高三数学测试题(附答案)
- 格式：docx
- 大小：241.01 KB
- 文档页数：14
一.选择题 :
1. 已知集合 ( )
(A) (B) (C) (D)
2 .函数 的定义域是 ( )
( A ) ( B )
( C ) ( D )
3 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
4 . 已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，
设
则( )
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
5 . 已知函数 ， 若 , 则 的取值范围是( )
( A) (B) 或
(C) (D) 或
6 . 若 是 的图象的一条对称轴,则
可以是( )
( A ) 4 ( B ) 8 ( C ) 2 ( D )1
7 .已知 是 上的减函数，则 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
8. 给定函数 :① ,② ,③ ,④
,其中在区间(0,1)上单调 递减的函数的序号是( )
( A ) ①② ( B ) ②③ ( C ) ③④ ( D ) ①④
9. 设 若 是 与 的等比中项,则 的最小值为( )
( A ) 8 ( B ) 4 ( C ) 1 ( D )
10.在进行一项物理实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )
( A ) 34 ( B ) 48 ( C ) 96 ( D )144
11. 已知命题 : 存在 ; 命题
, 则下列命题为真命题 的是 ( )
( A ) ( B )
( C ) ( D )
12.若 : , 是偶函数,则 是 的( )
( A ) 充分必要条件 ( B ) 充分不必要条件
( C ) 必要不充分条件 ( D ) 既不 充分也必要条件 二.填空题
13. 已知 , 若 , 则实数
的取值范围是( ) ;
14. 已知 是 上的奇函数 , 则 =( ) ;
15. 已知双曲线 的右焦点F,与抛物线 的焦点重合,过双曲线的右焦点F作其渐近线的垂线,垂足为M,则点M的纵坐标为( ) ;
16. 已知 在 上是单调减函数 ; 关于
的方程 的两根均大于 3, 若 , 都 为真
命题 , 则实数 的取值范围是( ) ;
三 . 解答题
17. 在 △ ABC 中 ， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边 ， 且 4sin 2 － cos 2 A ＝ .
(1) 求 ∠ A 的度数；
(2) 若 a ＝ ， b ＋ c ＝ 3 ，求 b 、 c 的值 .
解 (1) ∵ B ＋ C ＝ π － A ，即 ＝ －
，
由 4sin 2 － cos 2 A ＝ ，得 4cos 2 －
cos 2 A ＝ ，
即 2(1 ＋ cos A ) － (2cos 2 A － 1) ＝ ，整理得
4cos 2 A － 4cos A ＋ 1 ＝ 0 ，
即 (2cos A － 1) 2 ＝ 0. ∴ cos A ＝ ， 又 0°< A <180° ， ∴ A ＝ 60°.
(2) 由 A ＝ 60° ， 根据余弦定理 cos A ＝ ，
即 ＝ ， ∴ b 2 ＋ c 2 － bc ＝ 3 ，
①
又 b ＋ c ＝ 3 ， ②
∴ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 bc ＝ 9. ③
① － ③ 整理得 ： bc ＝ 2. ④ 解 ②④ 联立方程组得 或
18. 设数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3， … .
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1 =1，且b n+1 =b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；
(Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n项和T n .
解： ( Ⅰ ) ∵ n=1 时， a 1 +S 1 =a 1 +a 1 =2 , ∴ a 1 =1
∵ S n =2-a n 即 a n +S n =2 , ∴ a n+1 +S n+1 =2
两式相减： a n+1 -a n +S n+1 -S n =0
即 a n+1 -a n +a n+1 =0 , 2a n+1 =a n
∵ a n ≠0 ∴ (n ∈ N *)
所以，数列 {a n } 为首项 a 1 =1 ，公比为 的等比数列 . a n =
(n ∈ N *)
( Ⅱ ) ∵ b n+1 =b n +a n (n=1 ， 2 ， 3 ， …)
∴ b n+1 -b n =( ) n-1
得 b 2 -b 1 =1
b 3 -b 2 =
b 4 -b 3 =( ) 2 ……
b n -b n-1 =( ) n-2 (n=2 ， 3 ， … )
将这 n-1 个等式 累 加，得
b n -b 1 =1+
又 ∵ b 1 =1 ， ∴ b n =3-2( ) n-1 (n=1 ， 2 ， 3 ， …)
( Ⅲ ) ∵ c n =n(3-b n )=2n( ) n-1
∴ T n =2[( ) 0 +2( )+3( ) 2 + … +(n-1)( ) n-2 +n( )
n-1 ] ①
而 T n =2[( )+2( ) 2 +3( ) 3 + … +(n-1)
] ②
① - ② 得：
T n = =8-(8+4n) (n=1 ，
2 ， 3 ， …)
19. 如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中， AA 1 C 1 C 是边长为
4 的正方形 .
平面 AB C ⊥平面 AA 1 C 1 C ， AB=3 ， BC=5. （ Ⅰ ）求证： AA 1 ⊥平面 ABC ； （ Ⅱ ）求二面角 A 1 -BC 1
-B 1 的余弦值；
（ Ⅲ ）证明：在线段 BC 1 存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ，并求
的值 .
解 : (1) ∵ 为正方形 ,
,
又面 ⊥面 ,
又面 ∩面 =
∴ AA 1 ⊥平面 ABC .
(2 ) ∵AC=4,AB=3,BC=5,
∴ ,∴∠CAB= ,即AB⊥AC,
又由(1) ∴ AA 1 ⊥平面 ABC . 知 ,
所以建立空间直角坐标系 A-xyz , 则 (0,0,4), (4,0,4),
(0,3,4),B(0,3,0)
设面 C 与面 B 的法向量分别为 , , 由 , 得 , 令 , 则
,
同理 , ,
,
由图知 , 所求 二面角 为锐 二面角 , 所以 二面角 A 1 -BC 1 -B 1 的余弦值为 .
(3) 证明 : 设 , , 则 ,
, ,
因为 三点共线 , 所以设 , 即
,
所以 , (1)
由 得 (2) 由 (1)(2)求得 , 即
,
故 在线段 BC 1 存在点 D ，使得 AD ⊥ A 1 B ， 且 = .
20. 已知函数 过曲线 上的点
的切线方程为 y=3 x +1 。
（ 1 ） 若函数 处有极值，求 的表达式；
（2） 在 （1） 的条件下，求函数 在 [ － 3 ， 1] 上的最大值；
（3） 若函数 在区间 [ － 2 ， 1] 上单调递增，求实数 b
的取值范围
解：（ 1 ） 由已知 故
由①②③得 a=2 ， b= － 4 ， c=5
∴
（ 2 ）
当
又 在 [ － 3 ， 1] 上最大值是 13 。
（ 3 ） 因为 y=f(x) 在 [ － 2 ， 1] 上单调递增，
所以 在 [ － 2 ， 1] 上恒 成立 ,
由①知 2a+b=0 , 所以 在 [ － 2 ， 1] 上恒 成立 ,
, 利用动轴定区间讨论法得
1 当 ；
②当 ；
③当
综上所述，参数 b 的取值范围是
21. 已知 △ ABC 的顶点 A ， B 在椭圆 x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 4 上， C
在直线 l ： y ＝ x ＋ 2 上，且 AB ∥ l . (1) 当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 △ ABC 的面积；
(2) 当 ∠ ABC ＝ 90° ，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程．
【解析】 (1) 因为 AB ∥ l ，且 AB 边通过点 (0,0) ，所以 AB
所在直线的方程
为 y ＝ x .
设 A ， B 两点坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ．
由 ，得 x ＝ ±1.
所以 | AB | ＝ | x 1 － x 2 | ＝ 2 .
又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离，
所以 h ＝ ， S △ ABC ＝ | AB |· h ＝ 2.
(2) 设 AB 所在直线的方程为 y ＝ x ＋ m ，
由 ，得 4 x 2 ＋ 6 mx ＋ 3 m 2 － 4 ＝ 0.
因为 A ， B 在椭圆上，所以 Δ ＝ － 12 m 2 ＋ 64 ＞ 0.
设 A ， B 两点坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，
则 x 1 ＋ x 2 ＝ － ， x 1 x 2 ＝ ，
