数学分析讲义汇总62页PPT

n 但其极限是无理数 e.
即数列的单调有界定理在有理数域不成立。
-
3
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点
,使 [a n ,b n ]n , 1 ,2 ,
反例：取单调递增{a有 n},使 理 an 数2列 , 取单调递减{b有 n},使 理 bn 数2列 ,
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
-
14
(1)3axdx lan
x
a
C
(2)0 a2 1x2d xa 1arca x tC an
(2)1 x 21 a 2 d x 2 1 a ln x x a a C
(1)6 ta xn d lx c nx o C s (2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。
-
17
8、常用代换: 三角代换去掉如下二次根式：
(1) a2x2 可令 xasint,
ax
t
a2 x2
(2) a2x2 可令
xatatn,
x2a2 x
t
a
(3) x2a2 可令 xasetc, x
x2a2
-
t
18
a
当被积函数含有两种或两种以上的
根式 k x,,l x时，可采用令x=tn,
还 e x 2 d 有 、 x sx i2 ) d n 、 x c ( o ( x 2 s ) d 、 x 1x4dx
另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.)k d kx x C(k 是常数) (7) six ndx co x C s
(2)

返回
牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中

2、指数函数
y ax
( a 0, a 1)
y ex
1
y ax
( a 0, a 1)
数学分析讲义
§1.3 复合函数与反函数
3、对数函数
y log a x
(a 0, a 1)
y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
一、函数概念
例1.真空中自由落体，物体下落的时间 t 与下落的距离 s 互相联系着. 如果物体距地面的高度为 h ，
t [0,
2h ] g
都对应一个距离 s . 已知 t 与 s 之间的对应关系是
1 2 s gt 2
其中g是重力加速度，是常数.
数学分析讲义
§ 1.1 函数
例2.在气压为101.325 kPa 时，温度 T 与水的体积 V 互相联系着 . 实 测如下表：
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
一、有界函数
定义 设 函 数 f (x) 在 数 集 A 有 定 义 . 若 函 数 值 的 集 合
f ( A) f ( x) x A有上界（有下界、有界） ，则称函数 f (x)
在 A 有上界（有下界、有界） ，否则称函数 f (x) 在 A 无上界 （无下界、无界）.
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
I
数学分析讲义
§1.2 四类具有特殊性质的函数
三、奇函数与偶函数
定义 函数 f x 定义在数集 A .若 x A ，有 x A ，且
f x f x
则称函数 f x 是奇函数

设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
前页 后页 返回
方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
前页 后页 返回
一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
前页 后页 返回
径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
前页 后页 返回
例5 级数

世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.

长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。

函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法

算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明

2 345
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100

学生分析：
思维特点:
第一学段：直观思维（直观认识） 数学有趣（有意思）
↓
↓
第二学段：抽象思维（理性分析） 数学有用（必要）
学习方法:
逐步掌握迁移的学习方法 懂得观察的顺序和思考的目的性 逐步学会和同学、老师的初步交流。
本册教学内容
●数的认识
数与代数 ●数的运算
空间与图 形
统计与 概率
实践与综 合应用
单元教学目标
1．会口算整十、整百数乘整十数，两位数乘 整十、整百数（每位乘积不满十）。
2．经历两位数乘两位数的计算过程，掌握两位数 乘两位数的计算方法。
3．能结合具体情境进行乘法估算，并解释估算 的过程。
4．能够运用所学的知识解决生活中的简单问题， 感受数学在日常生活中的作用。
单元编排
口算乘法
例1：整十、整百数乘整十数 例2：两位数乘两位数的估算 难点
配合使用
（2）掌握一般方法： 除数不变，把被除数（三位数）
看成几百几十的数来计算。
商中间或末尾有0的除法
0除以任何不是0的数都得0
不够商1，用0占位。
商0的不同情况对比
草莓： 128÷4≈30 120
杏： 144÷6≈30 180
水蜜桃：171÷5≈30 150
每箱比30多一些 每箱比30少 每箱比30多得多
笔算乘法
例1：两位数乘两位数（不进位） 例2：两位数乘两位数（进位） 难点
第一层面——教准
1.迁移旧知，主动探索计算方法。 2.对估算过程作出合理的解释与判断。
3.综合运用知识解决问题。
基础：多位数乘一位数的口算、估算和笔算 新知：两位数乘两位数的口算、估算和笔算
讲清算理 学会口算
算理： 运用口算整十（百）数 乘一位数的知识迁移

第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。

事实上：在整个有理数系中到处都是空隙。从而有理数 系不能刻画连续量。即不能作为连续量的数学表示。 那么，用什么量来表示连续量呢？
思路：扩充有理数系，使新数系是“连续的”
问题：如何扩充？
一个直接的想法：在有理数系中加进一些数， 让它们对应于那些空隙，即把数轴上的空隙都填 满了，这样就可以得到一个“连续”的数系。
•与原来有理数的运算是否一致？ 大小关系是否不变？ •填多少? •怎么算填满了？
问题：如何判断一个数系是连续的？ （即：找出连续量的数学特征。）
Dedekind的名著《连续性与无理数》中写道： “经过长期徒劳的思考，我终于发现，它的实 质是很平凡的。直线上的一点，把直线分成 左右两部分，连续性的本质就在于返回去： 把直线分割成左右两部分，必有唯一的分点”
量
最小的单位，不能分。 离散量 例如：位移： 2、在数学上的表示：正整数：1, 2, 3…… 千米 米cmmm微米纳米…… 或者说：正整数是离散量的数学模型。 1、没有最小的单位，无限可分
连续量 2、连续量的数学表示？ 要能进行运算--需要数系的概念
• 集合：把某些东西作为一个整体,称为一个集合, 其中的每一个东西称为这个集合的一个元素. 常见的数集：正整数集，整数集，有理数集， 实数集, 等. • 数系：定义了若干种运算的数集，这些运算满 足一定的规律. 例如：正整数集 N+ 及其上的加 法和乘法运算和在一起构成了正整数系. 1、运算； 2、数集S对运算的封闭性;
7 2 例如： 3 3 3
7 写成 3.6666 3
7 3 0.6666 3
对有尽小数，我们用循环为 0 的有尽小数表示， 而不用循环节为 9的无穷小数表示。
例: 记
1 而不用 0.5 0.50000 是有尽小数， 2

有限覆盖定理
总结词
有限覆盖定理是实数完备性定理中的另一个 重要结论，它涉及到实数集的覆盖问题。
详细描述
有限覆盖定理说明，任意一个开覆盖${(a_n, b_n)}$的实数集都可以被有限个开区间覆盖 。换句话说，对于任意一个实数集$S$，都 存在有限的开区间${(a_1, b_1), (a_2, b_2), ldots, (a_n, b_n)}$，使得$S subseteq cup_{i=1}^{n} (a_i, b_i)$。这个定理在证 明紧空间的性质和实数完备性中起到了关键 作用。
3
实数系中的基本运算
实数系中可以进行加法、减法、乘法和 除法等基本运算，这些运算具有交换律 、结合律、分配律等性质。此外，实数 系中还可以定义绝对值、最大值、最小 值等概念。
极限理论
01
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋向某一值时，
函数值的变化趋势。极限的定义包括数列极限和函数极限两种形式。
详细描述
介绍向量值函数和空间曲线的定义，通过实例说明向量值函 数和空间曲线的性质，并解释其在数学分析中的重要性和应 用。
06
实数完备性定理
区间套定理
总结词
区间套定理是实数完备性定理中的一个 重要组成部分，它描述了闭区间套的性 质。
VS
详细描述
区间套定理指出，如果存在一个闭区间套 ，即一列闭区间${[a_n, b_n]}$，满足 $a_n < b_n$且$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$（对任意$n$），则该区 间套中至少存在一个实数。这个定理在数 学分析中有着广泛的应用，例如在证明连 续函数的性质和极限理论中。

上次课内容
确界定理
6 柯西收敛准则
1 单调有界定理
5 聚点定理
2 区间套定理
4
3 有限覆盖定理
数集S 的一个聚点
前页 后页 返回
§2 上极限和下极限
一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质
前页 后页 返回
一、上(下)极限的基本概念
一、数列的聚点
1.定义 若数列 { xn } 满足: 在数 x0 的任何一个邻域
内均含有{ xn }中的无限多项, 则称 x0 是数列 { xn }
的一个聚点.
{ n}
{ (1)n }
n1
注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:
前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无
限多个项”.
前页 后页 返回
2.结论
（1） x0 是数列 { xn}的聚点的一个充要条件是: 存在 { xn }的一个子列{ xnk }, 使 xnk x0, k .
例
求数列
{
sin
nπ 4
}
的聚点
（2） 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 聚点和最小聚点.
前页 后页 返回
二、数列的上、下极限
1.定义 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
求 lim (1)n n , lim (1)n n .
n
n 1 n
n1
求 lim sin n , lim sin n .
n 4 n 4
前页 后页 返回
2.性质 设{xn} {yn}为有界数列，则

常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少 有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯 一一个具有性质P的数。
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一 种转基 因大米 ，通过 转基因 技术将 胡萝卜 素转化 酶系统 转入到 大米胚 乳中可 获得外 表为金 黄色的 转基因 大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组 着 1 .