2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=

A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

【答案】B

【解析】0,1N M={-1,0,1} M∩N={0,1}.

【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.

先求出0,1N,再利用交集定义得出M∩N.

2.命题“若α=4，则tanα=1”的逆否命题是

A.若α≠4，则tanα≠1

B. 若α=4，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠4

D. 若tanα≠1，则α=4

【答案】C

【解析】因为“若p，则q”的逆否命题为“若p，则q”，所以 “若α=4，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4”.

【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.

4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为y

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（x，y）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为

【答案】D

【解析】由回归方程为yy随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybxabxybxaybx，所以回归直线过样本点的中心（x，y），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.

【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.

5. 已知双曲线C ：22xa-22yb=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A．220x-25y=1 B.25x-220y=1 C.280x-220y=1 D.220x-280y=1【答案】A

【解析】设双曲线C ：22xa-22yb=1的半焦距为c，则210,5cc.

又C 的渐近线为byxa，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba，即2ab.

又222cab，25,5ab，C的方程为220x-25y=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

6. 函数f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为

A． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-32 , 32]

【答案】B

【解析】f（x）=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx，sin()1,16x，()fx值域为[-3,3].

【点评】利用三角恒等变换把()fx化成sin()Ax的形式，利用sin()1,1x，求得()fx的值域.

7. 在△ABC中，AB=2，AC=3，ABBC= 1则___BC. A.3 B.7 C.22 D.23

【答案】A

【解析】由下图知ABBC= cos()2(cos)1ABBCBBCB.

1cos2BBC.又由余弦定理知222cos2ABBCACBABBC，解得3BC.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,ABBC的夹角为B的外角.

8．已知两条直线1l ：y=m 和2l： y=821m(m＞0)，1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点A，B ，2l与函数2logyx的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m

变化时，ba的最小值为

A．162 B.82

C.84

D.44

【答案】B

【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像如下图，

由2logx= m，得122,2mmxx，2logx= 821m，得821821342,2mmxx.

依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba821821222mmmm.

8141114312122222mmmm，min()82ba.

【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=821m(m＞0)，2logyx图像，结合图像可解得.

二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）

9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C：1,12xtyt (t为参数)与曲线2C ：sin,3cosxay

(为参数，0a) 有一个公共点在X轴上，则__a. 【答案】32

【解析】曲线1C：1,12xtyt直角坐标方程为32yx，与x轴交点为3(,0)2；

曲线2C ：sin,3cosxay直角坐标方程为22219xya，其与x轴交点为(,0),(,0)aa，

由0a，曲线1C与曲线2C有一个公共点在X轴上，知32a.

【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C与曲线2C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x轴交点，即可求得.

10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

【答案】14xx

【解析】令()2121fxxx，则由()fx13,()2141,(1)23,(1)xxxx得()fx0的解集为14xx.

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.

11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______.

【答案】6

【解析】设PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PAPBPCPD，从而求得圆的半径.

(二)必做题（12~16题）

12.已知复数2(3)zi (i为虚数单位)，则|z|=_____.

【答案】10

【解析】2(3)zi=29686iii，228610z. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)abiabR形式，利用

22zab求得.

13.( 2x-1x)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）

【答案】-160

【解析】( 2x-1x)6的展开式项公式是6631661C(2)()C2(1)rrrrrrrrTxxx.由题意知30,3rr，所以二项展开式中的常数项为33346C2(1)160T.

【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x,n=3,则输出的数S= .

【答案】4

【解析】输入1x,n=3,，执行过程如下：2:6233iS；1:3(1)115iS；0:5(1)014iS，所以输出的是4.

【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.

15.函数f（x）=sin (x)的导函数()yfx的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.

（1）若6，点P的坐标为（0，332），则 ;

（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .

【答案】（1）3；（2）4

【解析】（1）()yfxcos()x，当6，点P的坐标为（0，332）时

33cos,362；

（2）由图知222TAC，122ABCSAC，设,AB的横坐标分别为,ab.

设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaSfxdxfxab，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABCSPS.

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，

（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

16.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段2N个数，并对每段作C变换，得到2p；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段2iN个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.

（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；

（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.

【答案】（1）6；（2）43211n

【解析】（1）当N=16时,

012345616Pxxxxxxx,可设为(1,2,3,4,5,6,,16),

113571524616Pxxxxxxxxx,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),

2159133711152616Pxxxxxxxxxxx,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16), x7位于P2中的第6个位置,；

（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第43211n个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.