2018年辽宁地区中考数学专题突破训练(15)全等三角形(含解析)

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题15三角形及全等三角形一．选择题（共16小题）1．（2022•十堰）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．三角形两边之和大于第三边【分析】根据两点确定一条直线判断即可．【解析】这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系、两点之间，线段最短、两点确定一条直线、垂线段最短，正确理解它们在实际生活中的应用是解题的关键．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．【解析】在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．3．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小【分析】利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．【解析】∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关键．4．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d 可能是（）A．1B．2C．7D．8【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可得出结论．【解析】∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范围为：2＜d＜8，∴则d可能是7．故选：C．【点评】本题主要考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到d的取值范围是解题的关键．5．（2022•邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【解析】根据三角形的三边关系，得：A、1+2＝3，不能构成三角形；B、3+4＞5，能构成三角形；C、4+5＜10，不能构成三角形；D、2+6＜9，不能构成三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．6．（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．【解析】设多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n﹣2）•180°是解题的关键．7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【分析】根据三角形的高的概念判断即可．【解析】A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．8．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解析】∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．9．（2022•金华）已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的两边长分别为5cm和8cm，可得第三边x的长度范围即可得出答案．【解析】∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，∴第三边x的长度范围为：3cm＜x＜13cm，∴第三边的长度可能是：6cm．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．10．（2022•凉山州）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．【解析】A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．11．（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．70°【分析】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．【解析】如图所示，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．12．（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．【解析】当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设李锐两家的直线距离为x，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，故选：A．【点评】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．【解析】在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，写出△AOB和△DOC全等的证明过程．15．（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F 与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．16．（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解析】∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．二．填空题（共6小题）17．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为11．【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意可得：，解得：n＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．18．（2022•江西）正五边形的外角和为360度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解析】正五边形的外角和为360度，故答案为：360．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角和等于360°．19．（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝48度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．【点评】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．20．（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为135°．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解析】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）．21．（2022•孝感）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．【分析】添加条件：∠A＝∠D，根据ASA即可证明△ABC≌△DEF．【解析】添加条件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：∠A＝∠D．（答案不唯一）【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．22．（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝15度．【分析】根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．【解析】∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°，故答案为：15．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．三．解答题（共4小题）23．（2022•宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：AD ＝CF．【分析】利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF，∴AC﹣DC＝DF﹣DC，即：AD＝CF．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，准确利用全等三角形的判定定理解答是解题的关键．24．（2022•陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25．（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：AD＝AE．【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．26．（2022•乐山）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE．求证：△ABD≌△BCE．【分析】根据ASA判定定理直接判定两个三角形全等．【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB＝BC，∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC，∵BD∥CE，∴∠C＝∠DBA，在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE．（ASA）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．。

2018年辽宁省葫芦岛市初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．(2018辽宁葫芦岛，1，3分) 如果温度上升10℃记作＋10℃，那么温度下降5℃记作( )A．＋10℃B．－10℃C．＋5℃D．－5℃【答案】D，【解析】温度上升与下降是一对互为相反意义的量，如果温度上升10℃记作＋10℃，那么温度下降5℃记作－5℃，故选D．2．(2018辽宁葫芦岛，2，3分)下列几何体中，俯视图为矩形的是( )A B C D【答案】C【解析】俯视图是从上往下看几何体得到的平面图形，A的俯视图是含圆心的圆；B的俯视图是无圆心的圆；C 的俯视图是长方形；D的俯视图是三角形，故选C．3．(2018辽宁葫芦岛，3，3分)下列运算正确的是( )A．－2x2＋3x2＝5x2B．x2·x3＝x5C．2(x2)3＝8x6D．(x＋1)2＝x2＋1【答案】B【解析】A．－2x2＋3x2＝x2，故该选项错误；B．x2·x3＝x5，故该选项正确；C．2(x2)3＝2x6，故该选项错误；D．(x＋1)2＝x2＋2 x +1，故该选项错误；故选B．4．(2018辽宁葫芦岛，4，3分)．下列调查中，调查方式选择最合理的是( )A．调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查B．调查一批飞机的合格情况，采用抽样调查C．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查【答案】A【解析】对要求精确度高的调查，应采用全面调查，如选项B、D；对于涉及的人多，范围广，有破坏性的调查应采用抽样调查，如选项A、C；故选A．5．(2018辽宁葫芦岛，5，3分) 若分式211xx-+值为0，则x的值为( )A．0 B．1 C．－1 D．±1【答案】B【解析】若分式211xx-+值为0，则x 2－1＝0而x＋1≠0，∴x＝1．故选B．6．(2018辽宁葫芦岛，6，3分)在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是( )A．众数是90分B．中位数是95分C．平均数是95分D．方差是15【答案】A【解析】由折线统计图，得到的10个数据为85，85，90，90，90，90，90，95，95，100，出现次数最多的是90，故众数为90；位于最中间的两数的平均数为90，故中位数为90；110(85＋85＋90＋90＋90＋90＋90＋95＋95＋100)＝91(分)，故平均数是91分；2s＝110[(－6)2＋(－6)2＋(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋42＋42＋92] ＝19．故选A．7．(2018辽宁葫芦岛，7，3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝165°，则∠B的度数是( )A．15°B．55°C．65°D．75°A【答案】D【解析】∵∠CDE＝165°，∴∠ADE＝15°．∵DE∥AB，∴∠A＝15°．∵∠C＝90°，∴∠B＝75°．故选D．8．(2018辽宁葫芦岛，8，3分)如图，直线y ＝kx ＋b (k ≠0)经过点A (－2，4)，则不等式kx ＋b ＞4的解集为( ) A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＞4 D ．x ＜4【答案】A【解析】由图象得kx ＋b ＝4时， x ＝－2，∴kx ＋b ＞4时， x ＞－2， 故选A ．9．(2018辽宁葫芦岛，9，3分) 如图， AB 是⊙O 的直径， C ， D 是⊙O 上AB 两侧的点，若∠D ＝30°，则tan ∠ABC 的值为()A ．12BCD【答案】C ，【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A ＝∠D ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵tan 60°tan ∠ABC故选C ．10．(2018辽宁葫芦岛，10，3分)如图，在□ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，A B ⊥A C ，点P 从点B 出发沿着B →A →C 的路径运动，同时点Q 从点A 出发沿着A →C →D 的路径以相同的速度运动，当点P 到达C 时，点Q 随之停止运动．设点P 运动的路程为x ，y ＝PQ 2，下列图象中能大致反映与的函数关系的是( )．DB【答案】B【解析】点P在AB上时，∵BP＝x，∴AP＝6－x，∵AB⊥AC，AQ＝x，∴y＝PQ2＝22AP AQ＝AP2＋AQ2＝|(6－x)2＋x2|＝|2x2－12x＋36|．当x＝0时，y＝PQ2＝36，即图象的起点是(0，36);当0＜x≤8时，图象是抛物线;点P在AC上时，当6＜x≤8时，①AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ2＝(AQ－AP)] 2＝36当8＜x≤14时，②PC＝14－x，CQ＝(x－8)，∴y＝PQ2＝PC2＋CQ2＝|(14－x)2＋(x－8)2|＝|2x2－44x＋260|，图象也是抛物线;故选B．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．11．(2018辽宁葫芦岛，11，3分) 分解因式：2a3－8a＝__________．11．【答案】(a＋2)(a－2)，【解析】先提公因式2a，再运用平方差公式分解即可．解：2a3－8a＝2a(a2－4)＝(a＋2)(a－2)．12．(2018辽宁葫芦岛，12，3分)据旅游业数据显示，2018年上半年我国出境旅游超过129000000人次，将数据129000000用科学记数法表示为__________．12．【答案】1.29×108，【解析】用科学记数法表示：129000000＝1.29×108．13．(2018辽宁葫芦岛，13，3分)有四张看上去无差别的卡片，正面分别写着“兴城首山”、“龙回关”、“觉毕岛”、“葫芦山庄”、四个景区的名称，将它们背面朝上，从中随机抽取一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是__________．13．【答案】14，【解析】P(写有“葫芦山庄”的)＝14．14．(2018辽宁葫芦岛，14，3分)如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为__________．【答案】(2，－3)，【解析】关于x 轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，点A 与点C 关于x 轴对称，点A 的坐标为(2，3)，故点C 的坐标为(2，－3)．15．(2018辽宁葫芦岛，15，3分) 如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业，M N 与A B 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时，测得景点A 的俯角为45°，景点B 为的俯角为30°，此时C 到地面的距离C D 为100米，则两景点A 、B 间的距离为__________米(结果保留根号)．DC B【答案】：100+100，【解析】∵MN ∥AB ，∴∠A ＝∠MCA ＝45°，∠B ＝∠NCB ＝30°． ∵CD＝100，∴AD ＝tan 45CD ︒＝100，DB ＝tan30CD︒． ∴AB ＝AD ＋DB ＝100＋16．(2018辽宁葫芦岛，16，3分)如图，OP 平分∠MON ，A 是边OM 上一点，以点A 为圆心，大于点A 到ON 的距离为半径作弧，交ON 于点B 、C ，再分别以点B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 分别交OP 、ON 于点E 、F ，若∠MON ＝60°，EF ＝1，则OA ＝__________．【答案】【解析】由垂线的作法得AD⊥ON，由OP平分∠MON得∠PON＝30°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AOF∽△OEF，利用相似三角形的对应边成比例得OAOF ＝OEEF．利用锐角三角函数求得OE，OF，OA可得．解：∵AD⊥ON，∠MON＝60°，∴∠OAD＝30°．∵∠PON＝12∠MON＝30°，∴△AOF∽△OEF．∴OAOF＝OEEF．∵EF＝1，∴OE＝2，OF＝21．∴OA＝17．(2018辽宁葫芦岛，17，3分)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠得到△BEF，且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若17DGGA=，则ADAB＝__________．ED【解析】连接EG，证△EFG≌△EDG．得DG＝FG，∠DEG＝∠FEG．又因为折叠，所以∠DEG＝∠FEG．所以∠BEG＝90°．∵17DGGA=，∴18DGAD=．∵AD＝BC＝BF，∴18FGBF=．∵△EFG∽△BFE，∴EF2＝BF·FG．∴EF BF．∴CD＝2 EF BF．即ADAB．18．(2018辽宁葫芦岛，18，3分)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，，过点B1作B1A1⊥OM 交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1，过过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以B2A2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2，过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以B3A3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3…，按此规律进行下去，则△A n A n+1C n的面积为__________(用含正整数n的代数式表示)．54321O，三、解答题(本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2018辽宁葫芦岛，19，10分) 先化简，再求值：(21-a a －2221--+a a a a )÷1+a a ，其中a ＝3－1＋2 sin 30°．【思路分析】本题考查分式的化简求值，计算a 的值时，要注意正确运用负指数幂运算法则和特殊角的三角函数值．【解答过程】原式＝(21-a a －211--（）（）a a a )÷1+a a ＝(21-a a －1-a a )÷1+a a ＝1-a a ×1+a a ＝+11-a a ． 当a ＝13＋1＝43时，原式＝4+134-13＝7．20．(2018辽宁葫芦岛，20，12分)“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A ．非常了解，B ．比较了解，C ．基本了解，D ．不太了解．实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．类别（1）本次调查_________名学生;扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角的度数是_________; （2）补全条形统计图;（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规”非常了解”的有多少名? （4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．【思路分析】（1）非常了解”的学生人数为24，对应的百分比为40%，所以本次调查的学生人数=24÷40%;扇形统计图中C 所对应扇形的圆心角的度数是360×(1―40%―25%―5%)＝108°; （2）图略;（3）该校800名学生中，对这些交通法规”非常了解”的有: 800×40%＝320(名); （4）用列表法或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．【解答过程】（1）60，108° （2）补全条形统计图． 类别人数（3）该校800名学生中，对这些交通法规”非常了解”的有: 800×40%＝320(名);（4）列表法由表格得，等可能的情况共有12种，其中甲和乙两名学生同时被选中的概率．情况有2种，所以P (甲和乙两名学生同时被选中)＝212＝16．21．(2018辽宁葫芦岛，21，12分)某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用．修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？ （2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？【思路分析】（1）题中的等量关系：（1）修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元；（2）修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．根据题中的等量关系列方程组，求解即可． （2）根据题中的不等量关系列出不等式，求解即可．【解答过程】（1）设修建一个足球场需x 万元，修建一个篮球场需y 万元． 根据题意，得8.5,2427,+=⎧⎨+=⎩x y x y ，解得 3.5,5.=⎧⎨=⎩x y ．答：修建一个足球场需3.5万元，修建一个篮球场需5万元．（2）设修建足球场a 个，则修建篮球场(20－ a )个． 根据题意，得3.5 a ＋5(20－a )≤90，解得a ≥203． 答：至少可以修建7个足球场．22．(2018辽宁葫芦岛，22，12分)如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝ax(a ≠0)的图象在第二象限交于点A (m ，2)，与x 轴交于点C (－1，0)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△ABC 的面积是3． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式；（2）若直线AC 与y 轴交于点D ，求△BCD 的面积．【思路分析】（1）根据题意先求a 的值，得到反比例函数解析式；再求出点A 的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）先求出直线AC 与y 轴的交点D 坐标，再求△BCD 的面积．【解答过程】（1）∵一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝ax(a ≠0)的图象在第二象限交于点A (m ，2)，与x 轴交于点C (－1，0)，∴点A (2a ，2)．∵△ABC 的面积是3，∴3＝12·AB ·BC ．即3＝12×2×(－1－2a )，解得a ＝－8，∴反比例函数解析式为y ＝-8x．∴A (－4，2)．把A (－4，2)，C (－1，0)的坐标代入y ＝kx ＋b 得2=-4,0,+⎧⎨=-+⎩k b k b 解得2,32,3⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩k b ∴一次函数解析式为y ＝2-3x 2-3． （2）∵直线AC 与y 轴交于点D ，∴D (0，2-3)，∴OD ＝23．∴S △BCD ＝12×BC ×(AB ＋OD )＝12×3×(2＋23)＝4．23．(2018辽宁葫芦岛，23，12分)如图，AB 是⊙O 的直径，»AC ＝»BC，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF ＝CE ，连接AF 交⊙O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若OB ＝2，求BD 的长．【思路分析】（1）要证直线BF 是⊙O 的切线，先由圆的性质证∠AOC ＝∠BOC ＝90°，再证△COE ≌△FBE ，得∠FBE ＝90°即可；（2）先利用全等三角形的性质得BF ＝2，再由勾股定理得AF ＝，最后由相似三角形的判定与性质求得BD 的长．【解答过程】（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，»AC ＝»BC，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°．∵E 是OB 的中点，EF ＝CE ，∴△COE ≌△FBE ．∴∠FBE ＝90°．∴直线BF 是⊙O 的切线；（2）∵△COE ≌△FBE ，OB ＝2，∴BF ＝OC ＝2．在Rt△ABF 中，由勾股定理得AF ＝．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD AB ＝BF AF，即4BD，解得BD ．24．(2018辽宁葫芦岛，24，12分)某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售．每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y (袋)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，部分数据如下（2）如果每天获利160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【思路分析】（1）根据题意用待定系数法可求得y 与x 之间的函数关系式；（2）每天的利润＝每袋的利润×每天的销售量－80，据此等量关系列、解方程可得；（3）根据题中的等量关系列式，化为顶点式可解决问题．【解答过程】（1）y ＝－80 x ＋560．（2）根据题意，得160＝(x －3)(－80 x ＋560)－80，解得x 1＝4，x 2＝6．∵3.5≤x ≤5.5，∴x ＝4(元)．答：如果每天获利160元的利润，销售单价为4元．（3）根据题意，得w ＝(x －3)(－80 x ＋560)－80＝－80(x －5)2＋240．答：设每天的利润为w 元，当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．25．(2018辽宁葫芦岛，25，12分)在△ABC 中，AB ＝BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点(点P 不与点A ，O ，C 重合)．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ．（1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC ＝90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）若｜CF －AE ｜＝2，EF ＝POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．图3【思路分析】（1）连接OB ，则OB ⊥AC ，进而得A 、E 、O 、B 四点共圆，B 、F 、O 、C 四点共圆．由同弧所对的圆周角相等得∠OEB ＝∠OAB ，∠OFC ＝∠OBC ．又因为∠OFE ＝90°－∠OFC ，∠ACB ＝90°－∠OBC ，所以∠OFE ＝∠OCB ，又因为∠OAB ＝∠OCB ，所以∠OE B ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ；（2）类比（1）可得OE ＝OF ；由∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，可得∠OAB ＝∠OCB ＝∠OEB ＝∠OFE ＝45°，所以OE ⊥OF ．（3）取EF 的中点为M ，则EM ＝FM AM 并延长交CF 于D ，连接OM ．由△AME ≌△DMF ，｜CF －AE ｜＝2，得OM ＝1．进而得OF ＝2．由sin ∠OFM＝12，得∠OFM ＝30°．因为点P 在EF 上，所以OP ＜OE ＝OF ；因为AE ⊥EF ，∠APE 、∠OPF 均为锐角，故PF ≠PO ．当PF ＝OF ＝2时， PM ＝2理得OP ＝【解答过程】（1）OE ＝OF ；（2）OE ＝OF ，OE ⊥OF ．理由：连接OB ，则OB ⊥AC ．∵∠AEB ＝∠AOB ＝90°，∴进而得A 、E 、O 、B 四点共圆，∴∠OEB ＝∠OAB ．∵∠BFC ＝∠BOC ＝90°，∴B 、F 、O 、C 四点共圆．∴∠OFC ＝∠OBC ．又∵∠OFE ＝90°－∠OFC ，∠ACB ＝90°－∠OBC ，∴∠OFE ＝∠OCB ，又∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠OAB ＝∠OCB ＝45°．∴∠OE B ＝∠OFE ＝45°．∴OE ＝OF ，OE ⊥OF ．（3）OP ＝26．(2018辽宁葫芦岛，26，14分)如图，抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c (a ≠0)经过点A (－1，0)，点E (4，5)，与y 轴交于点B ，连接AB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO 绕点O 旋转，点B 的对应点为点F ．①当点F 落在直线AE 上时，求点F 的坐标和△ABF 的面积；②当点F 到直线AE F 作直线AE 的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．【思路分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）①先根据题意求出点F 的坐标，再求S △ABF ；②根据题意，先求出过点F 、平行于直线AE 且到直线AE 的的直线解析式，再写出与抛物线的交点坐标．【解答过程】（1）把A (－1，0)，点E (4，5代入y ＝ax 2＋4x ＋c得0-4,51616,a c a c =+⎧⎨=++⎩解得1,5,a c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5．（2） ①当点F 落在直线AE 上时，点F 的坐标为(x ，y )．根据题意，得x 2＋(x ＋1)2＝25整理，得x 2＋x －12＝0．解得x 1＝3，x 2＝－4．∴点F 1的坐标为(3，4) ，点F 2的坐标为(－4， －3) ．∴S △ABF 1＝12×4×5＝10． ∵直线y ＝2x ＋5与x 轴的交点坐标是(－52，0)， ∴S △ABF 2＝12×32×8＝6．②符合题意的交点坐标为)；)；)；． 理由：由题意得，直线AE 的解析式y ＝x ＋1．当点F 到直线AE F 与直线AE 平行的直线有两条分别是y ＝x ＋3，y ＝x －1．把直线AE 的解析式与抛物线联立，得2453y x x y x ⎧⎨⎩＝－＋＋，＝＋，或2451y x x y x ⎧⎨⎩＝－＋＋，＝－，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴交点坐标为)；)；)；．。

三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。