25【答案】C【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由正方形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=√32+22=√13，∴正方形的面积＝（√13）2＝13．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．6．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5B．12C．13D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．7．（2022秋•昌图县期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝3：4：5【答案】C【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；D、由条件可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．8．（2021秋•诸暨市期中）若9−√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（）A．12−√13B．13−√13C．14−√13D．15−√13【答案】C【分析】先估算√13的大小，再估算9−√13的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵3＜√13＜4，∴﹣4＜−√13＜−3，∴5＜9−√13＜6，又∵9−√13的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝5，b＝9−√13−5＝4−√13，∴2a+b＝10+（4−√13）＝14−√13，故选：C．【点评】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．9．（2023春•赵县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17B．h≥8C．15≤h≤16D．7≤h≤16【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝24﹣8＝16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴AB=√AD2+BD2=17，∴此时h＝24﹣17＝7，所以h的取值范围是7≤h≤16．故选：D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．（2022秋•高州市期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×12ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×12ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积=12（a+b）（a+b）＝2×12×ab+12c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b−b−a2）（a+b−a2）=12ab+12c⋅12c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2023春•南陵县期末）√8与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m＝1．【答案】见试题解答内容【分析】先把√8化为最简二次根式2√2，再根据同类二次根式得到m+1＝2，然后解方程即可．【解答】解：∵√8=2√2，∴m+1＝2，∴m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．12．（2023春•华蓥市校级期末）直角三角形的两条直角边长分别为√2cm、√10cm，则这个直角三角形的斜边长为2√3cm，面积为√5cm2．【答案】见试题解答内容【分析】此题直接利用勾股定理及三角形的面积解答即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=√(√2)2+(√10)2=2√3cm；直角三角形的面积=12×√2×√10=√5cm2．故填2√3cm，√5cm2．【点评】此题主要考查勾股定理及三角形的面积．13．（2023春•丰台区校级期中）已知√6.213≈2.493，√62.13≈7.882，则√62130≈249.3．【答案】249.3．【分析】根据“被开方数的小数点向右或向左移动2位，它们的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位”解答即可．【解答】解：∵被开方数62130可由6.213的小数点向右移动4位得到，∴√62130可由√6.123的算术平方根2.493的小数点向右移动2位得到，即√62130≈249.3．故答案为：249.3．【点评】本题考查算术平方根的规律，熟悉被开方数小数点移动与其算术平方根小数点移动的规律是解题的关键．14．（2023春•五莲县期末）已知a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，则a2b﹣ab2＝4√2．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵a＝3+2√2，b＝3﹣2√2，∴ab＝9﹣8＝1，a﹣b＝4√2，∴原式＝ab（a﹣b）＝4√2，故答案为：4√2【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．15．（2022秋•兴隆县期末）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝7．【答案】见试题解答内容【分析】连续运用勾股定理即可解答．【解答】解：由勾股定理可知OB=√5，OC=√6，OD=√7∴OD2＝7．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．（2023•宁津县校级开学）如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为600√3米．【答案】见试题解答内容【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．【解答】解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300√3∴AC＝600√3米．故答案为600√3．【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．三．解答题（共7小题）17．（2021秋•乐山期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，可以分别求得BC 、AC 、AB 的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC 的形状；（2）根据等积法，可以求得AB 边上的高．【解答】解：（1）△ABC 为直角三角形， 理由：由图可知，AC =√22+42=2√5，BC =√12+22=√5，AB =√32+42=5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形；（2）设AB 边上的高为h ， 由（1）知，AC =2√5，BC =√5，AB ＝5，△ABC 是直角三角形，∴12BC ⋅AC =12AB ⋅ℎ， 即12×√5×2√5=12×5h ，解得，h ＝2， 即AB 边上的高为2．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．计算： （1）2√3（√12−√75+13√108）（2）（√a 3b −√ab 3）√ab（3）（√2−√12）（√18+√48）（4）（5√12−6√32）（14√8+√23）（5）（2√7+5√2）（5√2−2√7）（6）(√3+√2)2013×(√3−√2)2012．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（2）先把括号内的各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根，然后合并后进行二次根式的乘法运算；（4）先进行二次根式的乘法运算，然后合并即可；（5）利用平方差公式计算；（6）利用积的乘方进行计算．【解答】解：（1）原式＝2√3（2√3−5√3+2√3）＝2√3×（−√3）＝﹣6；（2）原式＝（a√ab−b√ab）•√ab=（a﹣b）√ab•√ab=ab（a﹣b）＝a2b﹣ab2；（3）原式＝（√2−2√3）（3√2+4√3）＝6+4√6−6√6−24＝﹣2√6−18；（4）原式=54√12×8+5√12×23−32√32×8−6√32×23=52+5√33−3√3−6=−72−4√33；（5）原式＝（5√2）2﹣（2√7）2＝50﹣28＝22；（6）原式＝[（√3+√2）（√3−√2）]2012•（√3+√2）=√3+√2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．19．（2023•江门校级三模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【答案】见试题解答内容【分析】先由勾股定理求AB＝10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．【解答】解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的长为3cm．【点评】此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．20．（2022秋•巴中期末）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是√43的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求2a﹣b+92c的平方根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；（2）求出代数式2a﹣b+92c的值，再求这个数的平方根．【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，∴3a+1＝﹣8，解得，a＝﹣3，∵2b﹣1的算术平方根是3，∴2b﹣1＝9，解得，b＝5，∵√36＜√43＜√49，∴6＜√43＜7，∴√43的整数部分为6，即，c＝6，因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，2a﹣b+92c=−6﹣5+92×6＝16，2a﹣b+92c的平方根为±√16=±4．【点评】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．21．（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝14﹣x；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9；（3）由（2）得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，∴S△ABC=12•BC•AD=12×14×12＝84．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．22．（2023春•金乡县月考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝2c2，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如△ABC的三边长分别是√2，√6和2，因为（√2）2+（√6）2＝2×22，所以△ABC是“类勾股三角形”．小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！根据对话回答问题：（1）判断：小璐的说法 正确 ；（填“正确”或“错误”）（2）已知△ABC 的其中两边长分别为1，√7，若△ABC 为“类勾股三角形”，则另一边长为 2或√13 ； （3）如果Rt △ABC 是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x ，y ，z （x ，y 为直角边长且x ＜y ，z 为斜边长），用只含有x 的式子表示其周长和面积．【答案】（1）正确；（2）2或√13；（3）周长为（1+√2+√3）x ，面积为√22x 2． 【分析】（1）根据“类勾股三角形”的定义进行判断即可；（2）设出第三边，利用“类勾股三角形”的定义分三种情况讨论求解并进行验证即可；（3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将b 、c 用a 表示，即可求出结果．【解答】解：（1）设等边三角形三边长分别是a ，b ，c ，则a ＝b ＝c ，∴a 2+b 2＝2c 2，∴等边三角形是“类勾股三角形”，∴小璐的说法正确．故答案为：正确；（2）设另一边长为x ，①12+（√7）2＝2x 2，解得x ＝2，符合题意；②12+x 2＝2（√7）2，解得x =√13，符合题意；③x 2+（√7）2＝2×12，x 无解；故答案为：2或√13；（3）∵Rt △ABC 是“类勾股三角形”且x ＜y ，z 为斜边长，∴x 2+z 2＝2y 2，由勾股定理得x 2+y 2＝z 2，整理得x 2+x 2+y 2＝2y 2，即2x 2＝y 2，∴y =√2x ， ∴z 2＝3x 2，∴z =√3x ，∴Rt △ABC 的周长为x +y +z ＝（1+√2+√3）x ，Rt △ABC 的面积为12xy =12x •√2x =√22x 2． 【点评】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．23．（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【答案】（1）7；（2）答案见解答．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH在△CHB和△AEF中，∵{BH=EF∠CBH=∠AFE=45°BC=AF，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．。

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有理数和无理数的概念与练习知识清单1定义：有理数:我们把能够写成分数形式nm （m 、n 是整数，n≠0）的数叫做有理数. 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。

2有理数的分类整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数.零既不是正数,也不是负数.有限小数和无限循环小数是有理数.3无理数的两个前提条件：（1） 无限（2）不循环 4两者的区别:（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。

经典例题例1:下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？-3，3π,—61,0。

333…，3.30303030…，42，-3。

1415926,0，3。

（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。

例2:下列说法正确的是:（）A 。

整数就是正整数和负整数B 。

分数包括正分数、负分数C.正有理数和负有理数统称有理数D.无限小数叫做无理数闯关全练一。

填空题：(1)我们把能够写成分数形式n m （m 、n 是整数，n≠0)的数叫做.（2)有限小数和都可以化为分数，他们都是有理数。

（3）小数叫做无理数。

（4）写出一个比-1大的负有理数。

二.判断题（1）无理数与有理数的差都是有理数;（2）无限小数都是无理数；（3)无理数都是无限小数；(4）两个无理数的和不一定是无理数。

无理数的整数部分与小数部分专项训练
1、已知无理数x=+2的小数部分是y，则xy的值是（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2、若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ．
3、若a，b分别是6-的整数部分和小数部分，则b-a的值是______ ．
4、的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为______ ．
5、阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，的小数部分不可能全部地写出来，但可以用-1来表示的小数部分．理由：因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
已知：2+的小数部分为a，5-的小数部分为b，计算a+b的值．
6、阅读理解：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小张用-1来表示的小数部分，你同意小张的表示方法吗？事实上，小张的表示方法是正确的，因为1＜＜2，所以的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：
（1）填空：的整数部分是______ ，小数部分是______ ．
（2）已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
7、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：
（1）的整数部分是______ ，小数部分是______
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b-的值；
（3）若设2+的整数部分为x，小数部分为y，求y-x的值．。

2024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题（每题3分，共36分）1．x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，则x−y+z的值是（）．A．−2B．−1C．0D．22．大于-2.5且小于3.5的整数之和为（）．A．-3B．2C．0D．33．下列说法中，正确的是（）．A．两个负数的差一定是负数B．只有0的绝对值等于它本身C．有理数可以分为正有理数和负有理数D．只有0的相反数等于它本身4．下列4个式子，计算结果最小的是（）A．−5+（−12）B．−5−（−12）C．−5×（−12）D．−5÷（−1 2）5．用四舍五入法，把4.76精确到十分位，取得的近似数是（）A．5B．4.7C．4.8D．4.77 6．下列说法中正确的是（）A．正数都带“+”号B．不带“+”号的数都是负数C．负数一定带“−”号D．带“−”号的数都是负数7．下列说法中正确的个数有（）①最大的负整数是−1；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示−a的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，b，−b按照从大到小的顺序排列，正确的是（）A．b>−a>a>−b B．b>a>−a>−bC．−a>b>a>−b D．−a>−b>a>b9．已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5 10．7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多有（）A．2种可能B．3种可能C．4种可能D．5种可能11．下列对于式子(−3)2的说法，错误的是（）A．指数是2B．底数是−3C．幂为−3D．表示2个−3相乘12．法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国的“小九九”计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（）A．2，3B．3，3C．2，4D．3，4二、填空题（每题3分，共18分）13．绝对值大于2且不大于4的非负整数有．14．﹣123的倒数等于.15．某平台进行“天宫课堂”中国空间站全程直播．某一时刻观看人数达到3790000人．用科学记数法表示3790000＝．16．若|a-1|与|b+2|互为相反数，则a+b-12的值为．17．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a－b＋c．18．定义运算a∗b={a b(a≤b，a≠0)b a(a>b，a≠0)，若(m−1)∗(m−3)=1，则m的值为．三、计算题（共8分）19．计算（1）(−134)−(+613)−2.25+103；（2）214×(−67)÷(12−2)；（3）(−34+56−712)÷(−124)；（4）−14−16×[2−(−3)2]．四、解答题（共5题，共35分）20．把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③﹣13，④0.618，⑤﹣√16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{ ……}；分数集合：{ ……}；无理数集合：{ ……}．21．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．3，−(−1)，−1.5，−|−2|，−312．22．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，y+1没有倒数，x−1的绝对值等于2.那么代数式−2|a+b|+cdx+(y−1)(a+b−1)的值是多少？23．暑假《孤注一掷》成为了群众观影的首选，某市7月31日该电影首映日的售票量为1.1万张，8月1日到8月7日售票量的变化如下表(正号表示售票量比前一天多，负号表示售票量比前一天少)：请根据以上信息，回答下列问题：（1）8月2日的售票量为多少万张?（2）8月7日与7月31日相比较，哪一天的售票量多?多多少万张?（3）若平均每张票价为50元，则8月1日到8月7日该市销售《孤注一掷》电影票共收入多少万元?24．2022年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行.小明发现天猫平台甲、乙、丙三家店铺在销售同一款标价均为30元的杯子，但三家的促销方式不同，具体优惠信息如下：（1）若小明想买25个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙、丙三家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠.（2）若小明想从丙店铺购买n个(n>100)该款杯子，请用含n的代数式表示优惠后购买的总价.（3）若小明想花费3000元在丙店铺来购买该款杯子，且恰好用完，则他能买多少个该款杯子？（注：假设小明均一次性购买）五、实践探究题（共3题，共23分）25．观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×(1−13)；第2个等式：a2=13×5=12×(13−15)；第3个等式：a3=15×7=12×(15−17)；…青解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=．（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n==(n为正整数)；（3）求a1+a2+⋯+a100的值．26．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是【M，N】的好点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−20，点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？27．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85度是什么意思电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改）【解读信息】通过互联网查询后获得上表（如表1）.小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227−85=142度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14.第一档年用电量的上限为2760度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度.不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度.【理解信息】（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为元.（精确到0.01）（2）若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成元.（用含有m的代数式表示）（3）【重构信息】12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据上述对话完成下列问题：①通过计算判断：截至12月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？②12月份谁家的用电量多，多了多少？答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】-3，-4 14．【答案】﹣3515．【答案】3.79×106 16．【答案】−3217．【答案】2 18．【答案】1或419．【答案】（1）解：原式=(−134−214)+(−613+313)=−4−3=−7；（2）解：原式=94×(−67)÷(−32)=94×(−67)×(−23)=94×67×23=97； （3）解：原式=(−34+56−712)×(−24)=−34×(−24)+56×(−24)−712×(−24) =18−20+14=12；（4）解：原式=−1−16×[2−9]=−1−16×(−7)=−1+76=16．20．【答案】解：整数有：⑤﹣√16＝﹣4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③﹣13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）21．【答案】解：如图所示，，由图可知，−312⟨−|−2|<−1.5<−(−1)<3．22．【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，y+1没有倒数，x−1的绝对值等于2，∴a+b=0，cd=1，y+1=0，x−1=2或x−1=−2，解得y=−1，x=3或x=−1，当x=3时，原式=0+13+(−2)×(−1)=0+13+2=213；当x=−1时，原式=0+1−1+(−2)×(−1)=−1+2=1；综上，代数式−2|a+b|+cdx+(y−1)(a+b−1)的值是213或1．23．【答案】（1）解：1.1+0.5+0.1=1.7(万张)（2）解：8月1日：1.1+0.5=1.6(万张)；8月2日：1.6+0.1=1.7(万张)；8月3日：1.7-0.3=1.4(万张)；8月4日：1.4-0.2=1.2(万张)；8月5日：1.2+0.4=1.6(万张)；8月6日：1.6-0.2=1.4(万张)；8月7日：1.4+0.1=1.5(万张).1.5-1.1=0.4(万张)答：8月7日的售票量多，多0.4万张.（3）解：1.6+1.7+1.4+1.2+1.6+1.4+1.5=10.4(万张)50x10.4=520(万元)答：共收入520万元24．【答案】（1）解：甲：30×25×90%−30×3=585（元）乙：30×25−60−50×2=590（元）丙：30×10+30×90%×15=705（元）因为585<590<705，所以挑选甲店铺更优惠.（2）解：30×10+30×90%×(50−10)+30×80%×(100−50)+30×70%×(n−100)=21n+480（元）（3）解：假设花费3000元以标价30元来购买该款杯子，则能买3000÷30=100个，那么优惠后至少能买100个.由（2）可知，令21n+480=3000，n=120答：他能买120个该款杯子.25．【答案】（1）19×11=12(19−111)（2）1(2n−1)(2n+1)；12(12n−1−12n+1)（3）解：a1+a2+a3+⋯+a100=12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+...+12(1199−1201) =12×(1−13+13−15+15−17+...+1199−1201)=12×(1−1201) =12×200201=100201．26．【答案】（1）2或10（2）解：设点P表示的数为y，分四种情况：①P为【A，B】的好点．由题意，得y−（−20）=2（40−y），解得y=20，t=（40−20）÷2=10（秒）；②A为【B，P】的好点．由题意，得40−（−20）=2[y−（−20）]，解得y=10，t=（40−10）÷2=15（秒）；③P为【B，A】的好点．由题意，得40−y=2[y−（−20）]，解得y=0，t=（40−0）÷2=20（秒）；④A为【P，B】的好点由题意得y−（−20）=2[40−（−20）]解得y=100（舍）．⑤B为【A，P】的好点30=2t，t=15．综上可知，当t为10秒、15秒或20秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．故答案为：2或10．27．【答案】（1）122.13（2）（0.568-0.28m）（3）解：①假设小江家12月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费：281×(0.568−0.28×0.2)=143.872（元），∵143.872<154.55，∴小江家12月份的用电量必定超过第一档；②设小江家12月份用电量为x度，143.872+0.8×0.618(x−281)+0.2×0.338(x−281)=154.55，143.872+0.4944x−138.9264+0.0676x−18.9956=154.55解得x=300，300−275=25（度），即小江家用电量多，比小北家多用25度.2024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题（每题3分，共30分）1．-3，4，0，√2这四个数中，无理数是（）A．-3B．4C．0D．√2 2．下列运算结果正确的是（）A．√10÷√5=√5B．√9=±3C．(−√2)2=2D．√2+√3=√53．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．8的立方根是±2C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或04．下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤π−3是负分数；其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，实数-√2+1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．若|x−y|−|x−z|=|y−z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）A．x>y>z B．z>y>x C．y>x>z D．x>z> y7．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（）．A．6B．5C．4D．1 8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在()A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间9．如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简√(a−2)2的结果是（）A．a﹣2B．﹣a﹣2C．1D．2﹣a 10．按顺序排列的若干个数：x1，x2，x3，……，x n（n是正整数），从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x2=11−x1，x3=11−x2……，下列选项正确是（）①若x2=5，则x7=45；②若x1=2，则x1+x2+x3+⋯+x2023=1013；③若(x1+1)(x2+1)x6=−1，则x1=√2A．①和③B．②和③C．①和②D．①②③都正确二、填空题（每题3分，共18分）11．比较大小：7-4√30．(填“<”“>”或“=”)12．已知一个立方体的体积是27cm3，那么这个立方体的棱长是cm.13．若y=√x−2+√2−x−3，则x+y的立方根是.14．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为√2，则2022a+2021b+ mnb+k2的值为．15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72第一次→[√72]=8第二次→[√8]=2第三次→[√2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．16．电流通过导线时会产生热量，电流I （单位：A ）、导线电阻R （单位：Ω）、通电时间t （单位：s ）与产生的热量Q （单位：J ）满足关系式Q =I 2Rt ．已知导线的电阻为10Ω，通电2s 时间导线产生90J 的热量，则电流I 为 A ．三、计算题（共6分）17．计算：（1）(√18−√12)×√3；（2）(√3+1)2−(1−√5)(√5+1).四、作图题（共9分）18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.五、解答题（共4题，共32分）19．把下列各数分别填在相应的括号内．﹣12，0，0.16，312，√3，﹣23√5，π3，√16，﹣√22，﹣3.14 有理数：{ }； 无理数：{ }； 负实数：{ }； 正分数：{ }．20．（1）先化简，再求值．已知a =1，b =−2，求多项式3ab −15b 2+5a 2−6ba +15a 2−2b 2的值． （2）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接． −1.5，−22，−（−4），0，−|−3|，√921．如图，数轴上点A ，B 分别表示数a ，b ，且a ，b 互为相反数，2a +9是27的立方根.（1）求a ，b 的值及线段AB 的长.（2）点P 在射线BA 上，它在数轴上对应的数为x. ①请用含x 的代数式表示线段BP 的长. ②当x 取何值时，BP =2AP ？22．解答下列各题：（1）计算：√(−10)2−(√15)2+√64．（2）已知点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上，试求a 的值． 六、实践探究题（共3题，共25分）23．数学活动课上，张老师说：“√2是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把√2的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（√2-1）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：（1）√5的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）已知8+√3=x +y ，其中x 是一个整数，且0＜y ＜1，请求出3x +(y −√3)2020的值．24．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4.1]=4.（1）则[11.8]= ；[−11.9]= ；（2）现对119进行如下操作：119→第一次[√119]=10→第二次[√10]=3→第三次[√3]=1，这样对119只需进行3次操作后变为1.①对15进行1次操作后变为▲ ，对200进行3次操作后变为▲ ；②对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到▲ ；③若正整数m进，3次操作后变为1，求m的最大值.25．阅读材料：若点M，N在数轴上分别表示实数m，n，那么M，N之间的距离可表示为|m−n|.例如|3−1|，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：|5+3|= |5−(−3)|表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离.根据以上信息，完成下列题目：（1）已知A，B，C为数轴上三点，点A对应的数为√2，点C对应的数为1.①若点B对应的数为−2，则B，C两点之间的距离为；②若点A到点B的距离与点A到点C的距离相等，则点B对应的数是.（2）对于|x−3|+|x+4|这个代数式.①它的最小值为；②若|x−3|+|x+4|+|y−1|+|y+2|=10，则x+y的最大值为.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】>12．【答案】313．【答案】-114．【答案】215．【答案】25516．【答案】3√2217．【答案】（1）解：原式=√54−√36=3√6−6（2）3+2√3+1−1+5=8+2√3 18．【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；（3）解：如图所示，OPQ 即为所求.19．【答案】解：有理数：﹣12，0，0.16，312，√16，﹣3.14；无理数：√3，﹣23√5，π3，﹣√22；负实数：﹣12，﹣23√5，﹣√22，-3.14；正分数：0.16，312．20．【答案】（1）解：3ab −15b 2+5a 2−6ba +15a 2−2b 2=−3ab −17b 2+20a 2，当a =1，b =−2时，原式=−3×1×（−2）−17×（−2）2+20×12=6−68+20=−42．（2）解：如图所示：，−22<−|−3|<−1.5<0<√9<−（−4）21．【答案】（1）解：∵2a +9是27的立方根，∴2a +9=√273=3， 则a =−3.∵a ，b 互为相反数，∴b=−a=3.∴AB=3−(−3)=6（2）解：①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x.∴线段BP=3−x②当点P在点A右侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(x+3)，解得x=−1.当点P在点A左侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(−3−x)，解得x=−9.综上，当x=−1或−9时，BP=2AP.22．【答案】（1）解：原式=10−15+8=3（2）解：∵点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴k=1×2=−4⋅a，∴a=−1 2．23．【答案】（1）2；√5-2（2）解：∵1<√3<2，∴9<8+√3<10，∵8+√3=x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，∴x＝9，y＝8+√3−9=√3−1∴3x+(y−√3)2020=3×9+(√3−1−√3)2020＝27+1＝28．24．【答案】（1）11；-12（2）解：①3；1②4；③∵[x]=1，∴1≤x<2，∴1≤√m<2，∴1≤m<4，∴1≤√m<16，∴1≤m<256.∵3次操作，故m≥16.∴16≤m<256.∵m是整数.∴m的最大值为255.25．【答案】（1）3；2√2−1（2）7；42024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题（每题3分，共30分）1．-3，4，0，√2这四个数中，无理数是（）A．-3B．4C．0D．√2 2．下列运算结果正确的是（）A．√10÷√5=√5B．√9=±3C．(−√2)2=2D．√2+√3=√53．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．8的立方根是±2C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或04．下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤π−3是负分数；其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，实数-√2+1在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点6．若|x −y|−|x −z|=|y −z|，则实数x 、y 、z 之间的大小关系可能为（ ）A ．x >y >zB ．z >y >xC ．y >x >zD ．x >z >y7．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a ，b ，c ，d ，若|a -c|=6，|a -d|=10，|b -d|=5，则|b -c|的值为（ ）． A ．6B ．5C ．4D ．18．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间9．如图，已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简√(a −2)2的结果是（ ）A ．a ﹣2B ．﹣a ﹣2C ．1D ．2﹣a10．按顺序排列的若干个数：x 1，x 2，x 3，……，x n （n 是正整数），从第二个数x 2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x 2=11−x 1，x 3=11−x 2……，下列选项正确是（ ）①若x 2=5，则x 7=45；②若x 1=2，则x 1+x 2+x 3+⋯+x 2023=1013；③若(x 1+1)(x 2+1)x 6=−1，则x 1=√2 A ．①和③ B ．②和③ C ．①和②D ．①②③都正确二、填空题（每题3分，共18分）11．比较大小：7-4√3 0． (填“<”“>”或“=”)12．已知一个立方体的体积是27cm 3，那么这个立方体的棱长是 cm . 13．若y =√x −2+√2−x −3，则x +y 的立方根是 .14．若a 与b 互为相反数，m 与n 互为倒数，k 的算术平方根为√2，则2022a +2021b +mnb +k 2的值为 ．15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72第一次→[√72]=8第二次→[√8]=2第三次→[√2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．16．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式Q=I2Rt．已知导线的电阻为10Ω，通电2s时间导线产生90J的热量，则电流I为A．三、计算题（共6分）17．计算：（1）(√18−√12)×√3；（2）(√3+1)2−(1−√5)(√5+1).四、作图题（共9分）18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.五、解答题（共4题，共32分）19．把下列各数分别填在相应的括号内．﹣12，0，0.16，312，√3，﹣23√5，π3，√16，﹣√22，﹣3.14有理数：{ }；无理数：{ }；负实数：{ }；正分数：{ }．20．（1）先化简，再求值．已知a=1，b=−2，求多项式3ab−15b2+5a2−6ba+15a2−2b2的值．（2）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接．−1.5，−22，−（−4），0，−|−3|，√921．如图，数轴上点A ，B 分别表示数a ，b ，且a ，b 互为相反数，2a +9是27的立方根.（1）求a ，b 的值及线段AB 的长.（2）点P 在射线BA 上，它在数轴上对应的数为x. ①请用含x 的代数式表示线段BP 的长. ②当x 取何值时，BP =2AP ？22．解答下列各题：（1）计算：√(−10)2−(√15)2+√64．（2）已知点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上，试求a 的值． 六、实践探究题（共3题，共25分）23．数学活动课上，张老师说：“√2是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把√2的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（√2-1）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：（1）√5的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）已知8+√3=x +y ，其中x 是一个整数，且0＜y ＜1，请求出3x +(y −√3)2020的值．24．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4.1]=4.（1）则[11.8]= ；[−11.9]= ；（2）现对119进行如下操作：119→第一次[√119]=10→第二次[√10]=3→第三次[√3]=1，这样对119只需进行3次操作后变为1.①对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；②对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到▲ ；③若正整数m进，3次操作后变为1，求m的最大值.25．阅读材料：若点M，N在数轴上分别表示实数m，n，那么M，N之间的距离可表示为|m−n|.例如|3−1|，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：|5+3|= |5−(−3)|表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离.根据以上信息，完成下列题目：（1）已知A，B，C为数轴上三点，点A对应的数为√2，点C对应的数为1.①若点B对应的数为−2，则B，C两点之间的距离为；②若点A到点B的距离与点A到点C的距离相等，则点B对应的数是.（2）对于|x−3|+|x+4|这个代数式.①它的最小值为；②若|x−3|+|x+4|+|y−1|+|y+2|=10，则x+y的最大值为.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】>12．【答案】313．【答案】-114．【答案】215．【答案】25516．【答案】3√2217．【答案】（1）解：原式=√54−√36=3√6−6（2）3+2√3+1−1+5=8+2√3 18．【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；（3）解：如图所示，OPQ 即为所求.19．【答案】解：有理数：﹣12，0，0.16，312，√16，﹣3.14；无理数：√3，﹣23√5，π3，﹣√22；负实数：﹣12，﹣23√5，﹣√22，-3.14；正分数：0.16，312．20．【答案】（1）解：3ab −15b 2+5a 2−6ba +15a 2−2b 2=−3ab −17b 2+20a 2，当a =1，b =−2时，原式=−3×1×（−2）−17×（−2）2+20×12=6−68+20=−42．（2）解：如图所示：，−22<−|−3|<−1.5<0<√9<−（−4）21．【答案】（1）解：∵2a +9是27的立方根，∴2a +9=√273=3， 则a =−3.∵a ，b 互为相反数，∴b=−a=3.∴AB=3−(−3)=6（2）解：①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x.∴线段BP=3−x②当点P在点A右侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(x+3)，解得x=−1.当点P在点A左侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(−3−x)，解得x=−9.综上，当x=−1或−9时，BP=2AP.22．【答案】（1）解：原式=10−15+8=3（2）解：∵点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴k=1×2=−4⋅a，∴a=−1 2．23．【答案】（1）2；√5-2（2）解：∵1<√3<2，∴9<8+√3<10，∵8+√3=x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，∴x＝9，y＝8+√3−9=√3−1∴3x+(y−√3)2020=3×9+(√3−1−√3)2020＝27+1＝28．24．【答案】（1）11；-12（2）解：①3；1②4；③∵[x]=1，∴1≤x<2，∴1≤√m<2，∴1≤m<4，∴1≤√m<16，∴1≤m<256.∵3次操作，故m≥16.∴16≤m<256.∵m是整数.∴m的最大值为255.25．【答案】（1）3；2√2−1（2）7；42024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题（每题4分，共40分）1．2023的相反数是（）A．2023B．|2023|C．12023D．-2023 2．－2023的倒数是（）A．2023B．12023C．－2023D．−1 20233．计算3+(−1)的结果为（）A．-4B．2C．-2D．4 4．下列计算结果为5的是（）A．﹣（+5）B．+（﹣5）C．﹣（﹣5）D．﹣|﹣5| 5．在4，-2，0，13四个数中，最小的为（）A．4B．-2C．0D．13 6．下列计算中错误的有（）个.（ 1 ）√9=±3；（2）﹣1﹣1＝0 ；（3）（﹣1）﹣1＝0；（4）（﹣1）0＝1.A．1B．2C．3D．4 7．我们可用数轴直观研究有理数及其运算.如图，将物体从点A向左平移5个单位到点B，可以描述这一变化过程的算式为（）.A ．2+(−5)B ．2−(−5)C ．2×(−5)D ．2÷(−5)8．杭州亚运会赛会志愿者招募自启动以来，得到了社会群体和高校学生的积极响应，注册总人数超32万人．其中32万用科学记数法可表示为（ ） A ．32×104B ．3.2×105C ．3.2×106D ．0.32×1069．“宁波地铁”发文称，2023年2月13日至6月30日，每天晚上8点后及法定节假日全天，宁波地铁1—5号线全线网皆可免费乘车，免费时段无需购票、刷卡、扫码，可直接进站乘车.2月17日，宁波地铁限时段免费后的首个周五，地铁客流量达到约107.6万人次．数107.6万用科学记数法表示为（ ） A ．1.076×105B ．10.76×105C ．1.076×106D ．0.1076×10610．如图是某品牌鞋服店推出的优惠活动，小明看中了一双鞋子和一双原价80元的袜子，若购买这双鞋子和这双袜子所付的费用与单独购买这双鞋子所付的费用相同，则这双鞋子的原价可能是（ ）.A ．269元B ．369元C ．569元D ．669元二、填空题（每题5分，共30分）11．若a ，b 互为相反数，则(a +b)2= ． 12．请任意写出一个介于−12到−13之间的数 .13．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .14．定义：[x]表示不大于x 的最大整数， (x)表示不小于x 的最小整数， 例如： [2.3]=2， (2.3)=3，[−2.3]=−3，(−2.3)=−2. 则[1.7]+(−1.7)= . 15．如果实数x ，y 满足方程组{x −2y =−1x +y =2，那么（2x -y ）2022= ．16．请用“<”符号将下面实数(−3)2，√18，−6，|−4|连接起来 .三、计算题（共10分）17．用简便运算进行计算： （1）(12−16+13)×(−24)；（2）(−0.25)2019×42020；四、解答题（共3题，共40分）18．先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算： (13−16+12)×12 .（2）认真阅读材料，解决问题： 计算：130÷(23−110+16−25). 分析：利用通分计算 23−110+16−25的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算：解：原式的倒数是：(23−110+16−25)÷130=(23−110+16−25)×30 =23×30−110×30+16×30−25×30 =20−3+5−12=10 . 故原式 =110. 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： (−152)÷(34−526+12−213) . 19．新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收.该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜.（1）求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；（2）该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由.20．为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水费分为三个等级（如图）；例如：某户用水量为35吨，则水费为20×2.5+（30-20）×3.45=101.75（元）.（1）若某住户收到一张自来水总公司水费专用发票，其中上期抄表数为587吨，本期抄表数为617吨，请计算本期该用户应付的水费.（2）若该住户的用水量为x吨(20<x≤40)，应付水费为y元，求出y关于x的函数表达式.（3）小明爸爸收到水费短信通知：2022年2月本期用水量为45吨，水费为150.5元.根据此通知求出第三级收费标准a的值.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】012．【答案】−2513．【答案】314．【答案】015．【答案】116．【答案】-6＜|−4|＜√18＜(−3)217．【答案】（1）解：原式 =12×(−24)−16×(−24)+13×(−24) =(−12)−(−4)+(−8)=(−12)+(−8)+4=−20+4=−16或 原式 =(36−16+26)×(−24) =46×(−24) =−16（2）解：原式= (−0.25)2019×42019×4=(−0.25×4)2019×4=(−1)2019×4=(−1)×4=−4 .18．【答案】（1）解：计算： (13−16+12)×12 =13×12−16×12+12×12 =4−2+6=8（2）解：原式的倒数是： (34−526+12−213)×(−52) ， =34×(−52)−526×(−52)+12×(−52)−213×(−52) ， =−39+10−26+8 ，=−47 ，故原式 =−147. 19．【答案】（1）解：设该合作社按计划x 天可收割完这些油菜5×40x =2000解得：x =10答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；（2）解：原来一天的收割量：5×40=200（亩），现在一天的收割量：(5+3)×40×(1+10%)=352（亩），现在三天可完成的收割量：352×3=1056（亩）>1000亩.答：该合作社能完成抢收任务.20．【答案】（1）解：用水量：617−587=30（吨）.水费：20×2.5+(30−20)×3.45=84.5（元）.答：本期该用户应付水费84.5元.（2）解：y =2.5×20+3.45×(x −20)=3.45x −19(20<x ≤40)∴y 关于x 的函数表达式为：y =3.45x −19(20<x ≤40)（3）解：据题意可列方程：20×2.5+20×3.45+(45−40)a =150.5解得a =6.3答：a 的值为6.3.2024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题1．2022的倒数是（）A．2022B．-2022C．12022D．−1 20222．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强(午位：dBm)，则下列信号最强的是（）A．-50B．-60C．-70D．-80 3．计算结果等于2的是（）A．|−2|B．−|2|C．2−1D．(−2)0 4．(−2)2+22=（）A．0B．2C．4D．8 5．如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．-1B．0C．1D．2 6．据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为（）A．0.38018×1012B．3.8018×1011C．3.8018×1010D．38.018×10107．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中−1<a<0，0<b<1．若a×b=c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（）A．B．C．D．8．已知M=20222，N=2021×2023，则M与N的大小关系是（）A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定9．已知方程组{a−2b=63a−b=m中，a，b互为相反数，则m的值是（）A．4B．﹣4C．0D．8 10．在某次演讲比赛中，五位评委要给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数。

2.2有理数与无理数分层练习考察题型一有理数的识别1．在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数的个数有()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【详解】解：在5-，0，1.3 ，2.121121112⋯（每两个2之间多一个1），3.1415926中，有理数有：5-，0，1.3，，3.1415926，共4个．故本题选：B ．2．在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【详解】解：在0.010010001，0.3333⋯，227-，0，2π-，43%-，0.313113111⋯（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有：0.010010001，0.3333⋯，227-，0，43%-，共5个．故本题选：B ．考察题型二有理数的分类1．在下列数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，属于整数的有()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数π，1+，6.7，15-，0，722，1-，25%中，整数的有：1+，15-，0，1-，共4个．故本题选：C ．2．在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【详解】解：在10.1-，25，3.14，2π， 1.53- ，2.4224222422224⋯中，正分数有：25，3.14，共2个．故本题选：C ．3．在数12-，π， 3.4-，0，3+，73-中，属于非负整数的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【详解】解：12-、 3.4-、73-为负数，不属于非负整数；π不属于整数；0，3+属于非负整数．故本题选：C ．4．下列各数：452,1,8.6,7,0,,4,101,0.05,9563---+--中，()A ．只有1，7-，101+，9-是整数B ．其中有三个数是正整数C ．非负数有1，8.6，101+，0D ．只有42,453--，0.05-是负分数【详解】解：由题意可知：A 、整数包括：1，7-，0，101+，9-，故本选项错误；B 、正整数包括：1和101+，故本选项错误；C 、非负数包括：1，8.6，101+，0，56，故本选项错误；D 、负分数包括：45-，243-，0.05-，故本选项正确．故本题选：D ．5．把下列各数填入相应的集合中：6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，正分数集合：{}⋯；正整数集合：{}⋯；整数集合：{}⋯；有理数集合：{}⋯．【详解】解：正分数集合：{0.75，245，9%，}⋯；正整数集合：{6+，8+，}⋯；整数集合：{6+，3-，0，8+，}⋯；有理数集合：{6+，0.75，3-，0， 1.2-，8+，245，13-，9%，}⋯．6．把下列将数填入相应的集合中：23-，0.5，23-，28，0，4，135， 5.2-．【详解】解：如图所示：．7．将数分类：2-，0，0.1314-，11，227，143-，0.03，2%．正数：{}；非负数：{}；负分数：{}；非负整数：{}．【详解】解：正数有：11，227，0.03，2%，非负数有：0，11，227，0.03，2%，负分数有：0.1314-，143-，非负整数有：0，11．8．把下列各数填在相应的集合内：3-，4，2-，15-，0.58-，0， 3.4- ，0.618，139，3.14．整数集合：{}⋯；分数集合：{}⋯；负有理数集合：{}⋯；非正整数集合：{}⋯．【详解】解：整数集合：{3-，4，2-，0}⋯；分数集合：1{5-，0.58-， 3.4- ，0.618，139，3.14}⋯；负有理数集合：{3-，2-，15-，0.58-， 3.4}-⋯；非正整数集合：{3-，2-，0}⋯．考察题型三有理数的概念辨析1．下列关于0的说法错误的是()A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有B．0是偶数，也是自然数C．0不是正数也不是负数D．0是整数也是有理数【详解】解：A、0的实际意义不是什么都没有，符合题意；B、0是偶数，也是自然数，不合题意；C、0不是正数也不是负数，不合题意；D、0是整数也是有理数，不合题意．故本题选：A．2．下面是关于0的一些说法：①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的负数；⑤0既不是奇数又不是偶数．其中正确说法的个数是()个．A．0B．1C．2D．3【详解】解：①0是正数与负数的分界，所以0既不是正数也不是负数，故原说法正确；②0和正整数都是自然数，所以0是最小的自然数，故原说法正确；③0既不是正数也不是负数，故原说法错误；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误；⑤整数按能否被2整除分为奇数与偶数，0属于偶数，故原说法错误；综上，①②正确．故本题选：C．3．下列说法错误的是()A．负整数和负分数统称负有理数B．正整数，0，负整数统称为整数C．正有理数与负有理数组成全体有理数D．3.14是小数，也是分数【详解】解：负整数和负分数统称负有理数，A正确，不合题意；整数分为正整数，0，负整数，B正确，不合题意；正有理数，0，负有理数组成全体有理数，C错误，符合题意；3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D正确，不合题意．故本题选：C．4．下列说法正确的是()A．正整数、负整数统称为整数B．正分数、负分数统称为分数C．正数、0、负数统称为有理数D．整数、分数、小数都是有理数【详解】解：A．正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；B．正分数、负分数统称为分数，故本选项正确；C．正有理数、0、负有理数统称为有理数，故本选项错误；D．无限不循环小数不是有理数，故本选项错误．故本题选：B．5．下列说法中正确的是()A．非负有理数就是正有理数B．有理数不是正数就是负数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【详解】解：A、非负有理数就是正有理数和0，故A选项不正确；B、0既不是正数也不是负数，是有理数，故B选项不正确；C、正整数、0、负整数统称为整数，故C选项不正确；D、整数和分数统称有理数，故D选项正确．故本题选：D．6．下列说法：（1） 3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）2023-既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【详解】解：（1）正确；（2）错误，还有0；（3）正确；（4）错误，2023-是有理数；（5）正确．正确的有3个，故本题选：C．7．下列说法中，正确的是()A．在有理数集合中，有最大的正数B．在有理数集合中，有最小的负数C．在负数集合中，有最大的负数D．在正整数集合中，有最小的正整数【详解】解：A、在有理数集合中，没有最大的正数，故A选项错误；B、在有理数集合中，没有最小的负数，故B选项错误；C、在负数集合中，没有最大的负数，故C选项错误；D、在正整数集合中，有最小的正整数1，故D选项正确．故本题选：D．8．下面说法中正确的有()A．非负数一定是正数B．有最小的正整数，有最小的正有理数C．a-一定是负数D．0既不是正数，也不是负数【详解】解： 非负数包括0和正数，A∴选项不合题意；∴选项不合题意；没有最小的正有理数，B若a是负数，则a∴选项不合题意；-是正数，C∴选项符合题意．既不是正数，也不是负数，D故本题选：D．9．下列说法正确的是()A．最小的正有理数是1B．最小的正整数是1C．0是最小的有理数D．有理数由正数和负数组成【详解】解：A．没有最小的有理数，故本选项不合题意；B．最小的正整数是1，故本选项符合题意；C．有最小的有理数，故本选项不合题意；D．有理数由正有理数，0，负有理数组成，故本选项不合题意．故本题选：B．10．有下列说法：①最小的自然数为1；②最大的负整数是1-；③没有最小的负数；④最小的整数是0；⑤最小非负整数为0，其中，正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个【详解】解：①最小的自然数为0，故①不正确；②最大的负整数是1-，故②正确；③没有最小的负数，故③正确；④没有最小的整数，故④不正确；⑤最小非负整数为0，故⑤正确；综上，正确的说法有3个．故本题选：B．考察题型四数感问题1．有两个正数a，b，且a b<，把大于等于a且小于等于b所有数记作[a，]b，例如大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．如果m在[5，15]内，n在[20，30]内，那么nm的一切值中属于整数的有()A．1，2，3，4，5B．2，3，4，5，6C．2，3，4D．4，5，6【详解】m在[5，15]内，n在[20，30]内，515m∴，2030n，∴2030155nm，即463nm，∴nm的一切值中属于整数的有2，3，4，5，6．故本题选：B．2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b+，a的形式，又可表示为0，ba-，b的形式，则ab 的值为．【详解】解： 三个互不相等的有理数，既可表示为1-，a b +，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，∴这两个数组的数分别对应相等，a b ∴+与a 中有一个是0，b a-与b 中有一个是1-，若0a =，则b a无意义，0a ∴≠，0a b +=，∴a b =-，即1b a =-，b a-1=，∴1b =-，1a =，ab ∴的值为1-．故本题答案为：1-．考察题型五无理数的识别1．在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数的个数是()A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【详解】解：在数2021-，0.777⋯⋯，2π，833-，3.1415926，3π-中，无理数有：2π，3π-，共2个．故本题选：A ．2．下列八个数：8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），无理数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【详解】解：在实数8-，2.7，2-，2π，0.6 ，0，132，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0）中，无理数有：2π，0.8080080008⋯⋯（每两个8之间逐次增加一个0），共2个．故本题选：C ．3．介于3和π之间的一个无理数是()A ．32π+B ．3.15C ．3.1D ．0.15π-【详解】解：介于3和π之间的一个无理数是32π+．故本题选：A ．4．（1）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是；（2）两个无理数，它们的和为1，这两个无理数可以是．【详解】解：（1）无理数为：2π-，故本题答案为：2π-（答案不唯一）；（2）(1)1ππ+-=，故本题答案为：π，1π-（答案不唯一）．1．循环小数0.15可化分数为．【详解】解：设0.15x ⋅⋅=，则10015.15x ⋅⋅=，15.15150.15⋅⋅⋅⋅∴=+，10015x x ∴=+，解得：533x =．故本题答案为：533．2．已知有A ，B ，C 三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，{2A =-，3-，8-，6，7}，{3B =-，5-，1，2，6}，{1C =-，3-，8-，2，5}，请把这些数填在图中相应的位置．【详解】解：如图所示：．3．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为()A．12B．1118C．76D．59【详解】解：由题意可得：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，原10个有理数互不相等，∴它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数恰好正好有10个，∴这10项分别是：1/22，3/22，5/22，7/22，9/22，13/22，15/22，17/22，19/22，21/22， 它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，∴如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．∴10个真分数相加得出结果为5，故所求的10个有理数之和为5/9．故本题选：D．。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(上) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲-无理数与平方根授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解无理数、平方根的概念；②学会判断有理数与无理数；③掌握平方根的相关计算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。

不能写成分数形式。

2、算术平方根的概念一般地，如果一个正数x的平方根等于a，即2x a=，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记做a，读作“根号a”。

注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。

体系搭建（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数。

（3）a （0a ≥ ）是一个非负数。

3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即2x a = ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

（3）开平方的概念：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

4、2a 与()2a ()0a ≥ 的性质（1）2a a = ，即当0a ≥时，2a a =；当0a < 时，2a a =-。

（2）()2(0)a a a =≥。

考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）A ．0.7B ．C ．πD ．﹣8 【解析】选：C ．例2、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），无理数集合：（，﹣，，…）．例3、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．（1）有理数与无理数的积一定是无理数．×（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．√．【解析】（1）任何无理数有有理数0的乘积等于0，故命题错误；（2）a+1是负数，即a+1＜0，即a＜﹣1，则a必小于它的倒数．故答案是：×，√．例4、已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答：（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．【解析】（1）当a=c=0，d≠0时，s=是有理数．当c≠0时，s=，其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．要使s为有理数，只有=0，即bc=ad．综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．当c≠0时，s=其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数．所以当≠0，即bc≠ad，s为无理数．综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．考点二：平方根例1、（﹣2）2的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解析】∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．例2、用代数式表示实数a（a＞0）的平方根：．【解析】用代数式表示实数a（a＞0）的平方根为：，故答案为：．例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是16 ．【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，∴2x+x﹣6=0，解得x=2，∴这个数的正平方根为2x=4，∴这个数是16．故答案为：16．例4、若=2，则2x+5的平方根是±3 ．【解析】∵=2，∴x+2=4，解得x=2∴2x+5=9，9的平方根是±3，即2x+5的平方根是±3．故答案为：±3．例5、一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．【解析】∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2，∴2a﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．考点三：算术平方根例1、计算（﹣）0﹣=（）A．﹣1 B．﹣C．﹣2 D．﹣【解析】原式=1﹣2=﹣1，故选A例2、下列等式正确的是（）A．B．C．D．【解析】故答案选D．例3、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根．【解析】由已知可得：+=0，则，解得，，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．例4、已知a，b满足+|b﹣2|=0，解关于x的方程（a+2）x+4b=2﹣a．【解析】由题意得2a﹣4=0，b﹣2=0，解得a=2，b=2．所以4x+8=0，解得x=﹣2．例5、我们来看下面的两个例子：，，和都是9×4的算术平方根，而9×4的算术平方根只有一个，所以．，和都是5×7的算术平方根，而5×7的算术平方根只有一个，所以=（填空）（1）猜想：一般地，当a≥0，b≥0时，与之间的大小关系是怎样的？（2）运用以上结论，计算：的值．【解析】根据题意，有=；（1）根据题意，有=；（2）=×=8×15=120．故答案为：=．例6、设a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…（1）请用含n的代数式表示a n（n为自然数）；（2）探究a n是否为4的倍数，证明你的结论并用文字描述该结论；（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”（如：1，16等），试写出a1，a2，…a n 这些数中，前4个“完全平方数”．【解析】（1）∵a1=22﹣02，a2=42﹣22，a3=62﹣42，…∴a n=（2n+2）2﹣（2n）2（n为自然数）；（2）a n=（2n+2）2﹣（2n）2=4n2+8n+4﹣4n2=8n+4=4（2n+1），故a n是4的倍数；文字语言：两个连续偶数的平方差是4的倍数；（3）前4个完全平方数是4，36，100，196．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1.在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】，0.343343334…是无理数，故选：B．2.如果一个正数的平方根为2a+1和3a﹣11，则a=（）A．±1 B．1 C．2 D．9【解析】根据题意得：2a+1+3a﹣11=0，移项合并得：5a=10，解得：a=2，故选C3.的平方根是（）A．81 B．±3 C．﹣3 D．3【解析】∵=9，而9=（±3）2，∴的平方根是±3．故选B．4．化简的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．2【解析】∵42=16，∴=4．故选A．5．已知+（b+3）2=0，则（a+b）2016的值为（）A．0 B．2016 C．﹣1 D．1【解析】由题意得，a﹣2=0，b+3=0，解得，a=2，b=﹣3，则（a+b）2016=1，故选：D．6.在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合{ …}，分数集合{ …}，无理数集合{ …}．【解析】整数集合{0，﹣}；分数集合{，3.14}；无理数集合{，﹣，7.151551…}．7.已知一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，则x的值是 2 ．【解析】∵一个正数的两个平方根是x﹣7和3x﹣1，∴x﹣7+3x﹣1=0．解得：x=2．故答案为：2．8.若正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，则m的值为9 ．【解析】∵正数m的两个平方根分别是a+2与3a﹣6，∴a+2+3a﹣6=0，解得：a=1，则a+2=3，则m的值为：9，故答案为：9．9.如果的平方根等于±2，那么a= 16 ．【解析】∵（±2）2=4，∴=4，∴a=（）2=16．故答案为：16．10.已知+|2x﹣3|=0．（1）求x，y的值；（2）求x+y的平方根．【解析】（1）∵≥0，|2x﹣3|≥0，+|2x﹣3|=0，∴2x+4y﹣5=0，2x﹣3=0，则x=，y=．（2）x+y=+=2，则x+y的平方根为±．11.已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，求a2015﹣b2016的值．【解析】∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．12.若5a+1和a﹣19是数m的平方根，求m的值．【解析】①当（5a+1）+（a﹣19）=0，解得：a=3，则m=（5a+1）2=162=256．②当5a+1=a﹣19时，解得：a=﹣5，则m=（﹣25+1）2=576．故m的值为256或576．➢课后反击1.下列各数是无理数的是（）A．0 B．﹣1 C．D．【解析】0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：C．2.64的平方根为（）A．8 B．±8 C．﹣8 D．±4【解析】∵（±8）2=64，∴64的平方根是±8．故选：B．3.若=2﹣a，则a的取值范围是（）A．a=2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2【解析】∵=|a﹣2|=2﹣a，∴a﹣2≤0，故选：D．4.的值等于（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．【解析】，故选：A．5.下列计算正确的是（）A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2【解析】故选：A．6.把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，【解析】有理数集合{，，1.14141，|﹣7|…}，无理数集合{π，﹣，，，…}．7．（﹣0.7）2的平方根是±0.7 ．【解析】∵（﹣0.7）2=（±0.7）2，∴（﹣0.7）2的平方根是±0.7．故答案为：±0.7．8．已知一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，则a= 4 ．【解析】∵一个正数的两个平方根分别为3a﹣4和12﹣5a，∴3a﹣4+12﹣5a=0．解得：a=4．故答案为：4．9．一个实数的两个平方根分别是m﹣5和3m+9，则这个实数是36 ．【解析】m﹣5+3m+9=0，解得m=﹣1，所以m﹣1=﹣6，所以这个实数是（﹣6）2=36，故答案为：36．10．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【解析】，解得，于是 x﹣2y=1﹣2×（﹣2）=5，∴5的平方根是±．11．若|x﹣1|+（y+3）2+=0，求4x﹣2y+3z的平方根．【解析】由题意得，x﹣1=0，y+3=0，x+y+z=0，解得x=1，y=﹣3，z=2，所以，4x﹣2y+3z=4×1﹣2×（﹣3）+3×2=4+6+6=16，∵（±4）2=16，∴4x﹣2y+3z的平方根是±4．12．求下列式子中的x28x2﹣63=0．【解析】由28x2﹣63=0得：28x2=63，x2=，∴x=±．直击中考1．【2016•马山】若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解析】△ABC是直角三角形，理由如下：由题意得，a﹣15=0，b﹣8=0，c﹣17=0，解得，a=15，b=8，c=17，∵a2+b2=225+64=289，c2=289，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．2．【2016•会宁】已知a、b、c满足2|a﹣1|++c2﹣c+=0．求a+b+c的值．【解析】∵2|a﹣1|++c2﹣c+=0．即2|a﹣1|++（c﹣）2=0．∴a﹣1=0，2b+c=0，c﹣=0，∴a=1，c=，b=﹣，∴a+b+c=．S (Summary-Embedded)——归纳总结1、无理数的概念有理数：整数和分数统称为有理数； 无理数：无限不循环小数称为无理数。

七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题一．选择题1.估计√6+1的值在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间2.估计68 的立方根的大小在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间介于( )3.估计√5−12A. 0.4 到0.5 之间B. 0.5 到0.6 之间C. 0.6 到0.7 之间D. 0.7 到0.8 之间4.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示√8的点落在( )A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④5.如图，数轴上点P 表示的数可能是( )A. √10B. √5C. √3D. √26.在如图所示的数轴上，AB=AC，A，B 两点对应的实数分别是√3和-1，则点C 所对应的实数是( )A. 1+√3B. 2+√3C. 2√3−1D. 2√3+17.如图数轴上有A 、B 、C 、D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与11−2√39最接近( )A. AB. BC. CD. D二．填空题8.大于√2且小于√5的整数是____．9.已知a 、b 为两个连续整数，且a<√17<b，则a+b= ____．10.若两个连续整数x，y，满足x<√15+1<y，则x+y 的值是____．3，b 是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____．11.设a=√312.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[√3]=1，按此规定，[√13−1]=____．13.已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a + b ____．14.任何实数a，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72 进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似的，①对81 只需进行____ 次操作后变为1；②只需进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是____．三．解答题的最大整数，15.已知M 是大于−√3但小于√6的所有整数的和，N 是小于√37−22求M+N 的平方根．16.因为√4<√7<√9，2<√7<3，所以√7的整数部分为2，小数部分为(√7−2)．(1)如果√29的整数部分为a，那a= ____．如果3+√3=b+c，其中b 是整数，且0 < c < 1，那么b= ____，c= ____．(2)将（1）中的a，b 作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度．17.阅读下列材料：因为√9<√11<√16，3<√11<4，√11的整数部分为3，小数部分为√11−3．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果9π的整数3的小数部分为b，求a+b 的值．部分为a，√2818.大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不能全部写出来，于是，小平用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上，小平的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知5+√5的小数部分是a，5−√5的整数部分是b，求a+b 的值．19.数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：√2≈1.414……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用√2−1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：已知8+√3=x+y，其中x 是一个整数，0<y<1，求3x+ (y−√3)2015的值．20.阅读材料：学习了无理数后，小明用这样的方法估算√7的近似值：因为√4<√7<√9，所以2<√7<3，所以设√7=2+k，（其中0<k<1），所以(√7)2= (2+k)2，7=4+4k+k2，因为0<k<1，所以0<k2<1，可见k2是一个很小的数，舍去k2，所以7≈4+4k，k≈0.75，√7≈2+k≈2.75．依照小明的方法解决下列问题：(1) 估算√11（精确到0.01）；(2) 已知：a，b，m 是非负整数，若a<√m<a+1，且m=a2+b，则√m≈____．（用含a，b 的代数式表示）(3) 请用（2）中的结论估算√37的近似值．。

培优专题4 无理数的整、小数部分的应用实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题．例1 a b a-b的值．分析．即从而有：a=4，．．即：∴a=4，-4．故a-b=4--4）．练习11，b是a的小数部分，试用b的代数式表示a，并求a-b的值．2的小数部分为b，求（4+b）b的值．3a b，则a-b=_______．例2 若的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值是多少？分析无理数和是无限不循环小数，利用9<11<16，即<4这一点，是解这类题的突破口．解：∵<4．∴的整数部分为8，1．则-3，．∴=1．练习21．若a与b，则（a+3）（b-4）=________．2．已知与的小数部分分别为x、y，试求3x+2y的值．3．已知m、n，试求（m+n）3的值．例3a ，小数部分是b ，则a 2+（）ab=________．分析 先作分母有理化，将原式转化为a 的形式，再分别确定其整数、•小数部分的取值，最后代入求值．12（）∵<3．∴<6．∴2.5<12（）<3． 即a=2．b=12（-2=12-1）则：a 2+（ab=22+（）×12-1）×2=10．练习31．设xx 2004-2x 2003+x 2002=________． 2a ，小数部分为b ，则b a =________． 3．设m的小数部分，则36m 2=________．例4 a ，小数部分为b ，试计算：a+b+2b=________．分析 将被开方数配方，构造成完全平方式（）2，再化简根式，•然后分析整数部分和小数部分．.∵<2∴a=1，．∴a+b+2b=5．练习41a ，小数部分是b ，则b a =_______．2a ，小数部分是b ，求a 2+ab+b 2的值．3．若[a]表示实数a 的整数部分，则]等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例5 设，那么m+1m的整数部分是________．分析 将代入式子m+1m 进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无理数的取值范围．解：∵，∴1m =14）．∴m+1m 1434． ∵2.22<5<2.32故∴5 2.234⨯+<34<5 2.334⨯+ 即144<m+1m <14.54． 因此m+1m 的整数部分是3． 练习51．设a b 的小数部分，则21b a-的值为（ ）A +1B -1C -1D +12．恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数是（ ）A ．17B ．18C ．35D ．363a ，小数部分为b ，求a b a b -+-a b a b +-的值．答案:练习11．解：∵，4．即a=4+b，故a-b=4．2即<3．的整数部分为2．∴-2．∴（4+b）b=（-2-2）=+2）=3．3∴．即a=5．<<∴．即b=5．故a-b=5-4=1．练习21．解：∵，∴12，5．∴．故（a+3）（b-4）=）（）=-13．2．解：∵<3，∴的整数部分是11，的整数部分是6．∴的小数部分-2，的小数部分．故3x+2y=3-2）+2（）．3．解：∵∴94则故（m+n ）3=3=1．练习3113），而<3，∴+2<5．∴43<13）<53． ∴x=1．故x 2004-2x 2003+x 2002=0．212-3），而 <4，∴-3<1，∴0<12-3）<12．则a=0，b=12-3）． 故b a =1．3=16），而，∴．∴1<16）<76．∴m=16）-1=16）．故36m 2=练习41∴a=2，．∴b a =（）2=2==，∴<6．a=5，小数部分-2．故a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（）2-5-2）．3==又∵<3，∴<6．即2.5<12（）<3．故]等于2．练习51.，．即-1．，-2．即-2．故21b a -+1． 故选A ．2.解：设其中最小的正整数为n 2，则其算术平方根的整数部分为n ，•即最大整数一定为（n+1）2-1．依题意可得：（n+1）2-1-n 2=34．即n 2+2n+1-1-n 2=34∴n=17．故选A ．3.=．∴a=2．．故a b a b -+-a b a b+-=2222()()a b a b a b --+-=224ab a b --=3-4．。

专题14.5 认识无理数（知识讲解）【学习目标】1. 掌握无理数的概念，能正确区别有理数和无理数,2. 掌握无理数的表现形式，并能确找出无理数.【要点梳理】1、定义：有理数：我们把能够写成分数形式nm (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。

无理数：无限不循环2、有理数的分类整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。

零既不是正数，也不是负数。

有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。

3、无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环4 、区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。

实数的分类实数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。

如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。

几个易混淆概念⎪⎩⎪⎨⎧正数非负数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负数非正数0 ⎪⎩⎪⎨⎧正整数非负整数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负整数非正整数0【典型例题】类型一、实数的分类1．把下列各数填入相应的括号内：－2，100π，－153，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…， 143⎛⎫-- ⎪⎝⎭正有理数集合：｛ …｝整数集合： ｛ …｝负分数集合： ｛ …｝无理数集合： ｛ …｝【分析】根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，则正有理数集合：｛0.9，143⎛⎫-- ⎪⎝⎭，…｝；整数集合：｛－2，0，…｝； 负分数集合：｛－153，－∣－5.2∣，…｝； 无理数集合：｛100π，0.1010010001…，…｝；【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．【变式1】把下列各数写入相应的集合中：-120.1，2π0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）（1）正数集合{ }；（2）有理数集合{ }；（3）无理数集合{ }．【答案】（1）0.1、2π0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）12-、 0.1、0 ；（32π、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．解：（1）正数集合{0.1、2π0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；（2）有理数集合{ -12、 0.1、0 }；（3）无理数集合2π、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }． 【点拨】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．【变式2】将这些数按要求填入下列集合中： 0.01001001，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，2π- 负数集合｛ …｝分数集合｛ …｝非负整数集合｛ …｝无理数集合｛ …｝【答案】见解析【解析】试题分析：根据负数、分数、非负整数以及无理数的定义进行判断即可.题中-（-5）=5，-|-5|=-5.解：负数集合｛ 122-，-1，-|-5|，2π- …｝ 分数集合｛ 122-，3.2 …｝ 非负整数集合｛ 4，0，-（-5） …｝无理数集合｛ 0.01001001，2π- …｝类型二、网格上认识无理数1．如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．（1）请求出图中阴影正方形的边长；（212<<，∣它的整数部分为1，小数部分可以表示为．请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并求所画正方形边长的整数部分．（3）5+的整数部分是；小数部分是．【答案】（1；（2）图见解析，整数部分为2；（2）61【分析】（1）直接根据勾股定理即可求解；（2）画出正方形，然后利用勾股定理求解即可；（3解：（1=（2）如图，=<<，459∴<<，23整数部分是2；<<，（3）132∴<，657∣整数部分为6，小数部分为561=．【点拨】本题主要考查无理数，掌握无理数的估算和勾股定理是解题的关键．举一反三：⨯网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶【变式1】在下列44点均在格点上，且满足：（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．【答案】答案见解析【分析】（1=5，画出图形即可；（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为画出图形即可．解：（1=5，∣ABC即为所求，如图1所示；（2）由勾股定理得：=∣DEF即为所求，如图2所示．【点拨】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．【变式2】如图，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD中AC，BD相交于点O，试说明边AB，BC，CD，AD的长度和对角线AC，BD的长度中，哪些是有理数？哪些不是有理数？【答案】AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.【解析】【分析】运用勾股定理求出各条线段的长度即可求得结果.解：由题图知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理，得AB2=32+42=25，BC2=32+32=18，CD2=32+22=13，AD2=42+22=20，因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数.【点拨】此题主要考查了有理数及无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001∣，等有这样规律的数.类型三、与无理数有关的探究题3．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：2≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用2﹣1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：（1a，b，求a+b（2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求3x+（y2018的值．【答案】（1）1；（2）28.【解析】（1a、b的值，然后再求代数式的值即可．（2）先求得x的值，然后再表示出y试题解析：（1）∣4＜5＜9，9＜13＜16，∣23，34．2，b=3．∣a+b2+3．（2）∣12，∣9＜10，∣x=9．x．∣y﹣x=﹣1．∣原式=3×9+1=28．举一反三：【变式1】（阅读材料）2＜3，∣12．1的整数部分为1．12我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．的近似值．=10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35的近似值为10.35．0.01）．【答案】9的近似值为9.89.=9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．解：解决问题：<910<，的整数部分为9，-9.=9+x，其中0＜x＜1，则97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，∣0＜x＜1，∣0＜x2＜1，∣97≈81+18x，解之得x≈0.899.89.的范围是解此题的关键．【变式2】观察下图,每个小正方形的边长均为1.(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少?它的边长是多少?(2)估计阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间?【答案】(1).(2) 边长在3与4之间..【解析】试题分析：（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；（2试题解析：(1)由图可知，图中阴影正方形的面积是：144134166102⨯-⨯⨯⨯=-=，则阴影正方形的面积为10，即图中阴影正方形的面积是10.34<<，即边长的值在3与4之间.类型四、无理数的估算4 已知21a -的平方根是3±，39a b +-的立方根是2，c 是57的整数部分，求2a b c ++的值..【答案】16【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a ，b ，c 的值进而得出答案．解：∣2a -1的平方根是±3，∣2a -1=9，解得：a=5，∣3a+b -9的立方根是2，∣15+b -9=8，解得：b=2，∣c∣c=7，则a+2b+c=5+4+7=16．【点拨】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a ，b ，c 的值是解题关键．举一反三：【变式1】 阅读理解：2＜322解决问题：已知a -1的平方根是±1，3a+b -2的立方根是2，x 的整数部分，y部分，求a+b+2x+y【答案】3.【分析】根据平方根和立方根的定义解答即可．解：∣a -1的平方根是±1，∣a -1=1，∣a=2，∣3a+b -2的立方根是2，∣3a+b -2=8，∣b=4，∣x y∣x=3，y=3，∣a+b+2x+y =9，∣a+b+2x+y 的算术平方根=3．故答案为：3.【点拨】本题考查了估算无理数的大小：估算无理数大小要用逼近法．也考查了平方根．【变式2】设2x ，小数部分为y.（1）求2x ＋1的平方根；（2）化简：|y －2|.【答案】（1）±3；（2）4【分析】（1）先求出x 和y 的值，再根据平方根的定义求解；（2）根据绝对值的定义求解即可。

2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：无理数与实数一．选择题（共10小题）1．实数2的平方根为（）A．a B．±a C．±D．±|U 2．38的算术平方根是（）A．2B．±2C．2D．±23．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣54．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或15．如果150（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个6．π、227，−3，3343，3.1416，0.3⋅中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 8．已知|a|＝5，2=7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12 9．在下列结论中，正确的是（）A=±54B．x2的算术平方根是xC．﹣x2一定没有平方根D．9的平方根是±310．若k＜90＜k+1（k是整数），则k＝（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共5小题）11．81的平方根是．12．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝，这个正数是．13．已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝．14．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此规定[10+1]的值为．15．若325.36=2.938，3253.6=6.329，则325360000=．三．解答题（共5小题）16．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．（1）求这个正数是多少？（2）+5的平方根又是多少？17．若x、y都是实数，且y=−3+3−+8，求x+3y的立方根．18．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为（7−2）．请解答：（1）17的整数部分是，小数部分是．（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b−5的值；（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．19．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．20．计算：﹣12+（﹣2）3×18−3−27×（−2025年广东省东莞市中考数学一轮复习：无理数与实数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．实数2的平方根为（）A．a B．±a C．±D．±|U【考点】平方根．【专题】计算题．【答案】D【分析】首先根据算术平方根的定义可以求得2=|a|，再利用绝对值的定义可以化简|a |即可得到结果．【解答】解：∵当a为任意实数时，2=|a|，而|a|的平方根为±|U．∴实数2的平方根为±|U．故选：D．【点评】此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了2=|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．2．38的算术平方根是（）A．2B．±2C．2D．±2【考点】立方根；算术平方根．【答案】C【分析】首先根据立方根的定义求出38的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：38=2，2的算术平方根是2．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意关键是要首先计算38=2．3．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【考点】平方根．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．4．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或1【考点】平方根．【专题】计算题；运算能力．【答案】D【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．5．如果150（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】算术平方根．【专题】计算题；数感；运算能力．【答案】B【分析】如果150（0＜x＜150）是一个整数，则它一定是一个数的平方的形式．把1 50分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可解决问题．【解答】解：∵150=5×5×2×3，而150（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，所以可以是6，24，54，96共有4个．故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题关键是把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可．6．π、227，−3，3343，3.1416，0.3⋅中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【专题】数感．【答案】B【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、227，−3，3343，3.1416，0.3⋅中，无理数是：π，−3共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中3343=7是有理数中的整数．7．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ac＞bc B．|a﹣b|＝a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 【考点】实数与数轴．【专题】数形结合．【答案】D【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可．【解答】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A选项错误；B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|＝b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．8．已知|a|＝5，2=7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【考点】算术平方根．【专题】计算题．【答案】D【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵2=7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．9．在下列结论中，正确的是（）A=±54B．x2的算术平方根是xC．﹣x2一定没有平方根D．9的平方根是±3【考点】算术平方根；平方根．【专题】二次根式．【答案】D【分析】根据平方根的意义逐项判断．【解答】解：A=54，故错误；B．x2的算术平方根是|x|，故错误；C．﹣x2，当x＝0时，平方根为0，故错误；D.9的平方根为±3，正确．故选：D．【点评】本题考查了平方根与算术平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．10．若k＜90＜k+1（k是整数），则k＝（）A．6B．7C．8D．9【考点】估算无理数的大小．【答案】D【分析】根据81=9，100=10，可知9＜90＜10，依此即可得到k的值．【解答】解：∵k＜90＜k+1（k是整数），9＜90＜10，∴k＝9．故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算90的取值范围，从而解决问题．二．填空题（共5小题）11．81的平方根是±3．【考点】平方根．【答案】见试题解答内容【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵81=9，9的平方根是±3，∴81的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．12．若一个正数的两个平方根是2a﹣1和﹣a+2，则a＝﹣1，这个正数是9．【考点】平方根．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解．【解答】解：依题意得，2a﹣1+（﹣a+2）＝0，解得：a＝﹣1．则这个数是（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．故答案为：﹣1，9【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．13．已知：（x2+y2+1）2﹣4＝0，则x2+y2＝1．【考点】平方根．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2＝4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4＝0，∴（x2+y2+1）2＝4，∵x2+y2+1＞0，∴x2+y2+1＝2，∴x2+y2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了平方根的定义，形如x2＝a的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也利用整体代值的思想．14．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[23]＝0，[3.14]＝3．按此规定[10+1]的值为4．【考点】估算无理数的大小．【专题】压轴题；新定义．【答案】见试题解答内容【分析】求出10的范围，求出10+1的范围，即可求出答案．【解答】解：∵3＜10＜4，∴3+1＜10+1＜4+1，∴4＜10+1＜5，∴[10+1]＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了估计无理数的应用，关键是确定10+1的范围，题目比较新颖，是一道比较好的题目．15．若325.36=2.938，3253.6=6.329，则325360000=293.8．【考点】立方根．【专题】计算题；规律型．【答案】见试题解答内容【分析】将325360000变形为325.36×1000000=325.36×100，再代入计算即可求解．【解答】解：325360000=325.36×1000000=325.36×100＝2.938×100＝293.8．故答案为：293.8．【点评】考查了立方根，关键是将325360000变形为325.36×100三．解答题（共5小题）16．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．（1）求这个正数是多少？（2）+5的平方根又是多少？【考点】算术平方根；平方根．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出m；（2）利用（1）的结果及平方根的定义即可求解．【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．即：（m+3）+（2m﹣15）＝0解得m＝4．则这个正数是（m+3）2＝49．（2）+5=3，则它的平方根是±3．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．17．若x、y都是实数，且y=−3+3−+8，求x+3y的立方根．【考点】立方根；非负数的性质：算术平方根．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y 的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．【解答】解：∵y=−3+3−+8，∴−3≥03−≥0，解得：x＝3，将x＝3代入原式，得到y＝8，∴x+3y＝3+3×8＝27，∴327=3，即x+3y的立方根为3．【点评】本题考查了代数式的求值和立方根的定义，关键是学会构建不等式组解决问题．18．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴7的整数部分为2，小数部分为（7−2）．请解答：（1）17的整数部分是4，小数部分是−4．（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b−5的值；（3）已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【考点】估算无理数的大小．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先估算出17的范围，即可得出答案；（2）先估算出5、13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出3的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：（1）∵4＜17＜5，∴17的整数部分是4，小数部分是17−4，故答案为：4，17−4；（2）∵2＜5＜3，∴a=5−2，∵3＜13＜4，∴b＝3，∴a+b−5=5−2+3−5=1；（3）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴11＜10+3＜12，∵10+3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝10+3−11=3−1，∴x﹣y＝11﹣（3−1）＝12−3，∴x﹣y的相反数是﹣12+3；【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出3、5、13、17的范围是解此题的关键．19．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．【考点】立方根；平方根；算术平方根．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，∴x﹣2＝4，∴x＝6，∵2x+y+7的立方根是3∴2x+y+7＝27把x的值代入解得：y＝8，∴x2+y2的算术平方根为10．【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．20．计算：﹣12+（﹣2）3×18−3−27×（−【考点】实数的运算．【专题】常规题型．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简各数进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣8×18+3×（−13）＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．。

2.4 ～2.5 估算与用计算器开方比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．培优第一阶——基础过关练1．估计51-的取值范围是（ ） A ．0到1之间 B ．1到2之间 C ．2到3之间 D ．3到4之间2．利用计算器求0.059的值，正确的按键顺序为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列各数中，介于2＋1和12之间的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设10的整数部分是a ，17的整数部分是b ，a b +=（ ）A ．104+B ．7C ．6D ．310-5．已知a 为整数，且满足812a <<，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间7．若815-的整数部分为x ，小数部分为y ，则x y ⋅的值为（ ）A ．16415-B ．15551-课后培优练课堂知识梳理C ．12+D ．16+8．用计算器计算（精确到0.0001）__________；≈__________；．9 _____个．10．若a b <，且a 、b 为两个连续的整数，c 为这四个数13，πabc =__________．11．已知a ，b 是两个连续整数，且1a b <，则a b +=___________．12．（2022·上海市七宝中学七年级期中）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 整数部分，则3a b c -+的平方根为___________．13．用计算器求下列各式的值：(2)14．利用计算器，比较下列各组数的大小：（1（2）58． 15．通过估算，比较下面各组数的大小：（1，12；（2 3.85．160.1=1=10100，……(1)=________；(2) 1.414=141.4用含x 的代数式表示y ，则y =________；(3)a 的大小情况．17．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13，则梯子比较稳定．现有一长度为6m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到56m .高的墙头吗？ 培优第二阶——拓展培优练18．已知342＝1156，352＝1225，362＝1296，372＝1369，若n 为整数且n ＜1334＜n ＋1，则n 的值为（ ） A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 19．阅读下面的文字，解答问题大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来， 而由于122<<，所以2的整数部分为1，将 减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分21-，根据以上内容，解答下面的问题：()15的整数部分是 ；小数部分是 ．()212+的整数部分是 ，小数部分是 ．()3若设23+整数部分为x ，小数部分为y ，求3y xy -的值． 20．阅读下面的文字，解答问题．对于实数a ，我们规定：用符号[a ]表示不大于a 的最大整数；用{a }表示a 减去[a ]所得的差．例如：[3]＝1，[2.2]＝2，{3}＝3﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法计算：[7]＝ {5﹣7}＝ ；（2）若[x ]＝1，写出所有满足题意的整数x 的值： ．（3）已知y 0是一个不大于280的非负数，且满足{0y }＝0．我们规定：y 1＝[0y ]，y 2＝[1y ]，y 3＝[2y ]，…，以此类推，直到yn 第一次等于1时停止计算．当y 0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y 0＝ ，n ＝ ．培优第三阶——中考沙场点兵21．（2022·江苏泰州·中考真题）下列判断正确的是( )A ．031<<B ．132<C ．233<<D ．334<22．（2022·浙江舟山·6 ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间23．（2022·重庆·中考真题）估计544-的值在（ ）A ．6到7之间B ．5到6之间C ．4到5之间D ．3到4之间24．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）A ．按键即可进入统计计算状态B ．计算8的值，按键顺序为：C ．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果 D ．计算器显示结果为13时，若按键，则结果切换为小数格式0.33333333325．（2022·江苏宿迁·11k 的最大整数k 是_______．26．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若两个连续的整数a 、b 满足13a b <，则1ab的值为__________ ． 27．（2022·湖北荆州·中考真题）若32的整数部分为a ，小数部分为b ，则代数式()22a b ⋅的值是______． 28．（2022·湖北随州·中考真题）已知m 为正整数，189m 1893337337m m m =⨯⨯⨯⨯可知m 有最小值3721⨯=．设n 为正整数，300n 1的整数，则n 的最小值为______，最大值为______．2.2 平方根算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=． 平方根：若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根，x ＝±a.平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．开平方及相关运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．培优第一阶——基础过关练1．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2± 【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的概念进行求解即可．【详解】解：4的算术平方根是2；故选：A ．【点睛】本题主要考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念是解题的关键．2．下列各式中，正确的是（ ）A ．255=±B ．255±=C ．255±=±D ．()255-=-【答案】C 课后培优练课堂知识梳理【解析】【分析】根据平方根以及算术平方根进行化简计算即可．【详解】解∶A5=，不符合题意；B．5±，不符合题意；C．5±，符合题意；D5，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平方根以及算术平方根的计算，正确地计算能力是解决问题的关键．3．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（）A．0 B．1 C．0和1 D．±1【答案】A【解析】【分析】根据平方根的定义求解即可，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根．【详解】解：∵（±1）2=1，02=0，∴平方根等于本身的数是0，故选：A．【点睛】本题主要考查对平方根的理解，熟练掌握平方根的意义是解答本题的关键．4．6的平方根是（）A．6 B．6±C D．【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解】6的平方根是故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的判断，掌握定义是解题的关键．注意：正数有两个平方根，0有一个平方根是它本身，负数没有平方根．5．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．B．1a-C．21a-D．【答案】D【解析】【分析】先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的上一个自然数的平方根．【详解】解：由题意可知：该自然数为2a，∴该自然数相邻的下一个自然数为21a-，∴21a-的平方根为故选：D．【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型．6．下列说法正确的是（）A．-4的平方根是2±B．4-的算术平方根是2-C4±D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义及求法，即可一一判定．【详解】解：A. 负数没有平方根，故该选项不正确；B. 负数没有平方根，也没有算术平方根，故该选项不正确；C. 4的平方根是2±，故该选项不正确；D. 0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平方根及算术平方根的定义及求法，熟练掌握和运用平方根及和算术平方根的定义及求法是解决本题的关键．7．若一个正数m 的平方根为36a -和104a -，则m 的值是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．36【答案】D【解析】【分析】由正数的平方根互为相反数，可得361040a a -+-=，可求4a =，即可求m ．【详解】解：由题意知361040a a -+-=，解得4a =，则363466a -=⨯-=，∴2636m ==，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查平方根的性质，熟练掌握正数的平方根的特点，是解题的关键．8m 的最小正整数值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】A【解析】【分析】80m 是完全平方数，求出即可．∴80m ＞0，80m 是完全平方数，∵80×5＝400＝202， ∴m 的最小正整数值为：5，【点睛】本题考查了对算术平方根的应用，注意：a （a ≥09．229⎛⎫- ⎪⎝⎭的平方根是_______． 【答案】29± 【解析】【分析】根据平方根的定义进行计算，即可得到答案．【详解】229⎛⎫- ⎪⎝⎭的平方根是：29± 故答案为：29±． 【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．10．计算：2=__________=________．【答案】 5 8【解析】【分析】根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解：25=8=．故答案为：5；8.【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．11．已知a ，b （b +3）2＝0，则（a +b ）2022的值为 _____．【答案】1【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】（b +3）2＝00，（b +3）2≥0，∴a ﹣2＝0，b +3＝0，解得a ＝2，b ＝﹣3，所以，（a +b ）2022＝（2﹣3）2022＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．已知x 、y 都是实数，且3y =，则xy =______________．【答案】6【解析】【分析】利用算术平方根的非负性求出x 值，再代入求出y 值，即可求解．【详解】解：2x - ，20x ∴-≥ ，20x -≥ ，2x ∴= ，将2x = 代入3y =，得：3y = ，6xy ∴= ．故答案为：6．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．13．下列各数的平方根：（1）64； （2）49121；（3）0.0004；（4）()225-；（5）11．【答案】（1）8±；（2）711±；（3）0.02±；（4）25±；（5）【解析】【分析】根据平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 叫做a 的平方根，计算即可．【详解】解：（1）因为()2864±=，所以64的平方根是8±，即8=±；（2）因为274911121⎛⎫±= ⎪⎝⎭，所以49121的平方根是711±，即711=±；（3）因为()20.020.0004±=，所以0.0004的平方根是0.02±，即0.02=±；（4）因为()()222525±=-，所以()225-的平方根是25±，即25=±；（5）11的平方根是【点睛】本题考查了平方根，熟记平方根的定义是解本题的关键．14．解方程：（1）2x ＝9； （2）162(2)x +－25＝0【答案】（1）3x =±；（2）34x =-或134x =- 【解析】【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；（2）根据平方根的意义求解即可.【详解】（1）2x ＝9， 2(3)9±=，3x ∴=±；（2）162(2)x +－25＝0，162(2)x +=25，2(2)x +=2516， 524x ∴+=±， 34x ∴=-或134x =- 【点睛】此题考查平方根的意义，掌握平方根的意义是解答此题的关键.15．（1）已知2(1)4x -=，求x 的值．（2）已知21a -与2a -+是正数m 的平方根，求m 的值．【答案】（1）3或-1．（2）9【解析】【分析】（1）根据平方根的含义和求法，求出x 的值即可．（2）根据一个正数的平方根互为相反数可得出a 的值，继而得出这个正数m ．【详解】解：（1）∵（x -1）2=4，∴x -1=±2，∴x =3或-1． （2）∵21a -与2a -+是正数m 的平方根，∴21a -2a -+=0，解得：a =-1，则这个正数的值为m =[2×（-1）-1]2=9．【点睛】此题主要考查了平方根．解题的关键是掌握平方根的知识，掌握一个正数的平方根互为相反数． 16．己知13,43x a y a =-=-．(1)如果x 的算术平方根为4，求a 的值；(2)如果x ，y 是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数．【答案】(1)5a =-；(2)25。

2．2有理数与无理数1．下列各数：…(每相邻两个1之间0的个数一次加1)，，其中有理数有 ( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．(2020独家原创试题)将分数化为小数是，则小数点后第2 020位上的数是 ( )A．8 B ．7 C．1 D．23．写出5个数同时满足以下三个条件：(1)其中3个数属于非正数集合；(2)其中3个数属于非负数集合；(3)5个数都属于整数集合．4．在 (每相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 ( )A．1 B．2 C．3 D．45．(2020江苏徐州期中，4，★☆☆)在这5个数中，无理数有 ( )A．0个 B．1个 C．2个 D.3个6．(2020江苏南京鼓楼期中，12，,★☆☆)写出一个负有理数_____________ 7．(2020江苏南京雨花台期中，10，★☆☆)下列各数：其中是无理数的是_________(填写序号)．8.&(2020江苏镇江句容月考，22，★☆☆)把下列各数填在相应的括号内．(每相邻两个l之间0的个数依次加l)．①自然数集合：{ …}；②整数集合：{ …}；③非正数集合：{ …}；④正分数集合：{ …}；⑤正有理数集合：{ …}；⑥无理数集合’：{ …}．9．(2018辽宁锦州中考，1，★☆☆)下列各数为无理数的是 ( )10．(2015江苏扬州中考，1，★☆☆)0是 ( )A．有理数 B ．无理数 C．正数 D．负数11．(2017江苏盐城中考，7，★☆☆)请写出一个无理数_______________ 12．500多年前．数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生．在研究1和2的比例中项(如果l：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项)时，怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画出了一个边长为1的正方形，设该正方形的对角线长为x，由毕达哥拉斯定理得，他想省代表对角线的长，而，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：(1)x是整数吗?为什么?(2)x可能是分数吗?如果是，请找出来；如果不是，请说明理由．13．无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、干分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍、一千倍、…，使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就减掉了．例题：例如把化为分数(如图2—2—1①②所示)．。

七年级上册有理数与⽆理数知识讲解和巩固练习有理数与⽆理数知识讲解【学习⽬标】1、理解有理数的意义，知道⽆理数是客观存在的，了解⽆理数的概念.2、会判断⼀个数是有理数还是⽆理数.【要点梳理】要点⼀、有理数我们把能够写成分数形式m(m,n是整数，n丰0)的数叫做有理数.要点诠释：(1)有限⼩数和循环⼩数都可以化为分数，他们都是有理数.(2)所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数.要点⼆、⽆理数1 .定义：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数.要点诠释：(1)⽆理数的特征：⽆理数的⼩数部分位数⽆限.⽆理数的⼩数部分不循环，不能表⽰成分数的形式.(2)⽬前常见的⽆理数有两种形式：①含⼆类.②看似循环⽽实质不循环的数,如: 1.313113111 …….2. 有理数与⽆理数的区别(1)⽆理数是⽆限不循环⼩数，有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数.(2)任何⼀个有理数都可以化为分数的形式，⽽⽆理数则不能. 要点三、循环⼩数化分数1 .定义：如果⼀个⽆限⼩数的各数位上的数字，从⼩数部分的某⼀位起，按⼀定顺序不断重复出现，那么这样的⼩数叫做⽆限循环⼩数，简称循环⼩数，其中重复出现的⼀个或⼏个数字叫做它的⼀个循环节.2.纯循环⼩数从⼩数点后⾯第⼀位起就开始循环的⼩数，叫做纯循环⼩数.例如：0. 666…、0.2 ..纯循环⼩数化为分数的⽅法是：分⼦是⼀个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9, 9的个数等于⼀个循环节的位数.例如0.3 -, 0.18^1897.999 373. 混循环⼩数如果⼩数点后⾯的开头⼏位不循环，到后⾯的某⼀位才开始循环，这样的⼩数叫做混循环⼩数.例如：0.12、0. 3456456….混循环⼩数化为分数的⽅法是：分⼦是不循环部分和⼀个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按⼀个循环节的位数写⼏个9,再在后⾯按不循环部分的位数添写⼏个0组成的数.35100 1399900 37 990 110 900 25 99900要点诠释：(1)任何⼀个循环⼩数都可化为分数.(2)混循环⼩数化分数也可以先化为纯循环⼩数，然后再化为分数.【典型例题】类型⼀、有理数【答案】B【总结升华】概念问题同学们往往忽略 0的存在⽽模糊分类的界限，只有对定义达到真正的理解认识才不会出错.举⼀反三:【变式1】下列说法：①⼀个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最⼤的负整数；⑤不存在最⼩的正有理数.其中正确的个数是（）A. 2个B . 3个C . 4个D . 5个【答案】C【变式 2】（2015?杭州模拟）⼀是B .有限⼩数 C.⽆限循环⼩数D .⽆限不循环⼩数【答案】C在实数⼆，0,7■|W,- 1.414 ,有理数有（）A. 1个 B . 2个 C.3个D.4个【思路点拨】根据有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数，可得答案.【答案】D 【解析】解0,'■,- 1.414，是有理数，7【总结升华】本题考查了有理数，有理数是有限⼩数或⽆限循环⼩数. 类型⼆、⽆理数3. （2016?盐城）下列实数中，是⽆理数的为（）A.- 4 B . 0.101001 C . — D . :3【思路点拨】⽆理数就是⽆限不循环⼩数. 理解⽆理数的概念，⼀定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称. 即有限⼩数和⽆限循环⼩数是有理数，⽽⽆限不循环⼩数是⽆理数.由此即可判定选择项. 【答案】DA. 整数就是正整数和负整数C.正有理数和负有理数统称有理数 B分数包括正分数、负分数 D.⽆限⼩数叫做⽆理数【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和D 选项⽆限不循环⼩数才叫做⽆理数，所以选0;C 选项正有理数、负有理数和 0统称有理数;B .【解析】解：A 、- 4是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B 0.101001是⼩数，属于分数，故本选项不符合题意；C ⼆是⼩数，属于分数，故本选项不符合题意；3 D 「是⽆理数，正确；故选D.【总结升华】此题主要考查了⽆理数的定义，其中初中范围内学习的⽆理数有： n , 2n 等;开⽅开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数.举⼀反三：【变式】以下各正⽅形的边长是⽆理数的是()A.⾯积为25的正⽅形；B.⾯积为16的正⽅形；C.⾯积为8的正⽅形； D.⾯积为1. 44的正⽅形.【答案】C4?将下列各数填⼊相应的括号内A3兀,-2 , -- , 3. 020020002…，0, ⼀ , - (-2 ), 2012,- 0.23整数集合：{ -2 , 0 , - (-2 ), 2012 } 分数集合：:-1 ,负有理数集合：；、-2, -1，- 0.23 /2⽆理数集合：〈 3,3. 020020002…，/【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应⽤，关键是能区分有关定义，注意:整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、 0、负有理数；⽆理数是指⽆限不循环⼩数.类型三、循环⼩数化分数5?把下列循环⼩数化分数27 整数集合：:/分数集合：: /负有理数集合：f /⽆理数集合：: /【答案与解析】6 2 (1)0.6 = -=-93* * 102 4 * (2)0.102 -…-所以和.999333…：：215-221371(3)0215-⼀—-990990330353-35 31353 (4) 6 353-6—=6-=6-------900900150102 34 —2 __ —2 __丽-333【总结升华】循环⼩数化分数时，整数部分不动，在掌握两种化简规律的基础上把⼩数部分进⾏相应的化简即可.举⼀反三：【变式】在6.4040…、3.333、数可以写作9. 505三个数中, 是循环⼩数，把这个数化为分40【答案】6.4040…；6 —99【巩固练习】⼀、选择题1 .下列说法错误的是（负整数和负分数统称负有理数A.B.C.D. 正整数，0，负整数统称为整数正有理数与负有理数组成全体有理数3.14是⼩数，也是分数2. （2016春?⽂昌校级⽉考）下列说法：①-2.5既是负数、分数，也是有理数；②-22既是负数、整数，也是⾃然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数;④0是⾮负数.其中正确的有（A. 1个3. 0这个数是A.正数B4. 对于有理数a, ）下列说法中正确的是（B D. 4个.整数 D .⽆理数A. a表⽰正有理数C. a与-a中，必有⼀个是负有理数5. 下列说-a表⽰负有理数.a Xa是⾮负数（1） 0 6 （2）1W2 （3）0215；（4）6 353【思路点拨】按循环⼩数化分数的规律⽅法化即可.【答案与解析】A. 不循环⼩数是⽆理数B. ⽆限不循环⼩数是⽆理数C. ⽆理数⼤于有理数D. 两个⽆理数的和还是⽆理数 6.把循环⼩数6.142化成分数是（）0, - （-2.28 ）, 3.14 .正有理数集合：｛负有理数集合：｛整数集合：｛负分数集合：｛15.试验与探究我们知道 1写为⼩数即0.3,反之，⽆限循环⼩数0.3写成分数即1. ⼀般 33地，任何⼀个⽆限循环⼩数都可以写成分数形式.现在就以 0.7为例进⾏讨论：设 0.7 =x ,10x-x=7，解⽅程得x=—，于是得0.7= 7 .请仿照上述例题完99成下列各题:（1）请你把⽆限循环⼩数 0.5写成分数，即0.5=.⼋ J42 DA . 6B999⼆、填空题7. & 9.6—C456999 D统称有理数.写出⼀个⽐-4⼤的负⽆理数 _________________ . 已知a 为有理数，b 为⽆理数，你们 a+b 为_ 10.在—1, 0.2 , , 3, 0, - 0.3 , 中,5 2 负分数有，整数有11 . （2016春?丰城市期末）在 __, 3.141597是⽆理数的个数有 _________________ 个.12. _____________________________ 0.2666??化为分数是 _______________________________ . 三、解答题, 0.6 , 0，竝，⼆中36个数填⼊这两个圈中合适的位置.…}, …},…},…}.由0.7 =0. 7777…,可知,（2）你能化⽆限循环⼩数0.73位分数吗？请仿照上述例⼦求之.【答案与解析】⼀、选择题1. 【答案】C【解析】正有理数与0,负有理数组成全体有理数，C错误.2. 【答案】C【解析】解：①-2.5既是负数、分数，也是有理数，正确；②-22既是负数、整数，但不是⾃然数，错误；③0既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；④0是⾮负数，正确；故选C.3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】当a v 0是，a表⽰负有理数，-a表⽰正有理数，故A、B选项错误；当a=0 时，a和-a都不表⽰负有理数，故C选项错误；所以选D.5. 【答案】B【解析】⽆限⼩数也可能是有理数如0.333…，⽆理数⼤于有理数也不⼀定如果⽆理数是负数有理数是正数就不成⽴，两个⽆理数的和可能为0如⼆+ （-⼆）=0.6. 【答案】D【解析】6.142 =6142_14竺丸-32.900 900 225⼆、填空题7. 【答案】整数；分数&【答案】-⼆（答案不唯⼀）9. 【答案】⽆理数【解析】如3+3.333…=3.333….10. 【答案】-，-0.3 ； - 1 , 3, 0.511. 【答案】3.【解析】解：⼆是有理数，3.14159是⼀个有限⼩数，是有理数，⼆是⽆理数，-8 7是有理数，誇T是⽆理数，0.6是有理数，0是有理数，W=6是有理数，-^是⽆理数.故答案为：3.412. 【答案】⼀1526-2 24 4【解析】0.2666…===—.90 90 15三、解答题13. 【解析】991{3 , 2.004 , 1- , - (-2 . 28),3.14 . …},410, -0.15，…},315.【解析】99"72(2) 设 0.73=y ，由0.73=0. 7373…,可知，100y-y=73，解⽅程得 y=「,于是得0.73 =⾍.99整数集合：｛3 , 。

鲁教版七年级数学上册第四章实数单元综合培优训练题1（附答案）一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）（1）0.027的立方根是0.3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1. A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（1）（4）D ．（3）(4)2．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则[1]+[2]+[3]+…+[36]=（ ） A ．132B ．146C ．161D ．6663．设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a 是18的算术平方根。

其中，所有正确说法的序号是 A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④4．有一个计算器，计算2时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（ ） A ．102B ．10（2-1）C ．1002D ．2-15．64 的立方根是 （ ） A ．2B ．2C ．8D ．-86．若整数x 满足1945+2，则x 的值是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．117．设1003997，1001999，c=21000，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ） A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．a<c<b8328.36( )A ．3.049B ．3.050C ．3.051D ．3.052 9．一列数1a ， 2a ， 3a ，…… n a ，其中1a =﹣1， 2a =111a -， 3a =211a -，……，n a =111n a --，则1a ×2a ×3a ×…×2017a =（ ）A ．1B ．-1C ．2017D ．-201710．的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．D ．11．满足1nn +>0.99的最小整数n 的值是( ) A ．48B ．49C ．50D ．51二、填空题 12．比较大小：10__________π；110__________110．13．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．14．按图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是____________________．15．若四个有理数a b c d ，，，同时满足：a b >，a b c d +=+，a b c d -<-，则这四个数从小到大的顺序是_______．16．如图，已知Rt△ABC 中,BC=1,以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为_______.17．若，则x= 183216______．19．已知数轴上点A 表示的数是2-，点B 表示的数是1-，那么数轴上到点B 的距离与点A 到点B 的距离相等的另一点C 表示的数是______________． 20．已知x ，y 为实数，且120x y -+=，则(x+y)2014=________.21．比较大小：①2015；②11______-3. 22．若221223127⨯-⨯=-⨯⨯,2222(1223)(3445)2311⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯⨯,222222(1223)(3445)(5667)3415⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯⨯,……则222222(1223)(3445).........(21)(2)2(21)n n n n ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=⎣⎦ ．三、解答题 23．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ， 将以上三个等式两边分别相加得：11111111112233422334++=-+-+-⨯⨯⨯=13144-= （1）猜想并写出：1n(n 1)+ = ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①1111 (12233420152016)++++⨯⨯⨯⨯= ； ②1111...122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+= ； （3）探究并计算：1111 (24466820142016)++++⨯⨯⨯⨯． 24．观察下面的变形规律：；；；…．解答下面的问题： （1）仿照上面的格式请写出= ；（2）若n 为正整数，请你猜想= ；（3）基础应用：计算：．（4）拓展应用1：解方程： =2016 （5）拓展应用2：计算：．252是无理数，而无理是无限不循环小数，2212的小数部2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，2的小数部分，又例如：∵(232273<<，即273<<7的整数部分为2，小数部分为()72。

一、选择题1．给出下列各数①0.32，②227，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依次多个0），⑥327，其中无理数是（ ）A ．②④⑤B ．①③⑥C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 2．若2x -+|y+1|=0，则x+y 的值为（ ）A ．-3B ．3C ．-1D ．13．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④ B ．①②④ C ．②④ D ．②4．若23a =-，2b =--，()332c =--，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 5．下列各数中无理数共有（ ）①–0.21211211121111，②3π，③227，④8，⑤39． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列说法中，正确的是 （ ）A ．64的平方根是8B ．16的平方根是4和－4C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－27．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）A ．1π-B ．21π-C ．2πD ．21π+ 8．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3-B ．7C ．11D ．139．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n10．设,A B 均为实数，且33,3A m B m =-=-，则,A B 的大小关系是（ ） A ．A B > B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥ 11．下列有关叙述错误的是（ ）A ．2是正数B ．2是2的平方根C ．122<<D ．22是分数 二、填空题12．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．13．解方程：（1）24(1)90--=x（2）31(1)7x +-=-14．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15．已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 11的整数部分． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．16．将1236按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．1737-的相反数是________3的数是________18．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，如果a b c d ≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为2347<<<，所以2347叫做进步数．（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．19．计算：（1）37|2|27---（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知290x ，310y +=，求x y +的值．21．已知实数,x y 满足()2380x y -+=，求xy -的平方根．三、解答题22．已知(253|530x y -++-=．（1）求x ，y 的值；（2）求xy 的算术平方根．23．求下列各式中的x ：（1）29(1)25x -=（2）3548x += 24．求满足条件的x 值：（1）()23112x -=（2）235x -=25．计算：（12（2）22(2)8x -=一、选择题1．若15的整数部分为a ，小数部分为b ，则a-b 的值为（） A ．615- B ．156- C ．815- D ．158- 2．下列各数中，无理数有（ ）3.14125，8，127，0.321，π，2.32232223（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．观察下列各等式： 231-+=-5-6+7+8=4-10-l1-12+13+14+15=9-17-18-19-20+21+22+23+24=16……根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ）A ．-130B ．-131C ．-132D ．-1334．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简33a b a b ++-+的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b5．在030.53639227-、π、-0.1616616661……（它的位数无限，相邻两个“1”之间“6”的个数依次增加1个）这些数中，无理数的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．3409215中，是无理数的是（ ） A 34B ．0 C 9D ．2157．下列各数中无理数共有（ ）①–0.21211211121111，②3π，③227，839 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 8．下列说法中，正确的是 （ ）A ．64的平方根是8B 164和－4C ．()23-没有平方根D ．4的平方根是2和－29．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n 10．若53a =，则a 在（ ）A ．3-和2-之间B ．2-和1-之间C ．1-和0之间D ．0和1之间 11．关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项，则()mn n -+平方根为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．3±二、填空题12．已知一个正数的平方根是3a +和215a -．（1）求这个正数．（212a +的平方根和立方根．13．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．14．计算：201()( 3.14)20|252π---+--15．计算：()23143282--⨯--（）16．（1）计算：|3|-．（2）求下列各式中x 的值：③22536x =；④3(1)64x --=．17．对两数a ，b 规定一种新运算：2a b ab ⊗=，例如：2422416⊗=⨯⨯=，若不论x 取何值时，总有a x x ⊗=，则a =______．18．若2x =，29y =，且0xy <，则x y -等于______．19．已知5的整数部分为a，5-b ，则2ab b +=_________． 20．若4＜5，则满足条件的整数 a 分别是_________________．21．设a ，b 是两个连续的整数，若a b <<，是，则a b ＝____．三、解答题22．已知1,25x a y a =-=-．（1）已知x 的算术平方根为3，求a 的值；（2）如果x y ，都是同一个数的平方根，求这个数．23)10152-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭ 24．求x 的值：（1）2(3)40x +-=（2）33(21)240x ++=25．已知a的整数部分，b的小数部分，求代数式(1b a -的平方根．一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③平方根等于它本身的数为0和1；④没有最大的正整数，但有最小的正整数；其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．有下列说法：①在1和2②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．② 3．－18的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．14 C ．18 D ．1644．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．65．若a =b =-，c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 6．下列说法中，正确的是（ ）A ．正数的算术平方根一定是正数B ．如果a 表示一个实数，那么－a 一定是负数C ．和数轴上的点一一对应的数是有理数D ．1的平方根是1 7．下列命题中真命题的个数（ ）①无理数包括正无理数、零和负无理数；②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③和为180°的两个角互为邻补角；的算术平方根是7；⑤有理数和数轴上的点一一对应；⑥垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．4B ．3C ．2D ．18．下列实数是无理数的是（ ） A ． 5.1- B ．0 C ．1D ．π9 ）A ．8B ．8-C ．D ．±10． ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和911．下列计算正确的是（ ）A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()239-=C 2=±D ．()515-=- 二、填空题12．进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．13．“*”是规定的一种运算法则：a*b=a 2－3b ．（1）求2*5的值为 ；（2）若（-3）*x=6，求x 的值；14．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15．若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．16．27-的立方根是______________________；| 3.14|π-的绝对值是___________．17的相反数是________的数是________18．阅读下列信息材料信息1：因为尤理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π而常用的“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确；信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.52-得来的；信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如23<<，是因为<；根据上述信息，回答下列问题：（1___________，小数部分是______________；（2）若2122a <<，则a 的整数部分是___________；小数部分可以表示为_______；（3）10可以表示为10a b <+<则a b +=______；（43x y =+，其中x 是整数，且01y <<，请求x y -的相反数．19．（12； （2）求 (x －1)2－36＝0中x 的值．20．已知21a -的平方根是31a b +-的算术平方根是6，求4a b +的平方根． 21．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是2223=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______三、解答题22．计算（1）121|24|234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭（2）1110623⎛⎫÷-⨯ ⎪⎝⎭ （3）41(1)(54)3⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭（4+23．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732，=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向移动 位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ． 24．解方程：（1）2810x -=；（2）38(1)27x +=．25．计算题．（1）12(7)6(22)-+----（2）2122⨯（33(2)(4)-⨯-（4）13248243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭。

有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。

有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。

非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。

我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。

无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。

知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。