平行四边形典型证明题

第1页，共31页人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．

第2页，共31页3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．第3页，共31页5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG． （1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．

特殊平行四边形之证明题

题型一：菱形的证明

1、如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A．若四边形ADAE是菱形，则下列说法正确的是( A )

A. DE是△ABC的中位线 B. AA是BC边上的中线

C. AA是BC边上的高 D. AA是△ABC的角平分线

2．已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将ABE△沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC△．

（1）求证：BEDG；

（2）若60B°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

ABCD

∴AB平行且等于CD ∠B=∠D

∵AE⊥BC

3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

A

B C D

E

A

A D G

C B F E

A

B C D

E F D′

4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．

（1）求证：AD＝CE；

（2）填空：四边形ADCE的形状是 ．

5.两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图7放置，ABBF，求证：四边形BNDM为菱形．

6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.

（1）求证：△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

7.如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD△沿CA方向平移得到ACD△．

（1）证明AADCCB△≌△；

第18章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的．

（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；

（4）面积：①S=底高ah； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

3．平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形

二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形： ①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；

平行四边形的证明题 戴恩教育

2

平行四边形的证明题

一．解答题（共30小题）

1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

戴恩教育

3

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：四边形AECF是平行四边形．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

戴恩教育

4

12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．