函数图象的对称教案

函数图象的对称性教学设计导语：在数学的学习中，函数图象的对称性是一个重要的概念。

通过对函数图象的对称性进行教学，不仅可以帮助学生更好地理解函数的性质，还可以培养学生的观察与分析能力。

本文将提供一种针对函数图象的对称性的教学设计，旨在帮助教师通过富有趣味和互动性的活动，引导学生深入理解函数图象的对称性。

一、教学目标1. 知识目标：了解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。

2. 能力目标：通过观察函数图象，能够判断函数关于不同轴的对称性。

3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生观察和分析问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：理解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。

2. 教学难点：通过观察函数图象判断函数关于不同轴的对称性。

三、教学准备1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、直尺、教学实例。

2. 学生准备：课本、笔记本。

四、教学过程步骤一：导入新知（10分钟）教师通过提问和引入相关实例，引起学生对函数图象的对称性的兴趣。

例如，教师可以给学生展示一些有趣的图片，让学生观察并思考其中的对称性。

然后，教师引导学生定义函数图象的对称性。

步骤二：讲解理论知识（20分钟）1. 函数关于原点对称的判定方法。

教师通过讲解函数关于原点对称的概念，引导学生发现函数图象中关于原点对称的规律，并总结出函数关于原点对称的判定方法。

2. 函数关于y轴对称的判定方法。

教师通过讲解函数关于y轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于y轴对称的规律，并总结出函数关于y轴对称的判定方法。

3. 函数关于x轴对称的判定方法。

教师通过讲解函数关于x轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于x轴对称的规律，并总结出函数关于x轴对称的判定方法。

步骤三：教学实践（50分钟）1. 学生练习判断函数图象的对称性。

教师出示一些具体函数的图象，在黑板上标出函数图象的对称中心，并带领学生一起判断函数关于原点、y轴和x轴的对称性。

《正弦函数图象的对称性》教学设计【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）.【教学过程】一、复习引入对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道，诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：…………给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：……… 1 …上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，可以用等式（R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.证明预案：.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据诱导公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.上述对称可以用等式（Z，R）表示.3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）三、课堂小结1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心数学组刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ 知识巩固例1 作下列函数的简图 （1）x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点 ③连线（2）①列表②描点 ③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数（2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。

五、特别注意我们在上面的研究中，蕴含了对定义域的一定要求。

但是有时这个定义域的要求却要特别提出来。

比如平移变换中，两个函数的定义域也是可以通过平移互相得到。

对称变换中，定义域必须也满足相应的对称关系。

如果定义域不满足对应关系，后面的关系式也就没有了意义。

六、函数性质判断技巧①2)()1(=++x f x f ②)()2(x f x f -=+③)2()2(x f x f -=+ ④)()4(x f x f --=+ ⑤)5()3(x f x f -=+ ⑥)5()3(x f x f --=+ ⑦2)()1(=-++x f x f①②括号里的x 前面的符号相同，都是正，由此可以退出函数的周期性。

③⑤括号里的x 前面的符号相反，但是等号两边的f 前面的符号相同，可以推出关于某条直线对称。

④⑥括号里的x 前面的符号相反，等号两边的f 前面的符号也不相同，可以推出关于某个点对称。

⑦先把两个f 分到等号的两边去，再去应用上面的规律。

七、定义域、值域与图象)(x f 与)1(+x f 的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4）那么)1(+x f 的定义域为（0,1），值域仍为（2,4）。

)(x f 与)1(+x f +2的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4），那么2)1(++x f 的定义域为（0,1），值域为（4,6）。

八、习题1、若点）（b a ,在lg y x = 图象上，a ≠1,则下列点也在此图象上的是 （ ）（A ）（a 1，b ） (B ) )1,(10b a - (C) (a10,1+b ) (D))2,2b a （ 分析：2lg lg 22,lg a a b a b ===则.故选D.2、已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于（0,1）对称，求)(x f 解析式。

解：由题意可知：2)()(=-+x h x f ，则x x x x x h x f 1212)(2)(+=⎪⎭⎫⎝⎛+---=--= 即解析式为xx x f 1)(+=.)6()(-=xfxf，4>x周期为６，所以1)1()5()2009(=-==fff.答案为C.24、已知定义在区间上的函数的图象如图所示,则的图象为（）分析：)(xf图象上任意取一个点),(yx，有)(xfy=，令)2()(xfxg--=，则)()2(yxfxg-=-=-，即),2(yx--在)2(xf--图象上，而),(yx和),2(yx--关于)0,1(这个点对称。

课时安排：2课时教学目标：1. 理解函数对称性的概念，掌握函数奇偶性、周期性和轴对称性的判断方法。

2. 能够运用函数对称性的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力及数学建模能力。

教学重点：1. 函数对称性的概念及判断方法。

2. 常见函数的对称性。

教学难点：1. 对称性的性质在解决实际问题中的应用。

2. 复杂函数对称性的判断。

教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教案、习题。

2. 学生准备：笔记本、笔。

教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中数学中函数的概念，引导学生思考函数的性质。

2. 提出问题：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？二、讲授新课1. 函数对称性的概念- 轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称性，该直线称为对称轴。

- 中心对称：如果一个函数的图象沿一个点旋转180度，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称性，该点称为对称中心。

2. 常见函数的对称性- 常数函数：既是轴对称又是中心对称。

- 一次函数：既是轴对称又是中心对称。

- 二次函数：具有轴对称性，对称轴为x=-b/2a。

- 反比例函数：具有中心对称性，对称中心为原点。

- 指数函数：不具有对称性。

- 对数函数：不具有对称性。

3. 函数对称性的性质- 奇函数的性质：f(-x)=-f(x)，函数图象关于y轴对称。

- 偶函数的性质：f(-x)=f(x)，函数图象关于x轴对称。

- 周期函数的性质：f(x+T)=f(x)，函数图象具有周期性。

三、课堂练习1. 判断以下函数的对称性：（1）y=x^2-4x+3（2）y=|x|（3）y=x^32. 根据函数的对称性，求函数的解析式。

四、小结1. 总结本节课所学内容，强调函数对称性的概念、判断方法和性质。

2. 强调对称性在解决实际问题中的应用。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问学生：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？2. 引导学生思考对称性在解决实际问题中的应用。

抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称。

推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。

推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线ax =对称。

推论3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称。

推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点)0,2(ba +对称。

推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存有对称中心。

定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2ab x -=对称（由x b x a -=+可得）。

推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。

1．函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。

（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。

故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b+对称，反之亦然。

证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y令a+0x ='x , b －0x ="x则Ａ（'x ，0y ），Ｂ（"x ，0y ）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 2a b+对称的。

反之，若已知函数关于直线x = 2a b+对称，在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（00,x y ）那么P （00,x y ）关于x = 2a b+对称点'P （a+ b －0x ,0y ）也在函数上故f(0x )=f(a+ b －0x )⇔f(a+(0x -a))=f(b-(0x -a))所以有f (a +x) = f (b －x)成立。

学案7 函数图像的对称变换一、课前准备： 【自主梳理】1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称．2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．4、对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线 对称．5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 【自我检测】23、函数xy e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x=对称，则C '的解析式为 ．5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称．6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1xx a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．三、课后作业1、函数3(1)1y x =++的对称中心是 ．2、如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ．3、设()3x af x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a = ．4、已知函数()sin 2cos2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12x π=，则a = ．5、已知函数2()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()xf b 与()xf c 的大小关系为 ．6、函数321x y x +=-+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为 ． 7、若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点 ． 8、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则(0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．9、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．10、设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ． （1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34t s t =-．四、纠错分析学案7 函数图像的对称变换参考答案【自我检测】1．原点 2．x 轴 3．xy e -= 4．2log y x = 5．直线1x = 6．8 【例1】（1）必要不充分条件 （2）①③ （3）lg(1)2y x =--++ （4）1- 【例2】（1）作12log y x =的图象关于y 轴的对称图形．（2）作12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴的对称图形．（3）作2log y x =的图象及它关于y 轴的对称图形．（4）作21y x =-的图形，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．（图略） 【例3】（1）21x y =--（2）①证明：设()00,P x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，则00()y f x =．点P 关于直线2x =的对称点P '的坐标应为()004,x y -． ∵[][]00000(4)2(2)2(2)()f x f x f x f x y -=+-=--==． ∴点P '也在函数()y f x =的图象上． ∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称．②解析：由()21f x x =-，[]0,2x ∈及()f x 为偶函数，得()()21f x f x x =-=--，[]2,0x ∈-；当[]2,4x ∈时，由()f x 图象关于2x =对称，用4x -代入()21f x x =-，得()(4)()24127f x f x x x -==--=-+，[]2,4x ∈，再由()f x 为偶函数，得()27f x x =+，[]4,2x ∈--．故[](]27 , 4,2()2 1 , 2,0x x f x x x +∈--⎧⎪=⎨--∈-⎪⎩．课后作业：1．()1,1- 2．23x -- 3．0 45．()()xxf b f c ≤ 6．(],1-∞- 7．()3,1 8．09．解：（1）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ-sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ =8．(2)在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 3g π==10．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程， 得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．。