高考数学一轮复习 专题9_8 直线与圆锥曲线(练)

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1 直线与圆锥曲线的位置关系[课时跟踪检测］[基础达标]1．若直线ax＋by－3＝0与圆x2＋y2＝3没有公共点，设点P的坐标为（a,b)，则过点P的一条直线与椭圆x24＋错误!＝1的公共点的个数为( )A．0 B．1C．2 D．1或2解析：由题意得，圆心(0，0）到直线ax＋by－3＝0的距离错误!〉错误!,所以a2＋b2〈3.又a，b不同时为零，所以0〈a2＋b2<3。

由0<a2＋b2〈3，可知｜a｜〈错误!，｜b｜<错误!，由椭圆的方程知其长半轴长为2,短半轴长为错误!，所以P(a,b)在椭圆内部，所以过点P的一条直线与椭圆错误!＋错误!＝1的公共点有2个，故选C。

答案：C2．已知椭圆错误!＋错误!＝1以及椭圆内一点P（4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )A.错误!B．－错误!C．2 D．－2解析:设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2,y2），则x1＋x2＝8,y1＋y2＝4,错误!两式相减，得错误!＋错误!＝0，所以错误!＝－错误!,所求斜率k＝错误!＝－错误!.故选B.答案:B3．斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B两点,则|AB｜的最大值为( )A．2 B.错误!C.错误!D.错误!解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入错误!＋y2＝1，消去y得54x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意知Δ＝（2t）2－5（t2－1)〉0，即t2〈5，｜AB｜＝错误!错误!≤错误!。

高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。

第八章§9：直线与圆锥曲线的综合应用(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间60钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为A ．2B ．－2C ．13D ．－122．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P(a ，b)到直线y ＝x 的距离为2，则a ＋b 的值为A ．－12B ．12C ．±12D ．±23．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m ，4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于A ．3B ．94C ．52D ．324．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′.若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作两条弦AB 和CD ，且AB ⊥x 轴，|CD|＝2|AB|，则弦CD 所在直线的方程是A ．x －y －1＝0B ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0C ．y ＝2(x －1)D ．y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足A F →＝3F B →，则弦AB 的中点到准线的距离为__________．7．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB 的面积为22，则p ＝______.8．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个不同点，则双曲线离心率的取值范围是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数． (1)求椭圆的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点M 在椭圆上，且满足 OM →＝12OA →＋32OB →，求k 的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：设弦的端点为A ，B ，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，又x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)36＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2)＝－9×836×4＝－12.答案：D2．解析：∵P(a ，b)在双曲线上，则a 2－b 2＝1，∴(a ＋b)(a －b)＝1.∵d ＝|a －b|2＝2，∴|a －b|＝2.又∵点P 在右支上，∴a>b ，∴a －b ＝2，∴a ＋b ＝12.故选B 项．答案：B3．解析：由题意知A(1,1)，B(m ，m)，C(4,2)．直线AC 所在的方程为x －3y ＋2＝0，点B 到该直线的距离为d ＝|m －3m ＋2|10.S △ABC ＝12|AC|·d ＝12×10×|m －3m ＋2|10＝12|m －3m ＋2|＝12|(m －32)2－14|.∵m ∈(1,4)，∴当m ＝32时，S △ABC 有最大值，此时m ＝94.答案：B4．解析：由题意知直线l 关于原点对称的直线l ′：2x ＋y －2＝0，它与椭圆x 2＋y 24＝1的交点A(0,2)，B(1,0)，故|AB|＝ 5.由题意知P 到直线AB 的距离为55，设过P 且与l ′平行的直线为2x ＋y ＋m ＝0，由|m ＋2|22＋1＝55，得m ＝－1，即与l ′平行且距l ′距离为55的直线有且只有一条，故点P 有2个． 答案：B5．解析：依题意知AB 为抛物线的通径，|AB|＝2p ＝4，|CD|＝2|AB|＝8，显然满足条件的直线CD 有两条，验证B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1得：x 2－6x ＋1＝0，x 1＋x 2＝6，此时|CD|＝x 1＋x 2＋p ＝8，符合题意．同理，x ＋y －1＝0也符合题意． 答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6． 解析：如图，F 为抛物线的焦点，作AH 垂直准线于点H ，交y 轴于点D ，作BG 垂直准线于点G ，交y 轴于点C.∵y 2＝4x ，∴p ＝2，|OF|＝1， 设直线AB 为y ＝k(x －1)， 代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x A ·x B ＝1.① ∵BG AH ＝BFAF ，∴x B ＋1x A ＋1＝13，② ①②联立解得x A ＝3，x B ＝13，∴AB 中点到准线的距离为|AH|＋|BG|2＝x A ＋1＋x B ＋12＝3＋1＋13＋12＝83.答案：837．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxx ＝my －m，消x 得y 2－2mpy ＋2pm ＝0∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm.又∵焦点(p2，0)在直线x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2.∴S △AOB ＝12×p2×|y 1－y 2|＝22，∴m 6＋m 4＝2.得m ＝－1或m ＝1(舍去)，∴p ＝2. 答案：28．解析：由已知满足条件的点在OF 的中垂线l 上，∴l 与双曲线的右支交于不同两点， ∴c 2>a ，∴e ＝c a >2. 答案：(2，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝1a ＋c ＝7，解得a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M(x ，y)，其中x ∈[－4,4]．由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2， 整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． ①λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段．②λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分；当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分； 当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． 10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵双曲线x 23－y 2＝1的离心率为233，∴椭圆的离心率为32. 又∵b ＝1，∴a ＝2. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(m ，n)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， ∴x 1＋x 2＝－8k1＋4k 2，x 1·x 2＝0， ∵OM →＝12OA →＋32OB →，∴m ＝12(x 1＋3x 2)，n ＝12(y 1＋3y 2)，∵点M 在椭圆上， ∴m 2＋4n 2＝4，∴14(x 1＋3x 2)2＋(y 1＋3y 2)2 ＝14[(x 21＋4y 21)＋3(x 22＋4y 22)＋23x 1x 2＋83y 1y 2] ＝14[4＋12＋83y 1y 2]＝4. ∴y 1y 2＝0，∴(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝k·(－8k1＋4k 2)＋1＝0，化简得k 2＝14，∴k ＝±12.。

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1.已知直线x -y -1=0与抛物线2y ax =相切,则a 等于( ) A.12B.13C.14D.4【答案】C【解析】由210x y y ax ⎧⎪⎨⎪⎩--=,= 消去y 得210ax x -+=,所以0140a a ≠,⎧⎨-=,⎩ 解得14a =.2.已知双曲线22134y x -=,过点M (m ,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A 、B.若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点),则实数m 的取值范围是( )A.(-B.(0)(0-⋃,C.()-∞,-⋃+∞D.(-⋃ 【答案】D【解析】依题意可得((A m B m ,,,-,∴2(21)(m OA m OB m =,-,=,-.∵△AOB 是锐角三角形,必有AOB ∠是锐角,即OA 与OB 的夹角为锐角.由0OA OB ⋅>,得224403m m -+>,∴m -<<.但根据双曲线的范围知,应有m<或m>. 故m 的取值范围是(-⋃.3.若P 为双曲线22115y x -=右支上一点,M 、N 分别是圆2(4)x +24y +=和22(4)1x y -+=上的点,则|PM |-|PN |的最大值为 . 【答案】5【解析】已知两圆的圆心(-4,0)和(4,0)(记为1F 和2)F 恰为双曲线22115y x -=的两焦点. 当|PM |最大,|PN |最小时,|PM |-|PN |最大,|PM |最大值为P 到圆心1F 的距离|1PF |与圆1F 半径之和,同样|PN |=最小|2PF |-1,从而(|PM |-|PN |max )=|1PF |+2-(|2PF |-1)=|1PF |-|2PF |+3=2a +3=5.4.过原点的直线l 与双曲线22143y x -=有两个交点,则直线l 的斜率的取值范围是 .【答案】(【解析】设l :y =kx ,代入22143y x -=中, 得2221143k x x -=, 即221()1043k x --=, 由0∆>知k ,<< 5.已知双曲线方程:2213y x -=,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l 的方程是 . 【答案】6x -y -11=0【解析】设l 与双曲线交于11()P x y ,和22()Q x y ,,则221122221313y x y x ⎧-=,⎪⎪⎨⎪-=.⎪⎩①②②-①,得212121211()()()()03x x x x y y y y +--+-=,而121242x x y y +=,+=,∴212124()()03x x y y ---=.∴21216y y x x -=,-即6l k =.∵点A(2,1)在双曲线的内部,∴直线l 的方程为y -1=6(x -2),即6x -y -11=0.课后作业夯基 基础巩固1.AB 为过椭圆22221y x a b+=中心的弦,F (c ,0)为该椭圆的焦点,则△FAB 的最大面积为( ) A.2b B.ab C.ac D.bc【答案】D【解析】设A 、B 两点的坐标为11()x y ,、11()x y -,-,则12FABS=|OF ||12y |=c |1y |bc ≤.2.过双曲线224x y -=上任一点M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N ,O 是坐标原点,则△OMN的面积是( ) A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【解析】过双曲线上任一点00()M x y ,作渐近线y x =±的垂线,垂足分别为N ,N ′. |MN |⋅|MN ′|==42=2,故1OMNS =.3.双曲线221x y -=的左焦点为F ,点P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF 的斜率的变化范围是( ) A.(0)-∞,B.(1),+∞C.(0)(1)-∞,⋃,+∞D.(1)(1)-∞,-⋃,+∞【答案】C【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为C.4.抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,而且被直线2x -y +1=0则抛物线的方程是( )A.212y x =-或24y x =B.24y x =-或212y x = C.210y x =-或24y x =D.26y x =-或210y x = 【答案】B【解析】设所求抛物线为2(y ax a =∈R 且0)a ≠,由2210y ax x y ⎧=,⎨-+=,⎩得220y ay a -+=.若弦两端点纵坐标分别为1y 和2y ,则|12y y -|=于是弦长=解得a =12或a =-4. 5.已知焦点为12(20)(20)F F -,,,的椭圆与直线l :x +y -9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )B.170D.852【答案】A【解析】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0),且c =2,则224b a =-. 将椭圆方程与直线方程联立,得22221490y x aa x y ⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩ 消去参数y ,整理得22224(24)18850a x a x a a --+-=.因为直线l 与椭圆有公共点,所以0∆≥, 即22224(18)4(24)(85)0a a a a ---≥, 整理得422933400a a -+≥.解得2852a ≥,或24(a ≤舍去),∴2a ≥方法二:如图,可设P 为椭圆与直线l 的公共点,则|1PF |+|2PF |=2a ,所以问题转化为当P 在l 上运动时,求|1PF |+|2PF |的最小值. 作2F 关于l 的对称点2F ′00()x y ,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==6.已知椭圆22143y x +=,若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y =4x +m 对称,则实数m 的取值范围是 ( )A.(B.(C.(D.( 【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y AB ,,,,的中点为M (x ,y ), 由题意知211212211224AB y y k x x x y y y x x -==-,+=,+=,-213x +21412y = ①22223412x y ,+=②.①②两式相减得223(x -222121)4()0x y y +-=,即12123()y y x x +=+,即y =3x ,与y =4x +m 联立得x =-m ,y =-3m ,而M (x ,y )在椭圆的内部,则229143m m +<,即m <<7.当x >1时,直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方,则a 的取值范围是 . 【答案】(4)-∞,【解析】由题意联立 2y x y ax a ⎧=,⎨=-,⎩ 整理可得20x ax a -+=,由240a a ∆=-=,解得a =0或a =4,此时直线与抛物线相切,因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当(4)1a x ∈-∞,,>时直线y =ax -a 恒在抛物线2y x =的下方.8.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于 .【答案】12-【解析】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.9.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左、右焦点分别为1F 、2F ,且它们在第一象限的交点为P ,△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形.若|1PF |=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】12()35,【解析】设它们的焦距为2c ,则|2PF |=|12F F |=2c ,双曲线的离心率121025c c e c c==,--由(12)5c c ∈,-得51023c <<. 所以椭圆的离心率2212()102535c c e c c ==∈,++.10.过抛物线22(0)x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B 两点,A,B 在x 轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为,则p= . 【答案】2【解析】抛物线的焦点为(0)2p ,,设11()A x y ,22()B x y ,,,直线AB 的方程为2p y x -=,即y =x +2p .联立 222p y x x py ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去y ,得2220x px p --=.∴12(1(1x p x p =+,=-. ∴12122322p py y x x p p p +=+++=+=,|CD |=|1x -2x|=. 由1(2ABCDS =梯形|AD |+|BC |1)32CD p ⋅=⨯⨯= 解得24p =,∴2p =±. ∵p>0,∴p=2.11.已知点A(0,2)和抛物线C:26y x =,求过点A 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.【解】设直线l 的方程为y =kx +2,这个方程与抛物线C 的方程联立,得方程组226y kx y x =+,⎧⎨=.⎩ 当k =0时,由方程组得2643x x =,=,可知此时直线l 与抛物线相交于点2(2)3,.当0k ≠时,由方程组消去x ,得方程26120ky y -+=.(*)关于y 的二次方程(*)的判别式3648k ∆=-.由∆=0,得34k =,可知此时直线l 与抛物线C 有一个公共点,即它们相切.直线l 的方程为3x -4y +8=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 就是y 轴,其方程为x =0. 所以,直线l 的方程为3x -4y +8=0,或x =0.12.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =所以椭圆的方程为22143y x +=.(2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则RT 03()4y PQ =,,2121()x x y y =-,-,RT PQ ⋅210213()()4x x y y y =-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即RT PQ ⋅=0,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.13.已知椭圆1C :22221(y x a b a b+=>>0)的右顶点为A(1,0),过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆1C 的方程.(2)设点P 在抛物线2C :2(y x h =+h ∈R )上2C ,在点P 处的切线与1C 交于点M ,N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值.【解】(1)由题意,得121b b a=,⎧⎪⎨⋅=,⎪⎩从而21a b =,⎧⎨=.⎩因此,所求的椭圆方程为2214y x +=. (2)设11()M x y ,,2(N x ,22)()y P t t h ,,+, 则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为y ′|2x t t ==, 直线MN 的方程为y =2t x -2t h+将上式代入椭圆1C 的方程中,得2224(2)40x tx t h +-+-=, 即222224(1)4()()t x t t h x t h +--+--4=0. ① 因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点, 所以①式中的422116[2(2)4]0t h t h ∆=-++-+>. ②设线段MN 的中点的横坐标是3x ,则21232()22(1)x x t t h x t +-==+. 设线段PA 的中点的横坐标是4x ,则412t x +=.由题意,得34x x =, 即2(1)t h t +++1=0. ③由③式中的22(1)40h ∆=+-≥,得1h ≥,或3h ≤-. 当3h ≤-时,h 22040h +<,-<, 则不等式②不成立,所以1h ≥.当h=1时,代入方程③得t=-1,将h=1,t=-1代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为1. 拓展延伸14.(2012江西宜春三校联考)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【解】(1)设椭圆方程为22221(y x a b a b+=>>0), 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=.根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<,∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,, 那么1221634kx x k+=-,+∴12028234x x k x k +==-,+ 0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k--,,+-+- 即2286()4433k N k k,++.∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.。