二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟

《计算材料学》课程设计指导老师：江建军教授电子科学与技术系2004年6月二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚的数值分析及模拟彭延杰 邓峰 吴晓辉 罗佳星 罗鸣 彭欢杨胜荣 梅巍 高志超 李冠娜 鲁力( 华中科技大学电子科学与技术系0109班 武汉 430074 )摘要： 研究了二维简谐势阱中的理想气体玻色凝聚现象，根据玻色—爱因斯坦分布公式建立数学模型，用MATLAB模拟了一定温度下各能级粒子占有数，一定粒子数下基态占有率与温度的关系以及不同粒子数下基态占有率与温度的关系，验证了BEC现象的一些基本特性，用C程序模拟了有限粒子数大致的玻色凝聚过程。

关键词： 简谐势阱 玻色—爱因斯坦凝聚 逸度 临界温度 Abstract： The properties of Bose-Einstein condensation with finite number of particles in a two-dimensional harmonic oscillatorpotential are studied.Mathematical model is establishedaccording to the Bose-Einstein distribution equation.Theoccupation numbers of particles in every energy level and therelation between occupation rate at ground state andtemperature in the condition of certern particle number anddifferent particle number is simulated with MATLAB.Some basicproperties of BEC phenomenon is verified.The coarse process ofBose-Einstein condensation at limited particle number issimulated with C language.Keyword： Harmonic oscillator potential;Bose-Einstein condensation;fugacity;critical temperature1 引言1.1什么是玻色——爱因斯坦凝聚（BEC 以下皆以BEC代称）爱因斯坦将所有自旋为整数的微观粒子, 称为玻色子, 它们都遵循玻色-爱因斯坦统计,其特征是表现完全对称性。

爱因斯坦发现, 如果粒子数守恒,即使粒子之间完全没有相互作用,玻色子系统在足够低的温度下, 会发生相变,即系统中有的粒子会达到零动量态。

这就是所谓玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 。

发生凝聚时，能量趋近于零时, 系统状态的总数目变得极其小。

因为在温度下降时, 没有任何粒子消失, 系统中绝大多数粒子只能在其基态积累, 从而凝聚到最低能态。

在热力学极限下,即粒子数与系统体积都趋于无限大时, 就会经历这个相变[1,2]。

1.2 BEC的近期进展及其前景为了实现BEC，许多科学家做出了努力，取得了一系列成果[3]。

1995 年6 月5 日10 时54 分，美国在Boulder 的科罗拉多大学的维曼教授与美国NIST 的高级学者(开始为博士后) 科耐尔，在科罗拉多大学与NIST 的联合研究所中的联合天体实验室中，首次观察到约2000 个铷(87Rb) 原子的玻10−K.。

色-爱因斯坦凝聚，持续时间约15—20s，温度约117 ×7在1995 年9 月。

以凯特利(Wolfgang Ketterle) 、克勒普奈尔和普里恰德(W. Prichard) 等为中心的MIT 小组,利用激光和电磁装置冷却和约束纳原子气体(23Na) ,奇迹般地使数以10 万计的钠原子呈现玻色-爱因斯坦凝聚. 由于凝聚物中包含更多的原子, 更便于研究其物理性质。

BEC 态的出现, 开辟了研究宏观量子现象的新天地. 并且由于原子的波长远小于可见光的波长, 所以应用这种凝聚物所制成的原子激光, 将可在微电子线路的感光印刷术、精密测量、制造更小更高效的计算机芯片等方面找到新应用，相信随着实验技术的不断完善, 必将在应用领域产生巨大的变革, 而探讨势阱对产生BEC 的重要作用则是BEC 理论研究的一个中心内容.1.3 本文探讨内容与三维系统相比较，低维系统具有一些不同的性质，我们在这里研究的是二维情况下的BEC。

由文献[4]的结论，在给定粒子数N的情况下，完全自由的理想玻色气体不可能出现BEC。

而只有处于外势阱中的玻色气体，凝聚才可能发生。

又由文献[5]，低温条件下，发生BEC的气体处于高度有序的状态下，二维无限深势阱中不会发生BEC。

实验室中产生的BEC现象都是有限个粒子。

因此我们研究二维简谐势阱中有限粒子数玻色气体的一些性质。

2 原理与建模 将体系热函数2212V m r ω=代入薛定谔方程，可得二维谐振子的能级[5]，,11()()22x y j j x x y y E j j ωω=+++ （1） x ω,y ω分别为谐振子沿x 和y 方向两种振动模式的圆周率，x j 和y j 为相应的量子数/(2)h π= （2）h 是普朗克常数，为了方便讨论，我们考虑各向同性谐振子。

此时， x y ωωω==，谐振子的能级j j E ω= （＋1） （3）式中x y j=j +j 。

考虑处于各向同性简谐势阱中的理想玻色气体，根据玻色—爱因斯坦分布，若不考虑简并度，j ()/j=0j=01N=N 1j E kT e µ∞∞−=−∑∑ （4）若考虑简并度，简单分析可知, 第j 个能级的简并度1g j =+，则分布11exp[(1)/()]1j j N Z j kT ω−+=+− （5） 令/k θω= 为特征温度，[/()]Z exp kT µ=为逸度，其中µ为化学势，k 为玻尔兹曼常数。

代入（5）得11exp[(1)/]1j j N Z j T θ−+=+− （6） 所有粒子对应得量子数从0到∞，统计可得系统的总粒子数101exp[(1)/]1j j N Z j T θ∞−=+=+−∑ （7） 相应的，系统内能 21100(1)(1)exp[(1)/]1exp[(1)/]1j j j j E j k U Z j T Z j T θθθ∞∞−−==++==+−+−∑∑ （8） 在系统总粒子数N 给定的条件下, 根据式(7) 可确定不同温度下的逸度Z . 把Z 代入式（6）式（8）即可得出在某一定温度下T ，j N 的分布与T 的关系以及内能U ，热容U C T∂=∂与T 的关系，这些物理量可以反映二维简谐势阱中理想玻色气体的相关性质。

我们所做的工作就是基于这个模型通过数值计算方法，研究粒子的基态占有率0/N N ，j N 分布，N T −关系等问题，并由所得出的某些结论用较直观简明的方法模拟了二维简谐势阱中理想玻色气体的大致的凝聚过程。

3 计算机模拟计算机模拟的核心环节就是计算出不同温度下对应的逸度值。

首先构造函数101()exp[(1)/]1j j F Z N Z j T θ∞−=+=−+−∑ (9) 当N ，T ， ω的值一定时，使()0F Z =的Z 值有很多，例如当1000N =，26T θ=，1/ω= 时，编制程序做出()Z F Z −图像，如图1所示，由图可知Z 就有许多个值。

图1()F Z 随逸度Z 的变化如果Z 初始值选择不合适则可能得到虽然满足数学方程但不符合物理意义的解。

例如1000N =时由图1取0.96269Z =，编制程序作出j N j −的图像，如图2，图2 1000N =时各能级的粒子占有数（0.96269Z =） 图像结果符合实际情况，但是如果取 1.086873Z =，出现了处于某些态的粒子数为负值的情况，如图3，图31000N =时各能级的粒子占有数（ 1.086873Z =）因此在选择Z 的初值时要十分谨慎，必须根据不同的条件对Z 的范围进行物理分析, 确定合适的变化范围和初值, 否则就可能因为初值选择不当而导致面目全非的结果。

所有的统计物理教科书和参考书都指出玻色系统的逸度1Z ≤, 这是由于玻色系统的分布特性所决定的, 当1Z >时有可能导致某些能级的粒子数为负值的非物理结果. 但在这里要说明的是Z 的值可以大于1。

这是因为我们考虑了谐振子的零点能，当考虑零点能()ω 时, Z 值完全可以大于[6]1。

同时我们对数学模型进行了简化，式（7）中的求和是收敛的，不必要也不可能将求和项数取到无穷大.由图2可以看出当 200j →时，0j N →，即在200j >的能级上的平均粒子数趋进于零，因此它对系统的影响可以忽略，为提高计算精度我们仍取j 从0到2000，在这种情况下，基本上把所有的粒子都包括进去了，基于以上简化作出当1000N =和5000N =时j N j −的图像，分别如图2，图4所示图4 5000N =时各能级的粒子占有数Einstein 所研究的BEC是指热力学极限下, 系统降温到某一特定的温度(c T ) 时, 会出现宏观数量粒子突然开始在基态上凝聚,由解析结果[7]12[/(2)]c T N ζθ= （10） ()x ζ为黎曼函数，当1000N =时，24.66c T θ=，通过对若干点的计算，确定处于基态的粒子的个数，如表1所示，（0N 去除小数部分）/c T T0.6 0.83 0.860.890.920.950.98 1.0 1.01 1.04 1.07 1.1 1.20N 595 258 206 155 107 66 37 26 22 14 10 8 4表1.各温度下处于基态粒子数（1000N =）做出相关图像，如图5图5.基态占有率随温度变化的关系当100N =时7.8c T θ=，同样的做出表2。

表2.各温度下处于基态粒子数（100N =）为便于后面的讨论，将1000N =和100N =时0//N N T θ−的图像做于同一坐标中，如图6所示/T θ 4 5 67.8 9 10 15 20 0N 68 52 33 8 3 2 0.58940.2873图6.不同粒子数基态占有率随温度变化的关系基于上述计算结果，我们编制程序较简单的模拟了有限粒子数气体产BEC的大致过程，该程序反映了BEC的部分性质。

4 结果与讨论1） 由图5，我们验证了玻色－爱因斯坦凝聚的一个最基本的现象，即在热力学极限下, 系统降温到某一特定的温度(c T ) 时, 会出现宏观数量粒子突然开始在基态上凝聚。