山东省泰安市数学小学奥数系列2-2-3不定方程与不定方程组

不定方程在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x 【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。

第22讲 二元一次不定方程知识要点 我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么一般来说，它的解往往是不确定的.例如方程23x y -=与方程组2100 32180x y x y z ++=⎧⎨++=⎩， 等，它们的解是不确定的.像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.定理 如果a 、b 是互素的整数，c 是整数，且方程ax by c +=①有一组整数解00,x y ，那么此方程的一切整数解可以表示为00 ,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩，②③ 其中0123.t =±±±⋯，，，，证明 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00 ax by c +=，因此()0000 .()a x bt b y at ax by c -++=+=④.这表明0x x bt =-、0 y y at =+也是方程①的解设''x y 、是方程①的任一整数解，则有 ''ax by c +=,所以()()00''a x x b y y -=--.由于()1a b =，,所以()0'a y y -.即 0'y y at =+,其中t 是整数.将0'y y at =+代入④，即得'x x bt =-0，因此''x y 、可以 表示成的0x x bt =-，0 y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0 y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证.有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解 典例精讲典例1 求11x+15y=7的整数解.解法一 将方程变形得71511y x -=，因为x 是整数，所以7-15y 应是11的倍数由观察得0021x y ==-，是这个方程的一组整数解，所以方程的整数解为215x t =-，111y t =-+，t 为整数.解法二 先考察11x+15y=1，通过观察易得1141531⨯-+⨯=（）（），所以11× （-4×7)+15×(3×7)=7.可取002821x y =-=，，从而方程的整数解为x=-28-15t ，y=21+11t ，t 为整数.说明 二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解.由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式典例2求方程7x+19y=213的所有正整数解。

不定方程1、掌握不定方程的定义；2、掌握不定方程的类型及解法；3、掌握不定方程的实际应用。

1、不定方程的类型及解法；2、实际应用。

例1.求3x+4y＝23的正整数解。

练习1.求3x+2y＝25的正整数解。

练习2.求4x+5y＝37的正整数解。

例2.求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2练习1.求下面方程组的自然数解。

4x+3y－2z＝77x+9y+11z＝683x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52例3.一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。

如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？练习1.某校六（1）班学生48人到公园划船。

如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。

那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）例4.买三种水果30千克，共用去80元。

其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。

问三种水果各买了多少千克？练习1.有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26个，其中蓝皮球的个数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少个？练习2.用100元钱买25支笔。

已知毛笔每支2元，彩色笔每支4元，钢笔每支9元。

问每种笔各买几支？（每种都要买）例5.某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。

原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。

后又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支。

问：一、二、三等奖的学生各有几人？练习1.某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。

他命中10环、7环和5环各几发？练习2.篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。

已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。

问篮子里最多有几个皮蛋？。

第四讲 不定方程不定方程是方程中较难的内容，因此也是考试的难点。

一、基础知识回顾不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。

它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们一般求解两类问题：一是，未知数的组合；二是，限定只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x二、典型例题A ）不定方程（组）求解例1 已知：25415x y z ++=，7314x y z ++=，求42x y z ++的值。

解：待定系数法。

9。

例2（同步，P94）（1997，重庆市）若4x 3y-6z=0,x+2y-7z=0,-求2222225x 2y z 2x 3y 10z +---的值。

例3（同步，P90）（全国通讯赛）已知：2221998(x y)1999(y z)2000(z x)01998(x y)1999(y z)2000(z x)1999-+-+-=⎧⎨-+-+-=⎩求z y -的值 注：方程组求值例4（同步，P103）（2000，全国联赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。

已知A 水果每千克2元，B 水果每千克1.2元，C 水果每千克10元。

某天该商店销售这三种水果搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，问C 水果的销售额为多少元？注：应用题；整体求值B ）设而不求例5 若求x+y+z 的值．分析 已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比． 解 令则有x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+Z=0．说明本例中所设的k，就是“设而不求”的未知数．易错题回顾：已知x y zy z x z x y==+++，则xy z+的值为________；1/2或-1例6.甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？解设四个人的年龄分别记为a，b，c，d，根据题意有由上述四式可知比较⑤，⑥，⑦，⑧知，d最大，c最小，所以⑤-⑧得所以d-c=18，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18．说明此题不必求出a，b，c，d的值，只须比较一下，找出最大者与最小者是谁，作差即可求解．例7.我手中的卡片上写有一个三位数，并且个位数不为零，现将个位与百位数字对调，取两数的差(大数减小数)，将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加，最后的和是多少？=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a)=99×a-99×c=100×a-100×c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)．因k是三位数，所以2≤a-c≤8， 1≤a-c-1≤7．所以2≤10-a+c≤8．差对调后为k＇=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)，所以k+k＇=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c)+(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1)=1089．故所求为1089．说明本例中a，b，c作为参数被引进，但运算最终又被消去了，而无须求出它们的值．这正是“设而不求”的未知数的典型例子．例8 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．解法1设所切下的合金的重量为x千克，重12千克的合金的含铜百分数为p，重8千克的合金的含铜百分数为q(p≠q)，于是有整理得5(q-p)x=24(q-p)．因为p≠q，所以q-p≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．解法2 设从重12千克的合金上切下的x千克中含铜m千克，从重8千克的合金上切下的x 千克中含铜n千克(m≠n)，则这两个合金含整理得 5x(n-m)=24(n-m)．因为m≠n，所以n-m≠0，因此x=4.8，即所切下的合金重4.8千克．说明在解含参数的方程时，一般情况下可以把参数消去，转化成只含有待求未知数的一般方程，也就是说应用题的解答与参数的数值无关．C）整数解例9求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343-+=-=-=yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=32138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧===-===1121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。

不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。

不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。

不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。

但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。

对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。

常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。

定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。

其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。

定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。

我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。

可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。

三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。

2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。

3．3x+y=24的非负整数解有 组。

4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。

5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。

6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。

7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。

（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。

二不定方程所谓不定方程就是未知数的个数多于方程的个数，这时方程的解往往不确定.例1 已知三个自然数的乘积是6，求这三个自然数.分析这道题的答案不是唯一的，我们可以画出树形图来得出所有解答.解设这三个自然数分别为a、b、c，并且不妨设a≤b≤c，不难知道a＝1，由此画出下图所以这三个自然数分别为：1，1，6或1，2，3.例2 已知a，b，c表示数字，并且满足等式：83a-7b-16c＝0，求a、b、c分别是多少？分析将等式改写为：83a＝7b+16c，由于7×9+16×9＝207也就是说等式右侧最大只能是207，所以等式左边的83a也不超过207，所以a只有两种可能：1和2.由此入手试验就可求出答案.解先设a＝2，这时就有7b+16c＝166，由于b是数字，所以c不能小于7，也就是说c只有7、8、9三种可能，依次代入试验发现b都无整数解.这就排除了a＝2的情况.对a＝1的情况，做同样的讨论.这时有：7b+16c＝83，不难发现c不超过5，不小于2，也就是c只有2，3，4，5四种可能，依次代入试验可求出当c＝3时，b＝5.所以a、b、c三数依次为1、5、3.说明有许多不定方程在一定条件下，答案是唯一的.例3 设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程100x+y＝2xy，求x 与y分别是多少？分析先将原方程变形如下：约数进行试验.50的两位奇约数只有25，所以就有2x-1＝25解得 x＝13分析初看本题不是解不定方程的问题，但可采用与上题类似的方法解决.由于x与y是不同的质数，所以x与x+y一定互质，这就说明x+y一定是198的约数，列举出198的所有约数：198，99，66，33，22，18，11，9，6，3，2，1.由已知条件，x+y还应满足下列条件：（1）x+y不是一位数；（2）x+y是偶数；（3）x+y是两个不同质数之和.由以上条件不难发现应有x+y＝66，由此可得四组解（不计x与y的顺序）：。

不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个 方程。

当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种 情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。

特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。

数学奥赛辅导 第四讲 不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程。

不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理。

定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数。

有整数解的充分必要条件是c b a |),(。

定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,。

（t 为整数)。

（2)沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（1,2,3,n =）给出。

①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解。

②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。

容易看出y x ,一奇一偶,无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数。

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。

1、 熟练掌握不定方程的解题技巧2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程3、 学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、运用不定方程解应用题步骤1、根据题目叙述找到等量关系列出方程2、根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解模块一、不定方程与数论【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这两个数．【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11132001x y +=，要让x取最小值，y 取最大值．知识精讲教学目标列不定方程解应用题可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可见12213x +是整数，满足这一条件的x 最小为7，且当7x =时，148y =． 则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲搬的是18x 块，乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数，所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈，所以y 只能为6或12．6y =时18162x =，得到9x =；12y =时1824x =，此时x 不是整数，矛盾．所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．【答案】甲比乙搬得多，多24块【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设5角和8角的邮票分别有x 张和y 张，那么就有等量关系：5847x y +=．尝试y 的取值，当y 取4时，x 能取得整数3，当y 再增大，取大于等于6的数时，x 没有自然数解．所以8角的邮票需要4张．【答案】8角的邮票需要4张【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为___________________.【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】北大附中，资优博雅杯【解析】 若是四位数abcd ，则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y ＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。

六秋第3讲不定方程一、教学目标当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

二、例题精选【例1】求下列方程的自然数解：①23x+16y=500 ②39x+30y=267【巩固1】求下列方程的自然数解：①3x+5y=127 ②11x+12y=160【例2】小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400.你知道小明的生日是几月几日吗?【巩固2】有大小、两种蛋糕。

一个大蛋糕够7个人吃，一个小蛋糕够4个人吃。

现在有100人需要招待，应该分别准备大、小蛋糕多少个才不会浪费？【例3】张师傅每天能缝制 3 件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20 天共缝制上衣和裙裤 134 件.那么其中上衣是多少件？【巩固3】要把一根长 36.9 厘米的木料锯成长 3.9 厘米和 6.9 厘米两种规格的小木料.每锯一次要耗损0.1厘米的木料，要求除了每次锯木时的损耗外不能浪费.那么这两种规格的木料各锯多少段?【例4】 某工厂为优秀职工发奖金,一等奖每人 1800 元,二等奖每人 1200 元,三等奖每人 800 元,每种奖都有人领,共有 15 名优秀职工领有奖金的总数为 16000 元, 获得一、二、三等奖的职工各有多少人?【巩固4】有 100 个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地 22 人，每个排球场地 12 人，每个篮球场地 10 人，他们共占了 8 个场地.问：其中足球场、排球场和篮球场各几个?【例5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付60元，现有31的成人各带了一个孩子，主办方总共收到了2160元。

不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【巩固】解不定方程：2940+=（其中x,y均为正整数）x y模块二、利用余数性质解不定方程【例 3】求不定方程7111288+=的正整数解有多少组？x y【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【巩固】解方程7489+=，（其中x、y均为正整数）x y模块三、解不定方程组【例 5】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【例 6】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均为正整数)一、现代文阅读1．现代文阅读阅读下面文章，完成小题。

第6讲 不定方程【知识要点】一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A 、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B 、消元技巧：消掉范围大的未知数；【例题】例1、已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= . 1998.提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.例2、不定方程172112=+y x 的整数解是 .没有整数解.若方程有整数解,则x 123,y 213,因此y x 21123+,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.例3如果在分数4328的分子分母上分别加上自然数a 、b ,所得结果是127,那么a+b 的最小值等于 . 24。

依题意,有1274328=++b a , 于是可得12(28+a )=7(43+b )，即12a +35=7b ①显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a .由①知, b 随a 增大而增大,所以a 取最小值7时, b 也取最小值,是17. 所以, a +b 的最小值是7+17=24。

例4、甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.32。

【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。

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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。

问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。

2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。