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习题3
3-1．如图，一质点在几个力作用下沿半径为20R m =的圆周运动，其中有一恒力0.6F i =N ，求质点从A 开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B 的过程中，力F 所做的功。
解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R -，R ）， ∴2020B A r r r i j ∆=-=-+，再利用：A F r =⋅∆， 有：0.6(2020)12A i i j =⋅-+=-（焦耳）
3-2．质量为m =0.5kg 的质点，在x O y 坐标平面内运动，其运动方程为x =5t 2,y =0.5(SI),从t =2s 到t =4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ 解：由功的定义：A F r =⋅∆，题意：2
50.5r t i j =+
24
(4)(2)60r r r i →∆=-=，220.5105d r
F m i i d t
==⋅=
∴560300A i i J =⋅=。
3-3．劲度系数为k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m ，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，
则：F k x =，选向上为正向。
当小球刚脱离地面时：max mg k x =，有：max mg
x k
=， 由做功的定义可知：max
22
2
1
2
2mg x k m g A k xd x k x k
=
==⎰
。
3-4．如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力数值为N ，求质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：f A 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
解：求在B 点的速度：2
v N G m R -=，
可得：R G N mv )(2
1
212-= 由动能定理： 2
102
f mgR A mv +=-
∴11
()(3)22
f A N G R mgR N m
g R =--=-
3-5．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为2
(52.838.4)F x x i =--，其中F 和x 单位分别为N 和m 。
（1）计算当将弹簧由m 522.01=x 拉伸至m 34.12=x 过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：
2
1
1.34
20.522
(52.838.4)x x A F d x x x dx =⋅=--⎰⎰
2233212126.4()12.6()69.2x x x x J =----=
（2）∵()()F x F x i =，按保守力的定义：
d )4.388.52()()4.388.52()(2
2=--=++⋅--=⋅⎰⎰⎰x x x k dz j dy i dx i x x r d x F l
l
l
∴该弹力为保守力。
3-6．一质量为m 的物体，在力2
()F at i bt j =+的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t 此力所做功的功率为多少。
解：由P F v =⋅，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
m
A
B
2231111
()()23
F v dt ati bt j dt at i bt j m m m ==+=+⎰
⎰ 所以功率为：
P F v =⋅2232325111111
()()()2323
ati bt j at i bt j a t b t m m =+⋅
+=+。
3-7．一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为：cz bxy ax E ++-=2
p 。 （1）求作用力F ；（2）当质点由原点运动到3=x 、3=y 、3=z 位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中p E 的单位为J ，z y x 、、的单位为m ，F 的单位为N 。
解：（1）由力和势能的关系：P F E =-∇有：
2(
)()(2)F i j k ax bx y cz ax by i bx j ck x y z
∂∂∂
=-++-++=---∂∂∂ （2）由于该力场是有势场，所以该力是保守力，由保守力做功的定义 c b a c b a E A 399}0)399{(--=-++--=∆-=
3-8．轻弹簧A B 的上端A 固定，下端B 悬挂质量为m 的重物。已知弹簧原长为0l ，劲度系数为k ，重物在O 点达到平衡，此时弹簧伸长了0x ，如图所示。取x
轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O '；力的平衡位置O 。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P 时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置'O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P 时系统的总势能：
2001
()()2
P E mg x x k x x =-+++，
（2）取力的平衡位置O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P
时系统的总势能：22001122
P E mgx k x x k x =-++-（），而0mg kx = ∴22200111222
P E mgx k x x kx kx =-++-=（） 3-9．在密度为1ρ的液面上方，悬挂一根长为l ，密度为2ρ的均匀棒AB ，棒的B
端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力
作用下运动，在
121
2
ρρρ<<的条件下，
求细棒下落过程中的最大速度max v ，以及细棒能进入液体的最大深度H 。
