数学高中北师大版选修2-2课后习题：5.2 复数的四则运算

§2复数的四则运算课后训练案巩固提升
A组
1.复数2+i
1-2i的虚部为()
A.0
B.1
C.-1
D.2
解析:∵2+i
1-2i =(2+i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
=2+i+4i-2
5=i,
∴虚部为1.
答案:B
2.设z1=2+b i,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+b i为()
A.1+i
B.2+i
C.3
D.-2-i
解析:∵z1+z2=(2+b i)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,
∴{2+a=0, b+1=0.
∴{a=-2,
b=-1.
∴a+b i=-2-i.
答案:D
3.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=()
A.√10
B.5√5
C.√2
D.5√2
解析:∵z1-z2=5+5i,
∴f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5√2.
答案:D
4.设复数z=a+b i(a,b∈R),若z
1+i=2-i成立,则点P(a,b)在() A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵z
1+i=2-i,∴z=(2-i)(1+i)=3+i.
∴a=3,b=1.∴点P(a,b)在第一象限.
答案:A
5.复数z的共轭复数为z,i为虚数单位,且z+2i z=5+4i,则z=()
A.1+2i
B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
解析:设z=a+b i,则z=a-b i,
∵a+b i+2i(a-b i)=5+4i,
即(a+2b )+(b+2a )i =5+4i,
∴{
a +2
b =5,b +2a =4,解得{a =1,b =2.
∴z=1+2i . 答案:A 6.已知z 1=√32a+(a+1)i,z 2=-3√3b+(b+2)i(a ,b ∈R ),若z 1-z 2=4√3,则a+b= .
解析:∵z 1-z 2=
√32a+(a+1)i -[-3√3b+(b+2)i]=√32a+3√3b+(a-b-1)i =4√3, ∴{√32a +3√3b =4√3,a -b -1=0.∴{a =2,b =1.
∴a+b=3.
答案:3
7.已知复数z=√3+i
(1-3i )2z 是z 的共轭复数,则z ·z = .
解析:∵z=√3+i (1-3i )2=√3+i
-2-2√3i =√3+i -2(1+√3i ) =(√3+i √3i -2(1+3i )(1-3i )
2√3-2i -8=-√34+14i, ∴z =-√34−14i .
∴z ·z =(-√34+14i)(-√34-14
i) =
316+116=14. 答案:14 8.若x ,y ∈R ,且x 1-i −y 1-2i =51-3i ,则x= ,y= . 解析:∵x 1-i −y 1-2i =51-3i , ∴x (1-2i )-y (1-i )(1-i )(1-2i )=5(1+3i )(1-3i )(1+3i ).
∴(x -y )+(y -2x )i -1-3i =1+3i 2
. ∴(x-y )+(y-2x )i =
-(1+3i )22=4-3i . ∴{x -y =4,y -2x =-3.
∴{x =-1,y =-5. 答案:-1 -5
9.计算:(1)(-12+
√32i)(2-i)(3+i);
(2)(√2+√2i )2(4+5i )(5-4i )(1-i )
. 解(1)(-12+√32i)(2-i)(3+i)
=(-12+√32i)(7-i)=√3-72+7√3+12i .
(2)(√2+√2i )2
(4+5i )(5-4i )(1-i )=4i (4+5i )5-4-9i =-20+16i
1-9i
=-4(5-4i )(1+9i )82
=-4(41+41i )82=-2-2i .
10.设复数z 满足4z+2z =3√3+i,w=sin θ-icos θ,求复数z 及|z-w|的取值范围. 解设z=a+b i(a ,b ∈R ),并将其代入条件中,得
4(a+b i)+2(a-b i)=3√3+i,即6a+2b i =3√3+i .
∴{6a =3√3,2b =1,解得{a =√32,
b =12.
∴z=√32+12i .
|z-w|=|(√32+12i)-(sinθ-icosθ)|
=|(√32-sinθ)+(12+cosθ)i|
=√(√32-sinθ)2
+(12+cosθ)2
=√2-√3sinθ+cosθ=√2-2sin (θ-π6).
∵-1≤sin (θ-π6)≤1,
∴0≤|z-w|≤2.
故所求的z=√32+12i,|z-w|的取值范围是[0,2].
B 组
1.如果一个复数与它的模的和为5+√3i,那么这个复数是
( ) A.115 B.√3i C.115+√3i D.115+2√3i
解析:设z=x+y i(x ,y ∈R ),则|z|=√x 2+y 2.
∵x+y i +√x 2+y 2=5+√3i,
∴{x +√x 2+y 2=5,y =√3,解得{x =11
5,y =√3.∴z=11
5+√3i .
答案:C
2.导学号88184057若z 2+z+1=0,则z 2 014+z 2 015+z 2 017+z 2 018的值为(
) A.2 B.-2 C.-12+√32i D.-12±√32i
解析:∵z 2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z 3-1=0,
∴z 3=1(z ≠1),
则z 4=z ,z 2 014=(z 3)671×z=z ,
于是原式=z 2 014(1+z+z 3+z 4)
=z (1+z+1+z )=z (2+2z )=2(z+z 2)=-2.
答案:B
3.已知复数z=x+y i(x ,y ∈R ),且|z-2|=√3,则y x 的最大值为 . 解析:由|z-2|=√3,知点z 的轨迹是以点(2,0)为圆心,半径为√3的圆,y x 表示圆上的点与原点连线的斜率,结合图形易知,当直线与圆相切时取最值.
答案:√3
4.
导学号88184058设z ∈C ,若|z|=1,且z ≠±i . (1)证明:z 1+z 2
必是实数; (2)求z 1+z 2
对应点的轨迹. (1)证明设z=a+b i(a ,b ∈R ),则a 2+b 2=1(a ≠0).
于是z 1+z 2=a+bi 1+(a+bi )2=a+bi 1+a 2-b 2+2abi
=a+bi 2a 2+2abi =2a 3+2ab 24a 4+4a 2b 2=12a ∈R . 因此z 1+z 2
必是实数. (2)解由(1)知z z 2+1=12a
(a ≠0). ∵a 2+b 2=1,∴-1≤a<0或0<a ≤1.
∴12a ≤-12或12a ≥12,即
z z 2+1对应的点的轨迹是x 轴上除去(-12,12)这个区间的所有点的两条射线. 5.已知z 为虚数,z+9z -2
为实数,若z-2为纯虚数,求虚数z 及|z|. 解∵z 为虚数且z-2为纯虚数,
∴可设z=2+b i(b ∈R ,b ≠0).
又z+9z -2=2+b i +9bi =2+b i -9b i =2+(b -9b )i 为实数,∴b-9b =0,b=±3. ∴z=2±3i .故|z|=√13.
由Ruize收集整理。

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