2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程 Word版含答案

2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.[预习导引]1.直线的方程的概念一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的斜率(1)通常把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),为直线l 上任意两点,且x 1≠x 2,则直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 3.直线的倾斜角(1)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)由斜率k 的定义可知①当k ＝0时,直线平行于x 轴或与x 轴重合；②当k >0时,直线的倾斜角为锐角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大； ③当k <0时,直线的倾斜角为钝角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大；④垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.要点一直线的倾斜角例1设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°答案 D解析根据题意,画出图形,如图所示：因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪演练1一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为()A.αB.180°－αC.180°－α或90°－αD.90°＋α或90°－α答案 D解析 如图,当l 向上方向的部分在y 轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.要点二 直线的斜率例2 已知直线l 过P (－2,－1),且与以A (－4,2),B (1,3)为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围. 解根据题中的条件可画出图形,如图所示, 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－32, 直线PB 的斜率k PB ＝43,结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞, 当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时,它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角,故斜率的变化范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. 综上可知,直线l 的斜率的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决.(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.跟踪演练2 已知两点A (－3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点.(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解如图所示,由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1,k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1,或k ≥1.(2)由题意可知,直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间,又PB 的倾斜角是45°,P A 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.要点三 斜率公式的应用例3 已知实数x ,y 满足y ＝－2x ＋8,且2≤x ≤3,求yx 的最大值和最小值. 解如图所示,由于点(x ,y )满足关系式2x ＋y ＝8,且2≤x ≤3,可知点P (x ,y )在线段AB 上移动,并且A ,B 两点的坐标可分别求得为A (2,4),B (3,2). 由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率, 且k OA ＝2,k OB ＝23,所以可求得y x 的最大值为2,最小值为23.规律方法 若所求最值或范围的式子可化为y 2－y 1x 2－x 1的形式,则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.跟踪演练3 已知实数x ,y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1),试求y ＋3x ＋2的最大值和最小值. 解由y ＋3x ＋2的几何意义可知,它表示经过定点P (－2,－3)与曲线段AB 上任一点(x ,y )的直线的斜率k ,由图可知k P A ≤k ≤k PB ,由已知可得A (1,2),B (－1,4).则k P A ＝2－(－3)1－(－2)＝53,k PB ＝4－(－3)－1－(－2)＝7.∴53≤k ≤7,∴y ＋3x ＋2的最大值为7,最小值为53.1.下图中标注的α表示直线l 的倾斜角的是( )A.①B.①②C.①③D.②④答案 A解析 结合直线l 的倾斜角的概念可知①可以,选A. 2.已知直线l 的倾斜角为30°,则直线l 的斜率为( ) A.33 B. 3 C.1 D.22答案 A解析 由题意可知,k ＝tan 30°＝33.3.若过两点A (2,3),B (y,4)的直线的倾斜角为45°,则y 的值为( ) A.－32B.32C.－3D.3 答案 D解析tan 45°＝k AB＝4－3y－2,即4－3y－2＝1,所以y＝3.4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°<α<180°答案 C解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为________.答案k1<k3<k2解析设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由题图可知0<α3<α2<90°<α1<180°,所以tan α2>tan α3>0,tan α1<0,故k1<k3<k2.1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表：直线情况应注意的问题：3.运用两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)求直线斜率k＝21x2－x1(1)斜率公式与P1,P2两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1,y2－y1中x2与y2对应,x1与y1对应).(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在.。

．点到直线的距离
学习目标.了解点到直线的距离公式的推导方法.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.初步掌握解析法研究几何问题的方法．
知识点一点到直线的距离
思考你能说出求点(，)到直线：＋＋＝的距离的一个解题思路吗？
思考根据思考的思路，点到直线＋＋＝的距离怎样用，，及，表示？
思考点到直线的距离公式对于当＝或＝时的直线是否仍然适用？
梳理点到直线的距离及公式
()定义：点到直线的的长度．
()图示：
()公式：＝.
知识点二两条平行直线间的距离
思考直线：＋－＝上有()、()、(－)三点，直线：＋＋＝与直线平行，那么点、、到直线的距离分别为多少？有什么规律吗？
梳理两条平行直线间的距离及公式
()定义：夹在两平行线间的的长．
()图示：
()求法：转化为点到直线的距离．
()公式：两条平行直线：＋＋＝与：＋＋＝之间的距离＝.
类型一点到直线的距离
例()求点(，－)到下列直线的距离．
①＝＋；②＝；③＝.。

2.2.3两条直线的位置关系（1）第一课时：两条直线相交、平行、重合的条件一、教案背景可以说，解析几何的精髓就是用代数方法解决几何问题.本章教材的主题就是建立代数与几何的联系，用代数方法研究几何,本课时教学内容也正是在具体认识直线方程的概念及其几种形式的基础上，用坐标法研究直线与直线的位置关系，强化解析几何的思想，体会数形结合思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力，为学生以后选修圆锥曲线打下基础.二、教学课题本课时教材是在理解了直线方程的含义，掌握并能熟练应用直线方程的几种形式基础上，继续学习两条直线的位置关系，从而为进一步学习点到直线的距离，两条直线的夹角，以及直线与圆的位置关系等做好先期准备.1、利用直线的点斜式方程，理解过定点的直线系及直线系方程的表示形式.2、在认识过定点的直线系的基础上进一步认识平行直线系，从而推导出两条直线位置关系的等价条件.3、利用两条直线相交、平行、重合的条件解决简单的实际应用问题.三、教材分析（一）教材内容两条直线的位置关系是人教B版必修2第二章平面解析几何初步的第二单元直线的方程的第三节课内容，本节课教材内容主要有两个：1、两条直线相交、平行与重合的条件2、两条直线垂直的条件本课时教案正是本节课教材的第一个内容，是在学生已经探索并掌握了直线方程的含义以及如何利用已知条件求出直线的方程基础上，进一步利用解方程组的思想探索两条直线的位置关系的条件，并会利用两条直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合，进而能求出两直线的交点坐标.（二）教学目标1、理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用；2、通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识.（三）教学重点和难点教学重点：两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路．四、教学方法教之道在于导，学之道在于悟，教学这门艺术在于精心设问，巧妙引导学生答问，积极引领学生感受数学，探索数学和应用数学的意识.俗话说得好：“教无定法，贵在得法”，本课时教学，教法上本着“教师为主导，学生为主体，解决问题为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采取“问题探究”式教学方法.通过创设问题情境，以直线的点斜式方程的特殊形式为切入点，在认知冲突中激发学生的探索欲望：通过两个探究问题，引导学生自主探究与合作交流相结合去研究，从而得出两条直线相交、平行与重合的条件；通过恰当的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，从而提高学生的思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体.同时借助多媒体、投影辅助教学，增强教学的直观性，从而提高课堂效率.五、教学过程（一）创设情境，提出问题从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件在直线方程)1k-xy中，k取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条=(1+直线都过哪一点？回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点)11-(，．据此引导学生探究：（1），该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？（2），该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？在直线方程b=中，当k值固定，b取遍所有实数，也可得无数条直线，y+kx这无数条直线又可以说成是什么样的直线系呢？回答：该方程表示斜率为k 的平行直线系.（二）自主探究，形成概念对于直线 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，同学们会得出:1l ∥2l ；且2121b b k k ≠=⇔；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件已知两条直线的方程为 ,0:1111=++C y B x A l .0:2222=++C y B x A l为此，我们解方程组0111=++C y B x A0222=++C y B x A当01221≠-B A B A 时，得12212121B A B A B C C B x --=.12212112B A B A C A C A y --=因此，当01221≠-B A B A 时，方程组有唯一一组解.这时，两条直线相交，交点的坐标就是.,）（y x 当.000211221211221≠-≠-=-C A C A B C C B B A B A 或，且时方程组无解.又由直线方程的一般形式可知2211B A B A 与，与不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也就是这两条直线平行.如果.0212121）（，，≠===λλλλC C B B A A 则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可知两个方程表示同一条直线，即直线与重合.通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件：1l ∥2l .000211221211221≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A 或，且⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l（三）典例剖析，深化概念例题 1 已知直线,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 求证：当21C C ≠时，1l ∥2l .证明：因为,0=-BA AB所以1l ∥2l ，或.21重合与l l 又因为:)(1212C C B BC BC -=-当0≠B 时，由已知有21C C ≠，所以,012≠-BC BC 因此两条直线平行;当0=B 时，又直线方程的定义可知0≠A ,于是两条直线方程变为,,21AC x A C x -=-= 这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合.又由于21C C ≠,所以它们是平行的直线.结论：与直线0=++C By Ax 平行的直线的方程可以表示成).(0C D D By Ax ≠=++例题2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：（1） ;1),2,1(21+=-x y （2）.0532),4,1(=++-y x解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为.21b x y +=由于所求直线过点),2,1(-代入方程，得.25=b 因此所求直线方程为 .0522521=+-+=y x x y ，即（2） 设所求的直线方程为.032=++D y x由于所求直线过点),4-,1(代入方程，得.10=D因此，所求直线方程为.01032=++y x（四）课堂练习，学以致用教材第84页 练习A 1, 2 (1), (3), (5) , 3(五) 课堂小结，认识升华两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件.若111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，则；且平行与212121b b k k l l ≠=⇔；相交与2121k k l l ≠⇔.212121b b k k l l ==⇔且重合与若,0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l则 .00021122121122121≠-≠-=-⇔C A C A B C C B B A B A l l 或，且平行与⇔相交与21l l 01221≠-B A B A ..021212121）（，，重合与≠===⇔λλλλC C B B A A l l (六) 课后作业，巩固提高教材第84页 练习A 2 (2), (4),练习B 1 （1），（2），（3）（七）板书设计六、教学反思课堂教学过程是一个定位，设计，操作和反思的过程，教师要向学生提供有效的学习资源，学习方法和学习氛围.这课时教学指导思想是发挥学生的主体性，以问题链的形式逐步引导深入，为了使学生的认识符合从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律，所以充分渗透了数形结合的数学思想，在推导两直线相交、平行与重合垂直的位置关系的教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；但同时不应忽视教师的主导性，所以在推导过程之前，教师通过过定点的直线系的类比，培养学生自主探究问题的习惯，让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件.通过解方程或方程组这一代数思想方法，探索与讨论如何用数量关系来说明两直线的位置关系，进一步体会几何问题代数化的思想方法，从而提高学生用代数方法处理数学问题的能力和计算推理能力.。

3 (3)将2，1的坐标代入 3 ∴点2，1不在直线
2x＋3y＋6＝0 不满足，
l 上.
(4)虽然以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标的点都在直线 l 上，但直线 l 3 x＝－ 3 2 却不是该方 上的点的坐标不都是该方程的解，如点 C－2，－1∈l，但 y＝－1 程的解. ∴方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方程.
5．若过点 A(2，－1)与 B(a,1)的直线的倾斜角为锐角，则 a 的取值范围是
(2，＋∞) ____________. 导学号 92434547
1－－1 2 由题意，得 kAB＝ ＝ >0，∴a>2，故 a 的取值范围是(2， a－2 a－2
[解析] ＋∞).
6．已知方程 2x＋3y＋6＝0. 导学号 92434548 (1)把这个方程改写成一次函数形式； (2)画出这个方程所对应的直线 l；
正向 与直线________ 向上 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，垂 5．x轴_______ 90° 直于x轴的直线倾斜角为________.
我们规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°，倾斜角的范围是[0°，
180°).
|k| 越大， 6．直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于x轴的倾斜程度，_______ 直线的倾斜程度越大. ＝0 >0 α ＝ 0° 时 ， k_______ ； 0°<α<90° 时 ， k_______ ； α ＝ 90° 时 ， 不存在 ；90°<α<180°时，k________. k__________ <0
互动探究学案
命题方向1 ⇨直线的倾斜角
角， 则直线 l 的倾斜 典例 1 若直线 l 的向上的方向与 y 轴的正方向成 30° 角为 导学号 92434549 ( D ) A．30° C．30° 或 150° B．60° D．60° 或 120°