和差问题

和差问题和差问题的基本数量关系式：（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数一、基本和差问题：1、小明和爸爸的年龄和是57岁，三年前爸爸比小明大29岁，今年小明和爸爸各是多少岁？2、一艘船顺水速度是每小时20千米，逆水速度是每小时10千米，求船的速度及水流的速度？3、四个人年龄之和是77岁，最小的10岁，他与最大的年龄之和比另外二人之和大7岁，最大的年龄是多少岁？4、买一件大衣，一顶帽子，一双鞋共花280元，而买大衣和帽子合在一起的钱比买鞋贵10元。

买一双鞋需多少元钱？二、明差暗和问题：5、一块长方形土地的长比宽多4米，周长为48米。

求这块土地的长与宽。

6、两筐苹果共600个，如果从甲筐取出16个，给乙筐加上20个，则甲筐比乙筐少24个，两筐原来各装苹果多少个？7、小明和小芳共有铅笔24支，如果小明用去3支，小芳用去2支，那么小明比小芳还多3支，小明和小芳原来各有铅笔多少支？8、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中苹果千克数反而比甲筐多3千克？三、明和暗差问题：9、一个书架上、下两层共有书248本，如果从下层取出12本放到上层去，两层书的本数就相等。

问：上、下层各有书多少本？10、甲、乙两校共有学生1432人，为了照顾学生就近上学，经协商由甲校转入乙校54人，这样甲校比乙校还多26人。

问：两校原来各有学生多少人？11、电器修配厂两个车间共有工人258人，从第一车间调出8人到第二车间后，第一车间比第二车间还多4人，两个车间原来各有多少人？12、甲、乙两船共载乘客623人，从甲港经乙港开往丙港，在乙港甲船增加34人，乙船减少57人，开往丙港时，两船乘客恰好相等。

两船原来各有乘客多少人？13、甲、乙二人是在3月里相同的星期几出生的，甲的日期早，两人日期合计是36，乙的生日是3月几日？14、有50名学生参加联欢会。

第一个到会的女生同全部男生握过手，第二名女生只差一名男生没握过手，第三名女生只差2个男生没握过手。

和差问题（一）方法：（和-差）÷2=小数（和+差）÷2=大数班级________________姓名____________得分____________ 1、三年级一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，求男、女生各有多少人？2、小明和父亲今年的年龄和是63岁，小明比父亲小33岁。

今年小明和父亲各多少岁？3、图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿15本放入上层，两层书架上的书就同样多。

求上、下层原来各存书多少本？4、甲、乙两班学生的平均人数是45人，只知道甲班比乙班多2人。

甲、乙两班各有学生多少人？5、甲、乙两校共有学生432人，为了照顾学生就近入学，经协商，由甲校转入乙校16人，这样甲校比乙校还多24人。

两校原来各有学生多少人？6、建筑工地运来石子、水泥、细沙三种建筑材料共290吨，运来的石子比水泥多50吨，运来的水泥比细沙多30吨。

工地上运来石子、水泥、细沙各多少吨？7、甲、乙两人同时打字，2小时共打7800字，已知甲每小时比乙多打50个。

甲、乙两人每小时各打字多少个？8、甲、乙两桶油共重62千克，如果从乙桶倒出12千克油，甲桶油就比乙桶多10千克。

甲、乙两桶原来各有油多少千克？和差问题（三）班级________________姓名____________得分____________ 1、学校有排球、篮球共50个，排球比篮球多4个。

排球和篮球各有多少个？2、张华和李明共有图书80册，如果张华送给李明15册图书，两人图书册数就相等。

张华和李明各有图书多少册？3、小红在期中考试中，语文、数学的平均分是95分，数学比语文多8分。

小红这两门功课的成绩各是多少分？4、两筐水果共重50千克，如果从第一筐取出5千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多4千克。

两筐原来各有水果多少千克？5、王、张两位工人8小时共生产零件4800个；如果他们分别工作3小时，王师傅就比张师傅多生产120个。

和差问题公式和差问题是高中数学中的一类代数问题，也是解线性方程组的常用方法之一。

所谓和差问题，即通过构造等量代换或运算，利用两个或多个数的和、差的关系，求解未知数的问题。

这类问题广泛应用于数学竞赛、应试考试以及实际问题中。

在解和差问题时，我们需要灵活运用代数知识和数学算法，通过构造等式或等量代换，将复杂的问题简化为最基本的数学运算。

下面我们将介绍和差问题的公式和一些典型例题，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

1. 和差问题的基本公式对于两个数a和b，和差问题的基本公式如下：(1) 两数之和：a + b(2) 两数之差：a - b(3) 两数之积：ab(4) 两数之商：a/b2. 和差问题的应用2.1. 解线性方程组线性方程组是高中数学中的重要内容，解线性方程组的一种常用方法就是利用和差关系。

通过构造等量代换，我们可以将复杂的线性方程组转化为简单的和差方程组，在解题过程中更容易操作。

下面是一个典型的例子：例题1：解方程组{ x + y = 8{ x - y = 2解法：我们可以通过两个方程的加减法得到和差方程组： { x + y = 8 (I){ x - y = 2 (II)加上：{ 2x = 10{ x = 5再代回方程(I)，可以得到y的值：5 + y = 8y = 3所以解为：x = 5，y = 32.2. 求平均数在求平均数的过程中，我们经常会遇到一些和差问题，例如求一组数的平均数或者某个数与平均数的差。

通过定义公式和等量代换，我们可以简化这类问题的解答。

下面是一个典型的例子：例题2：求一组数的平均数已知10个人的体重分别是60kg、65kg、70kg、75kg、80kg、85kg、90kg、95kg、100kg、105kg，求他们的平均体重。

解法：我们可以通过求和再除以个数的方法，得到这10个人的平均体重，即：平均体重 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100 + 105)/10= 795/10= 79.5kg所以这10个人的平均体重为79.5kg。

小学数学和差问题和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数=(和+差)÷2 小数＋差=大数小数=(和-差)÷2 大数－差=小数【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

【口诀】：和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和减去差，越减越小；除以2，便是小的。

例1 ：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?解:甲班人数=(98+6)÷2=52(人)乙班人数=(98-6)÷2=46(人)答:甲班有52人，乙班有46人。

例2: 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解：长= (18+2)÷2=10(厘米)宽= (18-2)÷2=8(厘米)长方形的面积=10x8=80(平方厘米)答:长方形的面积为80平方厘米。

例3：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。

由此可知甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)乙袋化肥重量=32-12=20（千克）答：甲袋化肥中1千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

和差问题练习1.甲和乙共有100元，甲比乙多20元，求甲、乙各有多少元?2.樱花小学三年级(1)班共有学生25人，其中男生比女生多5人，这个班男、女生各有多少人?(画线段图)3.两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。

两筐水果各重多少千克?(画线段图)4.今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁,今年小刚和小强各多少岁?5.黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。

3和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2和-大数=小数小数＝（和－差）÷ 2 和-小数=大数【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解1：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。

由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）解2：甲乙+乙丙+甲丙=2（甲乙丙）甲=甲乙丙-乙丙乙=甲乙丙-甲丙丙=甲乙丙-甲乙答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙车筐数＝97－64＝33（筐）解法2：（97+3）÷2=50变化后的甲 50+14=64 变化前97-50=47 变化后的乙 47-14=33 变化前答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

二年级和差问题和差问题（一）和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。

有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

和差问题的基本公式：大数=（和+差）÷2,；小数=大数-差；或小数=和-大数小数=（和-差）÷2；大数=小数+差；或大数=和-小数例1：把一根长22米的绳子剪成两段，第一段比第二段长4米，求两根绳子各有多长课堂练：1、已知：△+□=35；△-□=5，求△和□各代表多少2、两个数的和为36差为22。

则较大的数为多少较小的数为多少3、两筐水果共重96千克，第一筐比第二筐多28千克，两筐水果各重多少千克例2：兄弟俩共有邮票70张，哥哥给弟弟4 XXX，两人一样多，兄弟俩原来各有邮票多少张课堂练：1、甲乙共有30条鱼，甲送给乙3条后，两人一样多，求甲乙原来各有几条鱼2、甲乙两桶油共100千克，从甲桶倒入乙桶20千克后，两桶一样多，求甲乙原来各有多少千克油3、甲、乙两个堆栈共存大米42吨，假如从甲堆栈调3吨大米到乙堆栈，两个堆栈所存的大米正好同样多。

求原来两个仓库各有大米多少吨和差问题练题1：1、植树节，XXX五、六年级学生共植树84棵，六年级比五年级多植树24棵，5、六年级各植树多少棵2、学校有排球、足球共60个，排球比足球少8个，排球、足球各有几何个3、XXX和XXX共有邮票56张，如果XXX给XXX13张后，两人一样多，原先XXX和XXX 各有多少张邮票4、甲、乙两筐苹果共重100千克，如果从甲筐取出12千克放到乙筐，这时甲筐的苹果还比乙筐重6千克。

甲、乙两筐苹果原来各有多少千克5.XXX家养鸡和鸭一共60只，鸡比鸭多20 只，鸡和鸭各有多少只6.果园里有桃树和梨树共80棵，桃树比梨树多30棵，桃树和梨树各有几何棵7.学校小百灵合唱团共有86名成员，其中男合唱队员比女合唱队员少6名，合唱团中男、女队员各有多少名8、甲、乙两桶油共重30千克，甲桶油比乙桶油重10千克。

第8讲 和差问题【探究必备】“和差问题”是指已知两个数的和与两个数的差，求两个数各是多少的问题，这样的问题叫做和差问题。

解答和差问题，常用的方法是假设法，同时结合线段图进行分析。

解题时，可以假设把小数增加到与大数同样多（加差），这时两数的和就是大数的2倍，先求出大数，再求出小数；也可以把大数减少到与小数同样多（减差），这时两数的和就是小数的2倍，先求出小数，再求出大数。

和差问题的数量关系式是：（和+差）÷2=大数 （和-差）÷2=小数 大数-差=小数 小数+差=大数 和-大数=小数 和-小数=大数【王牌例题】例1、甲、乙两数的和是100，甲比乙多20.求甲、乙两数。

分析与解答：根据题意画出线段图：甲：乙：从线段图可以看出：假设乙增加20，则乙就和甲一样多了，这时甲、乙的和应该是100+20=120，正好相当于甲的2倍，那么甲为120÷2=60，又因为甲比乙多20，所以乙是60-20=40。

例2、“苏宁电器”商场里有一台电视机和一台空调共8000元。

现在搞促销活动，电视机降价400元，空调降价600元，这时电视机和空调的价格正好相等。

问原来这种电视机和空调一台多少元？分析与解答：根据题意画出线段图：电视机：空调： 要解决此题的关键在于找出一台电视机和一台空调的差，从图上可以看出空调比比乙多20 乙增加20乙增加20后 甲与乙的和是（100+20） 8000元 降价400元 降价600元 元电视机贵600-400=200（元），如果把空调减去200元，这时空调和电视机就以样多了，那么它们的和就是8000-200=7800（元），这7800元就相当于2台电视机的价格，那么一台电视机是7800÷2=3900（元），故一台空调是8000-3900=4100（元）。

例3、甲、乙两个仓库共存粮600吨。

如果从甲仓库调运100吨给乙仓库，那么两个仓库的存粮数正好相等。

甲、乙两个仓库原来各存粮多少吨？分析与解答：根据题意画出线段图：从线段图上我们可以看出：“从甲仓库调运100吨给乙仓库，那么两个仓库的存粮数相等” ，说明甲仓库比乙仓库的存粮数多2个100吨，即100×2=200（吨），如果给乙仓库增加200吨，则甲、乙两个仓库存粮就一样多了，那么两个仓库存粮数为600+200=800（吨），这800吨就相当于甲仓库是2倍，则甲仓库存粮是800÷2=400（吨），所以乙仓库存粮是600-400=200（吨）。

和差问题的公式(和＋差)÷2＝大数（和－差）÷2＝小数和倍问题和÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数)差倍问题差÷（倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数)植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么：株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×(株数－1)株距＝全长÷(株数－1）⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树，那么:株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数(大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数（大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝（顺流速度＋逆流速度)÷2水流速度＝(顺流速度－逆流速度）÷2浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100％＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1）×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×（1－20％）。

讲义四和差问题例1、学校有排球、足球50个，排球比足球多4个，排球、足球各多少个？例2、甲、乙两车发车时共有乘客160人，从甲站经乙站开往丙站，在乙站甲车增加了17人，乙车减少了23人，开往丙站时，两车乘客人数恰好相等，两车原来乘客各有多少人？例3、一班和二班共有学生82人，如果从一班调4名学生到二班，那么两班学生同样多，问两个班原来各有学生多少人？例4、育英幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班。

大班比中班多分4千克，中班又比小班多6千克，小班分得多少千克？例5、师傅、徒弟两人合做零件2小时，共生产零件110个。

如果分别工作5小时，师傅比徒弟多生产25个。

求师傅、徒弟每小时各做零件多少。

例6、甲、乙两人收藏的图书共3200本，乙、丙两人共收藏2400本，甲、丙共收藏2800本。

他们各收藏多少本？练习：1、王宏和张亮共有连环画30本，王宏比张亮少4本，两人各有多少本？2、甲筐装着桃，乙筐装着杏，甲、乙两筐共重80千克，如果从乙筐里取出2千克杏，往甲筐中放入6千克桃，两筐就一样重。

问乙筐原来有杏多少千克/3、小明和小红共有邮票50张，如果小明给小红1张，则两个人的张数相等，问他们原来各有多少张邮票？4、有99千克梨分给甲、乙、丙三个组，甲组比乙组多分4千克，乙组比丙组多分4千克，三个组各分得多少千克？5、甲、乙两个打字员合打2小时，共打字840个，如果分别打三个小时，甲比乙多打180个。

求甲、乙两个打字员每小时各打多少个字？6、学校有篮球、足球、排球若干个，篮球和排球共58个，排球和足球共45个，足球和篮球共77个。

篮球、足球、排球各多少个？讲义四和差问题答案和差问题主要抓住以下两个关系式思考，同时复杂题目要画线段图帮助自己思考。

（和-差）÷2=小数（和+差）÷2=大数1、（50-4）÷2=23个……足球23+4=27个……排球2、画线段图想甲：（160-17-23）÷2=60人乙：（160+17+23）÷2=100人3、两班相差4×2=8人一班：（82-4×2）÷2=37人二班：：（82+4×2）÷2=45人4、画线段图想小班：（49-6-4-6）÷3=11千克中班：11+6=17千克大班：17+4=21千克5、110÷2=55个……甲乙1小时共做的个数 25÷5=5个……每小时师傅比徒弟多做的个数徒弟：（55-5）÷2=25个师傅：55-25=30个6、（3200+2400+2800）÷2=4200本……甲乙丙三人的总和丙：4200-3200=1000本甲：4200-2400=1800本乙：4200-2800=1400本7、王宏：（30-4）÷2=13本张亮：13+4=17本8、画线段图想甲：（80-6-2）÷2=36千克乙：80-36=44千克9、两人差是1×2=2张小红：（50-2）÷2=24张小明：24=2=26张10、画线段图思考丙：（99-4×3）÷3=29千克乙：29+4=33千克甲：33+4=37千克11、840÷2=420个……甲乙每小时共打的个数 180÷3=60个……每小时甲比乙多打的个数乙：（420-60）÷2=180个甲：420-180=240个12、（58+45+77）÷2=90个……篮、足、排总和足：90-58=32个篮：90-45=45个排：90-77=13个仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

和差问题和差问题的解答要点是：大数＝（和＋差）÷2 大数＝小数＋差大数＝和－小数小数＝（和－差）÷2 小数＝大数－差小数＝和－大数例1、三年级一班共有学生40名学生，其中男生比女生多4名，问该班级有男女生各多少名？基本练习：1、母女俩的年龄和为39岁，并且母亲比女儿大25岁，文母女俩各多少岁？2、三年一班与三年二班共植树216棵，并且三年一班比三年二班少植树4棵，问两个班各植树多少棵？3、两个连续偶数的和是2002，则这两个数分别是多少？4、两筐水果共重76千克，第一筐比第二筐多4千克。

两筐水果各有多少千克？5、小兰和妈妈的平均年龄是24岁，妈妈比小兰大28岁。

小兰和妈妈两个人各多少岁？6、三年一班有学生50人，其中男生比女生多4人。

三年一班有男生、女生各多少人？例2、小明沿着长方形操场边跑步，他以每分钟200米的速度跑了4圈，用时10分钟，已知该操场的长比宽多50米，求该操场的长、宽各是多少米？例3、科技馆共有少儿读书4370本，其中故事书比科技书少230本，而科技书比连环画多380本，问该书科技馆有故事书、科技书和连环画各多少本？例4、三桶油，甲桶油的重量是乙丙俩桶油的重量之和的2倍，是乙丙两桶油重量之差的10倍，已知已桶所装油比丙桶所装油重，并且三桶油共重180千克，问三桶油各重多少千克？例5、上下两层书架共有图书37本，如果把上层的书拿出5本放到下层，则上层的书比下层还多3本，问上下两层各有多少本书？练习一1、两筐水果共有175人，如果从第一筐拿出10个放入第二筐，那么第二筐反而比第一筐多5个，问两筐水果各有多少个？2、某工厂两个车间平均每个车间有工人95人，已知第一车间比第二车间多10人，问两个车间各有多少个工人？3、菜站运来西红柿和茄子共448千克，卖出西红柿100千克，运进茄子100千克，这时西红柿仍然比茄子多2千克。

问菜站原来运来的西红柿和茄子各多少千克？4、小明和小王在游泳池游泳，他们4分钟共游528米，已知小明每分钟比小王多游12米，问小明和小王每分钟各游多少米？5、某工厂将875元奖金颁发给有创造发明的两位优秀工人。