高等数学下-复习资料共25页

高等数学下册复习资料高等数学下册是一门重要的大学数学课程，也是有挑战性的一门课程。

学生们需要透彻地掌握这门课程的基本概念、理论和实际应用，才能够为以后的学习和工作做好充分的准备。

因此，复习高等数学下册是非常必要的。

一、复习重点1.微分方程微分方程是高等数学下册中比较难理解和掌握的知识点之一。

在这个部分中，学生们需要掌握常微分方程及其解法、初始值问题、高阶微分方程、齐次方程和非齐次方程等。

2.多元函数微积分学多元函数微积分学是高等数学下册的另一个难点，包括多重积分、曲线积分、曲面积分、矢量场的线积分和面积分等。

3.线性代数线性代数是高等数学下册另一个重要的知识点。

这个部分需要学生们掌握线性空间、矩阵、行列式和特征值及其应用、线性方程组及其应用等。

二、复习方法1.理解基本概念和理论高等数学下册有很多基本的概念和理论，这些知识点是这门课程的基础。

学生们需要花费足够的时间来学习和理解这些概念和理论，从而能够透彻地掌握整个课程。

2.做题巩固知识点在学习中，做题是非常重要的一部分。

学生们需要选择一些代表性和难度适当的例题和习题来练习，从而加深对知识点的理解和掌握。

同时，做题也可以帮助学生们检查自己的学习效果。

3.查阅资料和参考书籍在复习过程中，学生们可以查阅相关资料和参考书籍，例如高等数学下册的教材、辅读书和网上资料等。

通过阅读和学习这些资料，学生们可以更深入地了解和掌握相关知识点。

4.参加辅导课和讨论小组参加辅导课和讨论小组，可以让学生们更好地交流和学习。

在这个过程中，学生们可以和老师和同学们一起讨论和解决问题，不断提高自己的学习能力。

三、总结复习高等数学下册需要花费足够的时间和精力，但是这个过程是非常重要的。

通过理解基本概念和理论、做题巩固知识点、查阅资料和参考书籍、参加辅导课和讨论小组等方法，学生们可以逐渐掌握高等数学下册的知识点，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

高等数学（下）第八章 多元函数微分法及其应用一、基本概念 1．多元函数（1）知道多元函数的定义n 元函数：),,,(21n x x x f y =（2）会求二元函数的定义域1°：分母不为0； 2°：真数大于0；3°：开偶次方数不小于0；4°：u z arcsin =或u arccos 中||u ≤1 （3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限这里动点),(y x 是沿任意路线趋于定点),(00y x 的．（1） 理解二重极限的定义（2） 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3） 会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim 00P f P f P P =→．（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数（1）理解偏导数的定义（二元函数）（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系． （3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数（1）理解高阶偏导数的定义． （2）注意记号与求导顺序问题．（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22． 3．全微分（1）知道全微分的定义若),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示成)(ρo y B x A +∆⋅+∆⋅，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微；称y B x A ∆⋅+∆⋅为此函数在点),(00y x 处的全微分，记为y B x A dz ∆⋅+∆⋅=．（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：函数可微，偏导数必存在；（xzA ∂∂=，y z B ∂∂=；dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=） 偏导数存在，不一定可微（dz z -∆是否为)(ρo ）． 偏导数连续，全微分必存在．（3）求方向导数、梯度．三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则 （1）xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形若0),(=y x F 确定了)(x y y =，则yx F F dx dy-=； 若0),,(=z y x F 确定了),(y x z z =，则z x F F x z-=∂∂，zy F F y z -=∂∂． （2）方程组的情形若⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 能确定⎩⎨⎧==)()(x z z x y y ，则由可解出dx dy 与dxdz ； 若⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定了),(y x u u =，),(y x v v =，像上边一样，可以求出x u ∂∂，x v∂∂及y u ∂∂，yv∂∂． 四、多元函数微分法的应用 1．几何应用（1）空间曲线的切线与法平面方程1°：曲线Γ：)(t x ϕ=，)(t y ψ=，)(t z ω=，0t t =时，Γ上相应点),,(000z y x 处的切线方程：)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 法平面方程：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ2°：曲线Γ：⎩⎨⎧==)()(x z x y ψϕ，则点),,(000z y x 处的切线方程：000001()()x x y y z z x x φψ---=='' 法平面方程：00000()()()()()0x x x y y x z z φψ''-+-+-=3°：曲线Γ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，则点),,(000z y x P 处的切线方程为法平面方程：0)()()(000=-⋅+-⋅+-⋅z z G G F F y y G G F F x x G G F F Pyx yx Px zxz Pzy z y （2）空间曲面的切平面与法线方程1°：曲面∑：0),,(=z y x F ，点),,(000z y x 处的切平面方程为： 法线方程：zy x F z z F y y F x x 000-=-=- 2°：曲面∑：),(y x f z =，在点),,(000z y x 处的切平面方程为：)(),()(),(0000000y y y x f x x y x f z z y x -⋅+-⋅=-法线方程为：100--=-=-z z f y y f x x y x 2．极值应用（1）求一个多元函数的极值（如),(y x f z =）：先用必要条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz，求出全部驻点，再用充分条件求出驻点处的xx z ，yy z 与xyz ；02>-B AC ，0<A 时有极大值，0>A 时有极小值； 02<-B AC 时无极值．（2）求最值1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值求一个多元函数在一个或m 个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．如：),,(z y x f u =在条件0),,(1=z y x ϕ与0),,(2=z y x ϕ下的极值时，取解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0000021ϕϕz y x F F F ，求出x ，y ，z则),,(z y x 就是可能的极值点；再依具体问题就可判定),,(z y x 为极大（或极小）值点．第九章 重积分一、 二重积分 1． 定义：∑⎰⎰=∞→→∆⋅=ni iiin Df d y x f 1)(0),(lim ),(σηξσλ2． 几何意义：当),(y x f ≥0时，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以曲面),(y x f z =为顶，以D 为底的曲顶柱体体积．物理意义：以),(y x f 为密度的平面薄片D 的质量． 3． 性质1°：⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(2°：⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f σσσ),(),()],(),([3°：若21D D D +=，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ4°：1),(≡y x f 时，D Dd y x f σσ=⎰⎰),(5°：若在D 上),(y x ϕ≥),(y x ψ，则⎰⎰Dd y x σϕ),(≥⎰⎰Dd y x σψ),(⇒⎰⎰Dd y x f σ),(≥(,)Df x y d σ⎰⎰6°：若),(y x f 在闭区域D 上连续，且m ≤),(y x f ≤M ，则D m σ⋅≤⎰⎰Dd y x f σ),(≤D M σ⋅7°：（中值定理）若),(y x f 在闭区域D 上连续，则必有点D ∈),(ηξ，使 4． 二重积分的计算法D 极点在内（1）在直角坐标系中1°：若积分区域D 为-X 型区域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x b x a ϕϕ 则化为先y 后x 的二次积分：⎰⎰⎰⎰=bax x Ddyy x f dx dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ2°：若积分区域D 为-Y 型区域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 则化为先x 后y 的二次积分：（2）在极坐标系中)sin ,cos (),(θθr r f y x f =,θσrdrd d =1°：极点在D 外：D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21θϕθϕβθαr 则有2°：极点在D 的边界上：D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤)(0θϕβθαr 则有3°：极点在D 内：D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤)(020θϕπθr 则有在计算二重积分时要注意：1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有22y x +或两个积分变量之比xy、y x 时，一般可选择极坐标系． 2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）．3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D 关于x 轴（或y 轴）对称时，应配合被积函数对于y （或x ）的奇偶性． 4°：若)()(),(21y f x f y x f ⋅=，积分区域D :⎩⎨⎧≤≤≤≤dy c bx a ,则二重积分可化为两个定积分的乘积． 二、 三重积分 1． 定义：∑⎰⎰⎰=∞→→Ω∆⋅=ni iiiin vf dv z y x f 1)(0),,(lim ),,(ςηξλ2． 物理意义：以),,(z y x f 为密度的空间体Ω的质量． 3． 性质（与二重积分类同）． 4． 三重积分的计算法 （1）在直角坐标系中 1°：若Ω为：⎩⎨⎧≤≤∈),(),(),(21y x z z y x z D y x xy此处xy D 为Ω在xOy 面上的投影，),(1y x z z =与),(2y x z z =分别为Ω的下界面和上界面方程，则2°：若Ω为：⎩⎨⎧∈≤≤0),,(0201z D z y x C z C此处0z D 为用平面0z z =截Ω则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(C C D z z y x f dz dxdydz z y x f （2）在柱面坐标系下若Ω为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),()()(2121θθθϕθϕβθαr z z r z r ，则（3）在球面坐标系中若Ω为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤),(),(212121ϕθρϕθρβϕβαθαz ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121),(),(2sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(ααϕθρϕθρββρϕρϕρθϕρθϕρϕθd f d d dxdydz z y x f注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4°：若Ω是长方体：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤f z e d y c b x a ，而)()()(),,(321z f y f x f z y x f ⋅⋅=，则三重积分化为三个定积分的乘积． 三、 重积分的应用 1． 几何应用（1） 求面积：⎰⎰=DD d σσ（2） 求体积：⎰⎰Dd y x f σ),(，⎰⎰⎰Ωdv（3） 求曲面面积：若∑：),(y x f z =，∑在xOy 面上的投影为xy D ，则∑的面积为：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xyD dxdy y z x z A 221 2． 物理应用（1） 求质量：⎰⎰=Dd y x m σμ),(；⎰⎰⎰Ω=dv z y x m ),,(μ（2） 求重心：⎰⎰=D d y x x m x σμ),(1；⎰⎰=Dd y x y m y σμ),(1在均匀情况下，重心公式可变形为：⎰⎰=DDxd x σσ1；⎰⎰=DDyd y σσ1同理，可得到空间体Ω的重心坐标．（3） 求转动惯量：⎰⎰=Dx d y x y J σμ),(2；⎰⎰=Dy d y x x J σμ),(2；y x o J J J +=同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．第十章 曲线积分与曲面积分一、曲线积分 1．定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∑⎰=→∆⋅=ni iiiLs f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ（∑⎰=→∆⋅=ni iiiiLs f ds z y x f 1),,(lim ),,(ςηξλ）物理意义：曲线的质量．（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质： （1）⎰⎰⎰+=21L L L（21L L L +=）（2）第一类：⎰⎰-+=L L ds y x f ds y x f ),(),(第二类：⎰⎰-+-=L L（3）两类曲线积分的联系其中αcos ，βcos 是曲线上点),(y x 处切线的方向余弦． （⎰⎰++=++LLds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα）3．计算法（化线积分为定积分）L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，α≤t ≤β，则 注意：L 为)(x f y =时，取L 为⎩⎨⎧==)(x f y xx ，a ≤x ≤b4．格林公式及其应用 （1）格林公式：⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+D Ldxdy y P x Q Qdy Pdx注意：1°：P ，Q 在D 上具有一阶连续偏导数；2°：L 是单连域D 的正向边界曲线；3°：若D 为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．（2）平面上曲线积分与路径无关的条件设P ，Q 在单连域G 内有一阶连续偏导数，A ，B 为G 内任意两点，则以下四个命题等价：1°：⎰+ABL Qdy Pdx 与路径L 无关；2°：对于G 内任意闭曲线C 有0=+⎰CQdy Pdx ； 3°：在G 内，Qdy Pdx +为某函数),(y x u 的全微分；4°：yPx Q ∂∂=∂∂在G 内处处成立．（3°中有：⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ）二、曲面积分 1．定义：（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 物理意义：曲面∑的质量。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

第五章 向量与解析几何c a b =+ 0a ≠，则x z aaa==，，222cos A C A θ=+⋅0(z F x 或第六章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念 1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数：(,)z f x y =，图形. 3、 极限：00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=4、 连续：0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=5、 偏导数：0000000( ,)( ,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)(,)lim y y f x y y f x y f x y y ∆→+∆-=∆6、 方向导数：cos cos f f fl x yαβ∂∂∂=+∂∂∂其中,αβ为l 的方向角。

7、 梯度：(,)z f x y =，则000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+。

8、全微分：设(,)z f x y =，则d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）zuvwxxyy（三） 应用 1、 极值1）无条件极值：求函数(,)z f x y =的极值解方程组 0x y f f =⎧⎨=⎩ 求出所有驻点，对于每一个驻点00(,)x y ，令00(,)xx A f x y =，00(,)xy B f x y =，00(,)yy C f x y =，① 若20AC B ->，0A >，函数有极小值， 若20AC B ->，0A <，函数有极大值； ② 若20AC B -<，函数没有极值； ③ 若20AC B -=，不定。

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章 空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 5）椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x6）抛物柱面：ay x =2 （二） 平面及其方程 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，⇔∏//L 0=++Cp Bn Am ；⇔∏⊥L pC nB mA ==第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续：),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→2、偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim),(0000000 ；y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(00000003、方向导数：βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角。

（完整word版）高等数学复习资料大全《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 22=?>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-?x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.??=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=13.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。