第一讲函数的基本内容(学生用)
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函数（一）强化练习
一、选择题：
1．设集合 A {x | 1 x 2} ， B {y | 1 y 4}，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到 B 的映射
的是（ ）
A． f : x y x 2 B． f : x y 3x 2 C． f : x y x 4 D． f : x y 4 x 2
( A) A B B
(B) A B
(C) A B
(D) A B B （ ）
例 5.已知函数 f (x) (1 a 2 )x 2 3(1 a)x 6 ， （1）若 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围.（2）若 f (x) 的定义域为[－2，1]，求实数 a 的值.
三、函数的解析式
第一讲 函数（一）
一、映射和函数
1、映射定义：设 A、B 是两个集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集
合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射。记为 f : A B
2、象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象。
f
(x) ；
（2）已知 f ( 2 1) lg x ，求 f (x) ； x
例 7.已知 f(2－cosx)=cos2x+cosx,求 f(x－1)。
例
8.已知函数
f(x)满足
f(logax)=
a
a 2
1
(
x
1 x
)
(其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达式.
四、分段函数
例
9.函数
f
(x)
f
(x)
x
x
2
2( x
2) (0
x
2)
若
f
(
f
(
f
(k )))
25 4
，则实数
k
9．有下述对应：①集合
A=R，B=Z，对应法则是
f
:
x
y
1 1
(x 0) ，其中 x A ， y B .
(x 0)
A． f (x) (x 1)2 , g(x) x 1
C．2
D． 2
）
B． f (x) x 2 1, g(x) x 1 x 1
C． f (x) ( x 1)2 , g(x) (x 1)2 D． f (x) x 2 1, g(x) x 2 1
x2
x2
5．若函数 f(x)= mx (x≠ 3 )在定义域内恒有 f［f(x)］=x,则 m 等于( ) 4x 3 4
例 3.（1）求函数 f (x) 2x x 2 (3 2x)0 的定义域。 lg(2x 1)
（2）已知函数 f (x) 的定义域为[ 1 , 1 ] ，求函数 y f (x 2 x 1 ) 的定义域；
22
2
例 4．已知函数
f
(x)
1 1
x x
的定义域为
的定义域为 B ，则
2．若函数 f (3 2x) 的定义域为[－1，2]，则函数 f (x) 的定义域是（ ）
A．[ 5 ,1] 2
B．[－1，2]
C．[－1，5]
3，设函数 f (x)
x 1(x 1) ，则 f ( f ( f (2))) =（
）
1 (x 1)
D．[ 1 ,2] 2
A．0
B．1
4．下面各组函数中为相同函数的是（
③ A {x | x 0} ， B {y | y R} ， f : x y x ．
上述三个对应
是 A 到 B 的映射．
（2）已知集合 M (x, y) | x y 1 ，映射 f : M N ，在 f 作用下点 (x, y) 的象是 (2x , 2y ) ，则
集合 N
( A) (x, y) | x y 2, x 0, y 0
求函数解析式的常用方法：
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2.换元法或配凑法，已知复合函数 f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解 f(x);
例
6．（1）已知
f
(x
1) x
x3
1 x3
，求
3、函数：设 A、B 是两个非空数集，若 f : A B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集
合 A 到集合 B 的函数。记为 y=f（x）
例 1．选择题（1）① A R ， B {y | y 0} ， f : x y | x | ；
② A {x | x 2, x N *} ， B y | y 0, y N ， f : x y x2 2x 2 ；
③ f (x)＝
x 2 4 , g(x)＝
x2
x2;
x
④ f (x)＝x, g(x)＝ 3 x3 ;
x 1 ⑤ f (x)＝|x＋1|, g(x)＝ x 1
x 1 x 1
二、函数的定义域
1.能使函数式有意义的自变量 x 的集合称为函数的定义域（自然定义域）。. 2.求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.
A.3
B. 3
C.－ 3
D.－3
2
2
二、填空题：
6．给定映射 f : (x, y) (2x y, xy) ，点 (1 , 1) 的原象是__________。 66
7．已知 f (x2 ) 的定义域为[1,1] ，则 f (2x ) 的定义域为__________。
8．已知定义在[0,) 的函数
x
f
3, (x 10) ( f (x 5)), (x
10)
，则
f
(5)
＝________。
例 10.f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≤－1 时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为 1 的射线， 又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数 f(x)的表达 式。
（）
(B) (x, y) | xy 1, x 0, y 0
(C) (x, y) | xy 2, x 0, y 0
(D) (x, y) | xy 2, x 0, y 0
例 2．下列各对函数中表示同一函数的是
。
1 f (x)＝ x 2 , g(x)＝x;
x2
② f (x)＝x, g(x)＝ ;
