L-拓扑空间中的S1-连通性
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L-拓扑空间中的S1-连通性
潘伟;徐振国
【摘 要】The concept of S1-connectedness is introduced in L-topological
spaces by means of semiopen L-sets and semiclosed L-sets.Several
equivalent characterizations of the S1-connectedness are given.
Moreover,it is proved that S1-connectedness is stronger than
connectedness%借助半开 L-集和半闭L-集引入了 L-拓扑空间的S1-连通性,给出了它的几个等价刻画,并且证明了 S1-连通性严格强于连通性.
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(054)002
【总页数】4页(P26-29)
【关键词】L-拓扑空间;半闭L-集;S1-连通性;樊畿定理
【作 者】潘伟;徐振国
【作者单位】牡丹江师范学院 数学科学学院,黑龙江 牡丹江 157011;国家科技基础条件平台中心,北京 100862
【正文语种】中 文
【中图分类】O189.2
0 引言
在一般拓扑学中，连通性是一个很重要的概念，它以多种不同的形式被推广到L-拓扑中.Azad引入了半开L-集和半闭L-集，并研究了它们的一些性质[1].文中L表示具有逆序对合对应的完全分配格，L-拓扑空间[2]是一个偶对(X,τ)，这里τ是LX的子族，它包含并且对有限交和任意并封闭.τ称为集合X上的L-拓扑，τ中的元称为开L-集，它的补称为闭L-集.其他未声明的概念与符号见文献[1-6].
利用半开L-集和半闭L-集在L-空间中引入S1-连通性，如一般拓扑学中的连通性一样，它也具有许多理想的性质.特别地，著名的樊畿定理对于S1-连通性也成立.此外，还讨论了连通性和S1-连通性之间的关系.
引理1[3] 设A,B∈LX且AB，如果1∈J(L)，则A′∨B≠1.
定义1[1] 设(X,τ)是L-拓扑空间，G∈LX，则
(1)G称为半开L-集，如果G≤cl(int(G))；
(2)G称为半闭L-集，如果int(cl(G))≤G.
定义2[1] 设(X,τ)是L-拓扑空间，G∈LX，定义
intS(G)=∨{D∈LX|D≤G,D是半开的}；
clS(G)=∧{D∈LX|D≥G,D是半闭的}.
定义3[1] 设(X,τ1),(Y,τ2)是2个L-拓扑空间，f:(X,τ1)(Y,τ2)是一个映射.f称为不定映射，如果对每个半开L-集G，f←(G)是半开的.
1 S1-连通性
本节借助于S-分离L-集来研究S1-连通性.
定义4 设(X,τ)是L-拓扑空间且A,B∈LX，A,B称为S-分离的，如果
定理1 设(X,τ)是L-拓扑空间且A,B∈LX，如果A和B是S-分离的且C≤A,D≤B，那么C和D同样是S-分离的.
定义5 设(X,τ)是L-拓扑空间且G∈LX，G称为S1-连通的，如果G不能表示为2个非零S-分离L-集的并.当是S1-连通的，称(X,τ)是S1-连通的L-空间.
定理2 设(X,τ)是L-拓扑空间且G∈LX，则下列情况等价： (1)G是S1-连通的；
(2)不存在2个半闭L-集A,B，使得
(3)不存在2个半闭L-集A,B，使得
证明 (1)⟹(2).假设G是S1-连通的且存在2个半闭L-集A,B使得
则很明显(A∧G)∨(B∧G)=(A∨B)∧G=G.由可知同理这表明G不是S1-连通的，矛盾.
(2)⟹(3).假设存在2个半闭L-集A,B使得GA,G则事实上，如果那么由(A∨B)∧G=(A∧G)∨(B∧G)=G可知B∧G=G，这说明G≤B，这与GB相矛盾.同理这又与(2)矛盾.
(2)⟹(1).假设(3)是真的且G不是S1-连通的,则存在使得G=C∨D且设A=clS(C),B=clS(D)，则G=C∨D≤clS(C)∨clS(D)=A∨B.由
clS(C)∧clS(D)∧G= clS(C)∧clS(D)∧(C∨D)= (clS(C)∧clS(D)∧C)∨
(clS(C)∧clS(D)∧D)= (clS(D)∧C)∨(clS(C)∧D)=
可知此外还有GA及GB.事实上，如果G≤A，则即于是矛盾.类似地有GB,这和(3)矛盾. 】
推论1 (X,τ)是S1-连通的当且仅当不存在2个非零的半闭L-集A,B， 使得且
定理3 设(X,τ)是L-拓扑空间，G∈LX,则下列结论等价：
(1)G是S1-连通的；
(2)如果A,B∈LX是S-分离的且G≤A∨B，那么或
(3)如果A,B∈LX是S-分离的且G≤A∨B，那么G≤A或G≤B.
证明 (1)⟹(2).如果A,B∈LX是S-分离的且G≤A∨B，那么由定理2可知G∧A和G∧B是S-分离的.因为G是S1-连通的，且G=G∧(A∨B)=(G∧A)∨(G∧B)，所以G∧A和G∧B必有一个是
(2)⟹(3).假设则G=G∧(A∨B)=(G∧A)∨(G∧B)=G∧B,于是G≤B.类似地，意味着G≤A.
(3)⟹(1).假设A,B是S-分离的且G=A∨B,由(3)有G≤A或G≤B.如果G≤A，那么由G=A∨B可知类似地，如果G≤B，那么于是G不能表示为两个非零S-分离L-集的并.因此G是S1-连通的. 】
推论2 J(LX)中每个元是S1-连通的.
定理4 设(X,τ)是L-拓扑空间且G是S1-连通的，如果G≤H≤clS(G)，那么H是S1-连通的.
证明 假设H不是S1-连通的，则存在2个半闭L-集A和B使得
由G≤H可知和G≤A∨B.现在证明GA,GB.事实上，如果GA，那么clS(G)≤A，于是H≤clS(G)≤A，矛盾.因此GA.类似地有GB.这矛盾于G是S1-连通的. 】
定理5 设(X,τ)是L-拓扑空间，G和H都是S1-连通的，如果G和H不是S-分离的，则G∨H是S1-连通的.
证明 假设G∨H不是S1-连通的,则存在2个半闭L-集A,B使得
由G∨HA有GA或HA.如果GA,那么由G的S1-连通性有G≤B.所以HB,H≤A.这表明于是类似地，这表明G和H是S-分离的，矛盾. 】
定理6 设(X,τ)是L-拓扑空间且{Gi)i∈I是一族S1-连通的L-集，如果存在j∈I使得对每个i≠j,Gi和Gj不是S-分离的，那么是S1-连通的.
证明 假设不是S1-连通的,则存在两个半闭L-集A,B，使得
所以存在r,s∈I使得
这说明Gr∨Gs∨Gj不是S1-连通的.由定理5得到矛盾. 】
推论3 设(X,τ)是L-拓扑空间且{Gi}i∈I是一族S1-连通的L-集.如果那么是S1-连通的.
定理7 设(X,τ)是L-拓扑空间且G∈LX,则G是S1-连通的当且仅当对G中任意2个非零的∨-既约元a,b,存在S1-连通的L-集H,使得a,b≤H≤G.
证明 必要性是明显的，下面证充分性.假设G在(X,τ)中不是S1-连通的,则存在2个半闭L-集A,B∈LX，使得GA,G取两个非零的∨-既约元a,b≤G使得aA,bB.设H是S1-连通的L-集且满足a,b≤H≤G,则有HA,H这表明H不是S1-连通的，矛盾. 】
定理8 设(X,τ1),(Y,τ2)是2个L-拓扑空间，f:(X,τ1)(Y,τ2)是映射且它是不定的,如果G在(X,τ1)中是S1-连通的，那么f→(G)在(Y,τ2)中也是.
证明 假设f→(G)在(Y,τ2)中不是S1-连通的，则存在2个半闭L-集A,B∈MY使得f→(G)A,f→(G)B,f→(G)所以Gf←(A),G这表明G不是S1-连通的，矛盾.于是f→(G)在(Y,τ2)也是S1连通的. 】
下面将樊畿定理推广到L-拓扑空间.文献[4]引入了远域映射的概念，类似地，给出下述定义.
定义6 设(X,τ)是L-拓扑空间且G∈LX,映射P：J(G)SC(LX)称为G的S-远域映射，如果对每个e∈J(G)有eP(e)，这里J(G)定义为G中所有非空∨-既约元的集合.
定理9 设(X,τ)是L-拓扑空间，则G是S1-连通的当且仅当对a,b∈J(G)及每个S-远域映射P：J(G)SC(LX),在J(G)中存在有限个点x1=a,x2，…,xn=b使得GP(xi)∨P(xi+1), i=1,2,…,n-1.
证明 ⟹.假设G不是S1-连通的,则存在2个半闭L-集A,B∈LX使得
定义S-远域映射P：J(G)SC(X)如下：对∀x∈J(G),令
取a,b∈J(G)使得a≤A和b≤B.因为对于J(G)中任意有限个元x1=a,x2,…,xn=b,xi≤A和xi≤B(i=1,2,…,n)有且只有一个是真的，所以P(xi)=B或者P(xi)=A.但P(x1)=B,P(xn)=A，因此存在j(1≤j≤n-1)使得P(xj)=B，P(xj+1)=A.这表明G≤A∨B=P(xj)∨P(xj+1)，产生矛盾.
⟹.假设定理不真，即存在2个元a,b∈J(G)及S-远域映射P:J(G)SC(G)使得GP(xi)∨P(xi+1),i=1,2,…,n-1对任意有限个元a=x1,x2,…,xn=b∈J(G)不是真的，为了方便起见，假定如果存在有限个元a=x1,x2,…,xn=b∈J(G)使得GP(xi)∨P(xi+1),i=1,2,…,n-1，则a和b是可连接的，否则称a和b是不可连接的.设
则对任意的c∈φ及任意的d∈ψ，有G≤P(c)∨P(d).设
A=∧{P(c)|c∈φ}, B=∧{P(d)|d∈ψ},
则
显然，a和a可连接，于是a∈φ.因为a和b不可连接，所以b∈ψ，因此GA,GB.此外，明显有且由A,B的定义可知A,B是半闭L-集，这说明G不是S1-连通的，矛盾. 】
2 S1-连通性和连通性之间的关系
定理10 在L-空间中，S1-连通的L-集是连通的L-集.
证明 设(X,τ)是L-空间，G∈LX是S1-连通的.假设Ω是所有半闭L-集之族，则τ′⊆Ω.由G是S1-连通的及定理2可知，不存在两个半闭L-集A,B使得及因为τ′⊆Ω，从而不存在两个闭L-集C,D使得这表明，G∈LX是连通的. 】
