数学模型概论

数学模型的分类

1.按照所用方法分类：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、数学规划模型等

2.按照应用领域分类：如人口模型、生态模型、交通流量模型、环境模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、生物学数学模型、医疗数学模型、地质学数学模型、气象学数学模型、经济学数学模型、社会学数学模型、物理学数学模型、化学数学模型、天文学数学模型、工程学数学模型。

3.按照建模目的分类：如描述模型、分析模型、预报模型、决策模型、优化模型、控制模型等。

4.按照表现特点分类：数学模型按是否考虑随机因素的影响分为确定性模型和随机性模型，突变性模型和模糊性模型；按是否考虑时间因素引起的变化分为静态模型和动态模型；按模型基本关系是否是线性分为线性模型和非线性模型；按模型中的变量为离散还是连续的可分为离散模型和连续模型

（建模时通常先考虑确定性、静态、线性模型。连续模型便于利用微积分方法求解，可做理论分析，而离散模型更适合在计算机上做数值计算。将连续模型离散化，或离散变量视为连续量都是经常采用的处理方法）。

5.按照了解程度分类：可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，主要研究的是相关优化设计和控制等问题；灰箱主要指生态、气象、经济交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面还需要深入研究；黑箱主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理还很不清楚的现象。

现实中，我们描述一个模型往往不是只表达一种属性，而是同时表述多重属性，如确定性线性模型、连续动态模型、非线性数学规划模型等。

初等函数模型

模型一般不涉及复杂的机理，研究对象往往是静态的、确定的，通常使用初等数学方法及微积分初步知识即可解决问题。

商品调价问题

多步决策问题

1 数学建模及其教学策略 内容摘要：数学建模已成为新课标的重要组成部分，所以数学建模教学也成为中学课堂重要内容。 关键词：数学教学、数学建模、教学策略 一、引言 新的课程标准指出：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象”。义务教育阶段的数学课程，“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。在新的课程标准里数学建模已经成为十分重要的组成部分。 二、数学建模概述 所谓数学模型，指的是对现实原型为了某种目的而作抽象、简化的数学结构，它是使用数学符号、数学式子及数量关系对原型作一种简化而本质的刻画，比如方程、函数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式抽象出来的数学模型。关于原型进行具体构造数学模型的过程称为数学建模。数学建模的过程如下图： 数学建模的过程包括： （1） 分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料； （2） 假设化简：根据问题的特征多和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述；

分析

计算工具E:

D:

C:B:A:检验回译修改、深化、扩展是否符号实际？实际问题的解

数学模型的解数学方法数学模型翻译简化

现实的模型现实世界的问题或情况 2 （3） 建模：在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相应的数学模型； （4） 求解并检验模型：对模型进行求解，并将模型结果与实际情形相比较，以此来验证模型的准确性，如果模型与实际吻合较差，则应修改假设再次重复建模过程； （5） 分析：如果模型与实际比较吻合，则要对计算结果给出其实际意义，并进行解释。 在中学数学教学中，数学建模的对象就是实际应用题，从近年来中考和高考数学卷来看，应用题越来越多，问题的来源更加生活化；更贴近实际；条件和结论更模糊；可用信息和最终结论更有待于学生自己去挖掘。所以加强中学数学建模教学十分重要。数学建模教学就是强调能动地用所学数学知识解决问题，它更表现为对所学知识的“想用、能用、会用”的一种“用”数学的意识。 三、数学建模教学的策略 策略1、重视建模意识的培养 1、为了培养学生的建模意识，中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。 2、数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，例如，在应用题教学中，可引导学生用方程或方程组的模型、或者用不等式和函数的模型解决问题；在解决有关建筑物的高度或河的宽度的问题时，可引导学生用解直角三角形的模型；而有关最大值和最小值问题则可用二次函数解决。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。 3、注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具，而且其它学科与数学的联系是相当密切的，因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。 4、在教学中还要结合专题讨论与建模法研究。我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直（曲）线拟合法建模”，通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从 3 而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”。借此拓宽视野、增长知识、积累经验。这也符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。 策略2、注重问题的选择 中学数学教学中，数学建模的关键是寻找适合学生参与的“好的问题”，教师在选择这些问题时应注意以下几个方面： （1）应努力选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢； （2）解决数学建模问题应努力表现出建模的全过程，而不仅仅是问题本身的解决； （3）数学建模选用的问题最好有较为广泛的数学背景，有不同的层次以便不同水平学生的参与，并注意问题的可扩展性和开放性； （4）应鼓励学生在问题分析解决的过程中使用计算工具； （5）提倡教师自己动手，因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以便适合学生的使用，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略。 策略3、把实际问题转化为数学模型 我们经常看到有些学生遇到实际问题就束手无策无处下手，当把这个问题化成数学模型，用数学语言加以表述之后，他马上就会解了，这其中一个关键的问题是如何化实际问题为数学模型。 化实际问题为数学模型，没有通则可循，主要是具体问题具体分析，善于从问题中去发现数量之间、数形之间的关系，从中找到规律，灵活运用数学知识加以解决。把实际问题抽象为数学问题应做到以下几点： (1)要善于把普通语言化为数学语言。数学语言就是由“记号”和“符号”组成的语言，全世界都通用。数学语言有它自己的特点和规律，是用数学的“记号”和“符号”从“数”与“形”的方面去刻画事物，揭示事物的本质，它具有准确性、严密性和逻辑性的品质。因此，把普通语言化为数学语言就要着力体现这些品质。 (2)要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来。 (3)要善于通过普通语言理解它的位置关系和形态外貌，画出能反映其本质的图形，从“形”的方面用数学语言加以表达。 (4)要掌握一些基本类型的数学模型。如方程（组）、不等式（组）、函数等；也可以向学生介绍一些具体的解题模式，如双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式等。通过一些具体问题的分析和解决，以增强建模能力。 四、建模教学案例 （2008·无锡市）在“5.12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务． （1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30m2或乙种板材20m2．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们 4

在小学阶段，学生的思维能力都处在初级阶段，对一些数学问题只能是从表面来理解，还不能形成具体的系统的模型思想，因此，培养他们的这种思想非常重要，这样更能使他们找到学习数学的兴趣。

一、探索规律

在课堂上，我经常会出一些相关联类型的题让学生去探索、去发现规律。规律，是模型的基础，模型，是做题方法的通式。只有用简单的类型题去激发学生，才能是学生逐渐产生探索心里，发现问题的规律，然后逐渐生成模型思想。具体步骤我是要求学生这样做的：（1）认真观察，寻找规律。（2）写出问题的规律。（3）写出对应体的规律（4）举出例子，证明你的结论。

二、由简单到复杂，由具体到抽象。

引导学生处理问题时，通常从简单的问题开始，让学生逐渐熟练题型，然后逐步走向比较复杂的题型，一步步引导学生，是他们有具体的题型逐步转化为一种模型思想。从而找出解决本类为题的方法。也就是从具体的例子开始，逐步转化为抽象的模型，让学生对本类问题形成一个比较抽象的思维模型。

三、从观察与理解到想象与归纳

这类问题在图形方面表现的尤其明显，通常是先让学生观察周围生活中的相关物体，是学生找出它们的共同规律，然后逐步画出这类图形。当然在这过程中学生理解是不可忽缺的，只有理解，才能真正去抽象他，才能到达更高层次的模型思想。当有具体图形逐步转化出公式、符号等时，再让他们进行想象理解与推导，以巩固所总结的规律。

四、直观形象与具体抽象相结合

在出现一些比较抽象的数学模型时，学生经常无法下手去做，这时就要求学生将比较复杂的模型思想转化为简单的日常生活实例，从而去理解与应用它。只有直观形象的事物才可以是学生理解，只有理解才能转化为数学模型思维，数学模型思维又是学生生活与实践的总结，两者必须相互结合，才能做到使用的最佳效果。

数学模型的概念及分类

2.1数学模型的概念

数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。

2.2数学模型的分类

常见的数学模型分类有以下几种：

按数学模型的功能可分为定量的和定性的。

按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。

按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。

按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。

按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。

按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型，……

按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型．，工程系统模型，……

按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。

2.3数学模型的特点

第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。