有理数--第02讲 有理数的加减法

第02讲 有理数的加减法

考点·方法·破译

1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典·考题·赏析

【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）

A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．

【变式题组】

01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）

A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃

02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________

03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________

【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）

【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.

解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）

＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15

＝（－100）＋15＝－85

【变式题组】

01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）

02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）

03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）

【例３】计算111112233420082009

【解法指导】依111(1)1nnnn进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009

＝111111112233420082009

＝112009＝20082009

【变式题组】

01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）

132164116181412-a-b0ba02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256＝__________.

【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ）

A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b

C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a

【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.

解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和

又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |

将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a

【变式题组】

01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小

【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）

【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.

解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）

＝425＋33311＋1.6＋21811

＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61

【变式题组】

01．21511()()()()(1)32632

02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）

03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79

【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)

⑵ n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，

其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169

【变式题组】

01．(杭州)观察下列等式

1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.

⑴写出第5个等式；

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02．观察下列等式的规律

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20

⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；

⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例７】（第十届希望杯）12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ …

＋（150＋250＋…＋4850＋4950）

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）

则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋ … ＋（4950＋4850＋…＋250＋150）

将原式和倒序再相加得

2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）

即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2＝1225

∴S＝12252

【变式题组】

01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210

02．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）

演练巩固·反馈提高

01．m是有理数，则m＋|m|（ ）

A．可能是负数 B．不可能是负数

C．比是正数 D．可能是正数，也可能是负数

02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（ ）

A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5

03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）

A． 1 B．0 C．－1 D．－3

04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）

A．两数一定都是正数 B．两数都不为0

C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数

05．下列等式一定成立的是（ ）

A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0

06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）

A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃

07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（ ）

A．－a B．0 C．2a D．－2a

08．设x是不等于0的有理数，则||||2xxx值为（ ）

A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2

09．（济南）2＋(－2)的值为__________

10．用含绝对值的式子表示下列各式：

⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________

⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________

⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________

11．计算下列各题：

⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25