2018届北京市西城区高三理科数学二模试题及答案
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(D)
1 i i (B) (C) (D)
3
(D)
3
12 (A)
ya \_
(A) (B) (D) 2 共线，则实数
(C) 1 1 i -+ 2 2 2 2 2 2 1 i
(A) 1 (A) 1 2 2
（D）严 (B)乜
2 (CT 西城区高三模拟测试
第I卷（选择题共40 分）
1.若集合A ={x|0 :：:x ：；： 1}，B ={x|x2 -2x ：：：0}，则下列结论中正确的是
2 •若复数z满足（1 —i）・z=：1，贝U
z =
(C) 12 2 2018.5
选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出
符合题(A) A「|B 壬 (B) AUB二 R
(C) A-B
侧面积是
—2^2 — 正（主）视图
(D) 8 5 俯视團
2 2
6.已知点A（0,0） , B（2,0）.若椭圆W: - y 1上存在点C，使得△ ABC为等边三角形, 2 m
则椭圆W的离B 二 A
4•某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的
(B)
4.10
5.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量 a b与c 1 (A) y =— x 2 (B) y 二x (C) y = 2|x| y = cosx F列函数中，既是偶函数又在区间 （0,1）上单调递减的是 7•函数 f (x)=叩-x2 a •则“ a> 0 ”是“ xo・[-1,1],使 f(xo) > 0”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
&在直角坐标系xOy中，对于点(x,y)，定义变换二：将点(x, y)
变换为点(a,b)，使得［x-tana,其中玄山€(_二上).这样变
』=tanb, 2 2
换二就将坐标系xOy内的曲线变换为坐标系 aOb内的曲线. 则四个函数 yt =2x (x . 0) , y =x2 (x 0) , y^ex (x 0),
y4 =1 nx(x 1)在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系 aOb内
的四条曲线(如图)依次是
(A ［②，③，①，④
(D ［③，②，①，④ (C)②，③，④，①
第 n 卷 (非选择题共110分)
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.
x =2 ■ cosv,
9 .已知圆C的参数方程为f 小 (日为参数)，则圆C的面积为 __________ ;圆心C到直线 (y =s in 6
|：3x—4y=0的距离为 _____ .
10. (x2+l)4的展开式中x2的系数是 _.
x
n
11 .在△ ABC 中，a =3 , b =2，厶 A=—，则 cos2B = .
3
12.设等差数列｛%｝的前n项和为Sn .若d =1 , S2 S3，则数列｛an｝的通项公式可以是___
Jx > 1,
13 .设不等式组 x y > 3,表示的平面区域为 D •若直线ax — y=0上存在区域 D上的点，则
2x 亠 y < 5
实数a的取值范围是
14 .地铁某换乘站设有编号为 A , B , C, D, E的五个安全出口 .若同时开放其中的两个安全出
口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 A , B B, C C, D D, E A, E
疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分13分)
已知函数 f(x) =(1 tanx) sin2x .
(I)求f (x)的定义域；
(n)若：；三(0, n，且 f(〉)=2，求〉的值.
16. (本小题满分14分)
如图，梯形 ABCD所在的平面与等腰梯形 ABEF所在的平面互相垂直， AB〃 CD // EF ,
AB_AD . CD =DA 二 AF =FE =2 , AB =4 .
(I)求证：DF//平面BCE;
(n)求二面角 C -BF -A的余弦值；
(川)线段CE上是否存在点G，使得AG _平面BCF ?
请说明理由.
17. (本小题满分13分)
在某地区，某项职业的从业者共约 8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种
职业病与某项身体指标(检测值为不超过 6的正整数)间的关系，依据是否患有职业病，使用分
层抽样的方法随机抽取了 100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图:
(n)在该指标检测值为 4的样本中随机选取 2人，求这2人中有患病者的概率;
(III )某研究机构提出，可以选取常数 X。二n 0.5 (nW N *)，若一名从业者该项身体指标检测值
大于X。，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 X。，则判断其未患有这种职业病.从 样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病. 写出使得判断错误的
概率最小的Xo的值及相应的概率(只需写出结论) .
18. (本小题满分14分)
已知直线I : y =kx • 1与抛物线C : y2 =4x相切于点P .
(I)求直线I的方程及点P的坐标；
(n)设Q在抛物线C上，A为PQ的中点.过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线l于M ,
N .记△ PMN的面积为S , △ QAM的面积为S2，证明：S =5 .
19. (本小题满分13分)
In x )2 3 4 5 6身体抠标检测血
b
0.30
0.20
(I)求样本中患病者的人数和图中 a, b的值;
已知函数f(x)二——-ax，曲线y = f(x)在x=1处的切线经过点(2, 一1).
x
(I)求实数a的值；
(H) 设b 1，求f(x)在区间［l,b］上的最大值和最小值.
b，
20. (本小题满分13分)
数列A : a, a2 JI h an (n > 2)的各项均为整数，满足：a》-1 (i = 1, n,,且 a1 2nl a2 2^2 a 3 2n3J|| • 1 2
a.二,0其中印=0 .
(I) 若n =3,写出所有满足条件的数列 A ；
(H)求a1的值；
(川)证明：a1 a^ Jl| an 0.
西城区高三模拟测试
数学（理科）参考答案及评分标准
2018.5
5. D 6 . C 7. A8 . A
二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.
9. n, — 10. 6 11.—
5 3
1
12. -n 2 （答案不唯一）13. [—,3] 14. D 2
注：第9题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分
15. （本小题满分13分）
解：（I）因为函数 y=tanx的定义域是{^R |x^k n+」,k^Z},
2
所以f（x）的定义域为{x€ R |xMk n+」,k€ Z} . .............................. 4分
2
（n） f （x） =（1 亠tan x） sin 2x
=（1 sin x） sin2x ........................... 5 分
cos x
二sin 2x 2sin x ......................... 6 分
=sin2 x -cos2x 1 ......................... 7 分
二.2 sin（2 x「n） 1 . ....................... 8 分
4
由 f （： ） =2，得 sin（2 ： - n） ........................ 2 . 9 分
4 2
n n 7 n
因为0 ：：：「：：： n,所以 2 , ..................... 10分 4 4 4
n n n 3 n
所以2 ，或2 . 11分 4 4 4 4
n n 、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共40分.
1. C 2. A 3. D 4. B
解得 ，或 （舍去） ........... 13分 4 2令 y1 =1，则人=T , Z1 - - .3，所以 m = (T,1,i 3). 13分
16. （本小题满分14分）
解：（I）因为 CD // EF，且 CD =：EF ,
所以四边形CDFE为平行四边形，
所以DF //CE .……2分
因为DF二平面BCE ,……3分
所以DF //平面BCE .……4分
（H）在平面 ABEF内，过 A作Az _ AB .
因为 平面ABCD _平面ABEF，平面 ABCDI平面ABEF =AB ,
又 Az 平面 ABEF , Az _ AB ,
所以 Az_平面ABCD ,
所以 AD _ AB , AD _ Az , Az _ AB .
如图建立空间直角坐标系 A -xyz . ........................... 5分
由题意得，A(0,0,0) , B(0,4,0) , C(2,2,0) , E(0,3, 3) , F (0,1, .3).
所以 BC =(2, 20) , BF ^(0,-3, 3).
设平面BCF的法向量为 n = (x,y,z),
则 n BC =0,即 2_2八°, n BF、0, 一旳 3z".
令 y =1，贝U x=1 , z=i；3，所以 n= （1,1八 3） . .................. 7 分
平面ABF的一个法向量为 v二（1,0,0） , .................... 8分
贝U cos n, v =
所以二面角C-BF-A的余弦值二5 . ................ 10分
5
（川）线段CE上不存在点G，使得AG _平面BCF，理由如下： .............. 11分
解法一： 设平面ACE的法向量为m= （X1,y1,Z1）,
则m 即2x1勺円,
m AE〔0, 3y1 3z1=°.
