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第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。
本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。
思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。
在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。
三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。
平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。
《高等数学B（一）》教学大纲课程代码：课程名称：高等数学B（一）开课学期：1学分/学时：5/90课程类型：通识课适用专业/开课对象：软件工程/一年级本科生先修/后修课程：高中数学基础/高等数学B（二）开课单位：数理与信息工程学院执笔人：刘智斌、刘玲、陈泳责任教授：王建飞团队负责人：王建飞核准院长：张长江一、课程概述高等数学(一)是理科生必修的基础理论课。
它包括函数与极限，一元函数微积分和微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继专业课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
本课程以课堂讲授为主，辅以课堂练习和小组讨论，在教学中注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、课程目标与毕业要求1. 支撑的毕业要求2. 课程目标课程目标1：使学生掌握微积分的基本概念、基本理论和求解微积分的基本方法。
课程目标2：会运用所学微积分知识分析和解决软件编程及其相关领域的一些实际问题。
3. 课程目标对毕业要求强支撑指标点的权重关系注：（1）将一个毕业要求指标分解到一个或多个课程目标中完成；（2）每一行的权重Σ＝1课程目标对毕业要求指标强支撑关系分析：课程目标1是学习本课程的主要目标，旨在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及空间想象能力，对毕业要求指标1-1构成支撑。
课程目标2是课程目标1的延申和提高，旨在培养学生分析和解决实际问题的能力，对毕业要求指标1-1构成支撑。
课程目标1和2支撑毕业要求指标1-1所涉及的内容教学学时比例大概为8:2。
三、教学内容及学时分配四、教学方法以教师课堂讲授为主，适当进行课堂练习和分组讨论，穿插数学文化，引导学生积极思考，提高教学效果。
五、课程考核要求及方法本课程成绩由平时成绩(30%)，期中考试成绩(20%)，期末考试成绩(50%)组合而成，采用百分制。
表5-1 成绩组成、考核/评价环节、分值、细则和对应的课程目标本门课程平时成绩的评分标准见下表5-2所示。
人教B版高二数学上册第三单元知识总结_知识点总结
归纳总结知识点也是学习的一种方法，下面是人教B版高二数学上册第三单元知识点归纳总结，希望能帮助大家复习!
事件与频率
频率，是单位时间内完成周期性变化的次数，是描述周期运动频繁程度的量，常用符号f 或ν表示，单位为秒分之一，符号为s-1。
古典概型
古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace ) 提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
例如：①掷一次硬币的实验(质地均匀的硬币)，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的;②如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的;③又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
人教B版高二数学上册第三单元知识点就总结到这里了，供参考复习！。
高等数学（B ）（1）第三单元辅导一、导数与微分1． 导数概念导数概念是微积分最重要的概念之一，读者应从下列几方面加以理解。
（1）导数定义的实质导数)(0'x f 是函数)(x f 在0x 处的变化率（即瞬时变化率），它反映了函数)(x f 在0x 处相对于自变量变化的快慢程度。
例如，变速直线运动的瞬时速度，反映了质点在0t 时刻，位移)(t s 相对于时间变化的快慢，在自然科学和工程技术的许多问题中，都要涉及到变化率的概念（即导数概念）。
（2）三种等价形式导数定义中，若令x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，且当0→∆x 时，有0x x →，从而 000)()(lim )('0x x x f x f x f x x --=→ 这就是函数)(x f 在点0x 处的导数的一种等价定义。
另一种等价形式是，在导数定义中令h x =∆，则0→∆x 就是0→h 。
从而又有h x f h x f x f h )()(lim )('0000-+=→ )('0x f 的不同形式为讨论不同问题提供了多种手段。
（3）导函数上面定义的是函数)(x f 在点0x 处的导数概念。
如果函数)(x f 在区间a (，)b 内任意一点处都可导，就说函数)(x f 在区间a (，)b 内可导。
这时，对于每一点∈x a (，)b ，都有导数值)('x f 与之对应，所以)('x f 也是x 的函数，称)('x f 为)(x f 的导函数，也可记作'y ，dx dy 或dx x df )( 计算导函数的公式为x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0显然，知道了导函数)('x f ，要求函数)(x f 在0x 处的导数只要把0x x =代入导函数)('x f 中去求值就行了。
所以，函数)(x f 在0x 处的导数 实际上就是导函数)('x f 在0x 处的值。
导函数也简称为导数。
（4）导数的几何意义函数)(x f y =在x 处的导数)('x f 就是曲线)(x f y =在对应点),(y x P 处的切线的斜率。
根据上述导数的几何意义，得到曲线)(x f y =在点0x 处的切线方程和法线方程分别为： ))(('000x x x f y y -=-)()('1000x x x f y y --=- )0)('(0≠x f 当0)('0=x f 时，法线平行于y 轴，其方程为0x x =当曲线)(x f y =在点0x 处的切线平行于y 轴时，法线平行与x 轴，其方程为 )(0x f y =2． 微分概念（1）微分定义的实质在自然科学与工程技术中，常会遇到于导数密切相关的一种问题：在运动或变化过程中，当子变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。
设y 随x 均匀变化，即)0(≠+=k b kx y 其中，则函数的改变量y ∆与自变量的改变量x ∆之间成简单的线性（正比）关系：x k y ∆=∆对于一般的函数)(x f y =，y ∆与x ∆之间的关系是比较复杂的，但是能否用线性关系去近似呢？近似后所产生的误差有怎样呢？现在就可导函数)(x f y =来研究这个问题。
当函数)(x f y =在0x 可导时，有x y x f x ∆∆=→∆00lim)('或写成0)('lim 00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆∆→∆x f x y x 上式表明，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆∆)('0x f x y 是当0→∆x 时的无穷小，因此写为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆∆)('0x f x y α= 即 x x x f y ∆+∆=∆α)('0其中α为当0→∆x 时的无穷小，可见，y ∆是由两项之和构成，其中第一项()x x f ∆0'与x ∆成线性关系，且当0→∆x ，()00'≠x f 时，它是x ∆的同阶无穷小；而第二项，由于0→∆∆xx a （0→∆x ） 故它是x ∆的高阶无穷小。
这就表明：当x ∆充分小，且()00'≠x f 时，第二项的绝对值比第一项的绝对值要小得多。
从而与x ∆成线性关系的()x x f ∆0'构成了y ∆的主要部分，简称为y ∆的线性主部。
由上面分析，可以看出，如果取()x x f ∆0'作为y ∆的近似值，即≈∆y ()x x f ∆0'不但得到了y ∆与x ∆之间的近似线性关系，而且还可以知道近似后的误差x a ∆是x ∆的高阶无穷小。
对于y ∆的线性主部()x x f ∆0'（这就是微分定义的实质），函数)(x f y =在0x 的微分可以写成dy =()0'x f dx当函数)(x f y =在0x 有微分时，我们说()x f 在0x 可微。
当()x f 在区间),(b a 内的每一点都可微时，我们就说()x f 在该区间内可微，这时，上述微分表达式中，0x 的下标可以去掉，写成dy =dx x f )('由微分定义可知，一个可微函数一定可导；同时，一个可导函数也一定可微，因为求出了导数后，只要乘上dx ，就是相应的微分。
因此，可导是可微的充要条件。
引入微分后，导数也叫做“微商”，即函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商dxdy 。
（2）微分的几何意义图2中，()00,y x P 和()y y x x Q ∆+∆+00,是曲线)(x f y =上邻近的两点，PT 是曲线在点P处的切线，它的倾角为α。
由图容易得：==αPRtg RT ()x x f ∆0'=dy它表示，当自变量有改变量x ∆时，曲线)(x f y =在对应点()00,y x P 的切线上纵坐标的改变量就是微分dy 。
3． 导数与微分运算（1）显函数的微分法求显函数的导数或微分，只要直接应用和、差、积、商及复合函数的求导法（或微分法）即可。
（2）复合函数微分法复合函数求导时，先要搞清复合关系，可以“由外往里层层剥”地设置中间变量。
4． 高阶导数函数)(x f y =的导数)('x f y =的导数，叫做)(x f y =的二阶导数，记作)(''x f ，''y ，22)(dx x f d 或22dx yd通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数。
求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方 法。
二、导数的应用前面我们研究了导数和微分概念，确立了微分法。
这节将应用导数来研究函数及其图像的性质（包括函数的增减性、凹凸性、极值等），并运用这些性质解决最大（小）值问题。
因此，它的重点是“应用”，应用时要注意各种条件与结论（包括必要条件、充分条件等），以及各类问题的解题步骤。
我们知道，函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。
利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。
为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。
1． 中值定理微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。
拉格朗日定理 如果函数)(x f y =满足：（ⅰ）在闭区间a [，]b 上连续；（ⅱ）在开区间a (，)b 内可导，则在a (，)b 内至少存在一点ξ，使ab a f b f f --=)()()('ξ )(b a <<ξ 需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求ξ值的具体方法，它只是肯定了ξ值的存在，并且至少有一个。
如图3中的函数)(x f y =，在a (，)b 有1ξ与2ξ两个。
拉格朗日定理的意义是：建立了函数)(x f y =在区间a [，]b 上的改变量)()(a f b f -与函数在区间a (，)b 内某一点ξ处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。
2． 用导数研究函数的性质为了使论述方便，我们将使用记号0I 和I ，它们分别表示开区间a (，)b 和闭区间a [，]b 。
函数单调性的判别法。
设f 在区间I 上连续且在区间0I 上可导，则（1） 如果函数f 在区间0I 上满足0)('>x f ，则函数f 在区间I 为递增函数；（2） 如果函数f 在区间0I 上满足0)('<x f ，则函数f 在区间I 为递减函数。
（3） 如果函数f 在区间0I 上满足0)('=x f ，则函数f 在区间I 为常数。
3．曲线的上下凹性函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。
设'f 在区间I 上连续且在区间0I 上可导，则（1） 如果函数'f 在区间0I 上满足0)(''>x f ，则函数'f 在区间I 为递增函数，函数曲线上凹；（2） 如果函数'f 在区间0I 上满足0)(''<x f ，则函数'f 在区间I 为递减函数，函数曲线下凹。
4．局部极值性我们说f 在点0x 达到极大值，指的是在0x 的领域内)(0x f 为最大，同样，f 在点0x 达到极小值，指的是在0x 的领域内)(0x f 为最小，函数的极大值和极小值概念是局部性的。
如果)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值），那只是就点0x 附近一个局部范围来说，)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值），如果就函数)(x f 整个定义域来说，)(0x f 不见得是函数)(x f 极大值（或极小值）。
我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数)(x f 可导，并且点0x 是它的极值点，那么点0x 必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。
如函数3)(x x f =，点0x =0是它的驻点，但是在),(+∞-∞内函数3)(x x f =是单调增加的，所以点0x =0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。
此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数x x f =)(在点0x =0处不可导，但是在该点取得极小值。
最大值与最小值现在设函数)(x f 在闭区间a [，]b 上连续，在开区间a (，)b 可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数)(x f 在闭区间a [，]b 的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间a (，)b 内的某一点0x 取得，那么这个最大值或最小值)(0x f 必定是函数)(x f 的一个极大值或极小值。
于是，点0x 必定为函数)(x f 的驻点；最后，函数)(x f 的最大值或最小值也可能是在a x =或b x =处取得。
我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。
