一元函数微分学的应用

第二章 一元函数微分学

第1节 导数与微分

1 导数

a) 导数定义：增量比，取极限。

b) 左导数和右导数存在且相等导数存在

c) 函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d) 导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc

e) 导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

f) 函数的相对变化率（弹性）：

g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

h) 偶函数的导数是奇函数。

2 微分

微分定义：自变量 沿着切线方向的增量 。

3 求导法则

a) 导数微分表（4组16个）。

b) 导数的四则运算。

c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。

d) 复合函数求导法则。

e) 参数方程求导：

f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。

g) 对数求导法

i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln的真数，再运用隐函数求导法则。

ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。

4 高阶导数

a) 莱布尼茨公式： b) 反函数的二阶导数：

c) 参数方程的二阶导数：

第2节 微分中值定理

1 罗尔中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。

结论：在a和b之间必有一个值 使得f’( )=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理

y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。

2 拉格朗日中值定理

条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一个值 使得f’( )=

。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

第二章 一元函数微分学

一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。

§2-1 导数和微分

本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d()()dfxfxx。因此只要求出()fx的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。

一、重要概念和重要公式

1. 导数概念

000000000000()()()lim.()()()lim()()()lim.xxxfxxfxfxxfxxfxfxxfxxfxfxx导　数：左导数：，右导数：

000()()().fxxfxfx在处可导

2. 导数的几何意义与物理意义

000000000()()(())()()().1()().()fxyfxxfxyfxfxxxyfxxxfx为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等. 3. 微分概念

000000()()()0d()()d()~d(0)d.()()().yfxxfxyyyfxxoxyfxxyyxyyxfxxfxx若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件

4. 幂指函数求导公式

()()[()]()[()ln()].vxvxuxuxvxux

一元函数微分学自测题

一、填空题（每题3分,共15分）

1、 201sinlim|sin|xxxx极限= 0 .

2、设)()2)(1()(nxxxxxf，则0xdf_____.nx答　　!d

3、0(),()0,lim(sin)(sin)xxfxxafabfaxfax设在处可导且则＿＿＿＿　．

0001limlim(sin)()(sin)()(sin)(sin)11lim(sin)()sin(sin)()sin2 sinsinxxxxfaxfataxfafaxfaxxxfaxfaxfaxfaxbxxxx答　　12b

4、设)()(lnxfexfy，其中f可微，则 dy=)](')(ln)(ln'[2)(xfxfxxfexxf

)(xd 。

5、设)2323(xxfy，且2arctan)('xxf，则0xdxdy34

二、单选题：（每题4分,共20分）

1、 若当0x时，)(xf是3x高阶无穷小，则xexfxx220sin)1()(lim

(A) ０ (B) １ (C)  (D) 21 答（ A ）

2、若0),1(0,)(2xxbxexfax在),(内处处可导，则

（A）1,1ba； （B）1,2ba；

（C）0,1ba； （D）1,0ba 答（ D ）

3、设)(xf在0xx的邻域内可导，且21)('lim00xxxfxx，则

（A）)(0xf是)(xf的极小值； （B）)(0xf是)(xf的极大值；

（C）)(xf在)(0xU内单调增加；（D）)(xf在)(0xU内单调减少。答：（ B ）

⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值

单调性与极值的判别单调性的判别

若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加

若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）

⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）

设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点

左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值

左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值

若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点

判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）

设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x

0)≠0

若f''(x0)<0，则f(x)在x

0处取得极⼤值

若f''(x0)>0，则f(x)在x

0处取得极⼩值

可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）

f(x)在x

0处n阶可导，且 f(m)(x

0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)

f'(x

0)=f''(x

0)=...=f(n-1)(x

0)=0

若n为偶数且f(n)(x

0)<0时，f(x)在x

0处取得极⼤值

若n为偶数且f(n)(x

0)>0时，f(x)在x

0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）

f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)

f(x) - f(x

0) = f'(ξ)(x - x

0)