2022年甘肃省高考文科数学一诊试卷及答案解析
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第 1 页 共 19 页 2022年甘肃省高考文科数学一诊试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|log3x＞1}，B＝{x|x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}
2．（5分）设z＝i（1﹣i），则𝑧=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（ ）
A．这8个月销量的极差为4132
B．这8个月销量的中位数2499
C．这8个月中2月份的销量最低
D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
4．（5分）若角α的终边经过点（8，﹣6），则cos2α＝（ ）
A．−2425 B．2425 C．725 D．−725
5．（5分）向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|=√3，|𝑏→|=1，|𝑎→−2𝑏→|=√13，则向量𝑎→，𝑏→的夹角是（ ）
A．𝜋6 B．𝜋3 C．2𝜋3 D．5𝜋6
6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
第 2 页 共 19 页 A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
B．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β
7．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜𝜋2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期是𝜋2
B．直线x=−𝜋6是f（x）图象的一条对称轴
C．点（−𝜋12，0）是f（x）图象的一个对称中心
D．f（x）的单调递减区间是[2kπ+𝜋6，2kπ+2𝜋3]（k∈Z）
8．（5分）曲线f（x）＝x3﹣3x在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y＝kx+b，则实数b＝（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
9．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）＝﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣3x+1，则f（2022）＝（ ）
A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8
10．（5分）在直角△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a＞b＞c，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1，S2，S3和V1，V2，V3，则它们的关系为（ ）
A．S1＞S2＞S3，V1＞V2＞V3 B．S1＜S2＜S3，V1＜V2＜V3
C．S1＞S2＞S3，V1＝V2＝V3 D．S1＜S2＜S3，V1＝V2＝V3
11．（5分）已知以圆C：（x﹣1）2+y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝﹣2垂直，垂足为M，则|BM|﹣|AB|的最大值为（ ）
第 3 页 共 19 页 A．1 B．2 C．﹣1 D．8
12．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．若𝑎=𝑙𝑛33，𝑏=𝑙𝑛44，则a＜b
B．若a＝0.50.2，b＝log0.50.2，则a＞b
C．若3a﹣3b＜4﹣a﹣4﹣b，则a＜b
D．若2𝑎+𝑙𝑜𝑔2𝑎＜4𝑏+𝑙𝑜𝑔2𝑏+1，则a＞b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1(𝑎＞0)的离心率为√103，则该双曲线的渐近线方程为 ．
14．（5分）已知等差数列{an}满足a2＝4，a6＝8，则a4＝ ．
15．（5分）如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为2√55，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为 ．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3acosC+csinA＝0，c＝2√7，b＝4，则sinA＝ ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共60分。
17．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，2an+1＝an，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，bn+bn+2＝2bn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Tn．
18．（12分）2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：
增长率分组 [﹣0.4，﹣0.2） [﹣0.2，0） [0，0.2） [0.2，0.4） [0.4，0.6]
第 4 页 共 19 页 企业数 15 30 50 38 17
（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率．
19．（12分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF折到DEF的位置，使𝐷𝑀=√152．
（1）证明：DO⊥平面EFCB；
（2）若平面EFCB内的直线EN∥平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥R﹣FNC的体积．
20．（12分）已知动点P到点F1（1，0）的距离与它到直线l：x＝4的距离之比为12．
（1）求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；
（2）F2（﹣1，0），分别过F1，F2作斜率为k（k≠0）的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为12√27，求k的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x+2𝑎𝑥−（a﹣2）lnx（a∈R），g（x）＝（b﹣1）x−2𝑥−xex．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣1恒成立，求实数b的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（θ∈[0，2π））．曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．
第 5 页 共 19 页 （1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；
（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为{𝑥=𝑡𝑐𝑜𝑠𝜋3，𝑦=𝑡𝑠𝑖𝑛𝜋3，（t为参数）．若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝f（1），求证：√𝑎+1+√𝑏+1≤2√2．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|log3x＞1}，B＝{x|x＜4}，则A∩B＝（ ）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}
【解答】解：∵集合A＝{x|log3x＞1}＝{x|x＞3}，B＝{x|x＜4}，
∴A∩B＝{x|3＜x＜4}，
故选：D．
2．（5分）设z＝i（1﹣i），则𝑧=（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【解答】解：∵z＝i（1﹣i）＝1+i，
∴𝑧=1−𝑖．
故选：A．
3．（5分）2021年7月下旬某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况．以下描述不正确的是（ ）
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A．这8个月销量的极差为4132
B．这8个月销量的中位数2499
C．这8个月中2月份的销量最低
D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
【解答】解：对于A，由销量折线图得极差为：4844﹣712＝4132，故A正确；
对于B，销量由小到大排列为：
712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，
∴中位数为：1952+28222=2387，故B错误；
对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；
对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长4532﹣2822＝1710件，最大，
∴这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．
故选：B．
4．（5分）若角α的终边经过点（8，﹣6），则cos2α＝（ ）
A．−2425 B．2425 C．725 D．−725
【解答】解：∵角α的终边经过点（8，﹣6），∴cosα=8√64+36=45，
