高考数学 单元复习训练正弦定理、余弦定理 新人教A版必修6

4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【原卷版】1．在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝34，则tan A＝()A．56B．76C．53D．732．在△ABC中，A＝π6，AB＝3，AC＝4，则BC边上的高的长度为()A．2217B．2C．3D．2133．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝π3，则△ABC的面积为()A．363B．27C．203D．1834．已知△ABC的面积为S＝14(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．是直角三角形但不是等腰三角形C．是等腰三角形但不是直角三角形D．等腰直角三角形5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3c＝6，A ABC 面积为42，则sin C＝()A．16B．13C．69D．2236．(多选)在△ABC中，下列说法正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos BD．若cos2A＋cos2B－cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．10．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为37412．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a＝cos B cos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BC D ，33417．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．4.6-正弦定理和余弦定理-专项训练【解析版】1．在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝()A ．56B ．76C ．53D ．73解析：D由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为()A ．2217B ．2C ．3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为()A ．363B ．27C ．203D ．183解析：D在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b 2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ABC面积为42，则sin C ＝()A ．16B ．13C ．69D ．223解析：B因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A 所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C ，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是()A ．若a cos A ＝b cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是()A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ABC为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2024·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos ∠BDA ＝32＋12－2×1×313，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b ＋c＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×(6＋26)r ＝3，所以r ＝3－2．答案：3－210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC的面积为12(a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ，即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ．因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0，所以a ＝b ＝2．11．(多选)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是()A ．AB ＝8B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝AC cos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ．12．(2024·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)()A ．65．46kmB ．85．09kmC ．74．35kmD ．121．12km解析：A如图所示，由题意可得AC ＝46km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BC sin A ＝ACsin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2．答案：32((1,2)内任一数即可)14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ，∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6．(2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝a 2＋c 2－2ac cosπ6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．16．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是()A ，334BCD ，334解析：A由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R3sin BB ＋12sin ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32－12cos 2＝2B －12cos 2＋34＝32sin B ＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B ＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜B 1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ．17．已知在△ABC 中，角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足－14．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)因为＝－14，A －12cos －32sin A ＋12cos ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14，所以可得A ＝12，因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233sin B ＋sin1＋因为△ABC 为锐角三角形，＜B ＜π2，＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。

课后限时集训(二十三) 正弦定理、余弦定理及其应用(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1.如图所示，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A ．50 3 mB ．25 3 mC ．25 2 mD ．50 2 mD [因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以B ＝30°.由正弦定理可知ACsin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB ＝50 2 m ．]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝2sin B ，cos C ＝－14，则ca ＝( )A. 6B.62C. 3D.32B [在△ABC 中，由sin A ＝2sin B 及正弦定理，得a ＝2b ，再由cos C ＝－14及余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－14，将b ＝12a 代入，得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－c 22a ·a2＝－14，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝32，∴c a ＝62，故选B.]3．(2018·永州一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [在△ABC 中，由正弦定理可得，2b ＝a ＋c ，①由余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35＝(a ＋c )2－165ac ，②由cos B ＝35，得sin B ＝45，故S △ABC ＝12ac ×45＝6，③由①②③得，b ＝4.故选C.]4．(2018·珠海二模)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A .∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A . 又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜2A ＜π2，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2，∴π6＜A ＜π4， ∴22＜cos A ＜32. 即2＜b ＝2cos A ＜3，故选A.]5．(2018·秦皇岛一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形D [∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋c ，∴a 2＋c 2－b 22c ＋a 2＋b 2－c 22b＝b ＋c ，∴b a 2＋c 2－b 2＋c a 2＋b 2－c 22bc＝b ＋c ，∴b ＋ca 2－b 2－c 2＋2bc2bc＝b ＋c ，∴a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形．] 二、填空题6．(2019·南宁模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，且a ＝14，A ＝2π3，则c ＝________.2 [由sin B ＝2sin C 及正弦定理可得b ＝2c ，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，则14＝4c 2＋c 2－4c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7c 2，解得c ＝ 2.]7．(2018·陕西二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b a ＋c＝1－sin Csin A ＋sin B，且b ＝5，AC →·AB →＝5，则△ABC 的面积是________．532 [由b a ＋c ＝1－sin C sin A ＋sin B 及正弦定理，得b a ＋c ＝1－c a ＋b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.因为AC →·AB →＝bc cos A ＝52c ＝5，所以c ＝2，所以S △ABC ＝12bc sinA ＝12×5×2×32＝532.] 8．在△ABC 中，点D 在边AB 上，C D⊥BC ，AC ＝53，C D ＝5，B D ＝2A D ，则A D 的长为________． 5 [在△ABC 中，B D ＝2A D ，设A D ＝x (x ＞0)，则B D ＝2x .在△BC D 中，因为C D⊥BC ，C D ＝5，B D ＝2x ，所以cos∠CD B ＝C D B D ＝52x.在△AC D 中，A D ＝x ，C D ＝5，AC ＝53，则cos∠A D C ＝A D 2＋C D 2－AC 22×A D×C D ＝x 2＋52－5322×x ×5.因为∠C D B ＋∠A D C ＝π，所以cos∠A D C ＝－cos∠C D B ，即x 2＋52－5322×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以A D 的长为5.]三、解答题9．(2019·武昌模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c . (1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ， 由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ， 化简，得2sin B cos C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ， 即2cos B sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34.10.如图，在平面四边形ABC D 中，AB ＝23，AC ＝2，∠A D C ＝∠CAB＝90°，设∠AC D＝θ.(1)若θ＝60°，求B D的长度；(2)若∠A D B＝30°，求tan θ.[解](1)∵在Rt△A D C中，AC＝2，∠AC D＝θ＝60°，∴A D＝AC sin 60°＝ 3.又在△AB D中，AB＝23，∠BA D＝120°，∴B D2＝A D2＋AB2－2A D·AB cos∠BA D＝(3)2＋(23)2－2×3×23cos 120°＝21，∴B D＝21.(2)∵在Rt△A D C中，∠AC D＝θ，AC＝2，∴A D＝AC sin θ＝2sin θ.又在△AB D中，∠A D B＝30°，∠CAB＝90°，∴∠CA D＋∠AB D＝180°－∠A D B－∠CAB＝60°，∴∠AB D＝60°－∠CA D＝60°－(90°－θ)＝θ－30°.∴在△AB D中，由正弦定理得A Dsin∠AB D＝ABsin∠A D B，即2sin θsinθ－30°＝ABsin 30°＝43，∴sin θ32sin θ－12cos θ＝23，∴2sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝32.B组能力提升1．(2019·郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(测仰角的仪器距地面的距离忽略不计)( )A．15米B．5米C．10米D．12米C[如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AO D中，∠A D O＝30°，则O D＝3h.在△OC D中，∠OC D＝120°，C D＝10，由余弦定理，得O D2＝OC2＋C D2－2OC·C D·cos∠OC D，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．]2．(2019·衡水模拟)在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )＜sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2D [由题意得sin 2A ＜sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 2＜b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＞0，则cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0.∵0＜A ＜π，∴0＜A ＜π2.又a 为最大边，∴A ＞π3.因此得角A 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.] 3．《数学九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜，h a ，h b ，h c 分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高，则S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2×c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c . 若在△ABC 中，h a ＝3，h b ＝2，h c ＝3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为________．1443143 [由12ah a ＝12bh b ＝12ch c ，得3a ＝2b ＝3c ，则a ∶b ∶c ＝23∶3∶2，令a ＝23k ，b ＝3k ，c ＝2k (k ＞0)，代入S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2×c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝12ah a，得48k 4－49k44＝6k ，解得k＝12143.又由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋4－1212＝112，则sin A ＝14312，所以三角形ABC 外接圆的直径2R ＝asin A ＝23k 14312＝243143×12143＝2883143，即R ＝1443143.]4．(2019·太原一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝bsin B ＋ccos C. (1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值； (2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．[解] (1)由a cos C sin B ＝b sin B ＋c cos C ，得a cos C sin B ＝b cos C ＋c sin Bsin B cos C，所以a ＝b cos C＋c sin B ，即sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，所以cos B ＝sin B ，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4，则sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝2(sin A ＋cos A )＋sin A cos A ，令t ＝sin A ＋cosA ，因为sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，0＜A ＜34π，所以0＜t ≤2，sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，所以当t ＝2，即A ＝π4时，上式取得最大值，为52.(2)结合(1)得S ＝12ac sin B ＝24ac ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即2＝a 2＋c 2－2ac ≥(2－2)ac ，ac ≤2＋2，当且仅当a ＝c ＝2＋2时等号成立，所以S ma x ＝2＋12，此时a ＝c ＝2＋2，所以周长L ＝a ＋b ＋c ＝22＋2＋ 2.。

第22讲正弦定理和余弦定理,S△ABC=2√3,则b=()1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,C=π3A.√3B.2C.2√3D.42.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形()A.无解B.有两个解C.有一个解D.解的个数不确定3.[2018·北京石景山区一模]在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC的面积为()A.4√3B.4C.2√3D.2√24.[2018·北京丰台区一模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,c=4,且3sin A=2sin B,则cos C= .5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2A+cos2B+2sin A sin B=1+cos2C,则角C= .6.[2018·承德模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=√6,cos C=2,则3a=()A.3B.4C.5D.67.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=√3,那么△ABC外接圆的半径为()A.2B.4C.√2D.18.[2018·南昌质检]在△ABC中,tan A是以-2为第3项,6为第7项的等差数列的公差;tan B为第2项,27为第7项的等比数列的公比.则△ABC是()是以19A.钝角三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对,a=2√2,则△ABC 9.[2018·咸阳二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=π3面积的最大值为()A.√2B.2√3C.√6D.√310.[2018·合肥三模]若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin B,b=4,则c2-a2=()sin(C-A)=12A.10B.8C.7D.411.[2018·石家庄质检]如图K22-1所示,平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部,AB=1,BC=√2,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为.图K22-1图K22-212.[2018·北京朝阳区期末] 如图K22-2所示,一位同学从P 1处观测塔顶B 及旗杆顶A ,得仰角分别为α和90°-α. 后退l m 至点P 2处再观测塔顶B ,仰角变为原来的一半,设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面,且C ,P 1,P 2三点在同一条水平线上,则塔CB 的高为 m;旗杆BA 的高为 m .(用含有α的式子表示)13.[2018·唐山二模] 如图K22-3所示,在平面四边形ABCD 中,AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ.图K22-314.[2018·合肥一模] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a-2b )cos C+c cos A=0. (1)求C 的值;(2)若c=2√3,求△ABC 的周长的最大值.15.[2018·宁德一检] 如图K22-4所示,岛A ,C 相距10√7海里.上午9点整有一艘客轮在岛C 的北偏西40°且距岛C 10海里的D 处,客轮沿直线方向匀速开往岛A ,在岛A 停留10分钟后前往B 市.上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西70°且距岛C 10√3海里的E 处,此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市. (1)若V ∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得cos ∠BAC=-45,sin ∠ACB=√55.已知速度为V 海里/时(V ∈(0,30])的小艇每小时的总费用为(12V 2+V +50)元,若小张由岛C 直接乘小艇去B 市,则至少需要多少费用?图K22-4课时作业(二十二)1.D [解析]S △ABC =2√3=12ab sin C=12×2×b×√32,解得b=4.故选D . 2.B [解析]∵V sin V =V sin V ,∴sin B=V V sin A=2418sin45°,∴sin B=2√23.又a<b ,∴B>A=45°,∴B 有两个值,即三角形有两个解.3.C [解析]∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,由正弦定理得VV sin V =VV sin V ,∴2√3sin60°=4sin V ,解得sin B=1,∴B=90°,C=30°,∴△ABC 的面积为12×2√3×4×sin30°=2√3,故选C . 4.-14 [解析] 在△ABC 中,a=2,c=4,且3sin A=2sin B ,故3a=2b ,∴b=3,则cos C=V 2+V 2-V 22VV=-14. 5.60° [解析] 由已知得1-2sin 2A+1-2sin 2B+2sin A sin B=1+1-2sin 2C ,由正弦定理得ab=a 2+b 2-c 2,所以cos C=V 2+V 2-V 22VV =12,所以C=60°.6.A [解析] 由余弦定理可得cos C=V 2+V 2-V 22VV ,即23=V 2+1-62V,整理可得(a-3)(3a+5)=0,结合a>0可得a=3.7.D [解析] 因为(a+b+c )(b+c-a )=3bc ,所以(b+c )2-a 2=3bc ,即b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A=V 2+V 2-V 22VV =12,又A ∈(0,π),所以A=π3.又a=√3,由正弦定理可得△ABC 的外接圆半径R=12×V sin V =12×√3√32=1,故选D .8.B [解析] 设题中等差数列为{a n },则a 3=-2,a 7=6,可得公差d=2,即tan A=2;设题中等比数列为{b n },则b 2=19,b 7=27,可得公比q=3,即tan B=3.故tan C=-tan(A+B )=1,所以A ,B ,C 都是锐角.故选B .9.B [解析] 在△ABC 中,由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即8=b 2+c 2-2bc cos π3=b 2+c 2-bc ≥2bc-bc=bc ,即bc ≤8,当且仅当b=c 时,等号成立,所以△ABC 的面积S=12bc sin A ≤12×8×sin π3=2√3,故选B . 10.B [解析]sin(C-A )=12sin B=12sin(A+C ),即2sin C cos A-2cos C sin A=sin A cos C+cos A sin C ,即sin C cos A=3sin A cos C.由正弦定理和余弦定理得c ·V 2+V 2-V 22VV=3a ·V 2+V 2-V 22VV,即b 2+c 2-a 2=3a 2+3b 2-3c 2,即4c 2-4a 2=2b 2=2×16=32,则c 2-a 2=8,故选B .11.3 [解析] 设∠ABC=α,∠ACB=β,在△ABC 中,由余弦定理可得AC 2=3-2√2cos α,由正弦定理可得sin β=√3-2√2cos V.在△BCD 中,由余弦定理可得BD 2=2+3-2√2cos α-2×√2×√3-2√2cos V×cos(90°+β)=5-2√2cos α+2√2sin α=5+4sin(α-45°),当α=135°时,BD 2有最大值9,则BD 的最大值为3.12.(1)l sin α (2)V cos2Vsin V[解析] 设BC=x m .在Rt △BCP 1中,∠BP 1C=α,在Rt △P 2BC 中,∠P 2=V 2.∵∠BP 1C=∠P 1BP 2+∠P 2,∴∠P 1BP 2=V 2,即△P 1BP 2为等腰三角形,P 1P 2=P 1B=l m,∴BC=l sin αm .在Rt △ACP 1中,VV VV 1=VV V cos V =tan(90°-α),∴AC=V cos 2Vsin Vm,则AB=AC-BC=V cos 2V sin V -l sin α=V (cos 2V -sin 2V )sin V=V cos2Vsin V (m). 13.解:(1)由题意可知,AD=1.在△ABD 中,∠DAB=150°,AB=2√3,AD=1,由余弦定理可知,BD 2=(2√3)2+12-2×2√3×1×-√32=19, ∴BD=√19.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ.在△ABD 中,由正弦定理可知,VV sin∠VVV =VV sin∠VVV ,即2cos V sin(60°-V )=4√3,即√32cos V -12cos V4√3,即√32-12tan =4√3,则tan θ=23√3.14.解:(1)根据正弦定理,由已知得(sin A-2sin B )cos C+sin C cos A=0, 即sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos C , ∴sin(A+C )=2sin B cos C ,∵A+C=π-B ,∴sin(A+C )=sin(π-B )=sin B>0,∴sin B=2sin B cos C ,从而cos C=12. ∵C ∈(0,π),∴C=π3.(2)由(1)和余弦定理得cos C=V 2+V 2-V 22VV=12,即a 2+b 2-12=ab ,∴(a+b )2-12=3ab ≤3V +V 22,即(a+b )2≤48(当且仅当a=b=2√3时等号成立),∴a+b ≤4√3. 则△ABC 周长的最大值为4√3+c=6√3.15.解:(1)根据题意得,CD=10,CE=10√3,AC=10√7,∠DCE=70°-40°=30°. 在△CDE 中,由余弦定理得,DE=√VV 2+VV 2-2VV ·VV ·cos∠VVV =10+(10√3)2-2×10×10√3×√32=10,所以客轮的航行速度V 1=10×2=20(海里/时). 因为CD=DE ,所以∠DEC=∠DCE=30°, 所以∠AEC=180°-30°=150°.在△ACE 中,由余弦定理得,AC 2=AE 2+CE 2-2AE ·CE ·cos ∠AEC ,整理得AE 2+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(舍去).所以客轮从E 处到岛A 所用的时间t 1=1020=12(小时), 小张到岛A 所用的时间至少为t 2=10√730=√73(小时). 由于t 2>t 1+16,所以若小张上午9:30出发,则无法乘上这班客轮. (2)在△ABC 中,cos ∠BAC=-45,sin ∠ACB=√55, 所以∠ACB 为锐角,sin ∠BAC=35,cos ∠ACB=2√55,所以sin B=sin[180°-(∠BAC+∠ACB )]=sin(∠BAC+∠ACB )=sin ∠BAC cos ∠ACB+cos ∠BAC sin ∠ACB=35×2√55-45×√55=2√525.由正弦定理得,VV sin∠VVV=VVsin V ,所以BC=10√7×352√525=15√35,所以小张由岛C 直接乘小艇去B 市的总费用为f (V )=15√35V 12V 2+V+50=15√3512V+1+50V ≥165√35(V ∈(0,30]),当且仅当12V=50V ,即V=10时,f (V )min =165√35(元).所以若小张由岛C 直接乘小艇去B 市,其费用至少需要165√35元.。

2021年高考数学专题复习第23讲正弦定理和余弦定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C．变形形式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角二、三角形常用面积公式1．S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；2．S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A 、B 、C ≠π2)．1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63B.223C ．－63D ．－223【解析】 由正弦定理，得sin B ＝b ·sin A a ＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B ＜60°，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 A2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】∵b sin A＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】 B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )A．2 B．4＋2 3C．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos 30°＝4.∴b＝2.【答案】 A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】153 45．(xx·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】 D6．(xx·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵b cos C＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．【答案】 B考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形(xx·临沂模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【思路点拨】 (1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解． (2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解． 【尝试解答】 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.规律方法1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练 (1)△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a 的值( )A.32B.33C.22D ．1(2)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 等于( ) A.14 B ．－14C.13D ．－13(3)(xx·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 (1)法一 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1.法二 由正弦定理b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－B －C ＝π6，∴a ＝b ＝1.(2)由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝4x ， 则cos C ＝9x 2＋4x 2－16x22·3x ·2x＝－14.(3)由sin C ＝23sin B 可知c ＝23b . 又a 2－b 2＝3bc ，∴a ＝7b .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32.∴A ＝30°.【答案】 (1)D (2)B (3)A考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(xx·吉林模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．【思路点拨】 求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边． 【尝试解答】 法一(化边为角)：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， ∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B . ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 法二(化角为边)： 同法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋b 2－b 22ac∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 规律方法2 判定三角形形状的两种常用途径 1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.对点训练 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈(0，π2)，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．考向三 [067] 与三角形面积有关的问题(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积【思路点拨】 (1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；(2)利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积．【尝试解答】 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理asin A ＝b sin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.规律方法3 1.本例2在求解中通过,“b 2＋c 2－bc ＝b ＋c2－3bc ”实现了“b＋c ”与“bc ”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练 (xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(12分)(xx·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.图3－7－1(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【规范解答】 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.2分 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.4分故PA ＝72.6分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.7分 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150° ＝sin αsin 30°－α，9分化简得3cos α＝4sin α，11分 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分 【名师寄语】 1熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.2学会用“执果索因”的方式把待求的边角化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图3－7－2，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．图3－7－2【解】 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.37235 9173 酳39106 98C2 飂k31069 795D 祝36511 8E9F 躟N27943 6D27 洧29283 7263 牣20437 4FD5 俕35534 8ACE 諎 27497 6B69 歩Ky32046 7D2E 紮。

第六章 6.4 6.4.3 第3课时A 级——基础过关练1．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 的北偏东30°方向上，灯塔B 在观察站C 的正西方向上，则两灯塔A ，B 间的距离为( )A ．500米B ．600米C ．700米D ．800米【答案】C 【解析】由题意，在△ABC 中，AC ＝300米，BC ＝500米，∠ACB ＝120°.利用余弦定理可得AB 2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB ＝700米．故选C ．2．(2020年衡水期中)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，若满足条件c ＝4，∠B ＝60°的三角形的解有两个，则b 的长度范围是( )A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(23，4)D ．(4，＋∞)【答案】C 【解析】因为满足条件c ＝4，∠B ＝60°的三角形的解有两个，所以c sin B ＜b ＜c ，即23<b <4，即b 的取值范围为(23，4)．故选C ．3．(多选)在△ABC 中，已知(a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论，其中正确结论是( )A ．由已知条件，这个三角形被唯一确定B ．△ABC 一定是钝三角形 C ．sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3D ．若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532【答案】BC 【解析】∵(a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，∴设a ＋b ＝6k ，c ＋a ＝5k ，b ＋c ＝4k (k ＞0)，得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，则a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3，故C 正确．由于三角形ABC 的边长不确定，则三角形不确定，故A 错误．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝254k 2＋94k 2－494k 22×52×32k 2＝－12＜0，则A 是钝角，即△ABC 是钝角三角形，故B 正确．若b ＋c ＝8，则52k ＋32k ＝4k ＝8，则k ＝2，即b ＝5，c ＝3，A ＝120°，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×5×3×32＝1534，故D错误．故选BC ．4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )A ．20 mB ．30 mC ．40 mD ．60 m【答案】C 【解析】如图，设O 为顶端在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，在△ABD 中，易知∠A ＝30°，∠ADB ＝60°－30°＝30°，∴△ABD 为等腰三角形，即AB ＝BD ＝40(m)．5．(2020年让胡路区校级月考)在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，满足BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，则AD 的长为( ) A ．30 B ．35 C ．20D ．25【答案】D 【解析】由cos ∠ADC ＝35＞0，则∠ADC ＜π2，又由已知D 为BC 边上的一点，得B ＜∠ADC ，得B ＜π2，由sin B ＝513，得cos B ＝1－sin 2B ＝1213.同理由cos ∠ADC ＝35，得sin∠ADC ＝45.则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BDsin ∠BAD×sin B ＝33×5133365＝25.故选D ．6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．【答案】2 【解析】如图，∠BAO ＝75°，∠C ＝30°，AB ＝1，∴∠ABC ＝∠BAO －∠BCA ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin ∠ABC ，∴AC ＝AB ·sin ∠ABC sin C ＝1×2212＝2(千米)．7．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A ，B 到点C 的距离AC ＝BC ＝1 km ，且C ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________km.【答案】3 【解析】在△ABC 中，易得A ＝30°，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝BC sin Csin A ＝2×1×32＝3(km)． 8．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，该船实际航程为________km.【答案】6 【解析】如图所示，在△ACD 中，AC ＝23，CD ＝43，∠ACD ＝60°，∴AD 2＝12＋48－2×23×43×12＝36.∴AD ＝6.即该船实际航程为6 km.9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝π6时，求a 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45>0，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin π6＝103，解得a ＝53.(2)由△ABC的面积S＝12ac sinB，得12ac×35＝3，得ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得4＝a2＋c2－85ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a ＋c＝210.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．解：如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30 m，∴BC＝30 m.在Rt△ABD中，BD＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30(m)，即两船相距30 m.B级——能力提升练11．如图所示，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A．240(3－1)mB．180(2－1)mC．120(3－1)mD．30(3＋1)m【答案】C【解析】由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝AC sin ∠BACsin ∠ABC＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．12．(2020年德州期中)中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为102米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为( )A ．3323米/秒B ．5323米/秒C ．7323米/秒D ．8323米/秒【答案】B 【解析】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理知CE sin ∠EAC ＝AC sin ∠AEC ，∴AC ＝102sin 30°×sin 45°＝20(米)，∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝20×32＝103(米)．∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为10346＝5323(米/秒)．故选B ．13．(2020年北京期末)已知等边△ABC 边长为3，点D 在BC 边上，且BD ＞CD ，AD ＝7.下列结论中错误的是( )A ．BDCD ＝2B ．S △ABD S △ACD ＝2C ．cos ∠BAD cos ∠CAD＝2D ．sin ∠BADsin ∠CAD＝2【答案】C 【解析】在△ACD 中，由余弦定理有AD 2＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos 60°，即7＝CD 2＋9－3CD ，解得CD ＝1或CD ＝2.又BD ＞CD ，故CD ＝1，BD ＝2，∴BDCD ＝2，即选项A 正确.S △ABDS △ACD＝BDCD ＝2，故选项B 正确．在△ABD 中，由余弦定理有cos ∠BAD ＝9＋7－42×3×7＝277，在△ACD 中，由余弦定理有cos ∠CAD ＝9＋7－12×3×7＝5714，∴cos ∠BAD cos ∠CAD ＝2775714＝45，故选项C 错误．sin ∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫57142＝2114，∴sin ∠BAD sin ∠CAD＝2，故选项D 正确．综上，错误的是选项C ．故选C ．14．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ．灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，此时乙船与灯塔A 之间的距离为______海里，两艘轮船之间的距离为______海里．【答案】513 【解析】连接AC ，由题意可知AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，可得AC ＝5，∠BAC ＝60°.在△ACD 中，∠CAD ＝45°，根据余弦定理可得CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝25＋18－2×5×32×22＝13.故乙船与灯塔A 之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为13海里．15．(2020年广州月考)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距302海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．【答案】1717【解析】在△ABC 中，AB ＝302，AC ＝20，∠BAC ＝135°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 135°＝3 400，所以BC ＝1034.由正弦定理得sin ∠ACB ＝ABBC ·sin∠BAC ＝33434.由∠BAC ＝135°知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝53434.故cos θ＝cos(∠ACB ＋45°)＝cos ∠ACB ·cos 45°－sin ∠ACB sin 45°＝22×⎝⎛⎭⎫53434－33434＝1717. 16．(2020年南阳期末)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝c (sin B ＋cos B )．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ABC ＝∠ACB ，D 为△ABC 外一点，DB ＝2，DC ＝1，求四边形ABDC 面积的最大值．解：(1)在△ABC 中，∵a ＝c (sin B ＋cos B )，∴sin A ＝sin C (sin B ＋cos B )．∴sin(π－B －C )＝sin C (sin B ＋cos B )．∴sin(B ＋C )＝sin C (sin B ＋cos B )．∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B sin C ＋sin C cos B ．∴sin B cos C ＝sin B sin C ．又∵B ∈(0，π)，故sin B ≠0，∴cos C ＝sin C ，即tan C ＝1.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.(2)在△BCD 中，DB ＝2，DC ＝1，∴BC 2＝12＋22－2×1×2×cos D ＝5－4cos D ．又∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ACB ＝π4，∴△ABC 为等腰直角三角形．∴S △ABC ＝12×BC ×12×BC ＝14BC 2＝54－cos D ．又∵S △BDC ＝12×BD ×DC ×sin D ＝sin D ，∴S四边形ABDC ＝54－cos D ＋sin D ＝54＋2sin ⎝⎛⎭⎫D －π4.∴当D ＝3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54＋ 2. 17．(2020年上海月考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A ，B ，C ，景区管委会又开发了风景优美的景点D ，经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0.1 km)(2)求景点C 与景点D 之间的距离．(结果精确到0.1 km) 参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449.解：(1)如图，过点A 作AF ⊥DB ，交DB 的延长线于点F .在Rt △DAF 中，∠ADF ＝30°， ∴AF ＝12AD ＝12×8＝4.∴DF ＝AD 2－AF 2＝82－42＝4 3. 在Rt △ABF 中，BF ＝AB 2－AF 2＝52－42＝3，∴BD ＝DF －BF ＝43－3≈3.9.∴景点D 向景点B 修建的这条公路的长约是3.9 km.(2)由题意可知∠CDB ＝75°，由(1)可知sin ∠DBC ＝45，cos ∠DBC ＝35，∴sin ∠DCB ＝sin(∠CDB＋∠DBC )＝6＋24×35＋6－24×45＝76－220.在△BCD 中，由正弦定理可得CD ＝BD sin ∠DBCsin ∠DCB ≈4.0.∴景点C 与景点D 之间的距离约为4.0 km.C 级——探索创新练18．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 内不能收到手机信号．检查员抽查某市一考点，在考点正西约 3 km 处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h 的速度沿公路行驶，最长需要________min ，检查员开始收不到信号，并至少持续________min ，该考点才算合格．【答案】5 5 【解析】如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin 30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)．∴∠BAC ＝30°.∴BC ＝AC ＝1.在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1.∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min.∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并持续至少5 min 才算合格．。

正、余弦定理掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识点 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 必记结论 三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．[自测练习]1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 答案：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2.答案：C2．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得AC ＝2.答案：23．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.答案：7正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|(2015·沈阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．考点三 三角形的面积问题|(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.7.三角变换不等价致误【典例】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解． (3)结论表述不规范．[防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．[跟踪练习] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos A cos B， ∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3， 即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sinC ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C， ∴sin A sin C ＝38.A 组 考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <π2，所以A ＝30°，故选A.答案：A2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45C.1517D ．－1517解析：S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ⎝⎛⎭⎫14sin A －1，由余弦定理得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.答案：D3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214 解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：47．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 答案：18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35.答案：359．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)由cos B ＝1114得sin B ＝5314.又23a sin B ＝5c ，代入得3a ＝7c ， 由a sin A ＝csin C得3sin A ＝7sin C ， 3sin A ＝7sin(A ＋B )，3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ， 得tan A ＝－3，A ＝2π3.(2)AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194，c 2＋⎝⎛⎭⎫76c 2－2c ·76c ·1114＝194，c ＝3，则a ＝7. S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534. 10．(2016·杭州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sinB.又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝－cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C . l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B ＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. 所以△ABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 解析：由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b 12，所以b ＝1. 答案：12．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，故a ＝8.答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.4．(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34. 由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得 tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.。

1.1.1正弦定理作业1、 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于 （ ）A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中，已知ο45,1,2===B c b ，则a 等于 （ ） A. 226- B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）A. ο30,14,7===A b a ，有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ，有两解D. ο60,10,9===A c b ，无解4、在ABC ∆中，已知B a b sin 323=，C B cos cos =，则ABC ∆的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中，ο60=A ,3=a ，则=++++C B A cb a sin sin sin （ ） A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中，已知ο30=A ,ο45=C 20=a ，解此三角形。

7、在ABC ∆中，已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案：1、 解析：由A b a sin 23=可得23sin b A a =，由正弦定理可知B b A a sin sin =，故可得23sin =B ，故=B ο60或ο120。

2、 解析：由正弦定理可得C c B b sin sin =，带入可得21sin =C ，由于b c <，所以ο30=C ，ο105=B ，又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。

4、解析：由B a b sin 323=可得23sin a B b =，所以23sin =A ，即ο60=A 或ο120，又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =，所以ABC ∆为等腰三角形。

4-6正弦定理和余弦定理基础巩固强化1.(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°[答案] A[解析] ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝32sin C ＋32cos C ，即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.故选A.(理)(2011·郑州六校质量检测)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[答案] A[解析] 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形，选A.2．(文)(2011·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(1,2)[答案] C[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 [答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4.3．(2011·福建质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝42，B ＝45°，则sin C 等于( )A.441B.45C.425D.44141[答案] B[解析] 依题意得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝5， 又c sin C ＝b sin B ，所以sin C ＝c sin B b ＝42sin45°5＝45，选B. 4．(2012·天津理，6)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425[答案] A[解析] 由b sin B ＝csin C 及8b ＝5c ，C ＝2B 得，5sin2B ＝8sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.5．(2011·辽宁理，4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2 [答案] D[解析] ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a ，∴ba ＝ 2.6．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.7．在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC ＝2.8．(2011·广州一测)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π3，a ＝2b ，则b 的值为________．[答案]3[解析] 依题意及余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即9＝(2b )2＋b 2－2×2b ×b cos π3，解得b 2＝3，∴b ＝ 3.9．(文)(2012·石家庄质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝2，AC ＝263，则∠B ＝________.[答案] 45°[解析] 利用正弦定理可知：BC sin A ＝AC sin B ， 即2sin60°＝263sin B ，∴sin B ＝22，∵2>263，∴BC >AC ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝45°.(理)(2012·北京西城区期末)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b ＝5，B ＝π4，tan C ＝2，则c ＝________.[答案] 2 2[解析]⎭⎪⎬⎪⎫sin 2C ＋cos 2C ＝1tan C ＝2⇒sin Ccos C ＝2⇒sin 2C ＝45⇒sin C ＝255.由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ，∴c ＝sin Csin B ×b ＝2 2.10．(2012·河南商丘模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B .(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值．[解析] (1)由正弦定理得，sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2. 又cos B ＝13，∴ac ＝6.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及b ＝22， 可得a 2＋c 2＝12，∴(a －c )2＝0，即a ＝c . ∴a ＝c ＝ 6.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力.能力拓展提升11.(文)(2011·泉州质检)△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝12，所以B ＝60°，选B.(理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的长度分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a 、b 的值分别为( )A ．a ＝1，b ＝4B ．a ＝4，b ＝1C ．a ＝4，b ＝4D ．a ＝2，b ＝2[答案] D[解析] 由余弦定理得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，∴ab ＝4.联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4.解得a ＝2，b ＝2.12.(2011·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66[答案] D[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4. 在△ABC 中，由正弦定理得3sin C ＝4sin A ，在△ABD 中，由余弦定理得， cos A ＝3＋3－42×3×3＝13，∴sin A ＝223，∴sin C ＝3sin A 4＝3×2234＝66，故选D. 13．(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则∠A 的大小为________．[答案] π6[解析] ∵sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2， ∴sin(B ＋π4)＝1， ∵0<B <π，∴B ＝π4，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12， ∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.(理)(2011·河南质量调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．[答案] 2[解析] 依题意得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝2.14．(2011·安阳月考)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝________.[答案] 1[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )， ∴a b ＋c ＋b a ＋c＝1. 15．(2012·天津文，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.(1)求sin C 和b 的值；(2)求cos(2A ＋π3)的值．[分析] (1)由cos A ＝－24及0<A <π，sin 2A ＋cos 2A ＝1可求sin A ，再由正弦定理求sin C ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可求b 的值．(2)由(1)知道sin A ，cos A ，用正弦、余弦二倍角公式求sin2A ，cos2A ，展开cos(2A ＋π3)代入即可．[解析] (1)在△ABC 中， 由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1. 所以sin C ＝74，b ＝1.(2)由cos A ＝－24，sin A ＝144得， cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74.所以，cos(2A ＋π3)＝cos2A cos π3－sin2A sin π3 ＝－3＋218.[点评] 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦关系、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查基本运算求解能力．16．(文)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3，又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，a 2＋c 2－ac －4＝0，又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.。

第6节 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin __B ∶sin __C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数 一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝2π3.答案 C3.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( )A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝bsinπ4，∴112＝b22，∴b ＝ 2. 答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A.4 2B.30C.29D.2 5解析 由题意得cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________. 解析 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7.答案7考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.答案 (1)75° (2)B (3)C规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·郑州二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个B.2个C.0个D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝csin C，得2sin3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，可得2cos2A ＋B2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0， 解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)，由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13. (3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定解析 (1)由c b <cos A ，得sin C sin B<cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 若将本例(2)中条件变为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，判断△ABC 的形状. 解 ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形.考点三 和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________.解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 答案 12规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2019·潍坊一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋2c )cosB ＋b cos A ＝0.(1)求B ；(2)若b ＝3，△ABC 的周长为3＋23，求△ABC 的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得(sin A ＋2sin C )cos B ＋sin B cos A ＝0， (sin A cos B ＋sin B cos A )＋2sin C cos B ＝0， sin(A ＋B )＋2sin C cos B ＝0，又sin(A ＋B )＝sin C ，且C ∈(0，π)，sin C ≠0， ∴cos B ＝－12，∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴a 2＋c 2＋ac ＝9，则(a ＋c )2－ac ＝9. ∵a ＋b ＋c ＝3＋23，b ＝3，∴a ＋c ＝23， ∴ac ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334.[思维升华]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形. [易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.答案 D2.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析 因为cos 2B 2＝a ＋c 2c， 所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 答案 B3.(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( )A.7B.27C.37D.47解析 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)，(其中tan θ＝39). 所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D4.(2019·开封模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C＝2sinA sinB ，且b ＝6，则c ＝( )A.2B.3C.4D.6解析 在△ABC 中，A ＝π3，b ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝36＋c 2－6c ，① 又3sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，∴3c 2cos C ＝2ab ， 即cos C ＝3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴a 2＋36＝4c 2，②由①②解得c ＝4或c ＝－6(不合题意，舍去).因此c ＝4. 答案 C5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为( ) A.33B.233C.36D.433解析 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 及正弦定理， 得2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ， 易知sin B sin C ≠0，∴sin A ＝12.又b 2＋c 2－a 2＝8，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc，则cos A >0.∴cos A ＝32，即4bc ＝32，则bc ＝833. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.答案 B 二、填空题6.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝217，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(c ＝－1舍去). 答案2173 7.(2019·合肥模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________.解析 根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4， 所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3. 答案38.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________. 解析 由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案14三、解答题9.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－ab －2b 2＝0. (1)若B ＝π6，求A ，C ；(2)若C ＝2π3，c ＝14，求S △ABC .解 (1)由已知B ＝π6，a 2－ab －2b 2＝0结合正弦定理化简整理得2sin 2A －sin A －1＝0，于是sin A ＝1或sin A ＝－12(舍).因为0<A <π，所以A ＝π2，又A ＋B ＋C ＝π， 所以C ＝π－π2－π6＝π3.(2)由题意及余弦定理可知a 2＋b 2＋ab ＝196，①由a 2－ab －2b 2＝0得(a ＋b )(a －2b )＝0， 因为a ＋b >0，所以a －2b ＝0，即a ＝2b ，② 联立①②解得b ＝27，a ＝47. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝14 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A.4πB.8πC.9πD.36π解析 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C＝6，R ＝3. 故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C12.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝ 23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.答案 C13.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________.解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ， 所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ，又sin B b ＝sin A a，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12，当且仅当b ＝c ＝23时取等号， 从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3.答案 3 314.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。