孙子定理的推广及应用

中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。

上⾯给出了解法。

再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。

定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。

以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。

⼀共有四个步骤。

下⾯详细解释每⼀步的原因。

（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。

105÷3=35。

显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。

相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。

那么这个基础数就是35。

记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。

体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。

21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。

§2 孙子定理孙子定理是数论中的一个重要定理，在数论中的应用非常广泛。

孙子定理给出了在一定条件下同余式组()()()1122mod ,mod ,,mod .k k x b m x b m x b m ≡≡≡ （1）的解的个数，以及求解的方法。

在公元四、五世纪的《孙子算经》中的“物不知数”问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”答案为：“23”。

这个问题也就是求解同余式组()()()2mod3,3mod5,2mod7.x x x ≡≡≡明朝程大位根据孙子算经里所用的方法用歌谣给出了该题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

”即解为()27032121523323mod105.x ≡⨯+⨯+⨯≡≡在西方，与《孙子算经》同类的算法，最早见于1202年意大利数学家斐波那契的《算经》。

1801年，德国数学家高斯的《算术探究》中，才明确写出了这一问题的求法。

把孙子算经给出的结果加以推广，就得到了如下定理。

定理1（孙子定理）设12,,,k m m m 是k 个两两互质的正整数，12,,1,2,,,k i i m m m m m m M i k ===则同余式组（1）的解是()111222mod ,k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++ （2）其中()1mod ,1,2,,.i i i M M m i k '≡=证 因12,,,k m m m 两两互质，故(),1,1,2,,i i M m i k ==于是，对每一个i M ，必有整数i M '使得()1mod .i i i M M m '≡另外，因,,i j m m i j ≠故()1mod ,1,2,,.kjjji i i i i j M M bM M b b m i k =''≡≡=∑即（2）为（1）的解。

孙子定理的定义1. 引言孙子定理是数学中一个重要的几何定理，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。

孙子定理起源于中国古代数学家孙子，被广泛应用于解决三角形相关问题。

2. 孙子定理的表述孙子定理可以通过以下方式表述：对于一个任意三角形ABC，其边长分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。

那么，可以得到以下等式关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC3. 推导过程现在我们来推导一下孙子定理。

首先，根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c将等式两边取倒数，并且交换分子和分母位置，得到：a/sinA = b/sinB = c/sinC这就是孙子定理的表述。

4. 孙子定理的应用孙子定理在解决三角形相关问题时非常有用。

下面我们将介绍一些常见的应用场景。

4.1 求解缺失边长或角度当我们已知一个三角形的两个边长和它们夹角的情况下，可以使用孙子定理来求解第三边的长度。

例如，已知一个三角形的边长a=5，b=7，夹角C=60°。

我们可以通过孙子定理来求解边长c。

根据孙子定理，我们有：c/sinC = a/sinA代入已知数据：c/sin60° = 5/sinA通过简单计算，我们可以得到sinA = (5/7) * sin60°。

然后，通过反正弦函数计算得到A的值。

最后，再利用三角函数关系求解出c的值。

4.2 判断三角形类型孙子定理也可以用于判断三角形的类型。

根据孙子定理中等式两边之间的比例关系，我们可以得到以下结论：•如果a=b=c，则三角形为等边三角形。

•如果a=b或b=c或c=a，则三角形为等腰三角形。

•如果a^2 + b^2 = c^2，则三角形为直角三角形。

•如果a^2 + b^2 < c^2，则三角形为钝角三角形。

•如果a^2 + b^2 > c^2，则三角形为锐角三角形。

4.3 解决几何问题除了上述应用外，孙子定理还能够帮助我们解决其他几何问题。

《孙子定理》及对它的推广我国古代数学名著《孙子算经》中记有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这就是千百年来在数学界甚至在民间广泛流传的“物不知数”问题，也称为“孙子问题”。

该问题书中不但给出了答案，并且记述了解法，其解法经历代中国数学家的研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。

此定理用现代数学语言叙述，一般都用数论中的同余理论，但从研究的问题类型上看，用“带余除法算式”（指：被除数=除数×商数+余数）表述更为自然易懂，因此，《孙子定理》也可叙述为：设m 1,m 2,...,m k 是k 个两两互质的正整数（k ≥2）;b 1,b 2,...,b k , 为任意整数，得方程组：显然，应用《孙子定理》关键是先要求出F i 的值，由（2）式x=m 1y 1+b 1x=m 2y 2+b … x=m k y k +b k 取M==Ki 1i 整数F i 满足：F i M i =m i q i +1（q i 为整数），i=1，2,...k (2)如果i i Ki i b M F ∑=1=Mq+r （q,r 均为整数，0＜r ＜M ），则方程组（1）的解 x=r+nM （n 取任意整数）可知，因M i与m i互质，根据两数最大公约数的性质可知，存在整数F i和q i满足（2）式，并且能求出这两个值（在应用定理时只需要F i的值）求（2）式中F i的值一般情况可以分两步：1.首先利用辗转相除的思路对（2）式中M i与m i辗转相除，因M i与m i互质故必有余数是+1或-1。

2.当得到余数+1或-1时，再由辗转相除的等式，结合（2）是求出F i的值。

例如，求整数F满足：〈1〉19F=7q+1, 〈2〉3F=11q+1解：〈1〉对19与7辗转相除；因为19=7×2＋5(第一个余数是5)7=5×1+2(第二个余数是2)5=2×2+1(第三个余数是1)所以，1=5-2×2=5-(7-5×1)×2=5×3–7×2=(19–7×2)×3–7×2=19×3–7×8即: 19×3=7×8+1故，F=3〈2〉因为11=3×4–1(余数是-1)所以3×4=11×1+1故F=4注意:对（2)式中M i与m i辗转相除，当第一个余数不是(+1)或(-1)时，可先将(2)化为与其等价的(M i-m i t)F i=m i Ri+1式中t取适当整数，使得（M i-m i t）的绝对值与m i辗转相除尽快得到余数是（+1）或(-1)。

孙子定理的推广及应用
子定理推广和应用
子定理是孟子所著《孟子》中所阐述的一种哲学理念，即“性情决定个性”，
它强调人类本身的性格至关重要，它也被认为是我国古代哲学思想的一个核心理论。

自古以来，孟子定理一直受到众多著名学者和知名人士的广泛关注，并且有着深远的影响力。

实际上，孟子定理已经在日常生活中得到了不少推广和应用。

首先，我们可以
把它用来引导教育。

事实上，通过引入孟子定理，孩子的性格可以在更大程度上发挥作用，而不是把它们压抑下去。

事实上，这种性格可以帮助孩子们发现自己真正的内在特质，培养起正确的思想观念、正确的世界观和正确的生活习惯，从而获得更好的发展和进步。

此外，孟子定理也在职场中得到了很大的普及和应用。

事实上，当许多企业都
在职场中时，孟子定理可以帮助他们了解自己的特质和能力，从而明确他们的特长和不足。

同时，孟子定理也可以帮助企业了解员工的能力和潜力，最大限度地发挥员工的价值，从而提升企业的效率和效能。

总之，孟子定理通过解读人类本身的性格及其特质等内容有力地推动了现代教
育和职场发展，也为人类社会发展提供了重要的理论支持。

孙子定理的发展应用孙子定理又称中国剩余定理，是数论中非常重要的定理，是学习数论和近世代数的基础。

据此，论述了孙子定理的发展及其在赋值理论和密码学等方面的应用，给出了简单的证明。

标签：中国剩余定理；发展；应用doi：10.19311/ki.16723198.2017.30.074孙子定理又被称为中国剩余定理，是数论中的重要定理，在中国数学史上具有相当高的地位。

孙子定理给出了求解同余方程的一般方法，剩余问题在数论和近世代数中都有广泛的应用。

1孙子定理的发展我国古代就流传着许多传说，譬如“隔墙算”、“剪管术”、“物不知其数”、“韩信点兵”、“鬼谷算”等。

古代人民口口相传中的这些传说在现在看来就是一些趣味十足的数字游戏，它们的文字描述不尽相同，但所表达的数学意义是一致的，它们从不同的方面为我们列举出了“剩余问题”的解法。

这在我国古代的数学史上的影响非常大，孫子定理在密码学、多项式、赋值理论等方面也被广泛应用。

《孙子算经》是最早记录这类算法的书，十三世纪后期，数学家秦九韶在这方面取得了重大突破，他发现了一种新的算法，命名为“大衍求一术”。

古代流传着一首歌诀：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二”。

问物几何？歌诀的意思是：有批物品，三个为一组的数，剩余两个；五个为一组的数，剩余三个；七个为一组的数，剩余两个。

问这批物品有多少？我们将这首歌诀称为“物不知数”问题。

明代数学家程大位在《算法统宗》中如此描述：“三人同行七十稀，五树梅花廿一，七子团圆月正半，除百零五便得知”。

意为：把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得的余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘以15，如果所得的数大于105，就减去105的倍数，即得所求的数。

用数学表达式解释为：2×7+3×21+2×15=233，233-105×2=23。

这是早期给出的同余方程组的解法。

下面介绍孙子定理的内容。

孙子定理在近代数学中的若干应用
一、孙子定理的历史渊源
1、孙子定理的发展源于古代的中国。

西周赵子龙的九章算术中曾经探
讨“九宫数”的概念，孙子定理也源于此。

2、孙子定理在中国的传统数学中已经有许多的应用，其中最著名的是
在《九章算术》中的应用，这里提到了九章算术的时候，孙子定理也
就提上了日程。

3、到了东汉中期，孙子定理随着《九章算术》的普及而传播开来，著
名的算学家李林甫就在《算学综诰》中对这一定理进行了深入的阐述。

二、孙子定理在近代数学中的若干应用
1、孙子定理在近代数学中最具影响力的应用便是拓扑学，但是这一应
用要追溯到要求解一类四面体的立方体的问题。

2、数学家来普科夫在研究立方体的问题的时候最终发现了其中存在的
谬误，并采用孙子定理使这一推理获得证明。

3、对孙子定理的研究还带来了几何学的进步，数学家墨菲在其著作
《几何学数学原理》中提出了反定理，这是孙子定理的一种推广应用。

4、孙子定理也被用于投影几何学中，在多边形投影投影中，孙子定理
可以被用于研究各边形范围内旋转相关性的问题。

5、孙子定理还可以被用作寻找指定圆和此圆的切线的最大交点的数学
依据。

孙子剩余定理摘要：1.孙子剩余定理的概述2.孙子剩余定理的证明方法3.孙子剩余定理的应用领域4.孙子剩余定理的历史背景和影响正文：1.孙子剩余定理的概述孙子剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学家孙膑提出的一个著名数学定理。

这个定理主要研究的是关于如何分割一个给定的数，使其满足一定的条件。

具体来说，就是给定n 个正整数a1, a2,..., an，如果它们的和为m，那么是否存在一种分法，使得每组数的和都相等？孙子剩余定理给出了肯定的答案，并给出了具体的分法。

2.孙子剩余定理的证明方法孙子剩余定理的证明方法有很多，其中比较著名的是利用代数的方法。

具体证明过程如下：设a1, a2,..., an 为n 个正整数，它们的和为m，我们需要证明存在整数x1, x2,..., xn，使得a1x1 + a2x2 +...+ anxn = m。

设A 为a1, a2,..., an 的系数和，即A = a1 + a2 +...+ an。

我们可以将上述方程改写为：x1(A - a1) + x2(A - a2) +...+ xn(A - an) = A(A - a1 - a2 -...- an)令B = A - a1 - a2 -...- an，上式变为：x1B + x2B +...+ xnB = AB因为B 为整数，且x1, x2,..., xn 为整数，所以上式成立，证毕。

3.孙子剩余定理的应用领域孙子剩余定理在数学领域具有广泛的应用，特别是在数论、组合数学等领域。

同时，它也在计算机科学、信息理论等领域有着重要的应用。

例如，在密码学中，孙子剩余定理可以用来构造一些具有特殊性质的密码。

4.孙子剩余定理的历史背景和影响孙子剩余定理是我国古代数学家孙膑所提出的，距今已有两千多年的历史。

这一定理在我国古代数学史上具有重要地位，被誉为“中国古代数学的瑰宝”。

同时，孙子剩余定理在世界数学史上也具有重要地位，被认为是世界上最早关于数的分割问题的定理。

孙子定理简单理解
孙子定理可以说是初中数学中的重要定理之一，它是一个用于计
算三角形面积的公式，也叫做海伦公式。

它的应用范围广泛，可以在
建筑、地理测量、物理等多个领域中找到它的踪迹。

所谓的孙子定理，是由中国古代著名军事家孙武所提出的，因此
得名。

这个公式可以用来快速地计算出三角形的面积，而无需准确地
测量三角形的边长和高度等参数。

因此，在进行一些基本的测量时，
孙子定理能够为我们节省很多时间和成本。

孙子定理的公式如下：S = √p(p - a)(p - b)(p - c)。

其中，S
代表三角形的面积，p表示半周长，即p = (a + b + c) / 2，而a、b、c则分别代表三角形的三条边长。

从公式中可以看出，孙子定理的精髓就在于能够快速算出半周长p 以及三角形的三边长。

通过使用计算器或手算，我们可以简单地使用
这个公式来计算出一个任意三角形的面积。

然而，在实际应用中，我们还需要掌握一些技巧性的计算方法，
才能充分利用好孙子定理。

例如，当我们只知道三角形的三个顶点坐
标时，如何用孙子定理来计算出它的面积呢？
我们可以通过勾股定理计算出三条边的长度，然后代入孙子定理
公式中得出面积。

计算出三条边长之后，我们还可以应用海伦公式求
解三角形高度，或是运用余弦定理求解角度等进一步问题。

总之，孙子定理虽然看似简单，但在实际运用中需要综合运用多个定理和技巧。

只有学好了三角形相关的数学知识和技巧，才能为我们在实际生活和工作中提供帮助，让我们更好地应对复杂的问题。

新课程中孙子定理的教育功能
一、孙子定理的介绍
1.孙子定理是中国古代最著名的几何学定理，它是由古代著名数学家孙子云毅提出的，于公元3世纪记在孙子算经中，现存于元代古籍《七
绝笔试》中。

2.孙子定理，顾名思义，说明了三角形的内角之和是180°，内角可以
通过一条直线的夹角的长度的两倍等于三条边的长度之积来推算出来，即：两边之和大于第三边。

二、孙子定理在教育上的功能
1.孙子定理可以帮助学生理解几何图形，掌握几何学基础知识，更加深入的理解几何知识中的空间体系与关系，并且解决复杂几何问题。

2.孙子定理还能练习和活跃数学思维，提高学生解决实际问题的能力，给学生提供正确明确的数学规律。

3.孙子定理可以帮助学生增强空间思维能力，检测几何形状的内角，强化分析问题的能力以及解决复杂水平的能力。

4.在生活中，孙子定理对面积的理解也是很有帮助的。

学生在理解任何物体面积、体积等计算时，都可以通过孙子定理来很好地掌握。

5.孙子定理可以加深学生对实际应用几何的理解，比如桥、路、工程与建筑等等，都可以通过几何定理来进行计算。

三、总结
孙子定理是中国古代最著名的数学定理，它具有极其重要的现实意义。

通过孙子定理，能够有助于学生理解几何图形，让学生更深入地理解
几何知识中的空间体系与关系，强化分析问题解决复杂几何问题的能力，活跃数学思维，熟悉常见的几何问题的解决方案，尤其在实际应
用领域，孙子定理更是发挥了重要的作用。

《孙子定理》诌议我国古代数学名著《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。

”书中不但给出了答案，而且提供了解法。

此类问题，后经历代中国数学家研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。

此定理用现代数学符号表述一般都用初等数论中的同余概念，但从定理的具体内容用“带余除法”（指：被除数=除数×不定商+余数）的形式叙述更为自然易懂。

因此，该定理可表述为：某数x，用m1除余b1，用m2除余b2，…，用m k除余b k，即（1）m1, m2, …, m k是k个两个互质的正整数（k≥2），M=m1m2…m k，，，…，，（0<r<M）（2）则方程（1）的解，（k取任意整数）。

其中：，（i=1,2,…,k）（3）由（2）式可知，应用《孙子定理》的关键是求出F i(i=1,2,…k)的值。

那么怎样求出F i的值呢？因为（3）式可化为：（4）由于m1,m2,…,m k两两互质可知M i与m i也互质，故它们的最大公约数是（1），根据两数最大公约数的性质，存在F i（和q i）使得（4）式成立。

为此，先用辗转相除法求出（4）式也就是（3）式中M i与m i的最大公约数。

对M i与m i辗转相除是指下列一串等式：当r n=1（这就是M i与m i的最大公约数）时，再利用这串等式求得F i的值。

例如，设（3）式中M i=7，m i=5 则7F i=5q i+1。

首先对7与5辗转相除，求它们的最大公约数（1）。

，（这里r2=1，是7与5的最大公约数）利用上式求F i的值：即，故得F2=-2。

我们可以证明，用上述方法求（3）式中F i的值，如F i=F0，则F0+Km i（K取任意整数）都是F i的值。

本例F i=-2，那么-2+5K（K取任意整数）都满足7F i=5q i+1，但在应用《孙子定理》中只需要求出一个值即可。

【关键字】精品孙子算经●“”《孙子算经》共三卷，完成于公元四-五世纪。

卷下第31题，是后世“”题的始祖，后来传到，变成“鹤龟算”。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？趣题1：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内几多僧？●“荡杯问题”“今有妇人河上荡杯。

津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘有客。

’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。

不知客几何？”“术曰：置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得”。

这里告诉我们这次洗碗事件，要处理的是65个碗共有多少人的问题。

其中有能了解客数的信息是2人共碗饭，3人共碗羹，4人共碗肉。

通过这几个数值，很自然就能解决客数问题。

因为客数是固定值，因此将其列成今式为N/2+N/3+N/4=65，易得客数六十人。

●“孙子定理”（中国剩余定理--一次同余论）《孙子算经》具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：『二十三』”这个问题也被称为“物不知数”问题。

西方数学史将其称为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。

与上面的荡杯问题相比较，可以发现主要区别在于这里出现了余数，而不是整除。

此题相当于求大概方程组N=3x+2, N=5y+3, N=7z+2 ---三个方程式，4个未知数，比较难解。

孙子算经给出了算法：N=70×2+21×3+15×2－2×105=23。

这里105是模数3、5、7的最小公倍数。

这里给出的是符合条件的最小正整数。

对于一般余数的情形，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。

本科毕业论文（设计）摘要本文主要讨论了孙子定理的背景、由来、证明方法以及一些简单的应用, 文中阐述了孙子定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，生活方面的应用.孙子定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解.孙子定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义，而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用.关键词：同余；一次同余式；同余式组；孙子定理ABSTRACTThis paper mainly discusses the background, origin, method to prove the Chinese Remainder Theorem and some simple applications, this paper expounds the origin of the Chinese remainder theorem, introduces several methods of it, and the other in polynomial, application of life. The Chinese remainder theorem based on the initial application in high school, Elementary number theory in University in this theorem are carefully explained. Thought method and the principle of Chinese remainder theorem not only has the glorious historical significance in modern mathematics, and still have important influence and role.Keywords : Congruence; linear congruences; congruence group; Chinese remainder theorem目录前言 (I)第一章同余 (1)1. 同余的概念及性质 (1)2. 一次同余式的解法 (3)第二章孙子定理 (7)1.孙子定理定理的由来 (7)2.孙子定理的证明 (7)3.孙子定理的解法 (9)列方程组法 (9)不定方程解法 (10)同余解法 (11)3.4 用孙子定理解答 (11)第三章孙子定理的应用 (13)1.在古典问题中的应用 (13)2.在数学奥林匹克中的应用 (14)3.在初等数学中的应用 (14)4.在生活中的应用 (15)参考文献 (16)致谢 (17)前言孙子定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？”“答曰二十三”.对于答案的求法书中做出了如下的叙述：“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三；以二百一十减之即得.”上述问题用同余式来表示，就是⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世.“孙子定理”又称“中国剩余定理”.它是初等数论中重要定理之一，在代数数学和计算机领域中也有重要应用.本文主要讨论孙子定理的背景以及证明.第一章 同余1. 同余的概念及性质定义1.1 给定一个正整数m ，m 去除任意两个整数b a 与所得的余数相同，我们就说b a ,对于模m 同余，记作 )(mod m b a ≡.读作a 与b 对于m b a ,对于模m 的余数不同，就说b a ,对于模m 不同余，记作()mod a b m ≡，读作：a 与b 对于m 不同余. [4]定理1.1 数同余对于模与m b a 的充分必要条件是：)(b a m -， 即)()(mod b a m m b a -⇔≡. [4]证明11q r m a +=⇒”设“，22r mq b +=，m r <≤10，m r <≤20. 若)(mod m b a ≡，则21r r =.因此，)()(21b a m q q m b a -⇒-=-. )()()()()(21212211r r q q m r mq r mq b a m ++-=+-+⇒-⇐”“ 即)()()(212121r r m q q m b a r r -⇒---=-，∵02≤-<-r m∴m r r m ≤-<-21⇒m r r <-21，即021=-r r故21r r =，即)(mod m b a ≡.定理1.2同余的三个基本性质： [4]⑴)(mod m a a ≡（反身性）；⑵若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡（对称性）；第一章 同余⑶若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡（传递性）.定理1.3 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则有： [4]⑴)(m od 2121m b b a a +≡+；⑵)(m od 2121m b b a a -≡-；⑶)(m od 2121m b b a a ≡；⑷)(mod 2121m b b a a =； [6] 己 若)(mod m b a ≡，且d a a 1=，d b b 1=，1),(=m d ，故11b a m -，即)(m od 11m b a ≡；庚 (ⅰ）若)(mod m a a ≡，0>k则)(mod mk bk ak ≡；(ⅱ) 若)(mod m b a ≡，d 是a ，b 及m 的任一正公因数，则 )(mod dm d b d a ≡； 辛 若)(mod i m a a ≡，k i ,,2,1 =，则]),,(m od[21k m m m b a ≡.2. 一次同余式的解法定义2.1 如果b a ,都是整数，m 是一个正整数，那么当()0mod a m ≡时，我们把)(mod m b ax ≡叫做模m 的一元一次同余式（简称同余式）. [5] 如果有一个整数c ，它能使)(mod m b ac ≡成立，那么我们就把)(mod m c x ≡叫做同余式)(mod m b ax ≡的一个解（或一个根）.这就是说，同余式)(mod m b ax ≡保山学院本科毕业论文（设计）的一个解是指适合这个同余式而对模m 同余的一切整数解，即mt c x +=（t 为任意整数），这里的整数c 使)(mod m b ac ≡)7(mod 1≡x ，即t x 71+=（t 为任意整数），是同余式)7(mod 22≡x 的一个解.定理2.1 一次同余式 )(mod m b ax ≡，()0mod a m ≡ （1.1） 有解的必要且充分条件是： [5]b m a )(-.设d m a =),(，b d 则同余式（1.1）有d 个解.证明 设0x 是同余式（1.1）的一个解，则有m y b ax 00+=.这里的0y 是整数，因此 0x ，0y 是不定方程b ym ax =- 的一组解；反之，若 1x x =，1y y =是不定方程的一组解，则b m y ax =-11即 m y b ax 11=-，所以 )(m od 1m b ax ≡.这就是说，同余式（1.1）有解的必要与充分条件是不定方程b ym ax =-有解的必要且充分条件，也就是：b m a )(-1.用辗转相除法解同余式：例1 解同余式)9(mod 57≡x .第一章 同余解： 1)9,7(=，51故只有一个解.197=-y x 解得4=x ，3=y 代入得：13947=⨯-⨯，因此 )9(mod 174≡⨯.在原同余式两边同乘以4，得：)9(mod 204574≡⨯≡⨯x因此 )9(mod 220≡≡x .即原同余式的解为)9(mod 2≡x2.用系数消去法解同余式：用系数消去法解同余式)(mod m b ax ≡的一般步骤是：先同余式写成)(mod m ab x ≡ 注意：这里的“分数”ab 仅仅是一种形式写法，而不是真正意义上的分数； 然后用与m 互质的数陆续乘右边的“分子”与“分母”，或者在“分子”，“分母”上减去模m 的倍数；或者对“分子”，“分母”约去公有的且与模m 互质的约数，通过这样变换，目的是使“分母”的绝对值变小，直到变为1为止. 例2用系数消去法解下列同余式：（1）)15(mod 18≡x （2）)15(mod 117≡x （3）)21(mod 615≡x解： （1）)15(mod 12816815181≡≡+≡≡x .因此同余式的解为： )15(mod 2≡x（2）)15(mod 1715141522142227211711-≡--≡≡⨯⨯≡≡x ；因此同余式的解为: )15(mod 7-≡x ，即 )15(mod 8≡x .保山学院本科毕业论文（设计）（3） 因为3)21(15=，，所以在原同余式两边约去3，得)7(mod 25≡x由 )7(mod 16530574252≡≡⨯+≡≡x . 得到同余式的一个解为 )7(mod 6≡x即 k x 76+=（k 为任意整数） 当0=k 时6=x ；1=k 时13=x ；2=k 时13=x ；2=k 时20=x . =x 6，13，20这三个数都是模21的最小非负剩余，所以原同余式的三个解为)7(mod 6≡x)21(mod 13≡x)21(mod 20≡x第二章 孙子定理第二章 孙子定理在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏.有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，传入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就. “孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》.中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定理.为了比较清楚地了解“孙子定理”这一名称的由来，我们不妨先引进同余定义：般地，若两个整数a ，b 被同一个大于1的整数m 除有相同的余数，那么称a ，b 对于模m 同余.记作)(mod m b a ≡.应用同余原理，我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来是：设)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡N ，求最小的数N .答案是231052215321270=⨯-⨯+⨯+⨯=N . “物不知其数”开创了一次同余式研究的先河，但真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的是南宋时期的数学家秦九韶，秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法"大衍求一术” .1876年,德国人马蒂生首先指出这一解法与19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致.从此，中国古代数学这一创造受到世界学者瞩目，并在西方数学史著中正式称为“中国剩余定理”.孙子定理：如果n m m m n ,,,,221 ≥是两两互质的n 个正整数，保山学院本科毕业论文（设计）令n n n M m M m M m m m m m M ===== 2211321则同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod )(mod )(mod 2211n n m b x m b x m b x有正整数解)(mod '2'221'11M M M b M M b M M b x n n n +++= ；其中'i M 是满足 ),,2,1(),(mod 1'n i m M M i i i =≡的一个整数. [5]证明 先证存在性：因为n m m m ,,,21 两两互质，所以当j i ≠时，1),(=j i m m ,又由于ii m M M =，因此1),(=i i m M 所以有 1),(),(),(2211====n n m M m M m M .由于1),(=i i m M ，根据裴蜀恒等式（如果两个数b a ,的最大公约数是d ，那么存在两个整数y x ,使得等式d by ax =+成立）可知，一定存在整数1'1k M 与，使得1111'1=+k m M M ，也就是说，一定能找到'1M ，使得)(mod 111'1m M M ≡成立.用同样的方法知道，对每一个i M ，一定存在有一个正整数'1M ，使得),,2,1)((m od 111'1n i m M M =≡，又因为当j i ≠时，由1),(=j i m m 与ii m M M =可得j i M m ，所以有 ))((mod 0'j i m M M b i j j j ≠≡.因此若令n n n M M b M M b M M b R '2'221'11+++= ，第二章 孙子定理则有 ).(mod ),(mod ),(mod '222'22111'11n n n n n m b M M b R m b M M b R m b M M b R ≡≡≡≡≡≡由于n m m m ,,,21 两两互质，所以[]M m m m m m m n n ==,,,,,21,21 ，这样 M M i ， 即 )(mod 0i m M ≡.又根据上式，可知 )(m od 11m b Mt R x ≡+=，即 )(mod '2'221'11M M M b M M b M M b x n n n +++= 是同余式组的正整数解.下面证明解的唯一性.设y 也是同余式组的解，设y 也是同余式组的解，则 )(mod 1'M M M b x ni i i i ∑==是同余式组的解，可得)(m od 1m y x ≡，)(m od 2m y x ≡，……)(mod n m y x ≡.也就是有 ),,2,1)((n i y x m i =-的公倍数，而M 是n m m m ,,,21 最小公倍数所以得 )(y x M -，即)(mod M y x ≡.所以)(mod '2'221'11M M M b M M b M M b x n n n +++= 是满足同余式组的唯一解.保山学院本科毕业论文（设计）设被所得的整数商分别为依题意325372x y z N +=+=+= )1(于是有⎩⎨⎧-=-=-175153z y y x )3()2( 解方程)2(得通解 ⎩⎨⎧+=+=t y t x 3152 )(Z t ∈ )5()4( 将)5(式代入)3(得6157=-t z此不定方程的通解为⎩⎨⎧+=--=1115371t z t t )(1Z t ∈ )7()6( 将)6(代入)4(，)5(同时考虑式)7(得原方程组的全部整数解为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=111153214357t z t y t x)(1Z t ∈ )10()9()8( 上式三式)8(，)9(，)10(中任意一个代入)1(得“物不知其数”问题的通解123105N t =+110523t N +=，当01=t 时23=N 是最小的正整数解.不定方程解法设物数为W , W 被3、5、7除所得的不完全商分别为x 、y 、z 则有:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=273523z W y W x W )3()2()1( ),,,(N z y x W ∈消去W ,得到 153=+y x )4(z x 73= )5(由)5(式得37z x = 令13t z =)(1N t ∈,得13t z =17t x = )6( 从而有514512111-+=-=t t y ， 再令 2151t t =- )(2N t ∈第二章 孙子定理则1521+=t t ∴7352+=t x 42+=t y 3152+=t z 105(mod)23≡W ，这就是“物不知数”问题的通解公式,显然当02=t 时,有最小正整数解23=W . 同余解法“物不知数”问题用同余式组来表达,即⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2W W W )3()2()1(解： 由)1(得 132k W += )4(代入)2(式得21111152)5(mod 2)5(mod 63)5(mod 13)5(mod 332k k k k k k +≡≡≡≡≡+将其代入)4(式有 238k W += )5( 由)5(、)3(得：322222271)7(mod 1)7(mod 1515)7(mod 115)7(mod 9158)7(mod 2158k k k k k k k +=≡≡≡≡+≡+将2k 代入)5(式,得310523k W +=,即)105(mod 23≡W∵3、5、7两两互质,所以)105(mod 23≡W )是同余式组的解.3.4 用孙子定理解答“ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？”“答曰二十三”.保山学院本科毕业论文（设计）∵3、5、7两两互素则105753=⨯⨯=m ，35751=⨯=M ，21732=⨯=M ，15533=⨯=M又∵)3(mod 1352≡⨯，)5(mod 1211≡⨯，)7(mod 1151≡⨯，故)105(mod 23233215132112352≡≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡W ∴最小正整数为23.第三章 孙子定理的应用第三章 孙子定理的应用例1： “韩信点兵”的问题：有兵一队，若列成五行纵列则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数.解：“韩信点兵”问题转化为数学语言即求解下列一次同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)11(mod 10)7(mod 4)6(mod 5)5(mod 1x x x x 由孙子定理知1m =5,2m =6,347,11m m ==两两互素,又⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯=2107653301165385117546211762310117654321M M M M M 又要求().1mod ,1,2,3,4,i i i a M m i ≡=得i a =3,2a =3a =4a =1,又12341,5,4,10,c c c c ====于是 )(m od 444333222111M c a M c a M c a M c a M x +++≡)2310(mod 2111)2310(mod 6731)2310(mod 2100132019251386)2310(mod 101210413305138513462≡≡+++≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡即韩信的兵有k 23102111+，k 为非负整数.保山学院本科毕业论文（设计）定义 没有重复因子的数称为无乘方数；比如5315⨯=是无乘方数，而32122⨯=则不是.例2：是否存在21个连续的正整数，其中每一个数均至少可以被一个不小于2且不大于13的素数整除？分析：如果n 可以被7532210⨯⨯⨯=整除，那么对于21个连续整数10-n ，9-n ，8-n ，……，9+n ，10+n 中除去1+n 1-n 这两个数，当1-n 可被11 整除，同时1+n 可被13整除（或者反过来）时，于是我们就得到所求的21个连续整数了.解：依上面的分析，只要n 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≡≡≡)13(mod 1)11(mod 1)210(mod 0n n n就得到所求的数列了，为完整起见，那么来求这一同余组的解.注意：210=n 满足前两个同余式，于是对任意的k 只要令21011210+⨯⨯=k n 满足最后一个同余式，选取k 使得)13(mod 211231011210-≡=⨯⨯k k此式化简为)13(mod 39-≡k而4=k 是显然是解了，于是945021023104=+⨯=n 是一个解（最小正解）例3： 求最小正整数x 使得它被3、5、7除的余数分别是1、2、3 解： 设x 是所求整数，则它满足方程组第三章 孙子定理的应用⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 由于3、5、7两两互素，故由孙子定理知，此同余式恰有一解，∵31=m ，52=m ，73=m ，105753=⨯⨯=m ，35751=⨯=M ，21732=⨯=M ，15533=⨯=M令)(mod 1'1i i m M M ≡⋅)3,2,1(=i ，可分别求得1'1-=M ，1'2=M ，1'3=M ，于是)105(mod 5211531212)1(351≡⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯≡x因此，所求整数为t x 10552+=，),2,1,0( ±±=t ，故所求最小正整数为52.在日常生活中我们所注意到的不是某些数，而是这些数去除某一固定的数所得到的余数.例如，假定现在是早上10点，在两个小时前是几点？我们立刻可得到正确答案是早上8点那么过了13个小时后又是几点呢？算式为11121310=-+ 即晚上11点；在28个小时后手表的时针又是什么情况呢？算式为2)312()2810(=⨯-+即是两点.解决此类问题的方法是：若现在的时间是A ，问经过B 小时后的时间，只需计算)12(mod C B A ≡+，C 就是手表的时针数.例4： 现在是早上10点，30个小时候是几点？解：)12(mod 4403010≡=+这样就可以算出30个小时候是4点。

孙子剩余定理
摘要：
一、孙子剩余定理的概念
二、孙子剩余定理的公式表示
三、孙子剩余定理的应用领域
四、我国对孙子剩余定理的研究与贡献
正文：
一、孙子剩余定理的概念
孙子剩余定理，又称孙子问题，是数论中一个有关同余方程组解的问题。

它是由我国古代数学家孙子（孙武）提出的一个著名数学问题，也是我国古代数学成就的一部分。

二、孙子剩余定理的公式表示
孙子剩余定理可以用以下公式表示：
a_1^m ≡ a_2^m (mod n)
a_1^n ≡ a_2^n (mod m)
其中，a_1、a_2为整数，m、n为正整数，且m、n互质。

三、孙子剩余定理的应用领域
孙子剩余定理在现代数学领域具有广泛的应用，尤其在密码学、计算机科学、通信技术等方面具有重要意义。

它在解决许多同余方程组问题、简化计算过程、提高计算效率等方面发挥着关键作用。

四、我国对孙子剩余定理的研究与贡献
作为孙子剩余定理的发源地，我国对这一定理的研究历史悠久，成果丰硕。

许多数学家为孙子剩余定理的发展作出了巨大贡献，如秦九韶、李冶、朱世杰等。

初等数论孙子定理学习的教育价值和意义孙子定理是中国古代古典数学的一个重要概念，它出现在孙子算经中，是古代中国数学发展历史上的一个里程碑。

孙子定理指出，对一个整数n，若它可以表示为两个整数组成的和，则必有否定式中有n 以内的奇数存在。

学习孙子定理有其重要的教育意义和价值。

首先，孙子定理体现了算术思维和空间表达能力。

学习孙子定理不仅需要用算术去分析问题，而且要发挥空间思维，用直观上合理的方式把握规律，明白问题的实质，落实到数学的思维途径上，表示为关系式及推理出结论。

其次，孙子定理可以促进孩子思考能力的发展，可以训练孩子的解题思路，提高学习的依据思维能力，培养学生的独立思考能力。

同时，学习孙子定理还可以锻炼孩子使用概率论等数学知识对实际生活中问题进行分析总结的能力。

最后，通过对孙子定理的学习，孩子也可以学习到人类智慧的普遍存在，学到解决问题的方法，提高对文化传承和数学知识的珍惜之心，发扬探究精神。

总而言之，学习孙子定理有很多实用价值，是一种值得深思的数学学习思想。

学习孙子定理对孩子来说不仅可以在智力上给他们带来积极的影响，而且可以提高自身的认知能力、自信心、学习热情，形成一种创新、自学、发现问题的能力，使他们真正掌握科学精神和传统文化精神，从而能够为今天的发展作出贡献。

孙子定理的探讨与应用
孙子定理又叫孙子康复定理，是由中国古代数学家孙子的《九章算术》中提出来的一条定理，也是中国古代数学的标志性理论，孙子定理是“水平分割叉形”的形象表示，说明“三角形端点相接时，最大边的长度平方等于左右两条斜边的平方和”。

孙子定理有着极强的实用性，被广泛用于早期测量距离和计算面积等日常工作中。

比如在鱼雷发射计算时，海军司令部可以以此定理计算出发射和收回路径的最短路程，从而使得鱼雷的使用更加有效。

在登山或做飞机模型玩具时，人们可以用孙子定理来计算出最合适的几何形状，从而使得整个结构更加牢固。

除此之外，孙子定理还在日常教学中发挥作用。

学生们可以通过实际操作来学习孙子定理，比如可以利用纸片切割出叉形，然后通过相接三角形端点来验证孙子定理是否正确。

另外，学生们也可以利用信息技术来帮助计算，从而更好地理解孙子定理的实质及其应用。

总之，孙子定理有着深远的历史也是备受尊敬的一项定理，但孙子定理不仅仅是一个历史纪念，它仍在日常生活中发挥重要作用，并且有着更新现代应用。

目录摘要 (1)0引言 (1)1孙子定理及改进 (1)1.1孙子定理 (1)1.2孙子定理的改进 (2)1.2.1同余取倍法 (2)1.2.2矩阵法 (5)1.2.3新的改进及证明 (5)2孙子定理的应用 (10)2.1在方程中的应用 (10)2.1.1求同余方程的整数解 (10)2.1.2求同余方程组的整数解 (11)2.2在整除中的应用 (13)参考文献 (14)Abstract (15)孙子定理及其应用作者：沈红光指导老师：王阳摘要：归纳总结了孙子定理的几点改进，应用类比，提出新的命题并加以证明，结合实例探究了孙子定理在解同余方程及其同余方程组的应用.关键词：孙子定理；同余；同余方程组；整数解；解数；互素0 引言孙子定理是同余理论的重要内容之一，是解决一次同余方程及方程组的基础.文献[1]给出了孙子定理及其推论，但是条件比较苛刻，具有很大的局限性.为此文献[2-4]对孙子定理进行改进，其中文献[2-3]研究了余数相同，模不一定两两互素的同余式组的解，但文献[2]没有给出具体的解的表达式，且引理4不正确.文献[4]研究了一般情况下，同余式组的解的表达式，给出了具体的求解方法即矩阵法.文献[5]研究了孙子定理在一元多项式环中的应用.文献[6]指出把孙子定理看作一个数学模式进行教学的探究.文献[7]研究了信息安全中孙子定理在口令验证方面的应用.本文归纳总结了有关文献对孙子定理的两点改进，并加以完善、改正,然后应用类比，给出了特殊情况下的孙子定理的改进，并加以证明，完善了孙子定理在同余方程中的应用. 最后结合实例完善了孙子定理的应用,探究了孙子定理在同余方程、整除中的具体应用.1 孙子定理及改进1.1孙子定理定理 1[1] 设12,k m m m 是k 个两两互素的整数且12k i i m m m m m M == 1,2.i k =则同余方程组1122(mod ),(mod ),(mod ).k k x b m x b m x b m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩ 有唯一整数解，且解为111222(mod ).k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++这里i M '满足1(mod )i i i M M m '≡ 1,2,3.i k =推论 1[1]设12,k m m m 是k 个两两互素的正整数，12k i i m m m m m M ==则同余式()0(mod )f x m ≡有解的充要条件是同余式组 12()0(mod ),()0(mod ),()0(mod ).k f x m f x m f x m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩的每一个都有解，并且，若用i T 表示()0(mod )i f x m ≡的解数，T 表示)(mod 0)(m x f ≡的解数，则12.k T TT T =1.2孙子定理的改进显然定理1仅适用于模k m m m ,,21两两互素的情况，为此文献[2]-[4]进行了改进. 1.2.1]2[同余取倍法文献[2]研究了在模非两两互素情况下，采用“同余取倍法”解同余式方程，简单地说当余数相同时取模的最小公倍数作模，将方程组的子方程简化，逐个减少方程组的个数.定理2]2[同余方程组1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩有解的充要条件1212(,)()m m b b -，且当同余方程组有解时，对模12[,]m m 有唯一解，且解为11112(mod[,]).x m t b m m ≡+ 其中1t 满足112221.m t m t b b -=-12,.t t Z ∈该定理在文献[2]中没有给出具体的整数解，在此得到了完善.结论的前半部分文献中已经证明，在此证明方程的解为]),(mod[21111m m t b m x +≡.证明 因为同余方程组1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩有整数解，且1212(,)()m m b b -故112221m t m t b b -=-.有整数解12,t t . 则111222.m t b m t b +=+因此1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩ 与11112222(mod ),(mod ).x m t b m x m t b m ≡+⎧⎨≡+⎩ 有相同的解与解数. 又11112222(mod ),(mod ).x m t b m x m t b m ≡+⎧⎨≡+⎩就是11111112(mod ),(mod ).x m t b m x m t b m ≡+⎧⎨≡+⎩ 且与11112(mod[,]).x m t b m m ≡+有相同的解与解数.即得1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩的解为11112(mod[,]).x m t b m m ≡+这个定理可以推广到n 个同余方程组中：定理3]3[同余方程组1122(mod ),(mod ),(mod ).n n x b m x b m x b m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩有解的充要条件是(,)()i j i j m m b b -(,1,2,3)i j n =且当同余方程组有解时，对模12[,]n m m m 只有唯一解.注：文献[2]中的引理 4 若αβ≥，则同余方程组12(mod ),(mod ).x c p x c p αβ⎧≡⎨≡⎩的解就是第一个同余方程1(mod )x c p α≡的解是错误的.如 3(mod8),2(mod4).x x ≡⎧⎨≡⎩其中)8(mod 3≡x 的解的表达式为t x 83+=，.t Z ∈则)4(mod 283≡+t ,(8,4)4=、4|1/,显然)4(mod 18-≡t 没有整数解. 因此正确的结论为定理 4 若αβ≥，)(m od 21βp c c ≡，则同余方程组12(mod ),(mod ).x c p x c p αβ⎧≡⎨≡⎩的整数解就是第一个同余方程1(mod )x c p α≡的整数解.证明 因为 βα≥ ，1(mod )x c p α≡, 所以)(m od 1βp c x ≡.又 12(mod ).c c p β≡ 因此必有 )(m od 2βp c x ≡. 即12(mod ),(mod ).x c p x c p αβ⎧≡⎨≡⎩ 与1(mod ).x c p α≡有相同的解与解数.定理4证毕. 1.2.2 矩阵法在模非两两互素的条件下，用矩阵变换的方法求解同余式. 定理 5]4[ 若同余方程组1122(mod ),(mod ),(mod ).k k x b m x b m x b m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩1,2,3.k n =满足(,)()i j i j m m b b -(,1,2)i j n =，则同余式组有公共解1(mod ).ki i i i x M M b M ='≡∑其中12[,]k M m m m =.其中i M 满足i i M M m =，i M '满足1ki i iM M '=∑.因此对整数型的系数矩阵111k k k M b M M b M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦作整系数的行变换，使得其中的某一行的第一个元素为1，则相应的第二个元素就是所求的的解. 1.2.3新的改进及证明文献[2]-[4]对模非两两互素的情况进行了研究，并得到了一些结论. 下面给出模特殊情况下的一些结论.定理6 设21212(,)(,)m m m m =，且)),(mod(2121m m b b ≡，则1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩ 有唯一的解，且解为2111221212(mod[,]).(,)m x M b m M b m m m m ''≡+其中 )(mod 1),(11212m M m m m ≡'，212121(mod).(,)m m M m m '≡证明 设1211),(q m m m =，2212),(q m m m =，21,q q 互素 则1122(mod ),(mod ).x b m x b m ≡⎧⎨≡⎩ 与1121222(mod ),(mod(,)),(mod ).x b m x b m m x b q ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩有相同的解与解数. 又1212(mod(,)).b b m m ≡因此若)(mod 11m b x ≡必有212(mod(,)).x b m m ≡ 所以1121222(mod ),(mod(,)),(mod ).x b m x b m m x b q ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩与112212(mod ),(mod ).(,)x b m m x b m m ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 有相同的解与解数.因为),(),(21221m m m m =，所以2112(,) 1.(,)m m m m =故112212(mod ),(mod ).(,)x b m m x b m m ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 满足孙子定理的前提条件 又),(2121m m m M =，12m M =，则由定理1知方程的解唯一，且解为211122`212(mod[,]).(,)m x M b m M b m m m m ''≡+定理6证毕在孙子定理及其以上的改进中我们发现研究的同余式都是(mod )x b m ≡形式的，对于(mod )ax b m ≡形式的同余式我们是否也有类似的结论？通过探究得到了定理7 设12(,)1m m =，12m m m =，111222(,),(,)a m b a m b . 则方程组111222(mod ),(mod ).a x b m a x b m ≡⎧⎨≡⎩有解,解的个数12d d d =.且方程组的解为111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+其中1111111,0,1,2,1m q x k k d d =+=- 2222222,0,1,2,1m q x k k d d =+=-；111222(,),(,)d a m d a m ==.12,x x 分别是同余方程111(mod )a x b m ≡，222(mod )a x b m ≡的特解.i M '满足1(mod )i i i M M m '≡ 1,2.i =证明 由于111222(,),(,)a m b a m b ，所以111(mod )a x b m ≡与222(mod ).a x b m ≡ 都有解,且解数分别为1d ,2d .设12,x x 分别是同余方程111(mod )a x b m ≡与222(mod )a x b m ≡的特解， 则111(mod ).a x b m ≡的整数解为1111111(mod ),0,1,21m x x k m k d d ≡+=-.同理222(mod ).a x b m ≡的整数解为2222222(mod ),0,1,21m x x k m k d d ≡+=-.因此111222(mod ),(mod ).a x b m a x b m ≡⎧⎨≡⎩与1111122222(mod ),(mod ).m x x k m d m x x k m d ⎧≡+⎪⎪⎨⎪≡+⎪⎩ 有相同的解与解数 又1111122222(mod ),(mod ).m x x k m d m x x k m d ⎧≡+⎪⎪⎨⎪≡+⎪⎩ 满足孙子定理的前提条件. 故解为111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+其中i M '满足1(mod )i i i M M m '≡,1,2i =1111111,0,1,21m q x k k d d =+=- 2222222,0,1,21m q x k k d d =+=-因此方程组111222(mod ),(mod ).a xb m a x b m ≡⎧⎨≡⎩的解数为12d d d =，解为111222(mod ).x M M q M M q m ''≡+定理7证毕2 孙子定理的应用2.1 在方程中的应用使用孙子定理解同余方程的步骤（1）判断方程组是否满足孙子定理的前提条件. （2）写出12,k m m m 计算12k M M M .（3）解一次同余方程1(mod )i i i M M m '≡得出一个i M ' 1,2i k =.（4）将,i i M M '代入到111222(mod )k k k x M M b M M b M M b m '''≡+++.（5）将12,k b b b 代入到方程组中得到方程组的整数解.2.1.1 求同余方程的整数解. 例1 求310(mod15)x -≡的整数解. 解 由于1535=⨯且(3,5)1= 故310(mod15).x -≡与3310(mod3),10(mod5).x x ⎧-≡⎨-≡⎩ 有相同的解与解数.且310(mod3)x -≡有整数解则解一定在模3的完全剩余系中得到，即在1,0,1-中得到，将它们带入方程得1(mod3)x ≡.同理可知310(mod5)x -≡的整数解在模5的完全剩余系0,1,2,3,4中得到，代入得 1(mod5)x ≡. 因此3310(mod3),10(mod5).x x ⎧-≡⎨-≡⎩ 与1(mod3),1(mod5).x x ≡⎧⎨≡⎩ 有相同的解与解数. 又1(mod3),1(mod5).x x ≡⎧⎨≡⎩ 满足孙子定理得前提条件 运用孙子定理的解法 即得1(mod15).x ≡故310(mod15)x -≡的整数解为1(mod15).x ≡2.1.2求同余方程组的整数解.例2求同余方程组 3(mod5),1(mod7).x x ≡⎧⎨≡⎩的整数解.解 由于方程组满足孙子定理的前提条件,125,7m m ==, 则 127, 5.M M ==又 111(mod5)M M '≡,221(mod7)M M '≡. 则 171(mod5)M '≡ 251(mod7)M '≡. 即 13(mod5)M '≡,23(mod7).M '≡ 令 123, 3.M M ''== 又 111222(mod35).x M M d M M d ''≡+ 故 733531(mod35).x ≡⨯⨯+⨯⨯ 即 78(mod35).x ≡例3 用矩阵法求同余方程组8(mod15),3(mod10),1(mod8).x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的整数解.解 由于120]8,10,15[==M ，12315,10,8m m m ===. 则 1231238,12,15.M M M M M M m m m ====== 由定理5可知系数矩阵为15153612648，作整系数的行变换得到151536121131. 故所求的解为()120mod 113≡x例4 求同余方程组3(mod8),11(mod20).x x ≡⎧⎨≡⎩的整数解解 由于(8,20)4=所以不能直接用孙子定理求解，又)20,8()20,8(2=,且311(mod(8,20)).≡故满足定理6的前提条件.因为20,821==m m .所以212 5.(,)m m m =令)(mod 1),(11212m M m m m ≡'，212121(mod).(,)m m M m m '≡即得)8(mod 51≡'M ，)5(mod 22≡'M .取125, 2.M M ''==由定理6可知同余方程组3(mod8),11(mod20).x x ≡⎧⎨≡⎩的整数解为2111221212(mod([,])).(,)m x M b m M b m m m m ''≡+即 5538211(mod 40).x ≡⨯⨯+⨯⨯ 故所求的解 为11(mod 40).x ≡例5求同余方程组 21(mod3),32(mod4).x x ≡⎧⎨≡⎩的整数解解 由于123, 4.m m == (2,3)1，(3,4)2. 故同余方程21(mod3)x ≡与32(mod 4)x ≡都有解,且解数分别是1(2,3)1d == ，2(3,4)1d ==.由定理7可知21(mod3),32(mod4).x x ≡⎧⎨≡⎩ 解数为121d d d ==.显然21(mod3)x ≡的一个特解为2(mod3)x ≡，32(mod 4)x ≡的一个特解为2(mod 4)x ≡显然3,421==M M ,2,221==q q ，令)4(mod 1),3(mod 12211≡'≡'M M M M . 即得)4(mod 3),3(mod 121≡'≡'M M ，取3,121='='M M .由定理7可知方程的解为)(mod 222111m q M M q M M x '+'≡.代入得142332(mod12)x ≡⨯⨯+⨯⨯.即得方程的解)12(mod 2≡x . 2.2 在整除中的应用例6 证明存在m 个相继正整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都被某个素数的平方整除.分析 如果存在m 个相继正整数为1,2,n n n m +++ ()n N ∈.那么，证题得目标就是2(mod )i n i q ≡-有解 ()i q 为素数，i=1,2m ,而这就是孙子定理.证明 令12,,m q q q 是m 个相异素数.由孙子定理可知方程组212221(mod ),2(mod ),(mod ).m x q x q x m q ⎧≡-⎪≡-⎪⎨⎪⎪≡-⎩有解，设这个解为22212(mod )m x n q q q ≡.则212221(mod ),2(mod ),(mod ).m n q n q n m q ⎧≡-⎪≡-⎪⎨⎪⎪≡-⎩所以2(),1,2,.i q n i i m +=故存在m 个相继正整数1,2,n n n m +++ ，且每一个都能被某个素数的平方整除.参 考 文 献[1] 张文鹏，李海龙.初等数论[M]陕西：陕西师范大学出版社.2008[2] 严纪付，任艳，于祥波.浅谈孙子剩余定理及其解法改进.和田师范专科学校学报（汉文综合版）,2009，28（59）：189-190.[3] 王进明.初等数论[M]北京：人民教育出版社.2002.[4] 林丽玉.广义的孙子定理[J].宁德师专学报（自然科学版），2002,14（1）：7-8.[5]王继成.一元多项式环中的孙子定理[J]杭州师范学院学报（自然科学版）2006，5(4):314-315.[6]林舜婷.模式论的数学观指导下的孙子定理的教学[J].阴山学刊,2009. 23(4):91-92.[7]刘明明，尚娟娟. 中国剩余定理及其应用[J].人文论坛 .2010:212-213.[8]杨天标.孙子定理的推广[J].德州学院学报.2010. 26(6):30-31.[9]王伟，辛小龙，陈涛.基于孙子定理和欧拉函数口令验证方案[J].现代电子技术，2006.1:60-61.[10]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社.2003.Remainder Theorem and Its ApplicationsSHEN Hong-guangAbstract：Some improvement of Remainder Theorem were summed up;some new proposition were proposed by analog .The application of Remainder Theorem with examples in various fields were explored.Key words:remainder theorem;congruence;congruence equations;integer solution; the stops;conprime。

简述孙子定理
孙子定理是中国古代数学家孙子提出的一个定理，它是中国古代数学史上最重要的定理之一。

孙子定理指出，在一个三角形中，如果一条边的长度是另外两条边的和，那么这个三
角形的内角之和等于180度。

孙子定理的历史可以追溯到公元前3世纪，当时孙子在《九章算术》中提出了这个定理。

孙子定理的推导是基于古希腊数学家几何学家赫拉克利特的定理，即在一个三角形中，如果一条边的长度是另外两条边的积，那么这个三角形的内角之和等于120度。

孙子定理的推导是基于这个定理，他把赫拉克利特的定理推广到一般的三角形，即在一个三角形中，
如果一条边的长度是另外两条边的和，那么这个三角形的内角之和等于180度。

孙子定理的推导是基于几何学的基本原理，即三角形的内角之和等于180度。

孙子定理的推导过程是：首先，假设一个三角形ABC，其中AB=BC+AC，即一条边的长度是另外两条边的和；然后，画出一个辅助线，使得辅助线与边AB和边BC形成一个直角三角形；最后，根据直角三角形的内角之和等于180度的原理，可以得出三角形ABC的内角之和也
等于180度。

孙子定理是中国古代数学史上最重要的定理之一，它的推导过程是基于几何学的基本原理，即三角形的内角之和等于180度。

孙子定理的推导过程简单明了，但它的结论却是深刻的，它为数学家们提供了一种新的思路，为后来的数学发展奠定了基础。