数学物理方程(很好的学习教材)
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数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
姜礼尚等数学物理方程讲义
《数学物理方程讲义》是姜礼尚等编著的一本教材，旨在介绍数学物理方程的基本原理和应用。
该教材的内容包括波动方程、热传导方程、位势方程等，以及二阶偏微分方程的Fichcra理论的基本内容。
此外，《数学物理方程讲义》还增加了用镜像法求解热传导方程第三边值问题的内容，并根据教学需求把基础内容尽可能交待得透彻一些，把应用部分尽可能多展开一些，把具体推演简化、精练一些，力求做到使教师便于教，学生便于学。
总之，《数学物理方程讲义》是一本介绍数学物理方程的教材，适合作为数学类专业的教材，也可供相关研究人员参考。
如需更多信息，建议阅读该教材的序言或目录部分。
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
国外数理方程较好的书
国外数理方程较好的书《数学物理方法》是一本国外数理方程方面的经典教材，它由海因斯·维尔赫（Heinz-Otto Peitgen）、弗雷德·索尔兹伯格（Fred H. Rolfsen）和国际著名科学家彼得·伦克斯（Peter Lennartson）共同编写。
这本书以其内容的生动性、全面性和指导意义而闻名。
该书通过数学物理方法探索了线性和非线性方程的理论和应用方面。
它从基本的数学概念开始，涵盖了微分方程、偏微分方程、泛函分析、变分法、哈密顿力学、波动方程、热方程、椭圆方程等各类数理方程。
每个章节都以清晰的风格和易于理解的例子展示了各种数学物理概念，以帮助读者建立全面的理论基础。
该书的生动性主要体现在作者巧妙地将数学物理方法和实际问题相结合。
通过丰富的实例，作者演示了数学物理方法的实际应用。
例如，他们利用微分方程来解释自然界的一些现象，如天体运动、弹簧振动、电路中的电流等，这种将抽象的数学理论与实际问题联系起来的方法使读者更容易理解和应用所学知识。
全面性则体现在该书深入探讨了数理方程领域的各个方面。
从基础概念到高级技巧，从线性到非线性，从定解问题到边界值问题，该书涵盖了数理方程的方方面面。
读者可以系统地理解和学习各种数理方程的性质、解法和应用，具备独立解决实际问题的能力。
该书的指导意义在于，它为读者提供了宝贵的学习资源和实践指导。
每章后都附有练习题和习题解答，帮助读者检验和巩固所学知识。
此外，书中还提供了丰富的数学物理方法的应用实例和研究前沿，激发了读者进一步探索数理方程的兴趣和热情。
总之，《数学物理方法》是一本在国外备受赞誉的数理方程教材。
它以其生动的内容，全面的涉及以及指导性的意义而成为这一领域的经典之作。
无论对于从事数学物理研究的专业人士还是对于数理方程有兴趣的读者而言，这本书都是一次宝贵的学习和探索机会。
302数学二指定书目
302数学二指定书目一、《高等数学（上）》《高等数学（上）》是302数学二的指定教材之一。
这本教材主要包括函数与极限、导数与微分、定积分、不定积分等内容。
通过学习这本教材，学生可以系统地学习数学中的基本概念、基本理论和基本方法，掌握基本的计算技巧，培养数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、《线性代数》《线性代数》是302数学二的另一本指定教材。
这本教材主要包括向量与矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、线性空间与线性变换等内容。
通过学习这本教材，学生可以掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法，理解向量空间、线性变换等概念的几何意义，培养抽象思维和推理能力。
三、《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》是302数学二的必修课程，也是一本重要的指定教材。
这本教材主要包括概率论和数理统计两部分内容。
概率论部分包括概率的基本概念、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征等内容。
数理统计部分包括参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等内容。
通过学习这本教材，学生可以了解概率论和数理统计的基本原理和方法，掌握概率计算和统计分析的技巧，培养科学研究和实际问题分析的能力。
四、《数学物理方程》《数学物理方程》是302数学二的另一本指定教材。
这本教材主要介绍数学物理方程的基本理论和解法。
其中包括常微分方程、偏微分方程以及一些特殊函数的性质和应用等内容。
通过学习这本教材，学生可以了解常微分方程和偏微分方程的基本概念和解法，掌握一些特殊函数的性质和应用，培养分析问题和解决问题的能力。
五、《数学建模》《数学建模》是302数学二的一门重要课程，也是一本指定教材。
这本教材主要介绍数学建模的基本原理、方法和实际应用。
其中包括数学建模的基本概念、数学模型的构建与求解、模型的评价与验证、数学建模实例等内容。
通过学习这本教材，学生可以了解数学建模的基本思想和方法，掌握数学建模的基本步骤和技巧，培养实际问题分析和解决的能力。
俄罗斯高等数学教材推荐
俄罗斯高等数学教材推荐俄罗斯是享誉全球的数学大国，以其严谨的数学教育而闻名。
作为高等数学领域的重要参考资料，俄罗斯的数学教材备受推崇。
以下是几本经典的俄罗斯高等数学教材，为广大数学爱好者和学习者所推荐。
一、《高等代数》《高等代数》是由明科夫斯基（Minkovski）和菲克修克斯（Fiks）合著的一本经典数学教材。
该教材从代数的基本概念入手，系统地介绍了线性代数、多项式代数、群论、线性空间等内容。
书中的定理严谨而深入，推导清晰明了，符合俄罗斯数学教学的严谨性。
该教材以其深度和广度而受到广大数学爱好者的青睐。
对于那些希望建立坚实数学基础的读者来说，这本教材是学习代数学习的最佳选择。
二、《数学分析教程》《数学分析教程》是由冯・克列高斯（Von Klébosh）和朱可夫斯基（Zhukovsky）等多位数学家合作编写的。
该教材通俗易懂，逻辑清晰，涵盖了数分的基本概念、极限、连续性、微分、积分等重要内容。
与其他数学教材相比，《数学分析教程》注重问题解决的能力培养，尤其强调问题的实际应用。
读者通过学习这本教材，不仅可提高基本的数学分析水平，还能将所学知识应用到实际问题中去。
三、《数学物理方程教程》《数学物理方程教程》由泽列钦斯基（Levinson）等教授撰写，是俄罗斯一流大学理工科数学物理学专业的经典教材，也是全球范围内应用数学领域的重要参考资料。
该教材详细介绍了微分方程、偏微分方程、数值方法等关键内容，并通过大量实例和习题进行深入讲解。
与其他数学物理方程教材相比，《数学物理方程教程》在数学建模和实际应用方面具有突出特点。
对于学习数学物理方程的读者来说，这本教材是一部不可或缺的宝典。
总之，俄罗斯高等数学教材以其严谨的数学思维、深入的数学内容和实用的数学应用而闻名。
以上推荐的《高等代数》、《数学分析教程》和《数学物理方程教程》是高等数学学习者不可或缺的重要资料。
无论是数学专业的学生，还是数学爱好者，都能从这些教材中汲取丰富的数学知识，提高数学思维和解决问题的能力。
数学物理方程(很好的学习教材)
方法： 比较是分类的前提和基础， 分类是比较的深化和结果
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
数学物理方程(很好的学习教材)
二、数学物理方程的一般分类
一般分类 按自变量的个数，分为二元和多元方程； 按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二 阶和高阶微分方程。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
数学物理方程(很好的学习教材)
四、常见数学物理方程的定解条件
波动方程
方程形u式 tt ： a2u f 定解条初 件边始界条条件件：：包第含一 位初 第类 移始 二或 ”“ 类者 和或初者始第“三速
输运方程
方程形u式 t a： 2uf 定解条边 件初 界始 条条 件件 ：： 第物 一 第理 类 始 二量 或 时 类在 者 刻 或初 的 者值 第
三类线性边界条件
第一类边界条 u(x件 ,y,： z,t)边界x0,y0,z0 f(x0,y0,z0,t)
第二类边界条件： u n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
第三类边界条 u件 H： u
n边界x0,y0,z0
f(x0,y0,z0,t)
初始条件
定解条件
边界条件
数学物理方程(很好的学习教材)
u u 2u u u 2
2
yy
y数学物理方程(很好y的学y习教材) y
yyu
yy
于是，方程化为：
怎样才能学好大学数学(推荐数分,高代,优秀的参考书)？
经典著作：《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨著），第一卷两本，第二、三卷各三本，共八本。
例如，定积分sin x / x（方波在频域里形式）是如何计算出来的，给出了好几种经典、历史的方法。
《数学分析习题集》（吉米多维奇著），四千五百多题，绝大部分为计算题。
我上大学时，绝大部分都做过。
有两套题解。
一套好像是山东大学的，八本；另一套是上海交大的，二十本上下（好像是内部发行）。
上面的书，哪位能从超星做成PDF，就是功德无量了。
证明题，徐利治的《数学分析的习题与选讲》不错。
还有一本书，《绝对连续和绝对收敛》，也是总结性的好书。
如果要学实变函数和测度论，推荐你，那汤松的《实变函数论》，写得太好了。
（我有超星版的PDF。
）推荐几本很不错的考研教材吧！《数学分析题解精粹》钱吉林著《高等代数考研教案》西北工业大学出版社推荐的太早了，呵呵～/question/122767494.html?fr=qrl&cid=197&index=3★怎样才能学好数学？要回答这个似乎非常简单：把定理、公式都记住，勤思好问，多做几道题，不就行了。
事实上并非如此，比如：有的同学把书上的黑体字都能一字不落地背下来，可就是不会用；有的同学不重视知识、方法的产生过程，死记结论，生搬硬套；有的同学眼高手低，“想”和“说”都没问题，一到“写”和“算”，就漏洞百出，错误连篇；有的同学懒得做题，觉得做题太辛苦，太枯燥，负担太重；也有的同学题做了不少，辅导书也看了不少，成绩就是上不去，还有的同学复习不得力，学一段、丢一段。
究其原因有两个：一是学习态度问题：有的同学在学习上态度暧昧，说不清楚是进取还是退缩，是坚持还是放弃，是维持还是改进，他们勤奋学习的决心经常动摇，投入学习的精力也非常有限，思维通常也是被动的、浅层的和粗放的，学习成绩也总是徘徊不前。
反之，有的同学学习目的明确，学习动力强劲，他们拥有坚韧不拔的意志、刻苦钻研的精神和自主学习的意识，他们总是想方设法解决学习中遇到的困难，主动向同学、老师求教，具有良好的自我认识能力和创造学习条件的能力。
数学物理方程(谷超豪) 第三章 调和方程习题解答
(a, b, c 为常数)
4. 证明下列函数都是调和函数 （1） ax + by + c
证：令 u = ax + by + c , 显然
∂ 2u ∂x 2
故
= 0,
∂ 2u ∂y 2
= 0.
∆u = 0 ，所以 u 为调和函数
(2) x 2 − y 2 和2 xy
∂ 2u ∂ 2u = 2 , = 2, 。所以 ∆u = 0 。u 为调和函数 ∂x 2 ∂y 2
2
⋅
∂ 2u ∂θ
2
+
r sin θ ∂ϕ
⋅
∂ 2u
2
+
2 ∂u 1 ∂u ⋅ + 2 ctgθ r ∂r r ∂θ
即
∆u =
1 r2
⋅
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 ⋅ (sin θ )+ 2 ⋅ =0 ∂r ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
+
+
=
+
∂ 2u ∂z
2
+
ρ
2
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ
再用（3）式，变换
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
=
∂ 2u ∂r 2
+
1
r 2 ∂θ 2
⋅
∂ 2u
1 ∂u + ⋅ r ∂r
再利用（4）式，得
∂u ∂u ∂u cosθ = sin θ + ⋅ ∂ρ ∂r ∂θ r
4. 证明下列函数都是调和函数 （1） ax + by + c
证：令 u = ax + by + c , 显然
∂ 2u ∂x 2
故
= 0,
∂ 2u ∂y 2
= 0.
∆u = 0 ，所以 u 为调和函数
(2) x 2 − y 2 和2 xy
∂ 2u ∂ 2u = 2 , = 2, 。所以 ∆u = 0 。u 为调和函数 ∂x 2 ∂y 2
2
⋅
∂ 2u ∂θ
2
+
r sin θ ∂ϕ
⋅
∂ 2u
2
+
2 ∂u 1 ∂u ⋅ + 2 ctgθ r ∂r r ∂θ
即
∆u =
1 r2
⋅
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 ⋅ (sin θ )+ 2 ⋅ =0 ∂r ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
+
+
=
+
∂ 2u ∂z
2
+
ρ
2
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ
再用（3）式，变换
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
=
∂ 2u ∂r 2
+
1
r 2 ∂θ 2
⋅
∂ 2u
1 ∂u + ⋅ r ∂r
再利用（4）式，得
∂u ∂u ∂u cosθ = sin θ + ⋅ ∂ρ ∂r ∂θ r
数学物理方程学习指导书第6章拉普拉斯方程的格林函数法
第6章 拉普拉斯方程的格林函数法在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u uu x y z∂∂∂∇≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即.u f Γ= (6.1)第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数un∂∂存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .uf n Γ∂=∂ （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）lim (,,)0(r u x y z r →∞==（6.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值.u f Γ= （6.4）（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数'un ∂∂存在，并满足 ,'uf n Γ∂=∂ （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.6．2 格林公式为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1=Γu.容易看出，及1),,(1≡z y x u22221),,(zy x z y x u ++=都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.P Q R d x y z Ω⎛⎫∂∂∂++Ω ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ=++⎰⎰ (6.6)其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.下面来推导公式(6.6)的两个推论.设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令,,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂ 则有2()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇Ω+++Ω ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ,vudS nΓ∂=∂⎰⎰ 或2().vu v d u dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得2().uv u d v dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到22().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ∂∂⎛⎫∇-∇Ω=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数1v r == （6.10）函数1r除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1v r=在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1v r=是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而图6-1取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ⎡⎤⎛⎫∂ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎢⎥∇-∇Ω=-∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r∇=∇=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==∂∂ 因此22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.同理可得22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰ 此外u n ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭是un ∂∂在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 现在令0,ε→由于00lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0lim 40u n επε→⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故un∂∂有界）则得 000111()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=--⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (6.12)此外为明确起见，我们将r =记成0MM r .(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示*）.(ii)牛曼内问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f nΓ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭有解的必要条件为函数f 满足*）上面的推导是假定点),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得⎰⎰Γ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΓΩ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-。
数学物理方程(谷超豪)课后答案
第一章．波动方程§1方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。
现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。
在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。
由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。
把数学和物理联系在一起的书籍
把数学和物理联系在一起的书籍摘要：1.引言2.数学与物理的关系3.推荐的数学与物理联系在一起的书籍4.总结正文：数学与物理是密切相关的两个学科，它们在许多方面都有交集。
数学为物理提供了一种语言和工具，使得物理学家可以描述和解释自然现象。
同时，物理也促进了数学的发展，许多数学理论都是为了解决物理问题而发展起来的。
如果你对数学与物理的联系感兴趣，以下是一些推荐的书籍:1.《数学物理方法》(Methods of Mathematical Physics) by George Arfken and Hans J.Weber这是一本经典的数学物理方法教材，涵盖了数学物理中许多基础的概念和方法，包括微积分、线性代数、偏微分方程等。
2.《数学物理方程》(Mathematical Physics Equations) byI.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik这是一本非常实用的参考书，包含了大量的数学物理方程和公式，以及它们的推导和应用。
3.《数学物理中的偏微分方程》(Partial Differential Equations in Mathematical Physics) by Sigmundur Gudmundsson这是一本专注于数学物理中偏微分方程的书籍，涵盖了波动方程、热传导方程、亥姆霍兹方程等基础方程，以及它们的应用和数学性质。
4.《数学物理中的变分法》(Variational Principles in Mathematical Physics) by R.Courant and D.Hilbert这是一本经典的变分法教材，涵盖了泛函分析、最小作用量原理、最大值原理等基础概念，以及它们在物理中的应用。
关于数学书籍
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关于数学书籍，以下是一些建议：
《数学简史》：这本书介绍了数学的起源和发展，以及数学在现代科学和
工程中的应用。
它以清晰易懂的方式解释了数学的基本概念和思想，适合初学者阅读。
《数学之美》：这本书通过实例和案例来介绍数学在各个领域中的应用，
包括计算机科学、物理学、工程学、经济学等。
它强调了数学在解决问题和创造新思想中的重要性，是一本很好的数学科普读物。
《数学物理方程》：这本书介绍了数学物理方程的基本概念和方法，包括
偏微分方程、傅里叶分析和复变函数等。
它适合对数学物理方程感兴趣的读者，可以帮助你深入理解这些方程的解法和应用。
《实变函数》：这本书介绍了实变函数论的基本概念和方法，包括集合论、测度论和积分论等。
它是一本比较难读的书籍，但对于对实变函数有深入兴趣的读者来说，是一本非常有价值的参考书。
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发展历程，从欧几里得的《几何原本》到现代几何学的发展。
它包括了平面几何、解析几何、微分几何、代数几何等内容，是一本很好的几何学教材。
这些书籍涵盖了不同的数学领域和应用，可以根据自己的兴趣和需求选择适合自己的书籍进行阅读。
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扩散和输运方程具有共同的形式：
对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热）， 则方程的形式变化为：
源的强度
稳定场方程
概念
产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳 定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为 零。
分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程： Δu = uxx + uyy + uzz = 0 有外界作用情况
典型例子 一维热传导 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
一维弦振动
未知函数对时间为二阶，需要两个初始条 件
初始位移
处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h：
u|t=0 = hx/c，
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
初始速度
处于静止状态： ut|t=0 = 0 在c点受冲量I： ut|t=0 = Iδ(x-c)/ρ
三、边界条件
意义 反映特定环境对系统的影响
分类 按条件中未知函数及其导数的次数： 线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值： 第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零： 齐次边界条件和非齐次边界条件。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
扩散方程和输运方程
导出的步骤 1. 确定研究对象（物理量） 2. 分析物理过程，提炼物理模型 3. 建立方程，化简整理，推广
波动方程
均匀弦的微小横振动
问题：一根长为L的均匀弹弦， 不计重力，不受外力。其张力 为T，线密度为ρ。求弦的微小 横振动的规律。
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
泊松方程：Δu = uxx + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
小结
波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：
作业：P152 3,4
§7.2 定解条件
一、定解问题的提出
方程 ut(t) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题 本章小结
物理量 u (Y,E,B,P…)
空间分布（x,y,z） 时间演化（t）
边界条件 初始条件
分析问题
定界条件
物理规律 u(x,y,z,t)
定解问题 （确定系数）
§7.1 数学物理方程的导出
常见的数学物理方程 1. 波动方程 2. 输运方程 3. 稳定场方程
t)
Tu
utt(r ,t)源自a2 u扩散方程
问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
扩散方程
方程 uxx(x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
由此可归纳出
数学物理方程的通解含有任意常数，要完全 确定这些常数需要附加条件。
二、初始条件
意义 反映系统的特定历史
分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = φ(x,y,x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = ψ(x,y,z)表示。
推广2
情况：均匀杆的纵振动问题
分析：张力T变成杨氏模量Y
方程： ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广3
情况：三维情况
分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程： utt (x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
utt
(r ,
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx a2 = T/ρ
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T uxx+ F
utt = a2 uxx+ f，f = F/ρ
波动方程
三类线性边界条件
初始条件 边界条件
Part Ⅱ 数学物理方程
教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版） 参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）
授课内容
数学物理定解问题 （Chap.7） 分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8） 球函数（Chap.10） 柱函数（Chap.11）
Chap. 7 数学物理定解问题
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单 位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数
u t
dxdydz
D(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)dxdydz
ut a2u 0 (a2 D)
输运方程
一维热传导
问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传导 系数为k，比热为c，线密度为ρ。 求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上 从x到x+dx的一段，其质量为ρdx， 热容量为cρdx 。设杆中的热流沿x 轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则
α1
B
A
α2
C
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]
对于有源扩散或者有源输运（或者侧面不绝热）， 则方程的形式变化为：
源的强度
稳定场方程
概念
产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳 定状态，对应的方程称为稳定场方程。
形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为 零。
分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程： Δu = uxx + uyy + uzz = 0 有外界作用情况
典型例子 一维热传导 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件 一端温度为a，均匀增加到另一端温度为b u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
一维弦振动
未知函数对时间为二阶，需要两个初始条 件
初始位移
处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h：
u|t=0 = hx/c，
0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L;
初始速度
处于静止状态： ut|t=0 = 0 在c点受冲量I： ut|t=0 = Iδ(x-c)/ρ
三、边界条件
意义 反映特定环境对系统的影响
分类 按条件中未知函数及其导数的次数： 线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值： 第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零： 齐次边界条件和非齐次边界条件。
由能量守恒定律 c ρdx du=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt
于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx
a2 = k/(cρ)
扩散方程和输运方程
导出的步骤 1. 确定研究对象（物理量） 2. 分析物理过程，提炼物理模型 3. 建立方程，化简整理，推广
波动方程
均匀弦的微小横振动
问题：一根长为L的均匀弹弦， 不计重力，不受外力。其张力 为T，线密度为ρ。求弦的微小 横振动的规律。
分析：设弦平衡时沿x轴，考虑 弦上从x到x+dx的一段，其质 量为ρdx。设弦的横振动位移 为u(x,t)，则
泊松方程：Δu = uxx + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用
静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k
小结
波动方程、扩散（输运方程）和稳定场方程的形式分别为：
作业：P152 3,4
§7.2 定解条件
一、定解问题的提出
方程 ut(t) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
数学物理方程的导出 定解条件 数学物理方程的分类 达朗贝尔公式 定解问题 本章小结
物理量 u (Y,E,B,P…)
空间分布（x,y,z） 时间演化（t）
边界条件 初始条件
分析问题
定界条件
物理规律 u(x,y,z,t)
定解问题 （确定系数）
§7.1 数学物理方程的导出
常见的数学物理方程 1. 波动方程 2. 输运方程 3. 稳定场方程
t)
Tu
utt(r ,t)源自a2 u扩散方程
问题：扩散问题中研究的是浓度u在空间的分布和在时间中的 变化。 分析：扩散现象遵循扩散定律，即q= - D▽ u，q是扩散流强 度，D是扩散系数，▽u是浓度梯度。对于三维扩散问题， 考察单位时间内小体积元dxdydz的净流入量。
z
dz
y
dy
dx
x
o
扩散方程
方程 uxx(x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？
由此可归纳出
数学物理方程的通解含有任意常数，要完全 确定这些常数需要附加条件。
二、初始条件
意义 反映系统的特定历史
分类 初始状态（位置），用 u |t=0 = φ(x,y,x)表示； 初始变化（速度），用 ut|t=0 = ψ(x,y,z)表示。
推广2
情况：均匀杆的纵振动问题
分析：张力T变成杨氏模量Y
方程： ρutt = Y uxx+ F
utt = a2 uxx+ f
推广3
情况：三维情况
分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数
方程： utt (x, y, z，t) T (uxx u yy uzz )
utt
(r ,
化简后得到
ρutt = T uxx utt = a2 uxx
uxxdx a2 = T/ρ
波动方程
推广1
情况：受迫振动（考虑重力或外力）
分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，则dx段的受力为Fdx
方程：ρutt = T uxx+ F
utt = a2 uxx+ f，f = F/ρ
波动方程
三类线性边界条件
初始条件 边界条件
Part Ⅱ 数学物理方程
教材：数学物理方法（梁昆淼 高教出版社 第三版） 参考：数学物理方法学习指导（姚端正 科学出版社）
授课内容
数学物理定解问题 （Chap.7） 分离变数（傅里叶级数）法 （Chap.8） 球函数（Chap.10） 柱函数（Chap.11）
Chap. 7 数学物理定解问题
在x，y，z方向上，单位时间内净流入量为
如果体积元内没有源或汇，由粒子数守恒知，体积元中单 位时间内增加的粒子数等于单位时间内净流入的粒子数
u t
dxdydz
D(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)dxdydz
ut a2u 0 (a2 D)
输运方程
一维热传导
问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传导 系数为k，比热为c，线密度为ρ。 求杆内温度变化的规律。 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆上 从x到x+dx的一段，其质量为ρdx， 热容量为cρdx 。设杆中的热流沿x 轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则
α1
B
A
α2
C
由牛顿第二定律
ρdxutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1=T ρuttdx=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]