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2020年海南省海口市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={x|0＜x2≤4}，B={x|x＞-1}，则A∩B=（）A. （-1，2]B. （-1，0）∪（0，2]C. [-2，+∞）D. （-1，0）∪（0，2）3.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） .A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样4.已知点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=（）A. 1B. 4C. 6D. 85.设x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，则a n=（）A. -4×（-）n-1B. -4×（-）nC. ×（-）n-1D. -4×（）n-16.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.7.已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98.（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A. 1B. 20C. 21D. 319.若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，则k=（）A. 3B.C. 2D.10.等差数列{a n}的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为( )A. B. C. D.11.某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（）A. B. C. D.12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则||=______．14.将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是______．15.若函数f（x）=2x+1+log2a有零点，则a的取值范围为______．16.在空间直角坐标系O-xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C;（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．（1）证明：EF∥平面BCC1B1．（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值．19.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下．将河流水位在[20，22），[22，24），[24，26），[26，28），[28，30），[30，32），[32，34]各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响．（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位x∈[26，30）的概率（结果用分数表示）．（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X∈[20，26）时，不会造成影响；当X∈[26，30）时，损失50000元；当X∈[30，34]时，损失300000元．为减少损失，A工厂制定了三种应对方案．方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元．试问哪种方案更好，请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（ln x+1）．（1）证明：函数f（x）在其定义域上是单调递增函数．（2）设m＞0，当x∈[1，+∞）时，不等式≤0恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y=kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．23.已知函数f（x）=|x+2|+2|x-1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：A={x|-2≤x≤2，且x≠0}；∴A∩B=（-1，0）∪（0，2]．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型．根据抽样方法的特征，即可得出结论．【解答】解：由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样．故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力,属于中档题．利用双曲线方程，通过双曲线的定义，转化求解即可．【解答】解：双曲线C：x2=1，可得a=1，b=2，c=3，则点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=-2a+2c=4．故选B．5.答案：A解析：解：x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，∴x（x-5）=（x+10）2，解得x=-4，x+10=6，∴公比q=-，因此a n=-4×．故选：A．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数值以及对数比较大小的问题，熟记三角函数与对数函数的性质即可，属于基础题．根据，，，用排除法即可得出结果．【解答】解：∵，，，∴排除A，B，C，＞log52，故选：D．7.答案：C解析：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行区域如图，因为z=x+2y可化为，直线过点A时，截距最小，即z最小；由，解得A（2，3），所以z min=2+6=8．故选：C．本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题．由约束条件作出可行域，再由z=x+2y化为，平移该直线，可得z的最小值．8.答案：C解析：解：由二项式展开式通项得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，故选：C．由二项式定理及有理数的定义得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．9.答案：A解析：【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标，欲求k的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=1+3ln x，∴y′==，设切点为（m，1+3ln m），得切线的斜率为k==，即曲线在点（m，1+3ln m）处的切线方程为：y-（1+3ln m）=（x-m），即y=x+3ln m-2，∵直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，∴3ln m-2=-2，即m=1，即=k，则k=3．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型．先设等差数列{an}的公差为d，根据题中条件求出公差，得到an=n+1再由裂项相消法即可求出结果．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，a32=a1a7，可得（2+2d）2=2（2+6d），所以d=1，因此a n=n+1，所以=，所以数列{}的前2019项和为：==．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积，熟记公式即可，属于常考题型．先由三视图确定该几何体是四棱锥，结合题中熟记，求出体积，再求出原三棱柱的体积，即可得出结果．【解答】解：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2且底面积为=5的四棱锥，其体积为．又三棱柱的体积为×2×2×4=8，故体积比为：．故选：B．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．解析：解：向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则6||cos60°=24，解得||=8．故答案为：8．直接利用向量的数量积，结合向量的夹角，转化求解即可．本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力．14.答案：π解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型．先由图象的变化得到g（x）的解析式，再由正弦函数的周期性即可求出函数的最小正周期．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（2x-）的图象，则g（x）的最小正周期是=π，故答案为π．15.答案：（0，）解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题，属中档题．由函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题得：函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，得解．【解答】解：由函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，故答案为（0，）．16.答案：解析：【分析】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于基础题．先由题意得到四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出m2，从而可得到向量坐标，根据cos＜＞=，即可求出结果．解：由题意易知OA，OB，OC两两垂直，∴四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直接等于体对角线的长，因此，解得m2=2，从而，则cos＜＞=．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．故答案为：．17.答案：解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，∴可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，∵AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点，取B1C1中点D，∴A1（0，0，0），D（2，2，0），E（2，0，3），F（0，2，6），在Rt△A1B1C1中，A1D⊥B1C1，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴为平面BCC1D1的一个法向量，而，，∴=-4+4=0，∴，又EF⊄平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1；（2）易知A（0，0，6），B1（0，4，0）∴，，设是平面AEF的一个法向量，则，，取x=1，则y=0，z=，即，设B1F与平面AEF所成角为θ，则sinθ=|cos|=||==，故B1F与平面AEF所成角的正弦值为．解析：（1）建立空间坐标系，利用与平面BCC1B1的法向量垂直可证；（2）找到和平面AEF的法向量，代入公式计算即可．此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等，难度适中．19.答案：解：（1）由频率分布直方图可知河流水位X∈[26，30）的概率为P（A）=（0.075+0.025）×2=，记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）”为事件A，则P（A）=1-=1-[+]=，（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，（单位：元）①若采用方案一，则Y的分布列为：Y050000300000P0.780.20.02YY8000300000P0.980.02E（Y）=8000+300000×0.02=14000．③若采用方案三：E（Y）=20000（元）．因为14000＜16000＜20000，所以A工厂应采用方案二．解析：本题主要考查频率分布直方图、以及离散型随机变量的期望与分布列，熟记概念和公式即可，属于常考题型，为中档题．（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位X∈[26，30）的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）为事件A，即可由P（A）=1-求出结果；（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，根据题意分别求出三种方案中Y的期望，比较大小，取期望最小的即可．20.答案：解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．21.答案：证明：（1）因为x∈（0，+∞），f（x）=e x（ln x+1），所以f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），则=，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，则g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．故g（x）min=g（1）=2＞0，从而f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．解：（2）当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立等价于当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，即当x∈[1，+∞）时，-恒成立．记h（x）=，φ（x）=-，则，φ′（x）=．因为当x≥1时，，所以h′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即h（x）在[1，+∞）上单调递减．因为当x≥1时，1-x≤0，所以φ′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即φ（x）在[1，+∞）上单调递减．记P（x）=mh（x）+φ（x），因为m＞0，所以P（x）在[1，+∞）上单调递减，所以P（x）max=P（1）=．因为-≤0在[1，+∞）上恒成立，所以-e≤0，即m≤e2．又m＞0，故m的取值范围为（0，e2]．解析：（1）先对函数求导，得到f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），再由导数方法研究g（x）单调性，求出最小值即可；（2）先将当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，化为-≤0恒成立，令h （x）=，φ（x）=-，用导数方法研究其单调性，再记P（x）=mh（x）+φ（x），得到P（x）单调性，进而可得出结果．本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数的单调性、最值等求解，属于常考题型，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.答案：解：（1）由（θ为参数），得（x-3）2+y2=4，即x2+y2-6x+5=0．故C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0．（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），直线l：y=kx（k≥0）的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入ρ2-6ρcosθ+5=0，得ρ2-6ρcosα+5=0，所以ρ1+ρ2=6cosα，ρ1ρ2=5．因为k≥0，所以cosα＞0，则ρ1＞0，ρ2＞0，则+=+==．当cosα=1时，+取得最大值，且最大值为．解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属中档题．（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设A（ρ1，α），B（ρ2，α），以及直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入（1）中的结果，得到ρ2-6ρcosα+5=0，由韦达定理，以及+=+，即可求出结果.23.答案：解：（1）f（x）=|x+2|+2|x-1|=，则f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=3．（2）因为g（x）=f（x）+x-a=，令-2x-a＜0，则x；令4x-a＜0，则x＜,所以不等式f（x）+x-a＜0的解集为（-，），又不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，所以-（-）=6，故a=8．解析：本题主要考查含绝对值不等式，熟记不等式的解法即可，属中档题.（1）先将函数f（x）写出分段函数的形式，再根据每一段的单调性，确定函数f（x）的单调性，即可得出结果；（2）先将函数g（x）写出分段函数的形式，根据函数g（x）单调性，分别由-2x-a＜0和4x-a＜0，求出不等式f（x）+x-a＜0的解集，在由题中条件即可得出结果．。
1山东海南2020年新高考数学仿真试卷 4月一、单项选择题：1．{}{}2|314=log 3,=xA x xB x A B =+≤≤设集合，则UA．[]0,1 B．(]0,1C ．5[,8]3-D ．5[,8)3-2．已知2019(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知(1,2),A -(4,1),B -(3,2),C 则cos BAC ∠= A ．2-B ．2C ．2-D ．2 4．我省高考实行3＋3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为 A ．1140B ．920C ．910D ．125．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＝0的夹角为60°，若以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为223+，则双曲线C 的标准方程为A ．2213x y -=B ．22193x y -=C ．22139x y -=D ．2213y x -=6．1()cos sin(3)3xxf x x =⋅+函数的图像大致为7．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A －sin B sin C ＝0，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．()1,1- 8．已知函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝x 2e x ，若对任意的x 2∈[－1,1]，存在唯一的x 1∈1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是A ．(],4eB ．1,44e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．1,44e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：9．对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为 A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc ≥ C ．若a >0>b ，则a 2<－abD ．若c >a >b >0，则a c －a >bc －b10．将函数()2sin (sin 3cos )1f x x x x =--图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图像．则下列命题中正确的是 A ．()f x 在(,)42ππ上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于直线56x π=对称 C ．()2cos 2g x x =D ．函数()g x 的图像关于点(,0)2π-对称11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=2a ，以下结论正确的有 A ．AC ⊥BE ； B ．点A 到ΔBEF 的距离为定值C ．三棱锥A －BEF 的体积是正方体1111ABCD A B C D －体积的112； D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值．12．已知函数22|log (1)|,13()1296,322x x f x x x x -<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是A ．121x x =B ．12111x x +=C ．3412x x +=D ．34(27,29)x x ∈ 三、填空题： 13．函数ln ()xa xf x e=在点(1,(1))P f 处的切线与直线230x y +-=垂直，则a = ．14．如果n323x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为4096，则n 的值为________，展开式中x 的系数为________．(本题第一空2分，第二空3分)315．各项均为正数且公比0q ＞的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若514a a ＝，245a a +=，则2522n S an⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为________．16．如图所示，三棱锥A －BCD 的顶点A ，B ，C ，D 都在半径为2同一球面上，△ABD 与△BCD 为直角三角形，△ABC 是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点(不含端点)，且AP ＝CQ ，则三棱锥P －QCO 体积的最大值为________．四、解答题：17． （10分）(开放题)在锐角△ABC 中，23a =,________，求△ABC 的周长l 的范围．在①m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且12m n ⋅=-，②cos A(2b-c)＝a cos C ，③f (x )＝cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－14,()14f A = 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．18． （12分）已知数列{}n a 满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n (n ∈N *).（1）{}n a 求数列的通项公式；（2）2(1)log na nb n =+若g ，,1()n n n N n S b *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭求数列的前项和19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝2，AB ＝2DE ，且D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ． （1）证明:ABC ⊥面BCE 面（2）求BD 与面CDE 夹角的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆上的点到焦点的最小距离为22-且过点(2,1)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，若点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．（12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领。
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题一、选择题1．设集合{|10}A x x =+>，{|210}B x x =+>，则()RAB =（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,-+∞C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，集合(){|10}{|1}1,A x x x x =-=+>=>-+∞，集合1{|210}{|}21(,)2B x x x x =+=->>-+=∞，所以1,2B ∞-⎛⎤=- ⎥⎝⎦R ，所以()11,2AB ⎛⎤=--⎥⎝⎦R ．故选：D. 2．已知复数()()311z i i=+-，则其共轭复数z =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i +D ．2i -【答案】B【解析】因为()()()()311112z i ii i i =+-=++=，所以2z i =-．故选：B3．已知向量()1,2a =-，(),21b m m =--，8a b ⋅=，则m =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =-，(),21b m m =--，可得()22152a b m m m ⋅=-+--=--， 由8a b ⋅=，可得528m --=，解得2m =-．故选：A .4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有25674.0210⨯种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为（ ） A ．2566 B ．2567C ．2568D ．2569【答案】B【解析】由题可知，()2567lg lg 4.02102567lg 4.02N =⨯=+．因为1 4.0210<<，所以0lg 4.021<<，所以lg N 的整数部分为2567．故选：B.5．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）A ．B ．3C D ．12【答案】C【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为328=，因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，设正三棱锥的高为h ，所以1133832⨯⨯⨯=，解得h =．故选：C 6．已知直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，则a =（ ）A ．-9B ．1C ．1或-2D ．1或-9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，所以22492⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2890a a +-=， 解得1a =或9a =-．故选：D.7．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”，:q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减，所以24m-≥--，即8m ≥-．因为0x ∀>时，33828x x +≥=，所以“0x ∀>，33823x m x +≥-”等价于38m -≤，即5m ≥-，因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞，所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B .8．若对任意x ∈R ，都有()()5πcos 2sin ,π6x x ωϕωϕ⎛⎫-=+∈< ⎪⎝⎭R ，则满足条件的有序实数对(),ωϕ的对数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】5ππππcos 2cos 2sin 26323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由条件知2ω=±．若2ω=，由()π2π3k k ϕ=-+∈Z 且πϕ<，得π3ϕ=-；若2ω=-，()()sin 2sin 2πx x ϕϕ-+=+-，则()ππ2π3k k ϕ-=-+∈Z ，所以()4π2π3k k ϕ=-+∈Z ，又πϕ<，则2π3ϕ=-．故选：C . 二、多选题9．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n nn a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n nS +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为()0,2±B ．C的渐近线方程为y = C ．点()2,3在C 上D ．直线()0mx y m m --=∈R 与C 恒有两个交点 【答案】BC【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，可得12c a c e a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以23b =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以C 的焦点为()2,0±，A 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，所以B 正确；因为223213-=，所以点()2,3在C 上，选项C 正确；直线0mx y m --=，即()1y m x =-，恒过点()1,0，当m =C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．故选：BC.11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 【答案】BD【解析】对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A 错误；对于选项B ，线路一所需的平均时间为300.5400.2500.2690.139⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 线路二所需的平均时间为300.3400.5500.1600.140⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B 正确；对于选项C ，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C 错误；对于选项D ，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为()50,60，()60,50和()60,60三种情况，概率为0.20.10.10.10.10.10.04⨯+⨯+⨯=，所以选项D 正确．故选：BD.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1B C 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC ⊥，所以222313BC =+113417BC =+= 易知1B C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为2174π=⎝⎭2π1717π⨯=，所以B 项错误；因为11//AA BB ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠． 在1Rt B BC 中，12BB =，13BC =， 所以1113tan 2BC BB C BB ∠==，所以C 项错误； 二面角A EC D --即二面角1A B C B --，以A 为坐标原点，以AB →，AC →，1AA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB →∴=,(3,2,0)BC →=-,1(3,2,2)B C →=--,设平面1AB C 的法向量n (x,y,z)→=，则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得()2,0,3n →=-，设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z →=，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m →=故二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 项正确．故选：AD三、填空题13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_____种不同的选法． 【答案】225【解析】先从5个冰上项目选1个项目有15C 种不同选法，再从10个雪上项目选2个项目有210C 种不同选法，根据分步乘法计数原理，则共有12510545225C C ⋅=⨯=种不同的选法.14．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点()1,2P ，则2sin 13sin cos ααα=-____．【答案】-4【解析】因为角α的终边上有一点()1,2P ，所以tan 2α=．所以2222sin sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααα=-+-2222tan 24tan 13tan 2132ααα===-+-+-⨯． 15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =______．【答案】2【解析】由条件知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4QF p =，所以122PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=，解得2p =． 16．已知函数()33f x ax x b =-+的图象关于点()0,1对称，则b =______，若对于[]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则a 的取值范围是________． 【答案】1 [)4,+∞【解析】由条件知()y f x =的图象可由奇函数33y ax x =-的图象上下平移得到，所以()y f x =的图象关于点()0,b 对称，所以1b =．所以()331f x ax x =-+．当0x =时，()10f x =≥恒成立．当01x <≤时，()3310f x ax x =-+≥等价于2331a x x ≥-．设()2331(01)g x x x x=-<≤，则max ()a g x ≥，因为()()4312x g x x -'=，所以当102x <<时，()0g x '>，当112x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)2上单调递增，在1(,1]2上单调递减，所以12x =时，()g x 取得最大值1()42g =，所以4a ≥．四、解答题17．在①cos B =3c =，②1cos 3A =，()sin 3sin A B B +=，③ab =1cos 3A =三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ，_____，求b ．【解析】若选①：cos B =，3c =．因为cos 3B =，0πB <<，所以1sin 3B =．由111sin 3223ABCSac B a ==⨯⨯⨯=，解得a =．由余弦定理得2222cos 892313b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以1b =． 若选②：1cos 3A =，()sin 3sin AB B +=．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =． 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C +=． 所以sin 3sin C B =，由正弦定理可得3c b =．所以11sin 322ABCSbc A b b ==⨯⨯=1b =．若选③：ab =1cos 3A =．因为11sin sin 22ABCSab C C ==⨯=sin 1C =． 又因为0πC <<，所以π2C =．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =，且π1sin sin cos 23B A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．根据正弦定理sin sin a bA B=，可得a =．所以2ab ==，解得1b =．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足412S a =，25216a a -=-．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若()()1162020n n n b a a+=++，求数列{}n b 的前n项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由题意得()1111462,2416.a d a a d a d +=⎧⎨+-+=-⎩解得1124a d =-⎧⎨=⎩，所以416n a n =-．（Ⅱ）由题意得()()()()1161620204162041220n n n b a a n n +==++-+-+()()1111212n n n n ==-++++， 111111112334122224n n T n n n n =-+-++-=-=++++． 19．如图，三棱锥D ABC -中，AB AC ⊥，ABD △是正三角形，且平面ABD ⊥平面ABC ，4AB AC ==，E ，G 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若F 是线段DE 的中点，求AC 与平面FGC 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）因为E ，G 分别为AB ，BC 的中点，所以//EG AC ． 因为AB AC ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD ⋂平面ABC AB =， 所以AC ⊥平面ABD ， 所以EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）因为ABD △是正三角形，所以DE AB ⊥．又由（Ⅰ）知EG ⊥平面ABD ，即EG ，AB ，DE 两两垂直， 则以E 为坐标原点，分别以EB ，EG ，ED 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．因为4AB AC ==，ABD △是正三角形， 所以()0,0,0E ，()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0G ，(3D ，()2,4,0C -．因为F 是DE 的中点，所以(3F ．()0,4,0AC =，(0,2,3FG =-，()2,2,0GC =-．设平面FGC 的一个法向量为(),,m x y z =，所以()(()(),,0,2,3230,,,2,2,0220.m FG x y z y z m GC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩令1x =，则1y =，23z =，所以23m ⎛= ⎝⎭． 设AC 与平面FGC 所成的角为θ，则30sin cos 1044113m AC m AC m ACθ⋅=⋅===⨯++．20．某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t （℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y ，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A 组，第15～20组数据定为B 组．（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y 与t 的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．（Ⅱ）若根据A 组数据得到回归模型 2.10.8y t =+，根据B 组数据得到回归模型90.6 1.3y t =-，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A 组中活性指标值的平均数14111814i i y y ===∑，方差1421114A i s ==∑()1422211148514i i A A i y y y y =⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭∑；B 组中活性指标值的平均数20151236i B i y y ===∑，方差()2020222215151164566B i i B B i i s y y y y ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数y 和方差2s ．【解析】（Ⅰ）不合理．从散点图上看：①A 组数据呈正相关，B 组数据呈负相关，两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，故不适合用线性回归模型来拟合．（Ⅱ）令2.10.85t +=，得 3.6t ≈；令90.6 1.35t -=，得65.8t ≈．由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，到达一定温度后，开始随温度升高而降低，所以这种病毒适宜生存的温度范围是()3.6,65.8．（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为()20111141862319.52020i i y y ===⨯⨯+⨯=∑． 因为14221851414185726i i y==⨯+⨯=∑，2022154566233444i i y ==⨯+⨯=∑，所以全部20组活性指标值的方差为()202222111205726344419.578.252020i i s y y =⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭∑． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，O为坐标原点，OA C的离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过点A 的直线():0,l y kx m k m =+≠∈R 交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的中点为B ，若2MN AB =，求证：直线l 过定点．【解析】（Ⅰ）由已知OA=a =设椭圆C 的半焦距为c，因为c e a ==，所以c =2321b =-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意知()A ， 联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222316330k x kmx m +++-=， 由题意知()()()222226431331236120km k m k m ∆=-+-=+->．（*） 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+， 因为2MN AB =，B 为线段MN 的中点，所以AM AN ⊥，所以(12120AM AN x x y y ⋅=++=， 又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，所以()(()221212130k x x km x x m +++++=， 所以()()(222226331303131km km m k m k k -+-++=++，整理得22320k m -+=，得k =或k =，当k =时，l 的方程为(y x =，过定点()A ，不符合题意；当3k m =时，l 的方程为32y m x ⎛=+ ⎝⎭，过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，符合（*）式，综上所述，直线l 过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．22．已知函数()()1e x k x f x -=，其中0k ≠．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，讨论关于x 的方程()ln x f x =在区间()0,2上实根的个数．【解析】（Ⅰ）由条件，得()()()2e e 12e e x x x xk k x k x f x ---'== 令()0f x '=，得2x =．当0k >时，由()0f x '>，得2x <，由()0f x '<，得2x >．所以()f x 的单调增区间是(),2-∞，单调减区间是()2,+∞．当k 0<时，由()0f x '>，得2x >，由()0f x '<，得2x <．所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是(),2-∞． （Ⅱ）因为()ln110f ==，所以1x =是方程()ln x f x =的实根．当01x <<时，由（Ⅰ）知()f x 单调递增，所以()()10f x f <=．而ln ln 0x x =->， 所以方程()ln x f x =在区间()0,1上无实根．当12x <<时，ln ln x x =．设()()1ln e xk x F x x -=-，则()2e 2e 1e2x x x kx k k kx F x x x x -'=-=+-． 设()2e 2x k u x x kx +=-， 当12x <<时，()e 222(2)0x xu x kx ke e k x '=+-=+->，所以()u x 在()1,2上单调递增． ①当()1e 0u k =-≥，即e k ≤时，在区间()1,2上，总有()()10u x u >≥，从而()0F x '>，所以()F x 在()1,2上单调递增，()()10F x F >=，即原方程在()1,2上无实根．②当()1e 0u k =-<，即e k >时，因为()22e 0u =>，所以存在()01,2x ∈，满足()00u x =． 所以在()01,x 上，()0u x <，()F x 单调递减，在()02x ,上，()0u x >，()F x 单调递增． 又因为()10F =，()22ln 2e k F =-， 所以当()20F >，即2e e ln 2k <<时，原方程在()1,2上有唯一实根，当()20F ≤，即2e ln 2k ≥时，原方程在()1,2上无实根；综上所述，当0k e <≤或2e ln 2k ≥时，原方程在()0,2上仅有一个实根；当2e e ln 2k <<时，原方程在()0,2上有两个实根．。
2020届海南市重点中学2020届高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当22(3)3(ln ||ln ||)3a m n b mn mn-+++取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．15B ．22C ．45 D ．322．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为()p n ，则(4)p =（ ）A ．33B ．31C ．17D ．153．已知,αβ满足sin cos αβ=，1sin cos 2cos sin 2αβαβ-=，则cos 2β= A ．16 B ．13 C ．12 D ．234．函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是A ．{}(0]2-∞U ，B ．{}[0)2+∞-U ，C ．(0]-∞，D ．[0)+∞， 5．已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=o ，32AB =，23DC =，则球O 的表面积为（ ）A ．28πB ．30πC ．32πD ．36π 6．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数2log ,02()sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1234x x x x ,，,，满足1234x x x x ＜＜＜，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --⋅⋅的取值范围是（ ）A ．()0,12B ．()4,16C ．()9,21D ．()15,258．已知直线l 的倾斜角为23π，直线1l 经过(3)P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．-4D ．-59．已知复数5121a iz a R i i，+=+∈+-，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．0a <C ．01a <<D ．1a <10．下列四个命题:存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．411．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数5()312xm f x =--的图象关于(0,2)对称，则()11f x >的解集为（ ） A ．(1,0)-B ．(1,0)(0,1)-UC ．(1,0)(0,)-+∞UD ．(1,0)(1,)-⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年海南省新高考数学模拟试卷（3月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|34}A x x =-<<，{|46}B x x =-<<，则()(R A B = )A ．{|46}x x <<B ．{|43}{|46}x x x x -<<-<<C ．{|46}x x <D ．{|43}{|46}x x x x -<-<2．（5分）若复数z 的虚部小于0,||5z =，且4z z +=，则(iz = ) A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -3．（5分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞ B ．[2，)+∞ C ．(-∞，4] D ．(-∞，2]5．（5分）631(2)4x x-的展开式的中间项为( )A ．40-B ．240x -C ．40D ．240x6．（5分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是( ) A ．16B ．13C ．112D ．297．（5分）如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点)B ，过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则(AF = )A ．3155AB AC +B ．2155AB AC +C ．481515AB AC + D ．841515AB AC +8．（5分）已知函数241,0()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩若关于x 的方程(()1)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( ) A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( )A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10．（5分）已知函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++，则( )A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于(,0)3π对称C ．()f x 3D ．曲线()y f x =关于6x π=对称11．（5分）已知P 是椭圆22:16x C y +=上的动点，Q 是圆221:(1)5D x y ++=上的动点，则( )A ．C 5B ．C 30C ．圆D 在C 的内部 D ．||PQ 的最小值为25512．（5分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．3m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面 C ．2m =D ．直线1AE 与直线1CF 异面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若0lgx lgy +=，则49x y +的最小值为 ．14．（5分）已知P 为双曲线22:14y C x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴．若12||A A ，12||B B ，1||PF 成等比数列，则2||PF = ． 15．（5分）四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，则四面体ABCD 的体积为 ，球O 的表面积为 ．16．（5分）若曲线(1)1x my xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①3cos 5A =，25cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =︒，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答． 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， ，求ABC ∆的面积S ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，E 为AB 的中点，PD CE ⊥，1AE =，3PD =，13PC =（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值．19．（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表． 购买金额（元) [0，15) [15，30) [30，45) [45，60) [60，75) [75，90]人数101520152010（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关．不少于60元少于60元合计 男 40 女 18 合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元．若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元)的分布列并求其数学期望．附参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．附表：0k2.072 2.7063.841 6.635 7.879 20()P K k0.1500.1000.0500.0100.00520．（12分）在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++．等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b ．（1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列{()}n n n a b c +的前n 项和n S ．21．（12分）如图，已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45︒时，||16MN =． （1）求抛物线C 的方程．（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数()2(1)sin 1f x ln x x =+++，函数()1(g x ax blnx a =--，b R ∈，0)ab ≠ （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x 时，()31f x x +．（3）证明：当1x >-时，2sin ()(22)x f x x x e <++．2020年海南省新高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|34}A x x =-<<，{|46}B x x =-<<，则()(R A B = )A ．{|46}x x <<B ．{|43}{|46}x x x x -<<-<<C ．{|46}x x <D ．{|43}{|46}x x x x -<-<【解答】解：根据题意，集合{|34}A x x =-<<，则(){|3R A x x =-或4}x ， 又由{|46}B x x =-<<，则(){|43R A B x x =-<-或46}{|43}{|46}x x x x x <=-<-<；故选：D ．2．（5分）若复数z 的虚部小于0,||z =4z z +=，则(iz = ) A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -【解答】解：设(z a bi a =+，b R ∈，0)b <， 由已知可得22524a b a ⎧+=⎨=⎩，解得21(0)a b b =⎧⎨=-<⎩，(2)12iz i i i ∴=-=+．故选：C ．3．（5分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由于三亚市在海南省，故“游客甲在三亚市”一定推出“游客甲在海南省”， 反之，“游客甲在海南省”推不出“游客甲在三亚市”；根据充分必要条件定义，“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的必要不充分条件； 故选：B ．4．（5分）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( )A ．[4，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，4]D ．(-∞，2]【解答】解：函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2m x =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增， ∴22m，解得4m ， 故选：C ． 5．（5分）631(2)4x x-的展开式的中间项为( )A ．40-B ．240x -C ．40D ．240x 【解答】解：631(2)4x x-的展开式的中间项为3332631(2)()404C x x x-=-．故选：B ．6．（5分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是( ) A ．16B ．13C ．112D ．29【解答】解：现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本， 先每人分一本，还有2本相同的作文本，分给甲、乙丙三人，基本事件总数12336n C C =+=， 甲分得三本包含的基本数件个数1m =， ∴甲分得三本的概率是16m p n ==． 故选：A ．7．（5分）如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点(D 靠近点)B ，过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则(AF = )A ．3155AB AC +B ．2155AB AC +C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【解答】解：设6BC =，则2DE =，10AD AE ==，101044cos 2105DAE +-∠==⨯，所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =； 因为1121()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+，所以42184()5331515AF AB AC AB AC =⨯+=+．故选：D ．8．（5分）已知函数241,0()22,0,xx x x f x x -⎧--+=⎨->⎩若关于x 的方程(()1)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为( ) A ．(1,2)B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(2,5)【解答】解：方程(()1)(())0f x f x m --=即为()1f x =，()f x m =，当()1f x =时，即2411x x --+=，解得0x =，4x =-，或221x --=，解得0x =（舍)， 若关于x 的方程(()1)(())0f x f x m --=恰有5个不同的实根， 则()f x m =有3个根，即函数()f x 图象与y m =有3个交点， 作出图象：由图可知，(1,2)m ∈， 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是( )A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【解答】解：对于:1A 月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比为321873>，故A 正确，对于:1B 月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确，对于:2C 月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确，对于:2D 月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率小于2月6日到2月8日的增长率，故D 错误， 故选：ABC ．10．（5分）已知函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++，则( )A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于(,0)3π对称C ．()f x 3D ．曲线()y f x =关于6x π=对称【解答】解：1()sin 2sin(2)sin 2sin 2)326f x x x x x x x ππ=++=+=+，对于A ，由于()f x 的最小正周期22T ππ==，故正确；对于B ，由于())0336f πππ=⨯+≠，故错误；对于C ，由于()max f x =对于D ，由于())666f πππ=⨯+= 故选：ACD ．11．（5分）已知P 是椭圆22:16x C y +=上的动点，Q 是圆221:(1)5D x y ++=上的动点，则( )A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部D ．||PQ【解答】解：由椭圆方程可得，26a =，21b =，2225c a b ∴=-=，所以焦距2c =，A 不正确；离心率c e a ===，所以B 正确；由1c =可得，圆D 的圆心为椭圆的左焦点(0)，由椭圆的性质可得距离左焦点最近的点为左顶点，所以椭圆上距离圆D 的圆心的最小值为1a c -=，所以圆D 在椭圆的内部，所以C 正确；由题意可得||PQ 的最小值为：11a --=，所以D 不正确． 故选：BC ．12．（5分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．33m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面 C ．23m =D ．直线1AE 与直线1CF 异面【解答】解：如图，连接1DC ，DF ，则11//DC AB ，1DC F ∴∠为异面直线1AB 与1C F 所成的角，12AB =，1111ABCD A B C D -为正四棱柱，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，设12AA =，则2AB =，116,3,5C D C F DF === ∴在1DFC ∆中，根据余弦定理，12cos 263DC F ∠==⨯⨯， ∴2m =连接11A C ，AC ，EF ，则11//AC AC ，//EF AC ， 11//EF AC ∴， 1A E ∴与1C F 共面．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）若0lgx lgy +=，则49x y +的最小值为 12 ．【解答】解：由0lgx lgy lgxy +==，可得1xy =，0x >，0y >， 所以4924(9)12x y x y +=， 当且仅当49x y =且1xy =即23y =，32x =时取等号，此时取最小值12． 故答案为：1214．（5分）已知P 为双曲线22:14y C x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴．若12||A A ，12||B B ，1||PF 成等比数列，则2||PF = 6 ．【解答】解：由双曲线的方程2214y x -=，则1a =，2b =，所以12||2A A =，12||4B B =，由12||A A ，12||B B ，1||PF 成等比数列，即212121||||||B B A A PF =，则1162||PF =⨯， 所以1||8PF =，由P 在双曲线的右支上，则12||||2PF PF -=，所以2||6PF =， 故答案为：6．15．（5分）四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，则四面体ABCD 的体积为 1 ，球O 的表面积为 ．【解答】解：AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，∴四面体ABCD 的体积11123132=⨯⨯⨯⨯=，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线． 设球O 的半径为r ，则2222(2)12314r =++=． 其表面积2414r ππ==． 故答案为：1，14π． 16．（5分）若曲线(1)1x my xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为 4(27e --，0) ．【解答】解：曲线(1)1x my xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数(1)1x my xe x x =+<-+存在两个极值点，2(1)0(1)x my x e x ∴'=+-=+在(,1)-∞-上有两个解，即3(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两异根，即直线y m =与3(1)x y x e =+在(,1)-∞-上有两个交点． 令3()(1)(1)x g x x e x =+<-， 则23()3(1)(1)x x g x x e x e '=+++2(1)(4)(1)x x e x x =++<-，当4x <-时，()0g x '<，当41x -<<-时，()0g x '>，()y g x ∴=在区间(,4)-∞-上单调递减，在区间(4,1)--上单调递增，()4()427g x g e -∴=-=-极小值．又当x →-∞时，()0g x →，当1x →-时，()0g x →，4270e m -∴-<<时，满足题意，故答案为：4(27e --，0)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =︒，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答． 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， ①（或②或③) ，求ABC ∆的面积S ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：选①3cos 5A =，cos C =，∴4sin 5A =，sin C =，43sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C ∴=+=+=+由正弦定理得3sin 254sin 5a Bb A===∴11335599sin 32220540S ab C ==⨯⨯⨯=． 选②sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+．3a =，223b c ∴=-．又60B =︒，∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， 4c ∴=， ∴1sin 332S ac B ==． 选③2c =，1cos 8A =， ∴由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502bb --=，解得52b =或2b =-（舍去）．又37sin 8A =， ABC ∴∆的面积11537157sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，E 为AB 的中点，PD CE ⊥，1AE =，3PD =，13PC =．（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是正方形，E 为AB 的中点，1AE =，3PD =，13PC =．AD CD ∴⊥，22AB AE ==，222PD CD PC ∴+=，PD CD ∴⊥， PD CE ⊥，CDCE C =，PD ∴⊥平面ABCD ，AD PD ∴⊥，CDPD D =，AD ∴⊥平面PCD ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0P ，0，3)，(0C ，2，0)，(2E ，1，0)，(2DA =，0，0)，(0PC =，2，3)-，(2PE =，1，3)-，设平面PCE 的法向量(n x =，y ，)z ，则230230n PC y z n PE x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩，取2z =，得3(2n =，3，2)，设DA 与平面PCE 所成角为θ， 则DA 与平面PCE 所成角的正弦值为： ||3361sin 61||||6124DA n DA n θ===⨯．19．（12分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表． 购买金额（元) [0，15) [15，30) [30，45) [45，60) [60，75) [75，90]人数10 15 2015 20 10（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关．（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元．若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元)的分布列并求其数学期望．附参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．附表：20)k【解答】解：（1）22⨯列联表如下：男 女 290(12204018)14405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关． （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==．33311()65()327P X C ===，223122(70)()339P X C ==⨯=，123124(75)()339P X C ==⨯⨯=，03328(80)()327P X C ===， X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++．等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b ． （1）求{}n c 的通项公式；（2）求数列{()}n n n a b c +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++， 可得21133131312a a b =---=---=-，21133131316b b a =-++=-++=， 则12c =-，26c =，等差数列{}n c 的公差为6(2)8--=， 则28(1)810n c n n =-+-=-；（2）1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++， 两式相加可得112()n n n n a b a b +++=+，可得{}n n a b +为首项和公比均为2的等比数列， 则2n n n a b +=，可得()(810)2n n n n a b c n +=-，则前n 项和(2)264148(810)2n n S n =-+++⋯+-，12(2)4681416(810)2n n S n +=-+++⋯+-，两式相加可得148(482)(810)2n n n S n +-=-+++⋯+--114(12)48(810)212n n n -+-=-+---，化简可得236(49)2n n S n +=+-．21．（12分）如图，已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45︒时，||16MN =．（1）求抛物线C 的方程．（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当l 的斜率为1时，(,0)2p F ，l ∴的方程为2py x =-． 由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=． 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则123x x p +=， 12||416MN x x p p ∴=++==，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =．（2）法一：假设满足条件的点P 存在，设(,0)P a ，由（1）知(2,0)F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，由2(2),8,y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(48)40k x k x k -++=，△22222(48)4464640k k k k =+-=+>，212248k x x k ++=，124x x =． 直线PM ，PN 关于x 轴对称， 0PM PN k k ∴+=，11(2)PM k x k x a -=-，22(2)PN k x k x a-=-．∴122112128(2)(2)()(2)()[2(2)()4]0a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=， 2a ∴=-时，此时(2,0)P -．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可． 综上，存在唯一的点(2,0)P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．法二：假设满足条件的点P 存在，设(,0)P a ，由（1）知(2,0)F ， 显然，直线l 的斜率不为0，设:2l x my =+， 得28160y my --=， 则128y y m+=，112116.PM y y y k x a=-=-，22PN y k x a=-，21120()()0PM PN k k x a y x a y +=⇒-+-=，21121212(2)(2)0.2(2)()2(16)(2)80my a y my a y my y a y y m a m ∴+-++-=+-+=⨯-+-⨯=，2a ∴=-，∴存在唯一的点(2,0)P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．22．（12分）已知函数()2(1)sin 1f x ln x x =+++，函数()1(g x ax blnx a =--，b R ∈，0)ab ≠ （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x 时，()31f x x +．（3）证明：当1x >-时，2sin ()(22)x f x x x e <++． 【解答】解：（1）()g x 的定义域为(0,)+∞，()ax bg x x-'=， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a>， 令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在(0,)b a 上单调递减，在(,)ba+∞上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0bx a<<， 令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在(0,)b a 上单调递增，在(,)ba+∞上单调递减； （2）证明：设函数()()(31)h x f x x =-+，则2()cos 31h x x x '=+-+．0x ，∴2(0,2]1x ∈+，cos [1x ∈-，1]， 则()0h x '，从而()h x 在[0，)+∞上单调递减，()()(31)(0)0h x f x x h ∴=-+=，即()31f x x +．（3）证明：当1a b ==时，()1g x x lnx =--．由（1）知，()min g x g =（1）0=，()10g x x lnx ∴=--，即1x lnx +． 当1x >-时，2(1)0x +>，2sin (1)0x x e +>，则2sin 2sin (1)1[(1)]x x x e ln x e +++， 即2sin (1)2(1)sin 1x x e ln x x ++++，又2sin 2sin (22)(1)x x x x e x e ++>+，2sin (22)2(1)sin 1x x x e ln x x ∴++>+++， 即2sin ()(22)x f x x x e <++．。
海南侨中2020年模拟卷02
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.
13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF 的底面是正六边形，P A⊥
平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中正确的是
①.PB⊥AE ②.平面ABC⊥平面PBC ③.直线BC∥平面P AE ④.∠PDA＝45°.
16．如图，直线PT 和AB 分别是函数f (x)=x3-3x过点P (2, 2)的切线（切点T）和割线，则切线PT的方程
为；若A(a, f (a))，B(b, f (b))
(b <a < 2)，则a +b =__ ____
20.（本小题满分12 分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(Ⅰ )如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
(ⅰ )若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(ⅱ )根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01);
若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?。
海南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2. 若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4. 已知,2sin cos 2R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43 B ．7- C ．34- D ．175. 已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A. 20B. 22C. 24D.6. 已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2xf x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. C.27. 直线2130x ay a -+-=，当a 变动时，所有直线所过的定点为( ) A.1(,3)2-B. 1(,3)2--C. 1(,3)2D.1(,3)2- 8. 三棱锥V ABC -的底面三角形ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA VC =,已知其正视图VAC ∆面积为23,则其侧视图的面积为 ( )A.2 B. 6 C. 4 D.39. 如图，已知直四棱柱中，，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D.10. 已知中，内角所对的边分别是，若，且，则当取到最小值时，（ ） A.B.C.D. 11. 定义在上的偶函数满足：当时，，.若函数有6个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. 已知抛物线的焦点为，且到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
海南侨中2020届高三数学模拟卷9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}240,8M x x x N x m x =->=<<，若{}6M N x x n ⋂=<<，则m n +=（）A ．10B ．12C ．14D ．16 2．已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥且l β⊥C ．γα⊥且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行3．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（） A ．20 B ．40 C ．60 D ．120 4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若212228log log log 8a a a +++=，则45a a =（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]-ππ的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在平行四边形ABCD 中,11,,33AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =（） A ．1122AB AD - B ．1122AD AB - C ．1133AB AD - D ．1133AD AB -7．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅的最大值是（）A ．22B ．42C ．4D ．88．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（）A ．5B ．5C ．173D ．179二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
