竖曲线

竖曲线讲解Vertical Curve ExplanationA vertical curve is a geometric design element used in road and highway engineering to provide a smooth transition between two different grades or elevations. It ensures a comfortable and safe driving experience by gradually changing the slope of the road, reducing the impact on vehicles and passengers.竖曲线是道路和公路工程中使用的几何设计元素，用于在两个不同的坡度或高程之间提供平滑过渡。

它通过逐渐改变道路的坡度，确保舒适和安全的驾驶体验，减少对车辆和乘客的冲击。

There are two types of vertical curves: sag curves and crest curves. Sag curves are concave downward, resembling the shape of a valley, and are used when the road descends from a higher elevation to a lower one. On the other hand, crest curves are convex upward, resembling the shape of a hill, and are employed when the road ascends from a lower elevation to a higher one.竖曲线分为两种类型：凹曲线和凸曲线。

凹曲线向下凹，形似山谷，用于道路从较高高程降至较低高程的情况。

隧道内竖曲线计算当正线相邻坡段坡度差≥1‰，应设置竖曲线，竖曲线形式为圆曲线。

竖曲线计算公式如下：L=Rsh×λ/2000（L为竖曲线全长的一半，单位：m）y=x2/2R（y为竖曲线高度，单位：m）其中：Rsh—竖曲线半径（m），10000～20000m；x—竖曲线始点至计算纵距之距离，单位m；λ—为相邻竖曲线的代数差。

在设计图中，竖曲线的位置的标高应表示为：括号内的标高为未考虑竖曲线影响的标高，括号外的标高为已考虑竖曲线影响的标高。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1 ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m=k5+000-k4+940=60m 桩号k5+000处：x1切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m 2/2R=602/2*2000=0.90mh1=x1设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m=k5+100-k4+940=160m 桩号k5+100处：x2切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m 2/2R=1602/2*2000=6.40mh2=x2设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。

竖曲线1、竖曲线要素计算1.)变坡角δ：相邻两纵坡i1，i2，由于公路纵坡的允许值不大，故可以认为变坡角δ为：δ=△i= i1-i2（若不考虑近似情况，该值δ=arctan (i1)-arctan(i2)。

需要注意的是假设坡度上升为正时，δ计算结果会有正有负，但其绝对值的大小却与变坡角的角度相等。

但若不考虑正负差异，会造成最终的计算结果出错。

）2.)切线长T：（变坡角δ和圆心角大小相等。

）由于δ很小，可认为故（若不考虑近似情况，,δ值的正负号需注意。

）3.)曲线长L的计算由于变坡角δ很小，可认为L=2T（若不考虑近似情况，因为δ等于该弧所对应的圆周角，那么L=R*δ，其中δ应换算成弧度。

注意在利用CASIO计算器计算时的中间、最终结果的角度弧度问题。

）4.)外矢距E的计算由于变坡角δ很小，可认为y坐标与半径方向一致，它是切线上与曲线上的高程差。

从而得（R+y）2=R2+x2展开2Ry=x2-y2又因y2 与x2相比较，y2的值很小，略去y2，则2Ry= x2即当x=T时，y值最大，约等于外矢距E，所以（若不考虑近似情况，y2+2Ry-x2=0，，其中E >0,。

）2、竖曲线的测设算例：已知：某竖曲线半径R=2000米，相邻坡段的坡度i1=-2.95%，i2=-5.0628%，变坡点里程桩号为K0+760，其高程为428.312米。

（设计给出T=21.128，E=0.112。

）求：K0+730、K0+740、K0+750、K0+760、K0+770、K0+780、K0+790的线路坡度高程和设计高程。

解：步骤一：由已知条件知δ= i1-i2=-0.0295+0.050628=0.021128弧度（若不考虑近似情况δ=（arctan(i1)-arctan(i2)）=1°12′30.82″=0.0210940493155弧度）1、）切线长=1000*（-0.0295+0.050628）=21.128米（若不考虑近似情况，=21.0942米）2、）曲线长L=2T=21.128*2=42.256米（若不考虑近似情况L=R*δ=2000*（arctan(i1)-arctan(i2)）=2000*1°12′30.82″*π/180°=42.1867米）3、）外矢距=21.128^2/4000=0.1116米(若代入T=21.0942，计算结果=0.1112)（若不考虑近似情况 =0.1112米，其中T=21.0942。

第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。

可采用抛物线或圆曲线。

一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。

1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。

ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。

我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或 Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。

(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。

以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。

按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。

表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。

（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。

例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m。

竖曲线计算竖曲线计算的目的是确定设计纵坡上指定桩号的路基设计标高。

其要点是：首先根据转坡点处的地面线与相邻设计直线坡段情况，按上述竖曲线中的有关规定和要求，合理地选定竖曲线半径。

其次，根据转坡点相邻纵坡度i1、i2和已确定的半径R，计算出竖曲线的基本要素w、L、T、E及竖曲线起、终点桩号。

第三，分别计算出指定桩号的切线设计标高，指定桩号至竖曲线起（或终）点间的平距l和指定桩号的竖距h。

则指定桩号的路基设计标高为：（1）凸形竖曲线：路基设计标高=切线设计标高-h（2）凹形竖曲线：路基设计标高=切线设计标高+h例.某山岭区二级公路，转坡点设在K6+140桩号处，其高程为428.90，两相邻坡段的前坡i1=+4.0%，后坡 i2=-5.0%，选用竖曲线半径R=2000m。

试计算竖曲线要素及桩号K6+080和K6+160处的路基设计标高。

1.计算竖曲线要素转坡角：w= i1- i2=(0.04)-(-0.05)=0.09w＞0，为凸形竖曲线。

曲线长：L=R w=2000*0.09=180m切线长：T=L/2=180/2=90m外距：E=T2/(2R)= 902/(2*2000)=2.03m2.计算起、终点桩号竖曲线起点桩号=（K6+140）-90=K6+050竖曲线终点桩号=（K6+140）+90=K6+2303.计算路基设计标高桩号K6+080处：平距（平距是竖曲线上任意一点至起点或终点的水平距离）l=（K6+080）-（K6+050）=30m竖距（竖距是切线上任意一点至竖曲线上的竖向距离）h= l2/(2R)= 302/(2*2000)=0.23m切线标高=428.9-60*0.04=426.50m设计标高=426.50-0.23=426.27m桩号K6+160处：平距l=（K6+230）-（K6+160）=70m竖距h=l2/(2R)= 702/(2*2000)=1.23m切线标高=428.9-20*0.05=427.90m设计标高=427.90-1.23=426.67m。

竖曲线竖曲线【vertical curve】在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线称为竖曲线。

竖曲线有凸形和凹形两种。

道路纵断面线形常采用直线(又叫直坡段)、竖曲线两种线形，二者是纵断面线形的基本要素。

竖曲线常采用圆曲线，可以分为凸形和凹形两种。

在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点，被称为变坡点。

为了保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处设置竖曲线。

竖曲线的主要作用是：缓和纵向变坡处行车动量变化而产生的冲击作用，确保道路纵向行车视距；将竖曲线与平曲线恰当地组合，有利于路面排水和改善行车的视线诱导和舒适感。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径和竖曲线长度。

凸形的竖曲线的视距条件较差，应选择适当的半径以保证安全行车的需要。

凹形的竖曲线，视距一般能得到保证，但由于在离心力作用下汽车要产生增重，因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大，以保证行车的平顺和舒适。

鐵路線路採用的豎曲綫，按其形狀可分為一下三種：1 圓曲綫形豎曲綫2 抛物線形豎曲綫3 連續短坡（鏈條坡）目前採用最多的為抛物線形豎曲綫。

這種豎曲綫，在離開切線后，其曲度逐漸變更，將一端的坡度緩緩變化而成為他端的坡度，因其圖形與拋體運動的軌道形狀相同，故稱為拋物線形豎曲綫。

關於豎曲綫的有關規定相鄰坡度的坡度代數差應儘量小些，最大不得超過重車方向的限制坡度值。

Ⅰ、Ⅱ级铁路相邻地段的坡度差大于3‰，Ⅲ级铁路大于4‰时，应以竖曲线连接。

竖曲线半径：Ⅰ、Ⅱ级铁路应为10000m，Ⅲ级铁路应为5000m。

竖曲线不应与缓和曲线重叠，也不应设在无碴桥的桥面上。

竖曲线不宜与道岔重叠，困难条件下必须重叠时，竖曲线半径不应小于10000m。

這裡我們可以這樣分析：如果豎曲綫與道岔重疊時，豎曲綫半徑採用10000米，按我國現行標準道岔來考慮，在尖軌長為7.7及6.25米的範圍內，豎曲綫的影響值為3及2毫米；而在道岔全長範圍內，豎曲綫的影響值為3及2毫米；而在道岔全廠範圍內，其坡度變化如下表所列數值。

第二节 竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。

竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。

在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。

纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i 1 和i 2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i 1-i 2 ，其中i 1、i 2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。

当 i 1- i 2为正值时，则为凸形竖曲线。

当 i 1 - i 2 为负值时，则为凹形竖曲线。

（一）竖曲线基本方程式我国采用的是二次抛物线形作为竖曲线的常用形式。

其基本方程为：若取抛物线参数为竖曲线的半径 ，则有：（二）竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示1、切线上任意点与竖曲线间的竖距通过推导可得：2、竖曲线曲线长： L = R ω3、竖曲线切线长： T= T A =T B ≈ L/2 =4、竖曲线的外距： E = ⑤竖曲线上任意点至相应切线的距离：式中：x —为竖曲任意点至竖曲线起点（终点）的距离, m ；R —为竖曲线的半径，m 。

二、竖曲线的最小半径Py x 22=P R Ry x 22=R xy 22=h ==PQ h )()(2112li y l x R y y A A q p ---=-Rl 22=2ωR R T 22Rx y 22=(一)竖曲线最小半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。

（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。

竖曲线计算竖曲线定义:纵断面上两个坡段的转折处,为了便于行车用一段曲线缓与,这条连接两个纵坡线的曲线称为竖曲线。

竖曲线作用:1)以平缓曲线取代折线可消除汽车在变坡点处冲击,2)确保道路纵向行车视距;3)将竖曲线与平曲线恰当地组合,有利于路面排水与改善行车的视线诱导以及舒适感。

变坡点:在道路纵断面上两个相邻纵坡线的交点。

竖曲线分类:竖曲线常采用圆曲线,可以分为凸形与凹形两种。

凹凸竖曲线判断:如上图,当前坡段坡度大于后坡段坡度时为凸型曲线;当前坡段坡度小于后坡段坡度时为凹曲线;坡度:通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度。

(注:判断就是凹凸竖曲线时,坡度含正负号,例如,前坡段坡度为－2、3%,后坡段坡度为－1、4%,因为－2、3%<－1、4%,故此竖曲线为凹形竖曲线,我们习惯把上坡段用“＋”表示,下坡段用“－”表示)道路纵断面线形常采用直线、竖曲线两种线形,二者就是纵断面线形的基本要素。

竖曲线技术指标主要有竖曲线半径与竖曲线长度。

凸形的竖曲线的视距条件较差,应选择适当的半径以保证安全行车的需要。

凹形的竖曲线,视距一般能得到保证,但由于在离心力作用下汽车要产生增重,因此应选择适当的半径来控制离心力不要过大,以保证行车的平顺与舒适。

竖曲线基本要素:竖曲线长:L 切线长:T 外距:E半径:R竖曲线起终点桩号计算:竖曲线起点桩号:变坡点桩号－T竖曲线终点桩号:变坡点桩号＋T如右图所示,两个相邻的纵坡为i1与i2,竖曲线半径为R,则测设元素为:曲线长L=R ×α由于竖曲线的转角α很小,故可以认为:α=i1-i2;所以L=R(i1-i2)切线长T=Rtan 2α 因为α很小,tan2α=2α;所以可以推出: T=R ·2α=2L =21R(i1-i2) 又因为α很小,可以认为:ＤＦ=Ｅ;ＡＦ=Ｔ根据三角形ＡＣＯ与三角形ＡＣＦ相似,根据相似三角形“边角边”定理得出:Ｒ:Ｔ=Ｔ:２Ｅ; 于就是如上图外距Ｅ＝RT 22, 同理可导出竖曲线上任意一点Ｐ距切线纵距的计算公式:y ＝Rx 22式中:x —竖曲线上任意一点P 到竖曲线起点或终点的水平距离Y —值在凹形竖曲线中为正号,在凸形竖曲线中为负号。

还需要两个坡度啊.最简单的一种方法是先计算出不设竖曲线时，也就是直线坡度上该点的高程，再加上该点竖曲线上与直线的高差y。

y=x^2/2R，x 是任意点距竖曲线起（终）的距离，（当任意点位于变坡点之前时取该点与竖曲线起点的距离，变坡点之后取与竖曲线终点的距离）.注意凸型竖曲线y值为负，凹型为正。

（当坡度1大于坡度2时，为凸型，小于为凹形）SU-Qu-XIANLbI0:”N=”?N:”K=”?K:Prog”S-XL”: B-C—＞F: F/AbsF—＞A: （ARF）/2—＞T: （RF2 ）/8—＞E:IfK≤V-T:Then B(K-V)+U—＞H: Ifend: If K≤V+T And K＞V-T :Then Prog”Z”: Ifend :If K＞V+T:ThenC(K-V)+U—＞H:IfEnd”H=”:H▲”M=”?M:”I=”?I: H+MI —＞P:”H-M=”:P▲”X=”?X:X-P—＞Y:”△H=”:Y▲Goto 0￣↓ZIf K≤V:Then B(K-V)+U-(A(T+k-V)2)/(2R)—＞H: EIse C(K-V)+U-(A(T+V-K)2)/(2R)—＞H:Ifend: Return↓S-XLN=1＝＞Prog”AS”: N=2＝＞Prog”BS”: N=3＝＞Prog”CS”: N=4＝＞Prog”DS”: N=5＝＞Prog”ES”: N=6＝＞Prog”FS”: N=7＝＞Prog”GS”: N=8＝＞Prog”QI-TA-S”:Return￣↓QI-TA-S“I1=”？B：“I2=”？C：“R=”？R：“JD-K=”？V：“JD-H=“？U：Return￣↓ASLbI 0:If K≤1500:Then -0.004296—＞B: -0.002—＞C: 5000—＞R: 1940—＞V :27.385—＞U:IfEnd: Return:If……同上N为线路选择，K为里程，B为第一纵坡，C为第二纵坡，R为半径，V为交顶点里程，U为顶点高程。

竖曲线竖曲线设计竖曲线定义：纵断面上相邻两条纵坡线相交的转折处，为了行车平顺用一段曲线来缓和，这条连接两纵坡线的曲线叫竖曲线。

竖曲线的形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。

在设计和计算上为方便一般采用二次抛物线形式。

纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示。

当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线。

一．凹凸竖曲线的判别如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为i1 和i2，则相邻两坡度的代数差即转坡角为ω= i2-i1，其中i1、i2为本身之值，当上坡时取正值，下坡时取负值。

当i2- i1为正值时，则为凹形竖曲线。

当i2 – i1 为负值时，则为凸形竖曲线。

二．主要公式坡度差：ω= I2-I1竖曲线曲线长：L = Rω竖曲线切线长：T= TA =TB ≈L/2 = Rω/2或者：T=(I1-I2)/2*R竖曲线的外距： E =T2 /2R修正值：X=D2 /2R其中D为所求点桩号到竖曲线起点或终点的距离三．竖曲线的半径竖曲线半径的确定1.凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素：（1）缓和冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力，使汽车在凸形竖曲线上重量减小，所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。

（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段的坡度差很小时，即使竖曲线半径较大，竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大，乘客不适；从视觉上考虑也会感到线形突然转折。

因此，汽车在凸形竖曲线上行驶的时间不能太短，通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于3秒钟。

（3）满足视距的要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小，会阻挡司机的视线。

为了行车安全，对凸形竖曲线的最小半径和最小长度应加以限制。

2.凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（1）缓和冲击：在凹形竖曲线上行驶重量增大；半径越小，离心力越大；当重量变化程度达到一定时，就会影响到旅客的舒适性，同时也会影响到汽车的悬挂系统。

竖曲线是测绘学中常用的一种曲线形式，主要用于平面道路、铁路以及河道等工程设计中，用以规划线路的走向和纵向变化。

下面将为大家汇总一些关于竖曲线的相关知识点，希望对测绘人员有所帮助。

一、竖曲线的定义竖曲线是指平面道路或轨道的纵断面上，由两段直线连接而成的一种变曲线。

它可以用来描述道路或轨道在垂直方向上的变化情况，即纵向曲率。

二、竖曲线的作用1. 平滑过渡：竖曲线可在不同坡度之间实现平滑的过渡，使车辆或列车运行时保持稳定，并减少行驶时的颠簸感。

2. 提供视距：通过调整曲率半径，竖曲线可以提供足够的视距，让驾驶员或司机在前方拐弯处能够清晰地见到目标点。

3. 减小视觉疲劳：竖曲线的存在可以使驾驶员或司机的视线产生变化，缓解连续行驶长时间后的视觉疲劳。

三、竖曲线的要素1. 曲率半径：竖曲线的曲率以曲率半径来表示，曲率半径越大，曲线越平缓。

2. 设计速度：竖曲线的设计速度是指车辆或列车在曲线上行驶的预定速度。

3. 切线长：切线长是指在竖曲线中，两段直线的连接部分的长度。

4. 过渡曲线：过渡曲线是指连接竖曲线两段直线的自由曲线，用于实现平滑的过渡。

四、常见的竖曲线形式1. 圆形竖曲线：曲率半径不变，变化率恒定，适用于交通量较小的道路或弯道处。

2. 抛物线竖曲线：曲率半径随纵坐标按二次或三次函数变化，能够实现更加平滑的过渡。

3. 其他形式的竖曲线：根据具体要求和设计条件，还可以采用折线、三角形等形式的竖曲线。

五、竖曲线的设计方法竖曲线的设计需要根据实际情况和设计要求进行，主要包括以下几个步骤：1. 确定设计速度和曲率半径；2. 计算切线长，根据切线长选择过渡曲线形式；3. 进行竖曲线的绘制和计算，包括确定各个坐标点和切线点的位置；4. 检查竖曲线的可行性和合理性，并做出必要的调整。

六、竖曲线的测量与矫正在实际工程中，竖曲线的设计很难完全按照理论来实现，常常需要进行实地测量和矫正。

测量方法主要包括全站仪测量和激光测距仪测量，通过对实测数据进行处理和分析，可以对竖曲线进行精确的矫正，以保证工程质量和安全。