【复习必备】(江苏专用版 )2019-2020-2020学年高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4

江苏省南京市2019-2020学年高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x-+-+-==-=-++，故奇函数，四个图像均符合。

当(0,)x π∈时，sin 0x >，2sin 01x x y x +=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x x y x +=>+，排除A 。

故选B 。

【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

2．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）A ．0B ．1C ．2lg eD ．2lg10【答案】A【解析】【分析】 根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入ln10a =，lg b e =，因为ln101lg e >>，所以由程序框图知， 输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e -=-=-=. 故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.3．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2i z的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C【解析】【分析】 由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i z 化简后可找到其对应的点. 【详解】由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 4．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C【解析】【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案. 【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21tan 2b a PAF ac ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）. 故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.5．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3(0,)4B． C．3)4 D． 【答案】C【解析】【分析】求导，先求出()f x在(x ∈单增，在)x ∈+∞单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【详解】 依题意，2432ln (12ln )()e x xe x e x x f x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2x =，x =x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞，()0f x '<，且12f ==， 故方程2108t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根， 故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3,)24m ∈. 故选：C.【点睛】本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.6．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】【分析】 由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.7．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．3B ．C ．3D ．3【答案】B【解析】【分析】首先由AB =的半径即可求解.【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a ===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 8．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC =,则AC =（ ） A ．5B ．5 1C ．5或1D 5【答案】B【解析】∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =,2BC =∴2sin 22B == ①若B 为钝角，则2cos 2B =-，由余弦定理得2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅， 解得5AC =②若B 为锐角，则2cos 2B =，同理得1AC =. 故选B.9．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同【答案】A【解析】【分析】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D.【详解】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ，2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误；2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了0.480.340.410.34x x x-≈倍，故C 错误； 2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.10．已知集合{}{13,},|2x A x x x Z B x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】弄清集合B 的含义，它的元素x 来自于集合A ，且2x 也是集合A 的元素.【详解】因|1|3x -≤，所以24x -≤≤，故{}2,1,0,1,2,3,4A =--，又x ∈Z ，2x A ∈ ，则0,1,2x =，故集合B ={}0,1,2.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.11．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D【解析】【分析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.12．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学联考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】【分析】根据并集和补集的定义，直接计算得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为__．【答案】2【解析】【分析】将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.【详解】为纯虚数本题正确结果：【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】【分析】根据频率分布直方图求出的频率，利用得到不低于的概率，利用得到结果.【详解】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题.4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】【分析】按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.【详解】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】【分析】所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共种，由此得到概率为.【详解】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法来求解.6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.【详解】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】【分析】三棱锥体积与三棱锥体积一样，为上动点，可知面积为侧面面积的一半；到面的距离等于到面的距离的，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.【详解】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果.【详解】为上的奇函数又本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据对称轴之间距离求出最小正周期，从而求得；利用的终边所过点，得到、；将利用两角和差公式展开求得结果.【详解】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键在于能够通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出的正余弦值.10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】【分析】根据点求出，从而得到直线；假设点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解.【详解】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的坐标，最终求得结果.11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】【分析】通过单调递减区间可确定，，利用韦达定理得到关于的方程，求解出结果.【详解】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数值为零的点，通过构建方程求得结果.12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得范围.【详解】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然后找到临界情况，从而列出关于的不等关系，求得范围.13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8【解析】【分析】通过分析图像可知：取最大值时，且在圆内部，由此可确定点的坐标，再利用方程组求解得到坐标为，由此可求得.【详解】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果.14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】首先根据可得恒成立，通过分析可求得；利用已知条件得到时，，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量和，分析求出的取值范围.【详解】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思路，整体难度较大.关键在于能够将范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多，需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求较高.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过，证得结论；（2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到平面，从而证得结论.【详解】（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得；（2）方法一：利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等式求得的最值，从而得到的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不等式得到的最小值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为【点睛】本题主要考查解三角形边角关系式的化简，以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B 分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）设，可表示出直线的方程，从而求得两点坐标，进而将表示为关于的函数，利用导数求得最值；（2）方法一：将表示为，利用将面积表示出来，利用进行换元，从而化简得：，再根据的范围求得面积最大值；方法二：利用三角形面积公式，直接用表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采用相同的求最大值方法求值. 【详解】【解】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米【点睛】本题考查函数导数的实际应用问题，属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果.19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【答案】（1）81；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【详解】（1）时，由得解得 （2）时，由，得则 因为，所以……① 所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得 所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入和，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或，符合定义式即可证得结论.20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【详解】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】【分析】设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.【详解】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果；（2）通过求得得点坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出即可求得所求余弦值.【详解】以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系，并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果. 23.设整数数列{a n }共有2n （）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】 【分析】（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果. 【详解】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比较高，难度较大.。

第4章 章末复习（一）一、要点回顾1. 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个 ,负数的n 次方根是一个 .这时,a 的n 次方根用符号 表示.当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数 . 当n 为奇数时,√a n n= ;当n 为偶数时,√a n n =|a|= { , a ≥0,, a <0.2. 正数的正分数指数幂的意义是a m n= (a>0, m , n ∈N *,且n>1); 正数的负分数指数幂的意义是a －m n= (a>0, m , n ∈N *,且n>1).3. 有理数指数幂的运算性质a r a s = , (a r )s = ,(ab )r = ,其中a>0, b>0, r , s ∈Q . 4. 对数的概念(对数与指数的互化):如果a b =N (a>0且a ≠1),那么b 叫作以a 为底N 的对数,记作b= ,其中a 叫作对数的 ,N 叫作 . 5. 对数的性质:① log a 1= ; ② log a a= ; ③ a log a N = .6. 对数的运算性质:如果a>0且a ≠1, M>0, N>0, n ∈R,那么log a (MN )= , log a M N= , log a M n = . 7. 换底公式及其推论:① log a b=log c b log c a (a , c 均大于0且不等于1, b>0);② log a b ·log b a=1,即log a b=1log b a;③ lo g a m b n =nm log a b.二、考点聚焦考点一 指数式与对数式的互化(a b =N ⇔log a N=b ,其中a>0且a ≠1) 【例1】 (1) 若log x √y 7=z ,则 ( )A. y 7=x zB. y=x 7zC. y=7xD. y=z 7x (2) 已知log a 2=m , log a 3=n ,则a 2m+n = .题组训练1. 若log x 8=3,则x= .2. 已知3m =2n =k ,且1m +1n=2,则k 的值为( )A. 15B. √15C. 6D. √63. 已知log 5(log 2x )=1,求x 的值.考点二 利用指数、对数的运算性质计算 【例2】 (1) 已知3a+2b=1,求9a b√a的值;(2) 已知lg a －lg b=m ,求lg (a 2)3－lg (b 2)3的值.题组训练 1.化简:(8)－13+lg √10等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. (1) 已知x log 34=1,求4x +4－x 的值;(2) 已知3a =2, 3b =5,求log 360的值.3. 已知log 4a=log 25b=√3,求lg(ab )的值.考点三 换底公式的应用 【例3】 计算:log 5√2×log 79log 513×log 7√43.题组训练1. 计算:log 54·log 1625= .2. 计算:(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).3. 已知log 189=a , 18b =5,试用a , b 表示log 3645.三、课后作业1. (多选)下列结论中错误的有( )A . 若log 2x =3,则x =6B . 5log 5125=√5C . lg(lne)=0D . lg(lg10)=1 2. 若√(3a －1)2=√(1－3a)33,则实数a 的取值范围为( )A . (0,13) B . (0,13]C . (－∞,13] D . [13,+∞)3. 计算:lg 2516－2lg 59+lg 3281等于( )A . lg2B . lg3C . lg4D . lg54. 已知a =log 54,那么log 564－2log 520用a 表示是 ( )A . a －2B . 5a －2C . 3a －(1+a )2D . 3a －a 2－15. (多选)下列说法中正确的有( )A . x－34=√(1x )34(x >0)B . √(－x)23=－x 23C . √a 2=aD . √－x 3=－x √－x6. 设a =log 310, b =log 37,则3a－b的值为( )A .107B . 710 C . 1049 D . 49107. 若log a b ·log 3a =4,则b 的值为 . 8. 计算:(1)(18)－13×(－76)0+80.25×√24+(√23×√3)6;(2) lg25+23lg8+lg5×lg20+(lg2)2－10lg3.9. 已知2x =3, log 483=y ,则x +2y 的值为 ( )A . 3B . 4C . 8D . log 4810. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震时释放出的能量E (单位:J)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M. 2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的 倍.11. 已知2a ·3b =2c ·3d =6,求证:(a －1)(d －1)=(b －1)(c －1).12. (1) 已知2a =5b =m (m >0),且1a +1b=2,求m 的值;(2) 已知2x =3y =5z ,且1x +1y +1z =1,求x , y , z.1log22021×20211log42021×20211log82021×20211log162021×20211log322021)15.*13.计算:(2021。

1.3.3函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象第1课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象一、函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝A sin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝1T＝ω2π称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．二、图象变换1．φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：y＝sin x图象――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)图象．2．A对函数y＝A sin x图象的影响(振幅变换)：y＝sin x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝A sin x图象．3．ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)：y＝sin x图象各点横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)得到y＝sin ωx图象．思考：先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？ [提示] 不相同．平移的单位长度不同．1．思考辨析(1)将y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象．( )(2)将y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到y ＝sin 12x 的图象．( )(3)将y ＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象．( )[解析] (1)×.y ＝sin x ――――――→向右平移π4个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(2)×.y ＝sin x ――――――→横坐标变为原来的12y ＝sin 2x .(3)√.y ＝sin x ――――――→纵坐标变为原来的2倍y ＝2sin x .[答案] (1)× (2)× (3)√2．简谐运动y ＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π12的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．14 6 16 －π12 [由简谐运动的相关概念可知， A ＝14，T ＝2ππ3＝6，f ＝1T ＝16，初相φ＝－π12.]作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】 作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图象并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．思路点拨：用“五点法”作图―→求周期、频率、相位、初相、最值―→求单调区间 [解] “五点法”作图． (1)列表如下：(2)描点．(3)作图，如图所示：周期为T ＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，相位为x －π3，初相为－π3，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π，k ∈Z ，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π，k ∈Z .1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，32π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图．已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，用“五点法”画出其简图． [解] 列表： 描点，连线得函数y ＝2sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －π3在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸k π(k ∈Z )个单位长度，就可得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象．三角函数的图象变换[探究问题]1．将函数y ＝sin x 的图象经过怎样变换，可以得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象？ 提示：法一：先相位变换后周期变换．y ＝sin x 的图象―――――――――――――→φ>0，左移φ个单位长度φ<0，右移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――――――――――――――――――――――――→ω>1，横坐标缩短到原来的1ω(纵坐标不变)0<ω<1，横坐标伸长到原来的1ω倍(纵坐标不变)y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――――――――――――→A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍(横坐标不变)0<A <1，纵坐标缩短到原来的A (横坐标不变) y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 法二：先周期变换后相位变换． y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――――――→ω>1，横坐标缩短到原来的1ω(纵坐标不变)0<ω<1，横坐标伸长到原来的1ω倍(纵坐标不变)y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→φ>0，左移φω个单位长度φ<0，右移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象 ――――――――――――――――――――――→A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍(横坐标不变)0<A <1，纵坐标缩短到原来的A (横坐标不变)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π2个单位，可以得到哪个函数的图象？提示：y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x .【例2】 如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．思路点拨：可由y ＝sin x 的图象先进行平移变换，再进行伸缩变换得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，也可以先进行伸缩变换，再进行平移变换．[解] 法一：(先平移变换再伸缩变换) y ＝sin x 的图象――――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象――――――――――――→横坐标缩短到原来的12纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象―――――――――――→纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二：(先伸缩变换再平移变换) y ＝sin x 的图象―――――――――――→横坐标缩短到原来的12纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象―――――――――――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象―――――――――――→纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin (ωx ＋φ)，即A ，ω及名称相同的结构.(2)找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.(3)明确平移的方向.提醒：三角函数图象的两种伸缩变换的实质是对函数图象的各点的横坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.教师独具1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．2．要掌握与函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有关的三个问题 (1)用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． (2)三角函数图象变换．3．本节课的易错点是由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|.1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．3，π6 B ．3，π3 C ．6，π6D ．6，π3C [由题意可知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，∴T ＝2ππ3＝6，φ＝π6.]2．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位得到一个函数图象，则该函数的解析式是________．y ＝cos x [y ＝sin x ――――――→向左平移π2单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．]3．将y ＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则f (x )＝________.sin x [将函数y ＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f (x )＝2×12sin x ＝sin x 的图象．]4．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数在一个周期内的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的？ (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间． [解] (1)列表：描点连线：将所得五点用光滑的曲线连结起来，得到所求函数一个周期内的图象，如图所示，(2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象； ②把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin 12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π，k ∈Z .令12x －π4＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即函数的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，0，k ∈Z .令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π2＋4k π≤x ≤3π2＋4k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋4k π，3π2＋4k π(k ∈Z )．。