《高等数学》课程教学大纲

《高等数学》课程教学大纲

授课专业：通信工程专业学时：136学时学分：8学分开课学期：第1、第2学期适用对象：通信工程专业学生

一、课程性质与任务

本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的研究，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为研究后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

二、课程教学的基本要求

通过本课程的研究，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。

三、课程教学内容

高等数学（上）

第一章函数、极限与继续（10学时）

第二章导数和微分（12学时）

第三章微分中值定理与导数的应用（12学时） 第四章函数的积分（16学时）

第五章定积分的应用（8学时）

第六章无穷级数（10学时）

高等数学（下）

第七章向量与空间剖析几何（6学时）

第八章多元函数微分学（14学时）

第九章多元函数微分学的应用（10学时）

第十章多元函数积分学（I）（16学时）

第十一章多元函数积分学（II）（10学时）

第十二章常微分方程（12学时）

四、教学重点、难点

重点：极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。

难点：极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；XXX公式。

5、讲授时数分配：讲授时数136学时，其中实际讲授136学时，实践讲授学时。（具体放置见附表）

六、讲授方式：

本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到研究微积分的必要性。注重各教学环节（理论教学、题课、作业、辅导）的有机联系,特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍研究数学与研究专业课之间的关系，研究高等数学是获取进一步研究机会的关键学科。由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的研究兴趣。

7、本课程与其它课程的干系：

本课程是理、工类专业的第一基础课。本课程的研究情况事关学生后继课程的研究，事关学生研究目标的确定及学生未来的走向。本课程研究结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的研究阶段。本课程是四年大学研究开始必须学好的基础理论课。课程基础性、理论性强，与相关课程的研究联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的研究情况直接关系到学校的整体教学水平。

八、考核方式：

考核方式：本课程考核以笔试为主，分两个学期上，其中第一学期为考试，第二学期为考查，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。成绩评定：成绩评定采用百分制。本课程成绩采用期末考试与平时成绩相结合的方式进行综合评定，最终成绩由以下二个部分组成：第一部分：期末考试成绩占总成绩的70％；第二部分：作业成绩及平时检测占总成绩的30％。

九、教材及教学参考书：

1.主教材：《高等数学》（上、下册），XXX，XXX，第三版，2010年2.

参考书：

（1）《高等数学》（上、下册），XXX数学系编，高等教育出版社，第六版，2007年 （2）《微积分》(上、下册)，XXX应用数学系编，高等教育出版社，第二版，2003年

（3）《高等数研究题全解指南》（上、下册）,XXX数学系编,高等教育出书社，2007年

高等数学（上）第一章函数、极限与连续（10学时）

一、讲授请求：

1．掌握函数的观点及其几种特征（奇偶性、单调性、有界性、周期性）。

2．了解复合函数的观点，了解反函数的观点。

3．掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念。

4．理解数列、函数极限的概念。

5．了解数列极限的性质及四则运算法则。

6．掌握单调有界数列必有极限的准则。

7．掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个紧张的极限求有关的极限。

8．理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较法，会用等价无穷小量代换求极限。

9．理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性及对间断点分类。 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。

二、讲授要点：

1．变量与函数

1-1变量及其变化范围的常用表示法

1-2函数概念

1-3函数的几种特征

1-4函数应用举例

1-5基本初等函数

1-6初等函数

1-7双曲函数与反双曲函数

2．数列的极限

2-1数列极限的定义

2-2收敛数列的性质

2-3收敛准则

3．函数的极限

3-1x→∞时函数的极限

3-2 x→x时函数的极限

3-3函数极限的性质

4．无穷大量与无穷小量 4-1无穷大量

4-2无穷小量

4-3无穷小量的性质

5.极限的运算法则

5-1极限的四则运算法则

5-2复合函数的极限

6.极限存在准则与两个紧张极限

6-1夹逼准则

6-2函数极限与数列极限的干系

*6-3柯西收敛准则

6-4两个重要极限

7.无穷小量的比较

8.函数的继续性

8-1函数的继续与连续

8-2连续函数的基本性质

8-3闭区间上连续函数的性质

三、重点、难点：

难点：利用ε-Ν定义和柯西收敛准则证明数列的敛散性；利用定义或柯西收敛准则证明函数极限的存在性；间断点的分类。 第二章导数和微分（12学时）

一、教学要求:

1．了解微分和导数的观点、干系和几何意义。会用导数描述一些物理量，了解函数的可微性和继续性的干系。

2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。

3．理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4．了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计较和误差估计中的应用。

5．掌握带皮亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒公式，掌握麦克劳林公式。

二、讲授要点：

1．导数的概念

1-1导数的定义

1-2导数的几何意义

1-3函数四则运算的求导法

2．求导运算

2-1复合函数求导法 2-2反函数求导法

2-3有参数方程确定的函数求导法

2-4隐函数求导法

3.高阶导数

4.函数的微

4-1微分的概念

4-2微分的运算公式

4-3高阶微分

5.导数与微分的简单应用

5-1泰勒公式

5-2相关变化率

*5-3曲率、曲率半径

5-4微分学在经济学中的应用举例

三、重点、难点：

重点：导数的概念，可导与连续的关系，导数公式和求导法则，复合函数和隐函数的导数，复合函数的二阶导数，函数的导数与微分的关系，泰勒公式。

难点：导数几何意义的应用，微分的几何意义，高阶导数与高阶微分，泰勒公式的应用。

第三章微分中值定理与导数的应用（12学时） 一、讲授请求：

1．理解并能应用罗尔定理，XXX分学中值定理，了解并会用柯西中值定理。

2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

3．理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

4．掌握用导数判断函数的凸性和拐点的方法。

5．了解按照函数的微分性质描绘函数图象的办法。

二、教学要点：

1．微分中值定理

2．洛必达法则

2-2∞/∞型不定式

2-3其他不定式

3.函数的单调性与极值

3-1函数的单调性的鉴别

3-2函数的极值

4.函数的最大（小）值及其应用

5.曲线的凹凸性、拐点

6.曲线的渐近线、函数作图 6-1渐近线

6-2函数图形的描绘

三、重点、难点：

重点：三个微分中值定理，出格是拉格朗日中值定理及推论1、2，函数单调性与凹凸性的判定，利用导数证明不等式与恒等式，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。

难点：未定式极限的计算，利用导数证明不等式与恒等式。

第四章函数的积分（16学时）

一、教学要求：

1．理解定积分的概念、意义和性质，理解原函数的概念。

2．掌握微积分基本定理。

3．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法，掌握分部积分法。

4．会计算有理函数的积分、某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分。

5．掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法。

二、讲授要点：

1．定积分的观点

1-1曲边梯形的面积

1-2定积分的观点 1-3定积分的性质

2.原函数与微积分学基本原理

2-1原函数与变限积分

2-2微积分学基本原理

3.不定积分与原函数求法

3-1不定积分的概念和性质

3-2求不定积分的方法

4.积分表的使用

5.定积分的计算

5-1换元法

5-2分部积分法

5-3有理函数定积分的计算

6.反常积分

6-1无穷积分

6-2瑕积分

三、重点、难点：

重点：定积分的概念，原函数与微积分基本原理，利用換元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简单的有理函数、三角函数与无理根式的不定积分，定积分的计算。

难点：有理函数的部分分式分解，在理根式的积分。