用面积法快速求线段的比例

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理(添加辅助线)，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：AE=BD。

注:如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

注：添加辅助线，构造全等三角形二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

注：辅助线是中线倍长法［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA 的延长线交于D，求证：AD=AE。

三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC 的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。

（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）注：构造平行四边形［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

注：构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化证明：延长AD到A′，使D A′=AD，又∵BD=CD∴四边形BACA′是平行四边形∴BA=A′C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A′C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

第11讲 成比例线段与平行线分线段成比例课程标准1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形；2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题；4.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；5.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。

知识点01 形状相同的图形形状 ，大小、位置 的图形叫做形状相同的图形。

一般而言，形状相同的图形就是相似图形。

全等图形是一种特殊的形状相同的图形。

注意：（1）形状相同的图形不受图形的位置与大小的约束。

（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。

（3）成旋转对称或成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。

知识点02 两条线段的比1．两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即n m CD AB ::=，或者写成n m CD AB =。

其中，线段AB ,CD 分别叫做这个线段比的和。

如果把nm表示为比值k ，那么k CDAB=或者CD k AB ⋅=。

2．比例尺在地图或工程图纸上， 与它所表示的 通常称为比例尺。

比例尺是两条线段的比的一种。

知识点03 成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。

类似地，还可以得到c d a b =，bda c =分别对应b ，a ，d ，c 成比例，c ，a ，d ，b 成比例。

知识精讲目标导航注意： （1）如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； （2）在比例式a ：b =c ：d 中，b ，c 称为内项，a ，d 称为外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

（3）在通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的长度单位应该一致，但有时为了方便，也可以a 与b 的长度单位一致，c 与d 的长度单位一致。

求线段长的五大类必会方法常用求线段的方法：1.勾股定理2.等面积法3.构造相似4.作辅助圆5.三角函数在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。

如图，三条平行线之间有个等边三角形，若1l 和2l 的间距是1，2l 和3l 的间距是2，求ABC∆的边长.方法一：勾股定理作垂线如下图，设三角形边长为x ，则可以用勾股定理表示出AD ，EC ，CF12−=x AD ，42−=x EC ，92−=x CF然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了12−x 42−=x 92−=x这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。

记得用换元法，令2x y = 941−+−=−y y y ()()994241−+−−+−=−y y y y y ()()y y y −=−−12942()()()212944y y y −=−−14424144524222+−=+−y y y y02832=−y y0,32821==y y （舍） 3212328==x总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。

方法二：等面积法以下做法由运河中学张祖珩提供如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D由FC=2AH 可知DC=2AD我们不妨设x AC 3=，则x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=，x ED 21=，x BE 233= x DE BE BD 722=+=将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅212121 ()21721233321+⋅=⋅⋅x x x 9212=x 32123==x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。

同一直线上线段比例关系的证明方法彭晓王永俊（北京市海淀区海淀南路165号人大附中，100080）“相似形”是初中平面几何中的重要内容。

此章的难点在于证明线段之间的比例关系，尤其是证明同一直线上的线段比例关系。

本文拟通过几个例子，系统阐述同一直线上线段比例关系的证明方法，以帮助广大中学生突破难点，开拓视野，训练思维。

（一）通过等量代换等，将直线上某些线段，转移到直线外，转化为三角形相似的问题[例1]已知：如图a，EF是⊙O的直径，P、C 为圆周上任意两点，CA⊥EF于A，FP的延长线与AC的延长线相交于D，PE与AC相交于点B。

求证：。

证明：∵EF是⊙O的直径，CA⊥EF∴，∠EPF=∠BAE=90°∴∠ABE=∠AFD∵∠BAE=∠FAD=90°∵△ABE∽△AFD∴∴（二）利用平行线分线段成比例定理[例2]已知：如图b，BC是半⊙O的直径，BE是的平分线，AC∥EF，EF与BC的延长线交于点F，过E作ED⊥BC于D。

求证：（1）EF是半⊙O的切线；（2）。

1.连接OE，易证OE⊥AC，半径OE⊥EF，从而证明EF是半⊙O的切线。

（证明过程略）（2）证明：（如图c）连接CE，过C作GH∥BE，交EF于H，交ED延长线于G则,∵ BC是半⊙O的直径∴∴∵ EF是半⊙O的切线∴∠CEF=∠EBF∵ ED⊥BC∴∠EBF=∠CEG ∴∠CEH=∠CEG ∵ CE是公共边∴≌∴ CH=CG∴（三）面积法例2中（2）问证法之二(如图d)：证明：连接EC∵ BC是半⊙O的直径∴∵ ED⊥BC∴∽∴∵EF是半⊙O的切线∴∠CEF=∠EBF∵∠F是公共角∴∽∴∴（四）联合使用平行线分线段成比例定理及三角形相似例2中（2）问证法之三(如图d)：证明：∵OE⊥AC，ED⊥BC∴∠EGK=∠BDE=90°∵OB=OE∴∠KEG=∠EBD∴KEG∽EBD∴∵BC是半⊙O的直径∴∵ED⊥BC ∴∠CED=∠CBE ∵AE=AE ∴∠ABE=∠ACE∵ABE=CBE ∴∠ECG=∠CED∵EDC=CGE=90°，CE为公共边∴≌∴EG=CD∵AC∥EF∴（五）巧用代数方法、比例性质等，获取解题途径例2中（2）问证法之四(如图d)：证明：∵ EF是半⊙O的切线，FCB是半⊙O的割线∴∠CEF=∠EBF，∴∵ BC是半⊙O的直径∴∵ED⊥BC∴∴∵∠F是公共角∴∽∴∴[例3]已知：如图f，两圆相交于M、N两点，C 是MN上任意一点，过C点的直线交两圆于A、B、D、E四点。

师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。

其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。

学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。

平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。

面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。

文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。

通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。

这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。

对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。

与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。

早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。

在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。

D APB 面积︰D AQB 面积＝PM ︰QM1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴DE ∥BC ∴∠DBC ＝∠ADE由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·AD·DE/AB·DE/AB·DE/AB·BC BC ＝1/4 ∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（的面积相等，则这个面积是（） A ．４．４ C ．５．５ D ．６．６ B ．5103 Ｅ．不确定Ｅ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ．这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OA·OB OB ＝OC·OC·ODOD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CDAA AABBBBPPPPQMMMM 共边定理图：四种位置关系共边定理图：四种位置关系QQQ AB CD EFABCDO问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。

知识导航除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：(1)计算；(2)转化．本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】(1)可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．(2)考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS⨯⨯， 3396442BCD AOCSS =⨯=⨯=， 此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题． 策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．CBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB=，若要APAT 取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=， 故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值， 过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可． 但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ例一、已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；(2)如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)223y x x =--+；顶点坐标为(-1,4)． (2)根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B (-3,0)、C (0,3)， ∴D 点坐标为(-1,2)． 例二、如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==． (1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】(1)解析式：223y x x =-++(2)显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E (0，5)，(为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2) 过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2． 直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+， 解得：11x =，22x =．故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+， 解得11m =，22m =，故D 点坐标为(1，4)或(2，3)．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．1．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ．顶点为点D ． (1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S ∆∆=，求直线CE 的解析式；(3)若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； (4)已知点45(0,)8H ，(2,0)G ，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，利用待定系数法解决问题即可．(2)求出点E 的坐标即可解决问题．(3)分点P 在x 轴的上方或下方，点P 的纵坐标为1或1-，利用待定系数法求解即可．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．求出直线HB 的解析式，可得点F 的坐标，设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ．证明KF KM =，利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：(1)因为抛物线经过(1,0)A -，(3,0)B ，∴可以假设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-，把(0,3)C 代入，可得1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++．(2)如图1中，连接AC ，BC ．:3:5ACE CEB S S ∆∆=，:3:5AE EB ∴=，4AB =，33482AE ∴=⨯=，0.5OE ∴=，设直线CE 的解析式为y kx b =+，则有30.50b k b =⎧⎨+=⎩，解得63k b =-⎧⎨=⎩，∴直线EC 的解析式为63y x =-+．(3)由题意(0,3)C ，(1,4)D ．观察图像可知CD 只能说平行四边形的边，不可能是对角线，当四边形11PQ CD ，四边形22P Q CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1， 当1y =时，2231x x -++=， 解得13x =±，1(13P ∴1)，2(13P ，1)，当四边形33PQ DC ，四边形44P Q DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1-，当1y =-时，2231x x -++=-， 解得15x =±，1(15P ∴+，1)-，2(15P -，1)-，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(13+，1)或(13-，1)或(15-，1)-或(15+，1)-．(4)如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF FH +的值最小．45(0,)8H ，(3,0)B ， ∴直线BH 的解析式为154588y x =-+， 1x =时，154y =， 15(1,)4F ∴， 设(,)K x y ，作直线174y =，过点K 作KM ⊥直线174y =于M ． 2215(1)()4KF x y =-+-2223(1)4y x x x =-++=--+， 2(1)4x y ∴-=-， 222151717174()()||4244KF y y y y y ∴=-+--+=-， 17||4KM y =-， KF KM ∴=，KG KF KG KM ∴+=+，根据垂线段最短可知，当G ，K ，M 共线，且垂直直线174y =时，GK KM +的值最小，最小值为174， 此时(2,3)K ．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，第四个问题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考压轴题．2．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点(E m ，0)(03)m <<，过点E 作直线l x ⊥轴，交抛物线于点M ．(1)求抛物线的解析式及C 点坐标；(2)当1m =时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；(3)如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设AEM ∆的面积为1S ，MON ∆的面积为2S ，若122S S =，求m 的值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若ACD ∆是以DCA ∠为底角的等腰三角形，则可以分CD AD =或AC AD =两种情况，分别求解即可； (3)112M S AE y =⨯⨯，22M S ON x =⋅，即可求解． 【解答】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为223y x x =-++， 当0x =时，3y =，故点(0,3)C ；(2)当1m =时，点(1,0)E ，设点D 的坐标为(1,)a ，由点A 、C 、D 的坐标得，22(01)(30)10AC =++-=，同理可得：24AD a =+，21(3)CD a =+-， ①当CD AD =时，即2241(3)a a +=+-，解得1a =； ②当AC AD =时，同理可得6a =±(舍去负值)； 故点D 的坐标为(1,1)或(1,6)；(3)(,0)E m ，则设点2(,23)M m m m -++，设直线BM 的表达式为y sx t =+，则22303m m sm t s t ⎧-++=+⎨=+⎩，解得133s m t m =--⎧⎨=+⎩，故直线BM 的表达式为(1)33y m x m =--++，当0x =时，33y m =+，故点(0,33)N m +，则33ON m =+； 2111(1)(23)22M S AE y m m m =⨯⨯=⨯+⨯-++，22112(33)(1)(23)2M S ON x m m S m m m =⋅=+⨯==⨯+⨯-++，解得27m =-1-(舍去负值)， 故72m =．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．3．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴正半轴于点C ，M 为BC 中点，点P 为抛物线上一动点，已知点A 坐标(1,0)-，且24OB OC OA ==． (1)求抛物线的解析式；(2)当PCM POM ∆≅∆时，求PM 的长； (3)当45ABC BCP S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】(1)先求出点B ，点C 坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)由全等三角形的性质可得PO PC =，可得点M 在CO 的垂直平分线上，即可求解； (3)分两种情况讨论，利用面积关系可求解． 【解答】解：(1)(1,0)A -，1OA ∴=，又24OB OC OA ==， 2OC ∴=，4OB =，(4,0)B ∴，(0,2)C ，点B ，点C ，点A 在抛物线上， ∴216400c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，、∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； (2)连接OM ，M 为BC 中点，(2,1)M ∴，PCM POM ∆≅∆， CM OM ∴=，PC PO =，MP ∴是OC 的垂直平分线，//PM x ∴轴，∴点P 的纵坐标为1，当1y =时，代入213222y x x =-++，解得：3172x ±=， ∴317(,1)2P +或317(,1)2-， 1712PM -∴=或1712+； (3)152ABC S AB OC ∆=⨯⨯=，45ABC BCP S S ∆∆=，4BCP S ∆∴=，(4,0)B ，(0,2)C ，∴直线BC 解析式为122y x =-+，当点P 在BC 上方时，如图2，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，设点213(,2)22P p p p -++，则点1(,2)2E p p -+，2122PE p p ∴=-+，21144(2)22p p ∴=⨯⨯-+，2p ∴=，∴点(2,3)P ；当点P 在BC 下方时，如图3，过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，2122PE p p ∴=-， 21144(2)22p p ∴=⨯⨯-，222p ∴=±，∴点(222,12)P +--或(222,12)--+；综上，点P 的坐标为：(2,3)或(222,12)+--或(222,12)--+．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和点(0,3)C ，抛物线与x 轴的正半轴交于点B ，点D 是抛物线上的一点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，连接OD ，BD ，若点D 是抛物线的顶点，求此时OBD ∆的面积；(3)如图3，连接OD ，BD ，CD ，CB ，设OCD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，是否存在点D ，使12S S =，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法即可求解解析式． (2)求出定点坐标，即可求出三角形的面积．(3)假设存在，先求出直线BC 的解析式，设点出点P 的坐标，利用坐标表示出1S 面积，利用铅垂高表示2S 的面积，最后利用面积相等即可求解．【解答】解：(1)将点(1,0)-、(0,3)代入2y x bx c =-++． ∴013b c c =--+⎧⎨=⎩．解得：23b c =⎧⎨=⎩．∴抛物线的表达式：223y x x =-++．(2)2223(1)4y x x x =-++=--+． (1,4)D ∴令0y =，2230x x -++=． 11x =-，23x =．(1,0)A ∴-、(3,0)B ．OBD ∴∆的面积为：13462⨯⨯=．(3)设点2(,23)D m m m -++OCD ∴∆的面积为1S 为：133||||22m m ⨯⨯=．设直线BC 的解析式为：y kx b =+． 将(3,0)B 、(0,3)C 代入． ∴303k b b +=⎧⎨=⎩．∴13k b =-⎧⎨=⎩．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+．作//DE y 轴，交BC 于点E ．(,3)E m m ∴-+．2|3|DE m m ∴=-+．∴根据铅垂高定义，BCD ∆的面积为2S 为：22133|3||3|22m m m m ⨯⨯-+=-+． 12S S =．∴233|||3|22m m m =-+． 解得：2m =或4． (2,3)D ∴或(4,5)D -．【点评】本题考查待定系数法求解析式，以及三角形面积与函数之间的关联，比较综合，属于压轴题． 5．已知二次函数2y x bx c =-++的图象与直线3y x =+相交于点A 和点B ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上．抛物线的顶点为P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)现将抛物线向右平移m 个单位，当抛物线与ABP ∆有且只有一个公共点时，求m 的值；(3)在直线AB 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得2ABQ ABP S S ∆∆=，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)直线3y x =+中，分别令0x =和0y =可得点A 和B 的坐标，将点A 和B 的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；(2)由图象可知，当抛物线经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A 、B 的坐标，即可求得m 的值；(3)先计算ABP ∆的面积，根据2ABQ ABP S S ∆∆=，可得ABQ ∆的面积，分两种情况：点Q 在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论． 【解答】解：(1)当0x =时，3y =， (0,3)B ∴，当0y =时，30x +=， 3x ∴=-，(3,0)A ∴-，把(3,0)A -和(0,3)B 代入二次函数2y x bx c =-++中得： 9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴这个二次函数的解析式为：223y x x =--+；(2)2223(1)4y x x x =--+=-++， (1,4)P ∴-，将抛物线向右平移m 个单位，P 对应点为(1,4)m -+，∴平移后的抛物线解析式为2(1)4y x m =-+-+，把(0,3)B 代入得，23(1)4m ==--+， 解得12m =，20m =(舍去)， 把(3,0)A -代入得20(2)4m =---+， 解得34m =-，40m =(舍去)， 故m 的值为2或4-；(3)()()111431341333222ABP APD AOB PDOB S S S S ∆∆∆=+-=⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯=梯形，26ABQ ABP S S ∆∆∴==，设点Q 的坐标为2(,23)a a a --+， 分两种情况：①如图1，当Q 在对称轴的左侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，21(323)(3)62ABQ S a a a a a ∆∴=+++--++=，解得：14a =-，21a =(舍)， (4,5)Q ∴--；②如图2，当Q 在对称的右侧，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，过点Q 作//QE y 轴交直线AB 于E ，同理可得1a =， (1,0)Q ∴，综上，点Q 的坐标为(4,5)--或(1,0)．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点B 或点A 时，抛物线与PBA ∆有且只有一个公共点是解题的关键．6．如图，抛物线24(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ． (1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，若35PBC ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--，即44a -=，解得1a =-，可得结论．(2)过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，则5CN =，由35PBC ABC S S ∆∆=知335CM CN ==，故点(0,7)M ，进而求解．(3)由题意得出三角形BOC 为等腰直角三角形，然后分MN EM =，MN NE =，NE EM =三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解答】解：(1)设抛物线的表达式为212()()(1)(4)(34)y a x x x x a x x a x x =--=+-=--， 即44a -=，解得1a =-，故抛物线的表达式为234y x x =-++①；(2)由抛物线的表达式知，点(0,4)C ，如图，过点P 、A 分别作直线m 、n ，使两条直线均与BC 平行，设直线m 、n 分别交y 轴于点M 、(0,1)N -，则5CN =， 由35PBC ABC S S ∆∆=，ABC BCM S S ∆∆=，PBC CMB S S ∆∆=， 35BCM BCN S S ∆∆∴=， 335CM CN ∴==， 故点(0,7)M -，由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为4y x =-+， 而//m BC ，则直线m 的表达式为7y x =-+②， 联立①②并解得1x =或3， 故点P 的坐标为(1,6)或(3,4)．(3)(0,4)C ，(4,0)B ，90COB ∠=︒， OBC ∴∆为等腰直角三角形， 抛物线234y x x =-++的对称轴为32x =， ∴点E 的横坐标为32， 又点E 在直线BC 上， ∴点E 的纵坐标为52，3(2E ∴，5)2， 设3(2M ，)(m N n ，234)n n -++， ①如图2中，当MN EM =，90EMN ∠=︒，由~NME COB ∆∆，则2532234m n m n n ⎧-=-⎪⎨⎪=-++⎩，解得34n m =⎧⎨=⎩或10n m =-⎧⎨=⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2，4)，②当ME EN =，当90MEN ∠=︒时，则253225342m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 解得：515315m n ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或515315m n ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩(舍去)， ∴此时点M 的坐标为3(2515)+．③当MN EN =，90MNE ∠=︒时， 此时MNE ∆与COB ∆相似，此时的点M 与点E 关于①的结果3(2，4)对称， 设3(2M ，)m ， 则5442m -=-， 解得112m =， 3(2M ∴，11)2， 此时点M 的坐标为3(2，11)2．故在射线ED 上存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与OBC ∆相似，点M 的坐标为：3(2，4)，3(2515+或3(2，11)2． 【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．。

求线段的比的方法一、利用相似三角形求线段比例题1、 如图，在正三角形ABC 的边BC 、CA 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ,)(b a b FA EC >==,当BF 平分AE 时，则ba 的值为（225)(215)(225)(215)(++--D C B A在题目现有的条件中，很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比，能否构造相似三角形，利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线.容易知道，题目中的点D 是线段AE 的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识，由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D 作EC 的平行线交AC 于点M,此时DM 是AEC ∆的中位线.这时图中有两对相似三角形：FBC FDM AEC ADM ∆∆∆∆∽,∽，利用前一对相似三角形很容易得到b a b a a MC FC FM b EC DM 2121)(21,2121-=+-=-===,而在第二对相似三角形中，FCFMBC DM =，代入相关数据整理得到022=--b ab a ，解得215+=b a . 类似地，以AC 为第三边构造相似三角形的中位线：过D 作AC 的平行线交EC 于点M,同样出现两对相似三角形，思路同上.另一方面，也可以构造以线段DF 为中位线的三角形.方法：过点E 作EM//DF 交AC 于点M.这三种添加辅助线的方法共同点是：过某个点作某个线段的平行线，从而出现两对相似三角形，并且在某个三角形中含有中位线，具备特殊的数量关系.猜想：是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线，都可以解决这个问题？ 考虑到做平行线后要出现两对相似三角形（全等是特殊的相似），而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题，经过筛选，最后得到如下作辅助线的方法（都是平行线）.方法说明：相对于前七种方法，方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段（ＡＦ或ＢＥ）的转移，而这条线段正好出现在相似三角形中，这就为表示相似比提供了方便.总结：这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系.如图１，三角形ABC，点D是射线BA上的一个动点，过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有：（1）,∽ABCADE∆∆即BCEDACAEABAD==；（2）特殊地，若点D是AB的中点，则点E是AC的中点，即DE是三角形ABC 的中位线，此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE.（3）若点D在线段BA的延长线上，并且有DA=AB,此时ADEABC∆≅∆.基本图1二、面积法解：（面积法）如图，连接CD.EBDABDSSDEAD∆∆=∴=,abSSSSabFCAFCDFADFBCFABF==∴=∆∆∆∆,由等比性质可得a b S S S S CDF BCF ADF ABF =--∆∆∆∆， 即abS S BCD ABD =∆∆ （1）又b a a S S BCD BDE +=∆∆即.ba a S S BCD ABD +=∆∆ （2） 由（1）（2）可得：整理得：022=--b ab a 结合b a > 解得215+=b a 总结：这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下.如图基本图2，三角形ABC ，点D 是BC 边上的一个动点，设BD=b,CD=c.基本图2 则（1）cbS S ACD ABD =∆∆ （2）特殊地，当点D 是BC 的中点时，有ACD ABD S S ∆∆=.练习题：一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则为（ ）A ． 1：5B ． 1：4C ． 1：3D ． 1：22．如图，已知△ABC ，，，AD 、BE 交于F ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．ba aa b +=AB3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=_________．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于_________．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=_________；若，则=_________．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为_________．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是_________，的值是_________，从而确定的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是_________．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是_________．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=_________时，O为AF中点．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=_________；若DC=nDF，则=_________（用含n的式子表示）．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：_________；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．20．2012.惠安县如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，（1）若，求的值．（2）若P为BC边上的任意一点，求证：．21．（2013•浦东新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22．如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD 交直线BC于点G．（1）求证：△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，求CG：BC的值；（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．23．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：．（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．24．（2010•武昌区模拟）已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果，直接写出的值．25．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．（1）如图1，当m=2，n=1时，=_________，=_________；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式_________时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）26．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．请解决下列问题：已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．（1）求证：；（2）求证：••=1．27．已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．（1）当n=4时，则=_________，=_________；（2）当n=2时，求证：BF=AF；（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=_________时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n= _________时，A为BF的中点．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD 于F，交AB于E．（1）若n=1，则=_________．=_________．（2）若n=2，求的值．（3）当n=_________时，=．29．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C 作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若，且AC=10，求FC的值．30．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．（1）如图1，连接AC，求证：AC是∠BCD的角平分线；（2）线段BC上一点E，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M．①如图2，当点M与点D重合时，求证：FM=AB；②如图3，当点M不与点D重合时，求证：FM﹣DM=AB．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．2．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．分析：先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AC交BE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相乘即可．解答：解：作EG∥BC交AD于G，∵，，∴=，∴=，∴=，∴=．作DH∥AC交BE于H，则DH=CE=AE，∴==，∴=×=．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF 可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解．解答：解：设BC=6a，则BD=DE=EC=2a，作FM∥BC交AE于点M，∵F是AC的中点，∴MF=EC=a，∵FM∥BC，∴△BEH∽△FMH，∴===，则HF=BF，作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b，∴△BDN∽△BCF，∴====，∴DN=CF=b，BN=BF，∵DN∥AC，∴△DNG∽△AFG，∴===，∴NG=GF，即NG=NF=（BF﹣BN）=（BF﹣BF）=BF，∴BG=GF+GF=BF，∴GM=BF﹣BG﹣HF=BF﹣BF﹣BF=BF，∴BG：GH：HF=BF：BF：BF=5：3：2．故选C．点评：本题考查了三角形的形似的判定与性质，正确利用相似三角形的性质，利用BF把BG，GM，HF表示出来是关键．二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=．考点：平行线分线段成比例．分析：先过D作DG∥AC，根据已知得出=，再设EG=x，则EF=2x，GF=3x，再根据=，求出BG和BE的值，即可得出的值．解答：解：过D作DG∥AC交BF于G，∵，∴=，设EG=x，则EF=2x，GF=3x，∵=，∴=，∴BG=1.5x，∴BE=2.5x，∴==；故答案为：．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出辅助线，表示出BE，EF的长．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：过E作AB的平行线交CF于M点，则EM是△AFC的中位线，M是中点，利用AAS 求证△BFG≌△EMG然后得EM=BF，所以BG=GE，G是BE的中点，而D是BC 的中点，所以DG是△BEC的中位线，然后即可得出答案．解答：解：过E作AB的平行线交CF于M点，∴EM是△AFC的中位线，M是中点，∴EM=AF=BF，∴△BFG≌△ENG，∴BG=GE，即G是BE的中点，又∵BD=DC，∴DG是△BEC的中位线，∴DG=CE=BD=BC．故答案为：点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解得此题的关键是作“过E作AB的平行线交CF于M点”这一辅助线，然后求证出DG是△BEC的中位线，这是此题的突破点．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=1：6；若，则=1：2n．考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：可过点D作GD∥EC交AB于G，由中位线定理可得BG=GE，进而可得AE与BE 的比值，当其比值为时，亦可得出结论．解答：解：过点D作GD∥EC交AB于G，∵点D是BC的中点，∴==1，即BG=GE，又∵GD∥EC，∴==，∴=．同理，当，则=．故答案为：，．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为4：3．考点：直角梯形；旋转的性质．专题：证明题．分析：由旋转的性质易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，则∠ECM=∠FDC；则可证得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．解答：解：连接DF，∵△BEC绕C点旋转90°使B与DC重合，得到△DCF，∴△BEC≌△DFC，∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，在直角三角形BEC中，BE==4；已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，∴∠EBC=∠ECM②，∴由①②得∠ECM=∠FDC；又∵∠CME=∠DMF，∴△CME∽△DMF，∴DM：MC=DF：CE=4：3．故答案为：4：3．点评：本题考查了旋转的性质，直角梯形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，是一道综合性的中档题．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）作辅助线：连接AD，利用等腰三角形中的三线合一，即可证得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，证得∠5=∠4，则可得△BDE≌△ADF，则AF=BE；（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．解答：（1）结论：AF=BE．证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．∴∠3+∠5=90°．∵∠3+∠4=90°，∴∠5=∠4，∵BD=AD，∴△BDE≌△ADF．∴BE=AF．（2）根据（1）可得BE=AF，所以AB﹣BE=AC﹣AF，即AE=FC，∵∠BAC=90°，∴EF2=AF2+AE2，∴EF2=BE2+FC2．（3）（1）中的结论BE=AF不成立∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠5=∠4．∴△BDE∽△ADF．∴．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是3，的值是2，从而确定的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是ab．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．考点：相似形综合题．分析：（1）过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）先作EH∥AB交BG于点H，得出△EFH∽△AFB，即可得出==m，再根据AB=CD，表示出CD，根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG，即可表示出=，从而得出的值；（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，得出EH∥AB∥CD，根据EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根据，得出AB=aCD=abEH，再进一步证出△ABF∽△EHF，从而得出的值．解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△HEF，∴=，∴AB=3EH．∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH，∴===．故答案为：3，2，．（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，∴==m，∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==b，∴CD=bEH．又=a，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===ab；故答案为：ab．点评：此题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；（2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出的值．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴=，∵AD=2cm，AB=8cm，∴=；（2）∵EF∥DC，∴==，解得AF=3cm，∴=．点评：考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC，∴=．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴=．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=时，O为AF中点．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得，，根据比例的性质，即可求得的值；（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．解答：解：（1）连接DE交AF于K，∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1；（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，∴O是△ABC的重心，∴AF是△ABC的中线，∴BF=CF；（3）∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1，∴当n=时，O为AF中点．故答案为：．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=；若DC=nDF，则=（用含n的式子表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：综合题；探究型．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF 即可；可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；（2）方法同（1）．解答：解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2 x，∴；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x，∴．故答案为：；．点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：AF+EF=2AB；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．考点：相似形综合题．分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB；（2）当k=2时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）当时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：如图1，延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，在△ABD与△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB=GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=AB；（2）解：如图2，延长AD、EF交于点G，当k=2时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==2，即GE=2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=2AB；（3）猜想：AE+EF=kAB．证明：如图3，延长AD、EF交于点G，当=k时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==k，即GE=kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=kAB．点评：本题考查的是相似三角形综合题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质求解是解答此题的关键．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出，从而得出结论；解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．∵DE=CH，∴AD﹣DE=CD﹣CH，即AE=DH．∵在△ABE和△DAH中，∴△ABE≌△DAH（SAS），∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，∵∠DAH+∠AHD=90°，∴∠DAH+∠AEB=90°．∴∠AFE=90°∴AH⊥BE．∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴GM=EN．在△ENF和△GMH中，，∴△ENF≌△GMH，∴EF=GH，∴=1；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∴△ENF∽△GMH，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵EN⊥BC，GM⊥CD，∴EN=AB=a，GM=AD=b，∴．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：延长FE交CB的延长线于H，如图所示，则再由线段成比例即可证明结论．解答：解：如图所示，延长FE交CB的延长线于H，在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH（ASA），∴AF=BH，∵AD∥BC，∴=，又∵2AF=FD，∴=，∴==．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及线段的比例问题，应能够熟练掌握．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD∴又∵，AB=4∴∴．点评：此题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°，=；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°，=，所以∠PAC=∠QAD，=，于是可判断△ACP∽△ADQ；（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP=a，AC=2a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出=；（3）由（2）的结论得PE=a，而PQ=AP=a，则EQ=PQ﹣PE=a，再利用（1）的结论得到=，可计算得到DQ=a，然后求EQ与DQ的比值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，=，∵△APQ为等腰直角三角形，∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，=，∴∠PAC=∠QAD，=，∴△ACP∽△ADQ；（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，∴AP===a，AC=2a，∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，∴△APE∽△ACP，∴===；（3）证明：∵PC=a，=，∴PE=a，∵PQ=AP=a，∴EQ=PQ﹣PE=a，又∵△ACP∽△ADQ，∴=，即=，∴DQ=a，∴==，∴EQ=DQ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；（2）当=，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，∴∠PAB+∠APB=90°．∵∠APE=90°，∴∠EPC+∠APB=90°．∴∠PAB=∠EPC．∴△ABP∽△PCF．（2）。