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《概率论与数理统计》第三版,科学出版社_课后习题答案.,

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《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

1
3
。 P( A2) 1
1
9
16
8 16 16
1.12
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为
36。 .出现点数和为
“3”对应两个基本事件 （ 1， 2），（ 2， 1）。故前后两次出现的点数之和为
3 的概率为 1 。 18
同理可以求得前后两次出现的点数之和为
4， 5 的概率各是 1 , 1 。 12 9
(8) 在长为 l 的线段上任取一点 , 该点将线段分成两段 , 观察两线段的长度 . 解： 8 x, y x 0, y 0, x y l ；
1.2
(1) A 与 B 都发生 , 但 C 不发生 ; ABC ； (2) A 发生 , 且 B 与 C 至少有一个发生 ; A(B C ) ； (3) A,B,C 中至少有一个发生 ; A B C ；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温 (假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2);
解：用 x 表示最低气温 , y 表示最高气温 ;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
6 x, y T 1 x y T2 ；
(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;
解： 7 x 0 x 2 ；
有 C52 10 种，故所求概率为 1 。 12
1.14
解：分别用 A1, A2, A3 表示事件：
(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球 .则
P( A1)
C
2 8
C122
28 66
14 , P ( A2)
33
C
2 4
C122
6 66
1

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。

《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案.-

《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案.-

习题一：1.1 写出以下随机试验的样本空间：(1) 某篮球运发动投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，那么()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《概率论与数理统计》第三版王松桂科学课后习题答案

《概率论与数理统计》第三版王松桂科学课后习题答案

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案

《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。

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1.50 −1.5 −1.5 e =e 0!
λ)=P(0.5×4)= P(2) P(λ （2）X～P(
P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{X = 1} = 1 −
20 −2 21 −2 e − e = 1 − 3e −2 0! 1!
2.9 解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为
12 32 3 − = 19 95 95
2.7 解： (1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数， 则 X~B(4,0.4)
P( X ≥ 3) = P( X = 3) + P( X = 4) = C 40.430.61 + C 40.44 0.60 = 0.1792
3 4
(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~B(5,0.4)
2.17 解：(1) P( X ≤ 105) = Φ(105 − 110 ) = Φ(−0.42) = 1 − Φ(0.42)
12
= 1 − 0.6628 = 0.3372
(2) P(100 ≤ X ≤ 120) = Φ(120 − 110 ) − Φ(100 − 110 )
12 12 = Φ(0.83) − Φ (−0.83) = 2Φ (0.83) − 1 = 2 × 0.7967 − 1 = 0.5934
第二章 随机变量 2.1 X 2 P 1/3 6 3 1/1 8 4 1/1 2 5 1/ 9 6 5/3 6 7 1/ 6 8 5/3 6 9 1/ 9 10 1/1 2 11 1/1 8 12 1/3 6
−1 ∞ ∞ 2.2 解：根据 ∑ P( X = k ) = 1 ，得 ∑ ae −k = 1 ，即 ae −1 = 1 。
15 15
5
1 1 1 1 2.5 解：（1）P{X=2,4,6,…}= 2 + 4 + 6 + L 2 k 2 2 2 2
1 1 [1 − ( ) k ] 4 4 =1 = klim →∞ 1 3 1− 4 1 2 1 4 1 4
（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}= 1 − − =
−
1 2
−
1 2
−e )
−
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
2.16 解：设每人每次打电话的时间为 X，X~E(0.5)，则一个人打 电话超过 10 分钟的概率为
P( X > 10) = ∫ 0.5e −0.5 x dx = −e − 0.5 x
10 +∞ +∞ 10
= e −5
又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 Y，则
当 x ≥ 2 时， F ( x) = P{ X = −1} + P{X = 1} + P{X = 2} = 0.8 + P{X = 2} = 1
P{ X = 2} = 1 − 0.8 = 0.2
X P （2 ）
-1 0.3
1 0.5
2 0.2
P{Y = 1} = P{ X = −1} + P{X = 1} = 0.3 + 0.5 = 0.8 P{Y = 2} = P{X = 2} = 0.2
Y
qi
1 0.8
2
2 0.2
x − 2.22Q X ~ N (0,1) ∴ f X ( x) = 1 e 2 2π
（1）设 FY(y)， fY ( y) 分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函 数，则
y +1 y +1 1 − x2 FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{2 X − 1 ≤ y} = P{ X ≤ }= ∫ 2 e dx −∞ 2 2π
1 1 1 3 300 − − x 300 − − （3） P{100 ≤ X ≤ 300} = ∫100 1 e 200 dx = e 200 |100 = e 2 − e 2
200
P{ X ≤ 100,100 ≤ X ≤ 300} = P{X ≤ 100}P{100 ≤ X ≤ 300} = (1 − e )(e
2 2 2 2 2 2
0
0
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
2
2
0
2
2
0
= 0.3124
(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=
C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6
P{0.8 < X ≤ 1} = ∫ 12 x(1 − x) 2 dx = (6 x 2 − 8 x 3 + 3 x 4 )| = 0.0272
0.8 0.8 1 1
（2 ） 假设该地区每天的用电量仅有 90 万千瓦时， 则该地区每天 供电量不足的概率为：
P{0.9 < X ≤ 1} = ∫ 12 x(1 − x) 2 dx = (6 x 2 − 8 x 3 + 3 x 4 )| = 0.0037
0.9 0.9 1 1
2.14 解:要使方程 x2 + 2 Kx + 2 K + 3 = 0 有实根则使
∆ = (2K ) − 4(2 K + 3) ≥ 0
2
解得 K 的取值范围为 [−∞,−1] U [4,+∞] ,又随机变量 K~U(-2,4)则有实 根的概率为
p=
[−1 − (−2) + 4 − 3] 1 = 4 − (−2) 3
k =0
k =0
1− e
故
a = e −1
2.3 解：用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=
C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6 + C 0.7 0.3 × C 0.4 0.6
2.18 解：设车门的最低高度应为 a 厘米，X~N(170,62)
P{ X ≥ a} = 1 − P{ X ≤ a} ≤ 0.01 a − 170 P{ X ≤ a} = Φ( ) ≥ 0.99 6 a − 170 = 2.33 6
a ≈ 184 厘米
2.19 解：X 的可能取值为 1,2,3。 因为 P( X = 1) =
P ( X ≥ 3) = P( X = 3) + P( X = 4) + P ( X = 5) = C 50.430.62 + C 5 0.44 0.61 + C 50.450.60 = 0.31744
3 4 5
λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 2.8 （1）X～P( P(λ
P{ X = 0} =
X，则 X ~ B(180,0.01) 。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即
P( X ≤ m) ≥ 0.99 ，也即 P( X ≥ m + 1) ≤ 0.01
因为 n=180 较大，p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为
λ = 180 × 0.01 = 1.8 的泊松分布。
2 2 2 2 2 2
1
1
1
0
0
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
1
1
1
= 0.5628 5
2.4 解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}= 1 + 2 + 3 = 2
15 15 15
P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}= 1 + 2 = 1 (2) (2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+
C 42 6 = = 0.6 ； 3 C 5 10 P( X = 3) =
1 1 = = 0.1 ； 3 C 5 10
P ( X = 2 ) = 1 − 0 .6 − 0 .1 = 0 .3
所以 X 的分布律为
X
1
2
3
P X 的分布函数为
0.6
0.3
0.1
x <1 ⎧ 0 ⎪ 0.6 1 ≤ x < 2 ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪0.9 2 ≤ x < 3 ⎪ ⎩ 1 x≥3
Y ~ B(282, e −5 ) 。
因为 n=282 较大，p 较小， 所以 Y 近似服从参数为 λ = 282 × e −5 ≈ 1.9 的泊松分布。 所求的概率为
P(Y ≥ 2) = 1 − P(Y = 0) − P(Y = 1)
= 1 − e −1.9 − 1.9e −1.9 = 1 − 2.9e −1.9 = 0.56625
2.20(1)
π P{Y = 0} = P{ X = } = 0.2 2 2 P{Y = π } = P{ X = 0} + P{X = π } = 0.3 + 0.4 = 0.7 3π P{Y = 4π 2 } = P{ X = } = 0.1 2
Y
qi
0 0.2
π2
4π 2 0.1
0.7
(2)
P{Y = −1} = P{X = 0} + P{X = π } = 0.3 + 0.4 = 0.7 π 3π P{Y = 1} = P{X = } + P{X = } = 0.2 + 0.1 = 0.3 2 2