数理逻辑 第二章 算法、整数和矩阵 整数和除法
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数字逻辑———第二章逻辑代数基础
A BC A BC
A BC A BC
ABC ABC
ABC ABC
最小项(续)
对任意最小项，只有一组变量取值使它的值 为1，其他取值使该最小项为0 为方便起见，将最小项表示为mi n=3的8个最小项为：
m0 ABC m ABC m ABC m ABC 1 2 3 m ABC m ABC m ABC m ABC 4 5 6 7
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 （重点）
2.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布 尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数， 开关代数。 逻辑值：0或1。 逻辑变量：用字母表示，取值为逻辑值。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=1
最小项(续)
任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之 和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包 含在F的反函数中 例：F AB BC ABC
AB(C C ) ( A A) BC ABC ABC ABC ABC ABC m3 m2 m7 m4 m(2,3,4,7)
A、B是输入，F是输出
1+0=1
A +U B
1+1=1
A 0 1 0 1
B 0 0 1 1
F 0 1 1 1
F
逻辑代数的基本运算（续）
数字电路课程课件：第2章 逻辑代数基础
德·摩根定理 (反演律)
( A B) A B ( A B) A B
还原律
( A) A
证明方法：推演 真值表
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
公式
0A=0 1A = A AA=A A A′= 0 AB=BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C (A B) ′ = A′ + B′ (A ′) ′ = A
1 ABC
1 ABC
0
Y A'BC AB'C ABC'
从逻辑函数式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式, 求出函数值，列成表。
解： A B C Y
[例]：已知逻辑函数表达式：
000 1
001 1
Y A BC ABC
A 0 1 0 1
011 1
求它对应的真值表。
100 0
则得到的结果就是 Y 的反。
注意： Δ 遵守“括号、乘、加”的运算优先次序。 （即保持运算顺序与原式相同） Δ 不属于单个变量上的反号应保留不变。
若 Y A B (B C D)
则 Y A B (B C) D
若 Y (( AB C ) D) C 则 Y ((( A B) C) D) C
或非逻辑真值表
AB
Y
00
1
01
0
10
0
11
0
或非逻辑表达式：
Y (A B)
图形符号：
3.与或非(AND-NOR) 图形符号：
与或非逻辑真值表
与或非逻辑表达式：
Y ( AB CD)
4.异或(XOR)
两输入变量A、B不同时，输出Y为 1。
离散数学之数理逻辑2
离散数学之数理逻辑2第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
(2021年整理)数字逻辑第二章
（完整）数字逻辑第二章编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）数字逻辑第二章）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数字逻辑第二章的全部内容。
第二章逻辑代数基础1 : 下列等式不正确的是（）A：1+A=1B:1•A=AC:A+A´=1D：(A+B)´=A´+B´您选择的答案: 正确答案： D知识点:(A+B)´=A´•B´—-——-—-———-—--———————---——--—--——---------———-—--——-—---———-—————-———-----——2 : 已知Y=A+AB´+A´B,下列结果中正确的是(）A：Y=AB:Y=BC:Y=A+BD：Y=A´+B´您选择的答案: 正确答案： C知识点：利用公式A+AB´=A和A+A´B=A+B进行化简—---—————-—--——----—--——--——-———-——-—-—-——-——--—-—---—-——--—--————--—--—--——3 : 下列等式不正确的是( )A:(ABC）´=A´+B´+C´B：（A+B）(A+C)=A+BCC： A（A+B)´=A+B´D:AB+A´C+BC=AB+A´ C您选择的答案：正确答案： C知识点：A(A+B)´=0-——-—---———-——-—--———-———---————-—-——---——--——-—--——--————————————-—-——--—-—4 ：下列等式正确的是（）A:A+AB+B=A+BB:AB+AB´=A+BC:A（AB）´=A+B´D:A（A+B+C)´=B´C´您选择的答案：正确答案： A知识点：AB+AB´=A；A(AB)´=AB´;A(A+B+C）´=0-—-—-———-—-—--——-—-—---—--——--—--—--—-—-——-——--—-----—--—-—--—-—-——--——--—-—5 ：下列说法不正确的是（）A:逻辑代数有与、或、非三种基本运算B：任何一个复合逻辑都可以用与、或、非三种基本运算构成C:异或和同或与与、或、非运算无关D：同或和异或互为反运算您选择的答案：正确答案： C知识点:异或和同或也是由与、或、非三种基本运算构成的复合运算-—--—-——-————---—-————--————-——————--——-———----------—----—--—---—----—-—-—-6 ：下列说法不正确的是（）A:利用代入定理可将基本公式中的摩根定理推广为多变量的形式B：将逻辑式Y中的所有“• "和“+”互换，“0 ”和“1”互换，就可得到Y´C：摩根定理只是反演定理的一个特例D：将逻辑式Y中的所有“• ”和“+”互换,“0 ”和“1”互换，就可得到YD您选择的答案: 正确答案： B知识点：区分反逻辑式和对偶式的变换方法：将逻辑式Y中的所有“•”和“+”互换,“0 ”和“1"互换，可得到YD;将逻辑式Y中的所有“•”和“+”互换,“0 ”和“1”互换,原变量和反变量互换,可得到Y´。
数理逻辑-总结_
逻辑、数学、计算机科学z亚里士多德 z欧几里得 z莱布尼兹 z罗素 z图灵 z哥德尔 z赫布兰德 z塔尔斯基 z逻辑联结词与公式z 逻辑联结词{合取{析取{异或{蕴涵{等价{z 完全集与极小完全集{{{{z 结构归纳{递归定义、第二数学归纳法{结构归纳定义{结构归纳证明 符号化适当选择基本命题, 将自然语言语句表示为命题逻辑公式. 真值z 真值表 数理逻辑基本内容l l {\,[,Z }{\,> }{),?}{@}z公式的真值、唯一性 z 代入取值性质z 取值无关性质假设 与 是两个真值赋值, 若对 中出现的每个命题变元 , 都有则永真式z替换实例 z可满足式 z不可满足式、永假式、矛盾式 z 永真式、重言式等值演算基本规律z双重否定律 z排中律 z矛盾律 z假言移位 z幂等律 z交换率 z结合律 z分配律 z德摩根律 z吸收律 z同一律 z 零律等值证明对偶定理范式v(A p 1,l ,p n B 1,l ,B n )=v[p 1/v(B 1),l ,p n /v(B n )](A).v 1v 2A p v 1(p)=v 2(p),v 1(A)=v 2(A).z简单合取、简单析取 z合取范式、析取范式 z 主合取范式、主析取范式逻辑推论基本定义:基本性质:. (单调性) . (反证法) (三段论)(演绎定理), , , 归结法z 基本概念{文字{相反文字{子句{空子句{子句集合{可满足 > X A.D X A D ,D d X A!!!!!!!!!!!!!!!!!D ,\A X B 且D ,\A X\B D X A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A 且D X A > B D X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B D X A >B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A [B D X A !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A [B D X B!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A 且D X B D X A [B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X C 且D ,B X C D ,A Z B X C!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A D X A Z B !!!!!!!!!!!!!!!!!D X A D X B Z A!!!!!!!!!!!!!!!!!.D X A ?B 且D X A D X B !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D X A ?B 且D X B D X A!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.D ,A X B 且D ,B X A D X A ?B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.{归结子句 {反驳z 基本方法{删除一对相反文字{反证法 z 可靠性完备性及其证明公理系统z 基本概念{公理{规则{推演{证明 z 形式推演{{ 且 则{{z 基本性质{演绎定理{可靠性{完备性{紧致性 从命题逻辑到谓词逻辑z自然语言语句引起的悖论 z命题逻辑及难解问题 z纯粹基于命题逻辑语句表示某些事实是困难的 z 谓词逻辑语句更强表达能力项和公式z 一阶语言z结构归纳定义:项、公式z 结构归纳证明:项代入性质、公式代入性质 U p > p > U p > q > U p > (q > r )> U p > r U\p >(p > q )lz自由变元、约束变元 z 可代入符号化z 形式语言的语句表示基于自然语言描述的事实z 整数基本性质的符号化z 实数基本性质的符号化z 符号化一些基本点{仅可以使用给定符号表{公式是有限长字符串 解释和赋值z解释和赋值 z项的值、公式的值 z取值唯一性 z全称与存在在有限模型中的特性 z 两个重要定理{代入取值性质{取值无关性质 永真式z重言式是永真式 z 存在与全称的关系给定一阶语言 及它的一个公式 , 且 是变元. 则z全称规则给定一阶语言 , 假设 是 的公式, 是不同的变元, 是 的项, 对于 中的 是可代入的. 则其中代换 为 等值演算z等值替换 是永真的. 是永真式.L A x,y ^x ]yA >]y ^xA L A L x 1,l ,x n t 1,l ,t n L t 1,l ,t n A x 1,l ,x n ]x 1l]x n A > 5(A)5{x 1/t 1,l ,x n /t n }.给定一阶语言 及它的公式 , 假设 . 定义 是把 中 的某些出现替换为 得到的字符串.则z 量词转换给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 则z 约束换名给定一阶语言 , 假设 是变元, 是 的公式. 假设 不是 的自由变元, 且 对于 中的 是可代入的. 则z辖域更改给定一阶语言 , 假设 及 是变元, 及 是 的公式, 不是 的自由变元. 则这些用于将公式转换为前束范式. 范式公式形式转换z前束范式 z无存在量词的前束范式 z Skolem范式是一个公式,且 .....L A,B,C A E B D C A B D C E D L x A L \]xA E^x \A \^xA E]x \A L x,y A L y A y A x ^xA E^yA x y ]xA E]yA x y L x y A B L x B ]x(A Z B)E]xA Z B.]x(A [B)E]xA [B.]x(A >B )E^xA > B .]x(B > A )E B > ]xA.^x(A Z B)E^xA Z B.^x(A [B)E^xA [B.^x(A >B )E]xA > B .^x(B > A )E B > ^xA.保持可满足性z存在量词替换为常元 z 存在量词替换为函数逻辑推论基本定义:更多性质:(-左规则) (-右规则)(-左规则) (-右规则)其中z 是变元, 是项z是公式 z 是公式集合 且项与变元满足以下条件:z -左规则 对 中的 是可代入的z -右规则对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z -左规则对 中的 是可代入的, 不在 中自由出现 z-右规则对 中的 是可代入的 归结法z基本概念 > X A.D ,A x t X B D ,]xA X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!]D X A x yD X]xA!!!!!!!!!!!!!!!!!]D ,A x y X B D ,^xA X B!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!^D X A x tD X^xA !!!!!!!!!!!!!!!!!^x,y t A,B,C D ,D d ]t A x ]y A x y D ^y A x y D P {B}^t A x{相反文字 {子句 {空子句 {子句集合 {可满足 {归结子句 {反驳z 特殊性质{代换{无限多归结子句{多种证明 z 可靠性基于解释赋值方法证明 z完备性{赫布兰德域{赫布兰德解释{命题逻辑与谓词逻辑 公理系统z 基本概念{公理{规则{推演{证明 z 形式推演{若 , 则 . {若 则 {z 基本性质{演绎定理{变元替换{可靠性{完备性 > U ]xA > U A x t > U A > B > U ]xA > ]xB l自动定理证明z实际问题z符号化z子句化z寻找反驳z问题求解高等逻辑z模型论z完备性证明z二阶逻辑z可判定性z谓词逻辑半可判定性 z初等几何可判定性 z哥德尔不完备性z模态逻辑z时态逻辑与程序验证 z形式化方法z 全部l。
《数理逻辑》第二章
马琦 2010.9.4 maqi08@学习逻辑的目的之一：对推理过程的分析。
前一章：将语句 语句和论证 语句 论证抽象到形式，并且对 论证 一个有效的论证 有效的论证给出了直觉的定义。
有效的论证 本章：引进形式演绎系统 形式演绎系统的概念，本质上是 形式演绎系统 抽象过程的继续，从中概括出证明 证明的概念。
证明形式系统符号字母表 合式公式：符号有穷串的集合 合式公式 公理：某些合式公式的集合 公理 演绎规则：可推出一个合式公式作为 演绎规则 合式公式有穷集的直接后承。
根据以上四点，就可以从公理出发， 使用推理规则依次完成演绎的过程。
系统元素（ 元素（项） 运算符号字母表： 符号字母表 ~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式（ 合式公式（wf.）的集合。
用下述三条归纳规则确定此集合 的集合 （i）对每一 i ≥ 1， pi是wf.。
（ii）若 A 和 B 是wf. ，则 (~ A)和 (A→B)是wf.。
（iii）所有的 wf. 是由（i）和（ii）产生的。
公理。
存在无穷多条公理，而借助于三条公理可以把所有的公理都指出来。
公理 对任意的wf. A,B,C,…，以下的 wf. 是L的公理： （L1）( A → (B→A) )。
（L2）( (A→(B→C)) → ((A→B)→(A→C)) )。
（L3）(((~A) →(~B)) → (B→A) )。
演绎规则。
分离规则（ MP）：从 A 和 (A→B ) ，得出 B 是一个直接后承， 演绎规则 这里 A 和 B 是 L 的任意 wf. 。
定义 2.2 在 L 中的一个证明是 wf. 的一个序列 A1,…,An，使得对每一 i (1≤i≤n), Ai 或者是 L 的 公理，或者是序列中在前的两个项，例如 Aj 和 Ak (j<i,k<i)，用演绎规则 MP 而得到 的一个直接后承。
这样的一个证明将称为 L 中 An 的证明 证明，而 An 称为 L 的定理 定理。
数理逻辑10-2.2算法复杂性
–
sum :=sum+ai
– {sum 为所有整数的和}
练习题
• 给出一个算法，逐一检查位串中每个字位是否为1，计算 其中1的个数；
– Procedure ones (a=a1…an, a:位串) – ones :=0
– for i :=1 to n
–
if ai :=1 then
–
ones :=ones+1
图灵机
• 假设一个小虫在地上爬，那么我们应该怎样从小虫 信息处理的角度来建立它的模型？
• 首先，我们需要对小虫所在的环境进行建模。
– 假设小虫所处的世界是一个无限长的纸带，这个纸带上被 分成了若干小的方格，而每个方格都仅仅只有黑和白两种 颜色。
– 小虫要有眼睛或者鼻子或者耳朵等等感觉器官来获得世界 的信息，我们不妨把模型简化，假设它仅仅具有一个感觉 器官：眼睛，而且它的视力短得可怜，也就是说它仅仅能 够感受到它所处的方格的颜色。
索效率要高。 – 平均情况分析：
• 对所有输入求解问题使用的平均运算次数； • 通常比最坏情况分析复杂得多。
二、算法的时间复杂性
• 例4：描述线性搜索算法的平均情况效能， 假定元素x在表中。
– 已知x的确在表中，有n类可能的输入；
– 如果x是表的第一项，需要比较3次；
– 如果x是表的第二项，需要比较5次；
图灵
• 冯·诺依曼不止一次地说过，图灵是现代 计算机设计思想的创始人。当有人将"电 子计算机之父"的头衔戴在冯·诺依曼头 上时，他谦逊地说，真正的计算机之父 应该是图灵。当然，冯·诺依曼问之无愧， 而图灵也有“人工智能之父”的桂冠。 他俩是计算机历史浩瀚星空中相互映照 的两颗巨星。
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
七年级上册数学北师大版第二章
七年级上册数学北师大版第二章
第二章：整数
一、概念与性质：
1.整数的引入：从自然数扩展到整数的概念。
2.整数的相反数：正数和负数的关系，相反数的定义和性质。
3.整数的大小比较：同号数比较大小、异号数比较大小的规则。
二、加法与减法运算：
1.整数的加法：同号数相加、异号数相加的规则。
2.整数的减法：减去一个整数等于加上其相反数的原理。
三、乘法与除法运算：
1.整数的乘法：同号数相乘、异号数相乘的规则。
2.整数的除法：整数除以正数、整数除以负数的规则。
四、计算技巧：
1.带符号数的计算技巧：整数的绝对值、加法和减法的结合律、交换律等。
2.用计算器进行带符号数的运算：使用计算器进行整数的加减乘除运算。
五、应用题与解决问题：
1.整数在实际问题中的应用：如海拔高度、温度变化、财务收支等。
2.利用整数解决实际问题：通过将实际问题转化为整数运算，求解问题。
六、综合练习：
1.课后习题：包括填空题、选择题、计算题等。
2.拓展探究题：培养学生的思维能力和创新意识，需要一定的推理和证明能力。
七、小结与复习：
对本章的重点知识进行总结归纳，复习重要概念、规则和计算技巧。
以上是七年级上册数学北师大版第二章的主要内容。
在教学过程中，可以根据学生的实际情况进行适当的调整和拓展，注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
同时，鼓励学生进行课后习题的巩固练习，并通过反馈和评价来提高学生的学习效果。
数理逻辑(讲义)
《数理逻辑》教案许道云(2011.8)教材：《面向计算机科学的数理逻辑》(第二版)(陆钟万著)出版社：科学出版社版本：2006年6月第8次印刷绪言（课程介绍）什么是逻辑？命题（判断）对象、以及对象间的（推理）关系。
数理逻辑：用数学的方法研究逻辑。
数理逻辑研究分支：模型论、集合论、递归论、证明论。
数理逻辑研究什么？逻辑推理：当前提为真时，保证结论为真。
逻辑研究这样的可推理关系。
即，前提和结论之间的推理关系是否正确。
演绎推理---演绎逻辑。
它不同于归纳逻辑。
归纳逻辑是从前提出发，使用归纳推理，得到的结论与自身协调，或与前提协调。
数理逻辑属于演绎逻辑范围。
只研究推理及可推理关系，不关心前提与结论中各个命题的真假。
例1.前提：所有大于2不被自身整除的自然数为素数。
7不被自身整除。
结论：7不是素数。
例2.前提：所有中学生打网球。
王君不打网球。
结论：王君不是中学生。
命题有内容和形式：内容决定命题的真或假。
决定前提和结论之间的可推导关系，是命题逻辑形式。
如：前提：集合S中的所有元素具有R性质。
a不具有R性质。
结论：a不是S中元素。
命题的陈述需要语言。
元语言：描述对象的所用的最基本语言。
如：自然语言（汉语）。
对象语言：描述“对象所用元语言”的语言。
如：形式语言（符号语言）。
自然语言中语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同。
例1：X认识Y。
（前提）Y是足球队长。
（前提）X认识足球队长。
（结论）例2：X认识A班某学生。
（前提）A班某学生是足球队长。
（前提）X认识足球队长。
（结论）近代数理逻辑思想：Leibniz力图建立一种精确的、普适的科学语言作为形式语言。
直到1879年，Frege才建立了这样的语言。
近代数理逻辑介绍的就是这种形式语言。
所以，数理逻辑史从1879年算起。
在数理逻辑中要构造一种符号语言来代替自然语言，这种人工构造的符号语言称为形式语言。
对象的描述和对象间的推理关系全部用形式语言表示。
数理逻辑研究的主要内容：（1）引入一个形式语言，以表示非结构化对象。
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三、素数
如果整数不能被小于或等于其平方根的 素数整除，它就是素数。
例5：证明101是素数。
解：不超过101的平方根的素数有2，3，5， 7。因为101不能被这些数整除，所以101是 素数。
三、素数
由于每个整数都有素因子分解，如何求 解整数n的素因子分解？
从最小的素数2开始，从小到大用一个个素 数去除n；
最常用的产生伪随机数的过程称为线性同 余法
xn+1=(axn+c) mod m P120
九、密码学
最重要的同余应用之一涉及研究信息保 密的密码学
解为 a p1a1 p2a2 pnan
b p1b1 p2b2 pnbn
每个指数都是非负整数，出现在a和b分解中的所有素数都包 含在两个分解之中，必要时以0为指数出现
gcd(a,b)
p p min(a1,b1) min(a2,b2)
1
2
p min( an ,bn ) n
五、最大公约数
证明：P116 例14：已知120和500的素因子分解分别
定理7：令m为正整数，若a≡b(mod m)， c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)以及 ac≡bd(mod m)。
证明：P118
例18：由于7≡2(mod 5)和11≡1(mod 5)， 从定理7知： 18≡3(mod 5) 77≡2(mod 5)
八、同余应用
可以用同余为计算机分配内存地址 例19：散列（哈希）函数 散列就是无需查找，直接用元素的查找
数理逻辑
Mathematical Logic
第二章 算法、整数和矩阵
Chapter 2 Algorithm、Integer and Matrix
复习
算法复杂性
算法的时间复杂性 算法的空间复杂性
算法的时间复杂性
在输入规模一定的情况下用算法使用的运 算次数来表示
最坏情况分析 平均情况分析
本节基于可除性，讲解素数、算术基本 定理、模运算以及模运算的应用（为文 件分配内存地址、生成伪随机数、为信 息加密和解密）
二、除法
定义1：如果a和b是整数，a≠0，若有整 数c使b=ac，就说a整除b。在a整除b时， a是b的一个因子，b是a的倍数。符号a|b 表示a整除b。当a不能整除b时写成a∤b。
这一过程继续下去直到分解减少到只有一 个素数。
三、素数
例6：求7007的素因子分解。
解：从2开始用一个个素数除7007。2、3、 5不能除尽；
7能除尽，下一步从7开始用一个个素数除 1001，7还能除尽，1001/7=143；
再从7开始用一个个素数除143，7不能除尽 了，但11可以，143/11=13；
易处理的问题 不易处理的问题 不可解的问题
2.3 整数和除法 The Integers and Division
一、引言
离散数学中涉及整数及其性质的这一部 分内容属于数学中的数论。
数论这门学科最初是从研究整数开始的， 所以叫做整数论。后来整数论又进一步 发展，就叫做数论了。
确切的说，数论就是一门研究整数性质 的学科。
三、素数
例3：判断7和9是素数？ 小于100的素数有哪些？（P113） 定理2（算术基本定理）：任意一个正整
数n(n≠1)可以唯一地表示为若干个素数 的乘积。这里唯一的意义表示为不考虑 素因子的次序。 素数是构造正整数的积木。
三、素数
分解的存在性 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，
定义3：在上述等式中，d称为除数，a称为被 除数，q称为商，r称为余数。
例8：101被11除时的商和余数？ 例9：-11被3除时的商和余数？ 整数a被整数d整除的充分必要条件是当a被d
除时余数为0。
五、最大公约数
定义4：令a和b是不全为0的两个整数。能使d|a和 d|b的最大整数d称为a和b的最大公约数。记作： gcd(a,b)。
定理5：令a和b为正整数，则 ab=gcd(a,b)lcm(a,b)
七、模运算
定义8：令a为整数，m为正整数。 a mod m表示a被m除的余数。
a mod m是使a=qm+r且0≤r≤m的整数r。 例16：17mod5 -133mod9 定义9：若a和b为整数而m为正整数，如果m
整除a-b，就说a与b是模m同余，记作： a≡b(mod m)，否则记作a≢b(mod m)。
键来确定元素索引的方法。 实现了散列这种方法的函数就叫散列函
数。 散列函数接受查找键，产生一个称为散
列表的数组中的元素的索引。
八、同余应用
设一个查找表S有n个数据元素S={R1, R2, …, Rn}。对于每个指定的Ri，设key是 其关键字的值。则建立一个从Ri.key到Ri的 存贮地址函数H为
一、引言
费尔马大定理、哥德巴赫猜想、孪生素 数问题、 圆内整点问题、完全数问 题……
高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论 是数学中的皇后”。
数论中的基本概念
可除性、最大公约数、模运算等
一、引言
在2.4节结合算法及其复杂性介绍数论中 的几个重要算法
求两个正整数的最大公约数的算法 用二进制展式做计算机运算的算法
三、素数
对超级计算机的一种质量控制测试就是 重复确定一个大莫孙尼素数的卢卡斯-来 赫曼测试。
分解大整数kn±1，其中k是小正整数，n 是大正整数（卡宁汉数）；
任何时候，总有称为“10个最热”的这 种大整数等待分解。
四、除法算法
定理4：除法算法令a为整数，d为正整数，那 么有唯一的整数q和r，其中0≤r≤d，使得 a=dq+r。
例11：17和22的最大公约数？
解：17和22除1以外没有正公约数，所以 gcd(17,22)=1
定义5：如果整数a和b的最大公约数是1， 就说它们是互素的。
五、最大公约数
定义6：整数a1,a2,…,an称为两两互素， 如果只要1≤i≤j≤n，就有gcd(ai,aj)=1。
例13：判断整数10,17和21是否两两互素， 整数10,19和24是否两两互素？
H(Ri. key)=addr(Ri) 称H为哈希函数（Hash），函数值H(Ri. key)称 为哈希地址。按该方法所建立的表称为哈希表。
八、同余应用
散列函数的一般特性：
1 使冲突最小 2 使元素均匀分布在散列表里 3 计算要快。
最常用的散列函数之一是：
h(k)=k mod m
m是可供使用的内存地址的数目
证：假定a|b和a|c。从可除性定义知有整 数s和t，使b=as和c=at。因此， b+c=as+at=a(s+t)。于是的每个正整数都至少能被两个整数 整除（1和它自身）。
恰有两个不同的正整数因子的整数称为 素数。
定义2：大于1的正整数p称为素数，如果 p仅有的正因子是1和p。大于1又不是素 数的正整数称为合数。
为120=23×3×5和500=22×53，求它们的 最大公约数？
解： gcd(120, 500) 2 3 5 min(3,2) min(1,0) min(1,3) 223051 20
六、最小公倍数
定义7：正整数a和b的最小公倍数是能被 a和b整除的最小正整数。记作：lcm(a,b)。
lcm: lowest common multiple
测试的方法可以判断2p-1是否为素数。
三、素数
素数
例7：整数22-1=3，23-1=7和25-1=31都是莫 孙尼素数，而211-1=2047就不是了， 2047=23×89。
到1998年末，已知37个不同的莫孙尼素数， 其中最大的是23021377-1，这是个909526位的 数。
大因特网莫孙尼素数搜索（GIMPS）。
八、同余应用
例如，当m=111时，064212848这个学生 的记录分配到地址14，因为
h(064212848)=064515848 mod 111=14 类似的，由于 h(037149212)=037149212 mod 111=65
由于散列函数不是一对一的（关键码的 个数大于内存地址数），有可能多个纪 录分配到同一内存地址。（冲突）
可被正整数d整除的整数
-3d -2d -d 0 d 2d 3d
二、除法
例1：判断6|2, 3|7和3|12？ 例2：令n和d为正整数。不超过n的正整
数中有多少个能被d整除？
n/d
二、除法
定理1：令a，b，c为整数。有如下结论：
若a|b和a|c，则a|(b+c)； 若a|b，那么对所有整数c都有a|bc； 若a|b，b|c，则a|c。
13已经是素数了，结束； 7007的素因子分解是7×7×11×13。
三、素数
人们一直希望发现越来越大的素数 大素数在密码学中起着关键性的作用 近300年以来，已知最大的素数都是形式
为2p-1的这种特殊整数，其中p也是素数。 这种素数称为莫孙尼素数。 因为有个特别有效的称为卢卡斯-来赫曼
正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。 例4：100=2×2×5×5=2252 641=641 999=3×3×3×37=3337
三、素数
如何证明一个给定的数是素数？ 定理3：如果n是合数，那么n必有一个小
于或等于 n 的素因子。
证：如果n是合数，它有一个因子a，使 1<a<n，于是n=ab，其中a和b都是大于1的 正整数。这样就有 a n 或 b n ，否则 ab n n n 。所以n有一个不大于 n 的 正因子。这个因子或是素数，或根据算术 基本定理有素因子。
七、模运算
例17：判断17是否和5模6同余？24是否 和14模6同余？
解：由于6整除17-5=12，所以17≡5(mod 6) 24-14=10不能被6整除，所以24≢14(mod 6)