第4章刚体的运动学和动力学
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任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 O
刚体
v
r' P θ
v r' an r ' 2 dv a r' dt
r
×基点O
参 考 方 向 定轴
瞬时轴
§ 力矩 刚体绕定轴转动定律 ( 动力学 )
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) dt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
R m
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R
J r dm
0 m 2 R 0
dr
r O
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
(3) J 与转轴的位置有关 z
M O dx
L 2 0
z M L O dx x
J x dx
2 0
L
L
0
M 1 2 x dx ML L 3
2
M O
L
J铁 J木
dx
x
(2) J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
dl R O m
J R dm
2 0
L
2π R
0
R 2dl
3
R
2
2π R
0
m dl 2π R mR 2 2π R
z
M
z
L
L 1 2 J Z J Z M ML 2 3
J z 1 / 12ML2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
L x
J
1 x dx ML2 3
J
L/ 2
L / 2
x 2dx
1 ML2 12
z M
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML2
z'
L
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
C
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
理论推证
取一质量元 Fi fi mi ai
O 切线方向
ri
fi
Fi
Fi fi mi ai
mi
2
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri mi ai ri 对所有质元
mi ri
2
Fi r i fi r i ( mi ri
合内力矩 = 0
)
合外力矩 M
刚体的转动惯量 J
三. 转动惯量
定义式
J mi ri
J r 2dm
2
质量不连续分布 质量连续分布
•
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z
力 F 对z 轴的力矩
z
r
F// F Fn
F
M z ( F ) Fτ r F h
•
h
力矩取决于力的大小、方 向和作用点
只有两个指向
A
F
• 在刚体的定轴转动中，力矩
力对定轴力矩的矢量形式
z
r
F// F Fn
F
M Z r F
第4章 刚体的运动学 和动力学
§ 刚体绕定轴转动 (运动学)
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
I
f (t )
d f ' (t ) dt
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
力矩的方向由右螺旋法则确定
h
A
F
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对y轴的力矩 解
y
M L
M df dm g dm dx L O 根据力矩 dM M gxdx L L M 1 M gxdx MgL 0 L 2
M 1 3 3g cos mgl cos 2 J 2 ml 2l
d d ω dt d
0 d 0
ω
θ
3gcos d 2l
3 gsin l
M z J
在国际单位中 k = 1
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴 的转动惯量
讨论 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F , J m, a
•
刚体
v
r' P θ
v r' an r ' 2 dv a r' dt
r
×基点O
参 考 方 向 定轴
瞬时轴
§ 力矩 刚体绕定轴转动定律 ( 动力学 )
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
P
II
M
d d 2 2 f " (t ) dt dt
当 β c
0 t 1 2 ( ) t t 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
z ω,
与质点的匀加速直线运动公式相象
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
R m
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R
J r dm
0 m 2 R 0
dr
r O
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
(3) J 与转轴的位置有关 z
M O dx
L 2 0
z M L O dx x
J x dx
2 0
L
L
0
M 1 2 x dx ML L 3
2
M O
L
J铁 J木
dx
x
(2) J 与质量分布有关
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
dl R O m
J R dm
2 0
L
2π R
0
R 2dl
3
R
2
2π R
0
m dl 2π R mR 2 2π R
z
M
z
L
L 1 2 J Z J Z M ML 2 3
J z 1 / 12ML2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
例如 T' T
x dx
x
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
T' T
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动 当存在 M 时， 与 M 成正比，而与J 成反比
M J
刚体的转动定律
M kJ
L x
J
1 x dx ML2 3
J
L/ 2
L / 2
x 2dx
1 ML2 12
z M
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML2
z'
L
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
C
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
理论推证
取一质量元 Fi fi mi ai
O 切线方向
ri
fi
Fi
Fi fi mi ai
mi
2
对固定轴的力矩 Fi ri fi ri mi ai ri 对所有质元
mi ri
2
Fi r i fi r i ( mi ri
合内力矩 = 0
)
合外力矩 M
刚体的转动惯量 J
三. 转动惯量
定义式
J mi ri
J r 2dm
2
质量不连续分布 质量连续分布
•
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴
的位置
(1) J 与刚体的总质量有关 例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量 z
力 F 对z 轴的力矩
z
r
F// F Fn
F
M z ( F ) Fτ r F h
•
h
力矩取决于力的大小、方 向和作用点
只有两个指向
A
F
• 在刚体的定轴转动中，力矩
力对定轴力矩的矢量形式
z
r
F// F Fn
F
M Z r F
第4章 刚体的运动学 和动力学
§ 刚体绕定轴转动 (运动学)
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
z
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
角坐标 角速度 角加速度
I
f (t )
d f ' (t ) dt
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M xdm g g xdm
C
mg
dm
M mgxC
1 M mgl cos 2
xdm mxC
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
力矩的方向由右螺旋法则确定
h
A
F
例 已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对y轴的力矩 解
y
M L
M df dm g dm dx L O 根据力矩 dM M gxdx L L M 1 M gxdx MgL 0 L 2
M 1 3 3g cos mgl cos 2 J 2 ml 2l
d d ω dt d
0 d 0
ω
θ
3gcos d 2l
3 gsin l
M z J
在国际单位中 k = 1
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体对 z 轴 的转动惯量
讨论 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F , J m, a
•