新人教版九年级数学上册：《配方法解一元二次方程》教案设计

人教版九年级数学上册《解一元二次方程—配方法》优秀教学设计设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《解一元二次方程—配方法》这一节，主要让学生掌握利用配方法解一元二次方程的方法。

教材通过引入具体的一元二次方程，引导学生发现解方程的规律，从而总结出配方法解一元二次方程的一般步骤。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握解题技巧，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程有了初步的了解。

但在解一元二次方程方面，部分学生可能还停留在试错阶段，没有形成系统的解题方法。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导他们发现解题规律，提高解题效率。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握配方法解一元二次方程的基本步骤和方法。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生发现解题规律的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：配方法解一元二次方程的步骤及应用。

2.难点：如何引导学生发现配方法的解题规律。

五. 教学方法1.引导发现法：通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，发现解题规律。

2.案例教学法：以具体的一元二次方程为例，演示配方法解题过程。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探索解题方法。

六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例。

2.制作课件，展示解题过程。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的一元二次方程，引导学生回顾已知的解题方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一个具体的一元二次方程，让学生尝试利用已知的解题方法进行求解。

在学生解题过程中，教师引导学生观察、分析，发现解题规律。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，运用配方法解一元二次方程。

教师巡回指导，解答学生遇到的问题。

4.巩固（10分钟）呈现一组类似的一元二次方程，让学生独立运用配方法进行解答。

21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。

人教版九年级数学上册21.2.2《用配方法解一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节《用配方法解一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，是学生从代数角度理解一元二次方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

本节课的内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘除，以及一元二次方程的基础知识上进行学习的，是对一元二次方程的解法进行深入探讨。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够进行简单的代数运算，对于一元二次方程也有了一定的理解。

但是，学生对于配方法解一元二次方程的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的学习，让学生熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤和技巧。

三. 教学目标1.让学生掌握配方法解一元二次方程的步骤和技巧。

2.培养学生运用配方法解一元二次方程解决实际问题的能力。

3.通过对配方法解一元二次方程的学习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.配方法解一元二次方程的步骤和技巧。

2.如何将实际问题转化为配方法解一元二次方程的问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生发现问题、解决问题，让学生自主探究配方法解一元二次方程的步骤和技巧。

同时，运用案例教学法，让学生通过具体案例，理解并掌握配方法解一元二次方程的应用。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.教学案例。

3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这类问题。

例如：一块土地，种植苹果和橘子，苹果树和橘子树的数量之和为100，苹果树的数量是橘子树数量的2倍，求苹果树和橘子树各有多少棵。

呈现（10分钟）呈现问题，让学生尝试解决。

在学生解决问题的过程中，引导学生发现其实质是一个一元二次方程，进而引出配方法解一元二次方程。

操练（10分钟）让学生通过PPT上的案例，自主探究配方法解一元二次方程的步骤和技巧。

在这个过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。

巩固（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，巩固所学知识。

用配方法解一元二次方程【学习目标】1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程．2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能．【学习重点】配方法的解题步骤．【学习难点】用配方法解系数不为1的一元二次方程．情景导入 生成问题旧知回顾：1．填空：(1)x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2； (2)x 2－5x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522； (3)x 2＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122. 2．若x 2－mx ＋64是一个完全平方式，那么m 的值是±16．自学互研 生成能力知识模块一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【自主探究】阅读教材P 6第2个“探究”至P 7，完成下面的内容：解方程：x 2＋6x ＋4＝0. 解：移项，得x 2＋6x ＝－4. 两边都加上9即⎝ ⎛⎭⎪⎫622，使左边配成x 2＋2bx ＋b 2的形式，得 x 2＋6x ＋9＝－4＋9．左边写成平方形式，得(x ＋3)2＝5．开平方，得降次)，即解一次方程，得归纳：通过配成完全平方形式的方法，叫做配方法．配方是为了降次，把一个一元二次方程化成两个一元一次方程来解．范例：用配方法解下列方程：x 2－4x －2＝0解：移项，得x 2－4x ＝2配方，得x 2－4x ＋4＝2＋4即(x －2)2＝6两边开平方，得x －2＝±6，∴x 1＝6＋2，x 2＝－2＋2【合作探究】仿例：用配方法解下列方程：x 2－23x ＝4 解：配方，得x 2－23x ＋19＝4＋19，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＝379；∴x－13＝±373，∴x 1＝1＋373，x 2＝1－373. 知识模块二 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【自主探究】阅读教材P 8，完成下面的内容：范例：用配方法解下列方程：2x 2－6x ＋9＝0.解：移项，得2x 2－6x ＝－9.二次项系数化为1，得x 2－3x ＝－92. 配方，得x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－92＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝－94. 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． 【合作探究】归纳：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n)2＝p 的形式，那么就有：(1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当p<0时，方程无实数根．仿例：用配方法解方程．23x 2＋13x －2＝0 解：整理，得2x 2＋x －6＝0，移项，得2x 2＋x ＝6二次项系数化为1，得x 2＋12x ＝3 配方，得x 2＋12x ＋116＝3＋116即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＝4916两边开平方，得x ＋14＝±74∴x 1＝32，x 2＝－2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程知识模块二 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程当堂检测 达成目标 【当堂检测】1．用配方法解方程2x 2－5x ＝1时，方程的两边都应加上( D ) A .52 B .54 C .54 D .5162．x 2＋6x ＋9＝(x ＋3)2；x 2－5x ＋254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522. 3．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2＋y 2－2x －4y ＋16的值总是正数．4．用配方法解方程．(1)x 2－2x －2＝0；(2)x 2＋3＝23x ；(3)9y 2－18y －4＝0；(4)6x 2－x ＝12.解：(1)x 1＝1－3，x 2＝1＋3；(2)x 1＝x 2＝3；(3)y 1＝1－133，y 2＝1＋133；(4)x 1＝32，x 2＝－43. 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

用配方法解一元二次方程的教案用配方法解一元二次方程一、教学目标：1.了解一元二次方程的基本概念与性质；2.掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法；3.培养学生思考问题、解决问题的能力。

二、教学重点：1.用配方法解一元二次方程的基本原理；2.用配方法解一元二次方程的步骤和方法。

三、教学难点：1.培养学生思考问题、解决问题的能力；2.用配方法解一元二次方程的不同情况的区别判断。

四、教学方法：1.讲授法；2.激励法；3.练习法。

五、教学流程：1.引入教师先通过平衡游戏、数学谜语或其他适合的方式引入本节课的教学，调动起学生的学习兴趣。

2.新课讲解（1）一元二次方程的基本概念教师先让学生回忆一元二次方程的基本概念：一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0（其中a≠0）的二次方程，其中a、b、c为实数。

（2）用配方法解一元二次方程的原理教师先讲解用配方法解一元二次方程的原理：配方法是把一个二次式化为一个完全平方的形式，从而使解题更加简便。

（3）用配方法解一元二次方程的步骤和方法具体步骤如下：【步骤1】将方程左右两边移动常数项c以获得b项的系数，即得到形如ax^2+bx的式子。

【步骤2】将b项的系数b除以2得到b/2。

【步骤3】把x^2+ b/ax^2+b =a(x+b/2)^2+b^2/4a式子写成a(x+b/2)^2=-b^2/4a，即a(x+b/2)^2=-k（k>0）。

【步骤4】方程两边同时开平方根，得到x+b/2=+/-√(-k/a)。

【步骤5】将x+b/2=+/-√(-k/a)转化为x= （-b/2a）+/-√b^2-4ac/2a 的形式。

举例说明：2x²-12x+10=0【步骤1】2x²-12x=-10【步骤2】将b项系数-12除于2得到-6。

【步骤3】把2(x-3)²-2变形为2(x-3)²=2-10，即2(x-3)²=-8。

21.2.1 配方法第2课时 用配方法解一元二次方程一、教学目标1.了解配方的概念..2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.二、教学重难点重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.用直接开平方法解下列方程:(1)9x 2=1 ；(2)(x -2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?(1) x 2+6x+9 =5；(2)x 2+6x+4=0.[提示]把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方法.[探究交流]问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a 2+2ab +b 2=(a+b )2；(2)a 2-2ab +b 2=(a-b )2.问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x 2+4x +22= ( x +2)2；（2）x 2-6x +32= ( x -3 )2；（3）x 2+8x +42= ( x +4 )2；（4）x 2- 43x +(3)2= ( x -3)2. [思考]你发现了什么规律？[归纳总结]配方的方法：二次项系数为1的完全平方式；常数项等于一次项系数一半的平方.[思考]x 2+px +( p 2)2=(x +p2)2【新知探究】(一)用配方法解方程[思考]怎样解方程:x 2+6x +4=0(1)?问题1 方程(1)怎样变成（x +n )2=p 的形式呢？问题2 为什么在方程x 2+6x =-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x 2+2bx +b 2的形式.[归纳总结]方程配方的方法归纳：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.[归纳总结]1.配方法的定义像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.2.配方法解方程的基本思路：把方程化为（x +n )2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．(二)配方法的应用例1 解下列方程：(1) x 2−8x +1=0；解：（1）移项，得x 2－8x =－1,配方，得x 2－8x +42=－1+42 ,即( x －4)2=15由此可得x −4=±√１5,方程的两根为x 1=4+√15,x 2=4−√15.(2) 2x 2+1=3x ；解：（2）移项，得2x 2－3x=－1,二次项系数化为1，得x 2−32x =−12 配方，得x 2−32x +(34)2=−12+(34)2,,即(x −34)2=116由此可得x −34=±14方程的两根为x 1=1,x 2=12[思考]移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?(3)3x 2−6x +4=0.解：（3）移项，得3x 2−6x =−4,二次项系数化为1，得x 2−2x =−43 配方，得(x −1)2=−13 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．[思考]用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.[思考]用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.[归纳总结]一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±√p,方程的两个根为x1=−n−√p,x2=−n+√p②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且a2−6a+b2−8b+√c−5+25=0，试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得(a−3)2+(b−4)2+√c−5=0由代数式的性质可知(a−3)2=0,(b−4)2=0,√c−5=0,∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=32+42=52=c2,所以，△ABC为直角三角形.例4.读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物。

第2课时配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m ＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m －4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。