求不定积分的三种方法

求不定积分的方法

换元法

换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.

即有换元公式:

例题：求

解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。

设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，

则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数）

即有换元公式:

例题：求

解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2

关于换元法的问题

不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。

分部积分法

这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：

(uv)'=u'v+uv'，移项，得

uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：

，

这就是分部积分公式

例题：求

解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。

设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：

关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：

第 1 页 共 6 页 不定积分的求法

求不定积分的方法：公式法，分项积分法，因式分解法“凑”微分法（第一换元法），第二换元法，分部微分法，有理函数的积分。

方法一：基本公式法

因为积分运算微分运算的逆运算，所以从导数公式可得到相应的积分公式。我们可以利用积分公式来算积分

例题：

1.x2tan=cxxdxxcot)1(sec2

2.dxxdxxdxxdxxxx2213155=cxxxxxx321312131||ln52131||ln5121

3.cxxdxdxxdxxtan21sec21cos212cos1122

4.ceceedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2

方法二：分项积分法

将一整式分项计算积分

例题：

1．cxxxdxxxxxxdxxxarctan3)1(1)1)(1()1(11132224422

2.cxxxdxxdxxdxdxxxxdxxx||ln221212)1(222

3.cxxxdxxdxxxdxxdxxx2arctan22)2ln(212])2(1[212)2ln(2122121222222

方法三：因式分解法

分母是可因式分解的多项式，可用此方法做。

例题：

1

不定积分小结

一、不定积分基本公式

(1)∫xadx=xa+1

a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C

(3)∫axdx=ax

lna+C (4)∫sinxdx=−cosx+C

(5)∫cosxdx=sinx+C (6)∫tanxdx=−ln|cosx|+C

(7)∫cotxdx=ln|sinx|+C (8)∫secxdx=ln|secx+tanx|+C

(9)∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C (10)∫sec2xdx=tanx+C

(11)∫csc2xdx=−cot x+C (12)∫dx

1+x2=arctanx+C

(13)∫dx

x2+a2=1aarctanxa+C (14)∫dx

x2−a2=12aln|a−xa+x|+C

(15)∫dx

a2−x2=12aln|a+xa−x|+C (16)∫𝑑𝑥

√1−𝑥2=arcsin𝑥+𝐶

(17)∫𝑑𝑥

√𝑎2−𝑥2=arcsin𝑥

𝑎+𝐶 (18)∫𝑑𝑥

√𝑥2±𝑎2=ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶

(19)∫√a2−x2dx=x

2√a2−x2+a2

2arcsinx

a+C

(20)∫√x2±a2dx=x

2√x2±a2±a2

2ln|𝑥+√𝑥2±𝑎2|+𝐶

二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）

(1)𝐷𝑛=∫𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥(详情请查阅教材166页)

则𝐷𝑛=−cos𝑥𝑠𝑖𝑛𝑛−1𝑥

𝑛+𝑛−1

𝑛𝐷𝑛−2(求三角函数积分)

易得𝐷𝑛：n为奇数时，可递推至D1=∫sinxdx=−cosx+C；

n为偶数时，可递推至D2=∫sin2xdx=x

2−sin2x

4+C；

(2)𝐼𝑛=∫𝑑𝑥(𝑥2+𝑎2)𝑛(详情请查阅教材173页)

则𝐼𝑛+1=1

2𝑛𝑎2𝑥

(𝑥2+𝑎2)𝑛+2𝑛−1

2𝑛𝑎2𝐼𝑛

易得𝐼𝑛可递推至𝐼1=∫dxx2+a2=1

不定积分公式口诀

摘要：

一、引言

二、不定积分的概念与基本公式

1.不定积分的定义

2.基本积分公式

三、常用初等函数的积分公式

1.幂函数的积分公式

2.三角函数的积分公式

3.指数函数与对数函数的积分公式

4.反三角函数的积分公式

5.其他常见函数的积分公式

四、记忆口诀与技巧

1.口诀一：奇偶函数积分规律

2.口诀二：高阶导数求积分

3.口诀三：分部积分法

五、总结

正文：

一、引言

在微积分学习中，不定积分是重要的基础知识之一。掌握好不定积分的方法和技巧，对于后续学习定积分、微分方程等课程具有重要意义。本文将为大家介绍一些常用的不定积分公式，并通过口诀形式帮助大家记忆。 二、不定积分的概念与基本公式

1.不定积分的定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有界，F(x) 是 f(x) 在

[a, b] 上的一个原函数，则称 F(x) 在 [a, b] 上关于 x 的不定积分。通常用∫(a~b)f(x)dx 表示。

2.基本积分公式：对于一些基本的初等函数，我们可以直接查表或记忆其不定积分公式。例如：∫(x^n)dx = x^(n+1)/(n+1)、∫(sinx)dx = -cosx +

C、∫(ex)dx = ex + C 等。

三、常用初等函数的积分公式

1.幂函数的积分公式：对于幂函数 f(x) = x^n，其不定积分为 F(x) =

x^(n+1)/(n+1) + C。

2.三角函数的积分公式：对于正弦函数 f(x) = sinx，其不定积分为 F(x) =

-cosx + C；对于余弦函数 f(x) = cosx，其不定积分为 F(x) = sinx + C。

3.指数函数与对数函数的积分公式：对于指数函数 f(x) = ex，其不定积分为 F(x) = ex + C；对于自然对数函数 f(x) = lnx，其不定积分为 F(x) = xlnx -