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高中数学导数的应用解题技巧导数是高中数学中的重要概念，它不仅在微积分中起到关键作用，还有广泛的应用领域。
在解题过程中，合理运用导数的应用解题技巧，能够提高解题效率，帮助我们更好地理解问题，并得到准确的答案。
本文将通过具体的例子，介绍一些常见的导数应用解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、最值问题最值问题是导数应用中的常见题型，它要求我们通过导数的性质，求出函数在某个区间内的最大值或最小值。
以一个简单的例子来说明：例题1：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
解析：首先，我们需要求出函数的导数。
对函数$f(x)$求导得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$3x^2-6x+2=0$。
解这个二次方程可以得到两个根$x_1=1-\sqrt{3}$和$x_2=1+\sqrt{3}$。
我们将区间[-1,2]分成三个部分：[-1,1-√3]、[1-√3,1+√3]和[1+√3,2]。
然后，我们在这三个区间内分别求出$f(x)$的导数值，并找出最大值和最小值。
在区间[-1,1-√3]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最小值出现在$x=1-√3$时，即$f(1-√3)$为最小值。
在区间[1-√3,1+√3]，导数$f'(x)$的值为负，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递减。
因此，最大值出现在$x=1+√3$时，即$f(1+√3)$为最大值。
在区间[1+√3,2]，导数$f'(x)$的值为正，说明函数$f(x)$在这个区间内单调递增。
因此，最大值出现在$x=2$时，即$f(2)$为最大值。
综上所述，函数$f(x)$在区间[-1,2]上的最大值为$f(2)$，最小值为$f(1-√3)$。
通过这个例题，我们可以看出，最值问题的关键在于求出函数的导数，并通过导数的符号来判断函数在不同区间内的单调性。
高等数学高考应试技巧导数应用的巧妙技巧在高考数学中，导数作为一个重要的工具，常常在解题中发挥着关键作用。
掌握导数应用的巧妙技巧，不仅能够提高解题的效率，还能增强我们在考试中的自信心。
接下来，让我们一起深入探讨导数在高考中的那些实用技巧。
一、利用导数求函数的单调性函数的单调性是导数应用中最为基础也是最为重要的一个方面。
对于给定的函数$f(x)＄，我们先对其求导，得到$f'（x)＄。
若$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上单调递增；若$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上单调递减。
例如，对于函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，对其求导得到$f'（x) ＝3x^2 6x$。
令$f'（x) ＝ 0$，解得$x ＝ 0$或$x ＝ 2$。
当$x ＜ 0$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增；当$0 ＜ x ＜ 2$时，＄f'（x) ＜ 0$，函数单调递减；当$x ＞ 2$时，＄f'（x) ＞ 0$，函数单调递增。
通过这种方法，我们可以清晰地确定函数的单调性区间，为后续的解题提供重要依据。
二、利用导数求函数的极值在求函数的极值时，导数同样发挥着重要作用。
首先求出导数$f'（x)＄，然后令$f'（x) ＝ 0$，求出可能的极值点。
接着，通过判断导数在极值点两侧的符号来确定是极大值还是极小值。
如果在极值点左侧导数为正，右侧为负，那么该点为极大值点；反之，如果左侧导数为负，右侧为正，那么该点为极小值点。
以函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$为例，已经求出其极值点为$x ＝0$和$x ＝ 2$。
在$x ＝ 0$左侧，＄f'（x) ＞ 0$，右侧$f'（x) ＜ 0$，所以$x ＝ 0$为极大值点，极大值为$f(0) ＝ 2$。
在$x ＝ 2$左侧，＄f'（x) ＜ 0$，右侧$f'（x) ＞ 0$，所以$x ＝ 2$为极小值点，极小值为$f(2) ＝－2$。
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)导数隐零点问题处理的8大技巧如下：1.分类讨论：对于含参数的零点问题，常常需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。
2.构造函数：利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题。
3.分离参数：通过分离参数将参数与变量分开，转化为求最值问题。
4.数形结合：利用数形结合思想，将函数图像与x轴的交点问题转化为求函数的最值问题。
5.转化与化归：将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。
6.构造法：通过构造新的函数或方程，将问题转化为已知的问题进行求解。
7.放缩法：通过对不等式进行放缩，将问题转化为易于处理的形式。
8.判别式法：通过引入判别式，将方程问题转化为二次方程的判别式问题。
以下是30道经典题目，以供练习：1.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)的单调递增区间为( )A.(−∞,1)和(2,+∞)B.(−∞,−1)和(1,+∞)C.(−∞,−1)和(2,+∞)D.(−∞,2)和(1,+∞)2.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)在区间[−2,3]上的最大值是____．3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=−21时取极值．(1)求a，b的值；(2)求函数极值．4. 已知函数f(x)=x3−3ax2+4，若x∈[0,2]时，f(x)的最大值为417，求实数a的取值范围．5. 已知函数f(x)=ln x−mx+m有唯一的零点，则实数m的取值范围是____．6. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1，若 x ∈ [0,1] 时，f(x) ≤ f(0) 恒成立，则 m 的取值范围是 _______．7. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x (a、b ∈ Z) 在 x = ±1 和x = ±2 时取极值．(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值；8. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = ±1 和 x = ±3时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值．1.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别为 M, N，则 M + N = _______．2.设f(x)=x3−3x2+4，则f(−x)+f(x)的值等于____3.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在(−3,2)上的最大值是____．4.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在区间[−1,3]上的最大值是____．5.已知函数f(x)=x3−3ax2+bx+c在x=±1时取极值，且函数y=f(x)图象过原点．(1) 求函数y=f(x)的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；14. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-2,4] 上的最大值和最小值．15. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±2 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 若 f(x) 的最大值为 8，求 c 的值．16. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±√2 时取极值，且 f(-2) = -4．(1) 求 a，b，c 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．17. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b (a > 0)，若 f(x) 在区间[-1,0] 上是减函数，则 a 的取值范围是 _______．18. 若关于 x 的方程 x^3 - 3ax + a^3 = 0 有实根，则实数 a 的取值范围是 _______．19. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．20. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b应满足的条件是 _______．1.函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [-1,3] 上的最大值和最小值分别为 _______．2.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) +3x^2 ≤ f(y) + 3y^2，则 x + y 的取值范围是 _______．3.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) ≤f(y) + 3，则 x + y 的取值范围是 _______．4.若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则a，b 应满足的条件是 _______．5.已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．26. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b 应满足的条件是 _______．27. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．28. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．29. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．30. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．。
第1讲直接讨论法知识与方法1.直接讨论法处理恒成立问题,是指对题中给出的函数(含有参数)直接求导,通过对参数的分类讨论,确定函数的单调性,得出函数的最值(或值域),进而求得参数的取值范围.核心思想是:若函数f(x)存在最大(小)值,则:(1)f(x)≥0恒成立等价于f(x)min≥0;(2)f(x)≤0恒成立等价于f(x)max≤0.2.直接讨论法研究恒成立问题,求解的关键在于确定函数的单调区间.一般地,可根据导数的正负得到函数的单调区间.常用的手段是对导数进行因式分解或利用求根公式求根;当极值点不可求时,常利用零点存在性定理,确定导数零点的范围之后再进行讨论.3.用导数研究含参函数的单调性,一般要进行分类讨论,其一般步骤为:(1)先求函数的定义域;(2)求导函数(通分、因式分解,便于讨论导函数的正负);(3)先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况;(4)再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界);(5)点睛意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并.典型例题第1类可求最值型【例1】已知函数f(x)=e x(e x−a)−a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(−∞,+∞),f′(x)=2e2x−ae x−a2=(2e x+a)(e x−a),①若a=0,则f(x)=e2x在(−∞,+∞)上单调递增.②若a>0,则由f′(x)=0得x=lna.当x∈(−∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0, 故f(x)在(−∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.③若a<0,则由f′(x)=0得x=ln(−a2).当x∈(−∞,ln(−a2))时,f′(x)<0;当x∈(ln(−a2),+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(−∞,ln(−a2))单调递减,在(ln(−a2),+∞)单调递增.(2) ①若a=0,则f(x)=e2x>0,满足题意;②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=−a2lna.从而当且仅当−a2lna≥0,解得0<a≤1,即0<a≤1时,f(x)≥0.③若a<0,则由(1)得,当x=ln(−a2)时,f(x)取得最小值,最小值为f (ln (−a 2))=a 2[34−ln (−a 2)]. 从而,当且仅当a 2[34−ln (−a 2)]≥0,即−2e 34≤a <0时,f (x )≥0.综上,a 的取值范围为[−2e 34,1].【点睛】求导之后,要有因式分解的意识.f ′(x )=2e 2x −ae x −a 2=(2e x +a )(e x −a )这个式子十分关键.令f ′(x )=0得2e x +a =0或e x −a =0,即a =−2e x 或a =e x .点睛意到e x >0,显然接下来需要分类讨论,讨论的临界点就是a =0.第二类对数靠边走【例2】已知函数f (x )=(x +1)lnx −a (x −1).(1)当a =4时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0,求a 的取值范围.【解析】(1)f (x )的定义域为(0,+∞).当a =4时,f (x )=(x +1)lnx −4(x −1),f ′(x )=lnx +1x −3,f ′(1)=−2,f (1)=0.曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +y −2=0.(2)当x ∈(1,+∞)时,f (x )>0等价于lnx −a (x−1)x+1>0. 今g (x )=lnx −a (x−1)x+1,则g ′(x )=1x −2a (x+1)2=x 2+2(1−a )x+1x (x+1)2,g (1)=0, ①当a ≤2,x ∈(1,+∞)时,x 2+2(1−a )x +1≥x 2−2x +1>0,故g ′(x )>0,g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增,因此g (x )>g (1)=0;②当a >2时,令g ′(x )=0得x 1=a −1−√(a −1)2−1,x 2=a −1+√(a −1)2−1,由x 2>1和x 1x 2=1得x 1<1,故当x ∈(1,x 2)时,g ′(x )<0,g (x )在x ∈(1,x 2)单调递减,因此g (x )<g (1)=0,故此时f (x )>0不成立.综上,a 的取值范围是(−∞,2].【点睛】第二问将不等式进行变形,让对数变成单独一项,再对新函数求导,对数便消失了.利用“对数靠边走”,只需一次求导就可以往下做,可以避免多次求导的麻烦.对于第二问,分类讨论的标准其实不止受判别式影响,还需要根据定义域及二次结构的正负,进行进一步的整合.本题亦可考虑分离参数来处理,由f (x )=(x +1)lnx −a (x −1)>0,分离参数a ,可得a <(x+1)lnx x−1,令ℎ(x )=(x+1)lnx x−1,则ℎ′(x )=x−2lnx−1x (x−1)2,再令g (x )=x −2lnx −1x ,由g ′(x )=(x−1)2x 2>0对任意x ∈(1,+∞)恒成立,可知g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增,于是g (x )>g (1)=0,即有ℎ′(x )>0,所以g (x )在(1,+∞)上单调递增,点睛意到ℎ(1)不存在,由洛必达法则,可得lim x→1(x+1)lnx x−1=lim x→1lnx+x+1x 1=2,则ℎ(x )>2,所以a 的取值范围是(−∞,2].第三类指数找朋友【例3】已知函数f (x )=e x −sinx −cosx ,证明:当x >−5π4时,f (x )≥0. 【解析】(1)f (x )≥0⇔sinx+cosx e x ≤1. 令ℎ(x )=sinx+cosxe x ,ℎ′(x )=−2sinxe x.(1)当x ∈(−5π4,−π)时,ℎ′(x )<0;当x ∈(−π,0)时,ℎ′(x )>0;当x ∈(0,π)时,ℎ′(x )<0.又ℎ(−5π4)=0,ℎ(0)=1,结合图像可知:当x ∈(−5π4,π)时,ℎ(x )≤ℎ(0)=1,故f (x )≥0恒成立.(2)当x ∈[π,+∞)时,e x ≥e π,而sinx +cosx ≤√2,e π>√2,所以e x ≥sinx +cosx ,则有f (x )≥0.综上,得证.【点睛】对于含指数型函数的不等式,通常要让一个多项式函数乘以或除以指数型函数.“指数找朋友”,往往很容易求出极值点,从而避免多次求导的麻烦.第四类三角带参型【例4】已知点P (e x x ,1),Q (x,mx +sinx ),O 为坐标原点,设函数f (x )=OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ). (1)当m =−2时,判断函数f (x )在(−∞,0)上的单调性;(2)若x ≥0时,不等式f (x )≥1恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】由已知,f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e x +mx +sinx . (1)当m =−2时,f (x )=e x −2x +sinx,f ′(x )=e x −2+cosx ,当x <0时,e x <1,又cosx ≤1,从而f ′(x )=e x −2+cosx <0,所以函数f (x )在(−∞,0)上单调递减.(2)解法1:①当x=0时,f(x)=1≥1,对于m∈R,f(x)≥1恒成立;②当x>0时,f′(x)=e x+m+cosx,设g(x)=e x+m+cosx,则g′(x)=e x−sinx,因为e x>1,又sinx≤1,所以g′(x)=e x−sinx>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)=m+2,所以g(x)>m+2,即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,且f′(x)>m+2.(i)当m≥−2时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(0)=1,所以f(x)≥1恒成立;(ii)当m<−2时,f′(0)=m+2<0,因为f′(x)在(0,+∞)上单调递增,又当x=ln(2−m)时,f′(x)=e ln(2−m)+m+cos(ln(2−m))=2+cos(ln(2−m))>0,则存在x0∈(0,+∞),对任意x∈(0,x0),有f′(x)<0恒成立,故f(x)在(0,x0)上单调递减,所以,当x∈(0,x0)时,f(x)<f(0)=1,不合题意. 综上,所求实数m的取值范围是[−2,+∞).解法2:端点效应令F(x)=e x+mx+sinx−1,因为F(0)=0,所以F(x)≥F(0)恒成立.F′(x)=e x+m+cosx,所以F′(0)≥0,即m≥−2.这是必要条件.下证:当m≥−2时,f(x)≥1(x≥0)恒成立.因为x≥0,m≥−2,所以e x+mx+sinx−1≥e x−2x+sinx−1.令g(x)=e x−2x+sinx−1,则g′(x)=e x−2+cosx,g′′(x)=e x−sinx≥e x−1>0,所以g′(x)单调递增,所以g′(x)>g′(0)=0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0.所以e x+mx+sinx−1≥g(x)≥0,从而m≥−2符合题意.综上,m的取值范围是[−2,+∞).强化训练1.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(ae x−1)(2e x+1),(i)若a≤0,则f′(x)<0,所以f(x)在(−∞,+∞)单调递减;(ii)若a>0,则由f′(x)=0得x=−lna.当x∈(−∞,−lna)时,f′(x)<0;当x∈(−lna,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(−∞,−lna)单调递减,在(−lna,+∞)单调递增.(2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点+lna. (ii)若a>0,由(1)知,当x=−lna时,f(x)取得最小值f(−lna)=1−1a(1)当a=1时,由于f(−lna)=0,故f(x)只有一个零点;+lna>0,即f(−lna)>0,故f(x)没有零点;(2)当a∈(1,+∞)时,由于1−1a+lna<0,即f(−lna)<0.(3)当a∈(0,1)时,1−1a又f(−2)=ae−4+(a−2)e−2+2>−2e−2+2>0,故f(x)在(−∞,−lna)有一个零点.−1),设正整数n0满足n0>ln(3a则f (n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0.由于ln (3a −1)>−lna ,因此f (x )在(−lna,+∞)有一个零点.综上,若f (x )有两个零点,则a 的取值范围为(0,1).2.已知函数f (x )=e 2x +(a +1)e x −(a 2+2a +1)x .(1)若a =−1,求函数f (x )的图象在点x =0处的切线方程;(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.【解析】(1)当a =−1时,f (x )=e 2x ,所以f ′(x )=2e 2x ,所以k =f ′(0)=2,f (0)=e 0=1又因为切点为(0,1),故所求的切线方程为y =2x +1(2)f ′(x )=2e 2x +(a +1)e x −(a 2+2a +1)=(2e x −a −1)(e x +a +1)(1)若a +1=0,即a =−1,则f (x )=e 2x ,在R 上单调递增,所以f (x )≥0.(2)若a +1>0,即a >−1,则由f ′(x )=0得x =lna+12, 当x ∈(−∞,ln a+12)时,f ′(x )<0;当x ∈(lna+12,+∞)时,f ′(x )>0, 所以f (x )在x ∈(−∞,ln a+12)单调递减,在x ∈(ln a+12,+∞)单调递增. 所以f (x )最小值为f (lna+12)=(a +1)2(34−ln a+12)≥0, 即−1<a ≤2e 34−1时,f (x )≥0.(3)若a +1<0,即a <−1,则由f ′(x )=0得x =ln (−a −1),当x ∈(−∞,ln (−a −1))时,f ′(x )<0;当x ∈(ln (−a −1),+∞)时,f ′(x )>0, 故f (x )在(−∞,ln (a −1))单调递减,在(ln (−a −1),+∞)单调递增,所以当x =ln (−a −1)时,f (x )取得最小值,最小值为f(ln (−a −1))=−(a +1)2ln (−a −1);所以−(a+1)2ln(−a−1)≥0,即−1>a≥−2时,f(x)≥0.综上所述:a的取值范围为[−2,2e 34−1].【点睛】第二问通过求导判断其单调性,发现a+1的变化影响其单调性,分别讨论其大于、等于、小于0的情况即可.3.已知函数f(x)=(x−a−1)e x−1−12x2+ax(x>0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a≤2时,若f(x)无最小值,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=(x−a−1)e x−1−12x2+ax(x>0),所以f′(x)=(x−a)(e x−1−1)(x>0).令f′(x)=0,得x=a,或x=1.当a≤0时,由f′(x)>0,得x>1;由f′(x)<0,得0<x<1,则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当0<a<1时,由f′(x)>0,得0<x<a或x>1;由f′(x)<0,得a<x<1,则f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a)和(1,+∞)上单调递增.当a=1时,f′(x)≥0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>1时,由f′(x)>0,得0<x<1,或x>a;由f′(x)<0,得1<x<a,则f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1)和(a,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<1时,f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a),(1,+∞)上单调递增;当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.(2)当a≤0时,由(1)可知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则f(x)有最小值f(1)=−12,故a≤0不符合题意;当0<a<1时,由(1)可知,f(x)在(a,1)上单调递减,在(0,a)和(1,+∞)上单调递增,因为f(x)无最小值,所以f(0)<f(1),即−a+1e <−12,解得e2−1<a<1;当a=1时,由(1)可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)无最小值,所以a=1符合题意;当1<a≤2时,由(1)可知f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增. 因为f(x)无最小值,所以f(0)<f(a),即−a+1e <12a2−e a−1,即e a−1−12a2−a+1e<0.设g(x)=e x−1−12x2−x+1e(1<x≤2),g′(x)=e x−1−x−1e(1<x≤2).设ℎ(x)=g′(x)=e x−1−x−1e(1<x≤2),则ℎ′(x)=e x−1−1>0在(1,2]上恒成立.故ℎ(x)在(1,2]上单调递增,即g′(x)在(1,2]上单调递增.因为g′(1)=−1e <0,g′(2)=e−2−1e>0,所以存在唯一的x0∈(1,2],使得g′(x0)=0.故g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,2]上单调递增.30因为g(1)=12−2e=e−42e<0,g(2)=e−2−3e<0,所以g(x)<0在(1,2]恒成立,即e a−1−12a2−a+1e<0在(1,2]上恒成立,即1<a≤2符合题意.综上,实数a的取值范围为(e2−1,2].。
导数题的十大解题技巧一、导数概念1、先了解基本的导数概念，掌握常用的求导法则，如链式规则、技术分解法之类的解题方法。
二、根据定义式求导数2、若检验某函数的连续性，则可以用极限的方法求出导数，考虑函数的不同取值求导数的变化。
三、图像的理解运用3、利用函数图像求取导数，判断函数的性质，进而探究关于函数的性质，例如凸凹形态等。
四、反比例函数求导4、利用反比例函数求导，了解反比例函数的导数特征，能快速求得反比例函数的导数的函数，有效提高解题效率。
五、指数函数求导5、利用指数函数求导，弄清楚指数函数的导数特点，掌握求取指数函数导数的方法，做到心中有数，有助于提高解题效率。
六、复合函数求导6、利用复合函数求导，它的求导需要利用到链式规则和技术分解法等方法，能够准确求取复合函数的导数，配合其他解题方式，可以准确解出复杂的复合函数的导数。
七、导数的几何意义7、根据函数的解析式对曲线进行分析，用导数的几何意义可以很好的分析函数的凹凸性，分别解决凸函数和凹函数的情况，利用几何图形可以直观的确定曲线的凹凸性。
八、极值点8、从求导的角度出发，考虑一元函数的极值点，掌握求极值点的基本方法，主要是求解一阶导数的极限即可，结合函数的定义域可以判断函数的极值点分布情况。
九、积分函数求导9、由于积分函数可以形成函数，而函数求导可以利用积分函数求导，根据求积分的原则可以对积分函数进行求导，如分部积分法、积分反演法等，考虑函数在定义域的变化，可以熟练掌握积分函数的求导方法。
十、椭圆函数求导10、考虑函数的特点，可以把椭圆函数拆分为有限多个单独的函数，再利用求导法则求取导数，合并求得得出椭圆函数的导数，熟练掌握椭圆函数的求导方法，可以有效提高解题的效率。
数学导数大题解题技巧
数学导数大题解题技巧
一、解题思路
1、明确问题：把题干中的文字转化成数学公式。
2、分析问题：根据提出的问题，分析对应的数学概念。
3、抓重点：弄清楚题目的要求，抓住主要的求解目标。
4、分析解决：为达到目标，采用正确的算法，根据条件分析解决问题。
5、验算结果：数值运算完成后，根据可行的方法验算一下结果。
二、应用技巧
1、彰显结果：把一个大问题分解成几个小问题，问题的解决自然会更简单。
2、减而治之：当出现复杂的问题时，可以把原问题适当简化成几个较容易解决的小问题，再将其汇总求出结果。
3、坐标变换：熟悉将椭圆的极坐标方程转换成普通坐标方程，把一个复杂的问题转换成一个稍微容易解决的问题。
4、合理假设：在某些情况下，可以根据实际情况设定合理的假设，这样可以减少计算量，大大提高解题效率。
5、列式求解：当题目要求求某个函数的值或极限时，可以采用列式的方法，逐步分析变化的趋势，并讨论出函数的具体值。
6、换元求解：当函数的参数发生变化时，可以采用换元求解法，用更简单的元求出更复杂的函数的导数值。
7、递推关系：当函数的求值问题涉及到递推关系，可以用初值确定终点，用每一步求出的结果求出下一步的结果，直至终点。
