基2FFT算法分析的介绍

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57 快速傅里叶变换

有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley和Tukey提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT的运算量减少了几个数量级。从此，对快速傅里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT的多种算法，基本算法是基２DIT和基２DIF。FFT在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。

快速傅里叶变换（FFT）是计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。

DFT的定义式为

)(kX=)()(10kRWnxNNnknN

在所有复指数值knNW的值全部已算好的情况下，要计算一个)(kX需要N次复数乘法和N－1次复数加法。算出全部N点)(kX共需2N次复数乘法和)1(NN次复数加法。即计算量是与2N成正比的。

FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。

NW因子具有以下两个特性，可使DFT运算量尽量分解为小点数的DFT运算：

（1）周期性：kNnNknNnNkNWWW)()(

（2）对称性：kNNkNWW)2/( 58 利用这两个性质，可以使DFT运算中有些项合并，以减少乘法次数。例子：求当N＝4时，X(2)的值

)()]3()1([)]2()0([)()]3()1([)]2()0([)3()2()1()0()()2(042404644424043024对称性－＝周期性WxxxxWxxWxxWxWxWxWxWnxXnn

通过合并，使乘法次数由4次减少到1次，运算量减少。

FFT的算法形式有很多种，但基本上可以分为两大类：按时间抽取（DIT）和按频率抽取（DIF）。

4.1 按时间抽取（DIT）的FTT

为了将大点数的DFT分解为小点数的DFT运算，要求序列的长度N为复合数，最常用的是MN2的情况（M为正整数）。该情况下的变换称为基2FFT。下面讨论基2情况的算法。

先将序列x(n)按奇偶项分解为两组

)()12()()2(21rxrxrxrx 12,,1,0Nr

将DFT运算也相应分为两组

)]([)(nxDFTkX10)(NnknNWnx

1n 010)()(NnknNNnnknNWnxWnx为奇数为偶数＋

12/0)12(12/02)12()2(NrkrNNrrkNWrxWrx＝ 59 12/02212/021)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx＝

12/02/212/02/1)()(NrrkNkNNrrkNWrxWWrx＝（因为rkNrkNWW2/2）

)()(21kXWkXkN

其中)(1kX、)(2kX分别是)()(21nxnx、的N/2点的DFT

)(1kX120,)2()(12/02/12/02/1NkWrxWrxNrrkNNrrkN＝

)(2kX120,)12()(12/02/12/02/2NkWrxWrxNrrkNNrrkN＝

至此，一个N点DFT被分解为两个N/2点的DFT。

上面是否将全部N点的)(kX求解出来了？

分析：)(1kX和)(2kX只有N/2个点（12,,1,0Nk），则由)(kX)()(21kXWkXkN只能求出)(kX的前N/2个点的DFT，要求出全部N点的)(kX，需要找出)(1kX、)(2kX和)2/(NkX的关系，其中12,,1,0Nk。由式子)(kX)()(21kXWkXkN可得

)2/(NkX)2/()2/(22/1NkXWNkXNkN化简得

)2/(NkX＝)()(21kXWkXkN，12,,1,0Nk

这样N点DFT可全部由下式确定出来：

)()()2/()()()(2121kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 12,,1,0Nk （＊）

上式可用一个专用的碟形符号来表示，这个符号对应一次复乘和两次复加运 60 算。

abkNWbWakNbWakN-1

图蝶形运算符号

通过这样的分解以后，每一个N／2点的DFT只需要4)2(22NN次复数乘法，两个N/2点的DFT需要2)2(222NN次复乘，再加上将两个N／2点DFT合并成为N点DFT时有N／2次与W因子相乘，一共需要22222NNN次复乘。可见，通过这样的分解，运算量节省了近一半。

因为MN2，N/2仍然是偶数，因此可以对两个N/2点的DFT再分别作进一步的分解，将两个N/2点的DFT分解成两个N/4点的DFT。

例如对)(1rx，可以在按其偶数部分及奇数部分进行分解：

)()12()()2(4131lxlxlxlx 14,,1,0Nl

则的运算可相应分为两组：

)(1kX14/0)12(2/114/022/1)12()2(NlklNNllkNWlxWlx＝

14/04/42/14/04/3)()(NllkNkNNllkNWlxWWlx＝

)()(42/3kXWkXkN 14,,1,0Nk 61 将系数统一为以Ｎ为周期，即kNkNWW22/，可得

)()()4/()()()(42314231kXWkXNkXkXWkXkXkNkN 14,,1,0Nk

同样，对)(2kX也可进行类似的分解。一直分解下去，最后是２点的DFT，２点DFT的运算也可用碟形符号来表示。这样，对于一个823N的DFT运算，其按时间抽取的分解过程及完整流图如下图所示。

这种方法，由于每一步分解都是按输入序列在时域上的次序是属于偶数还是奇数来抽取的，故称为“时间抽取法”。

分析上面的流图，MN2，一共要进行M次分解，构成了从x(n)到X(k)的M级运算过程。每一级运算都是由N/2个蝶形运算构成，因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加，则按时间抽取的M级运算后总共需要

复数乘法次数：NNMNmF2log22

复数加法次数：NNMNaF2log

根据上面的流图，分析ＦＦＴ算法的两个特点，它们对ＦＦＴ的软硬件构成产生很大的影响。

（１）原位运算

也称为同址运算，当数据输入到存储器中以后，每一级运算的结果仍然存储在原来的存储器中，直到最后输出，中间无需其它的存储器。根据运算流图分析原位运算是如何进行的。原位运算的结构可以节省存储单元，降低设备成本。

（２）变址

分析运算流图中的输入输出序列的顺序，输出按顺序，输入是“码位倒置”的顺序。见图。 63 自然顺序二进制表示码位倒置码位倒置顺序

0 000 000

001 100 4

2 010 010 2

3 011 110 6

4 100 001 1

5 101 101 5

6 110 011 3

7 111 111 7

码位倒置顺序

01234567X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7)码位倒置的变址处理

在实际运算中，直接将输入数据x(n)按码位倒置的顺序排好输入很不方便，一般总是先按自然顺序输入存储单元，然后通过变址运算将自然顺序的存储换成码位倒置顺序的存储，这样就可以进行FFT的原位运算。变质的功能如图所示。用软件实现是通用采用雷德（Rader）算法，算出I的倒序Ｊ以后立即将输入数据X(I)和X(J)对换。尽管变址运算所占运算量的比例很小，但对某些高要求的应用（尤其在实时信号处理中），也可设法用适当的电路结构直接实现变址。例如单片数字信号处理器TMS320C25就有专用于FFT的二进制码变址模式。 64 4.２按频率抽取（DIF）的FTT

除时间抽取法外，另外一种普遍使用的FFT结构是频率抽取法。频率抽取法将输入序列不是按奇、偶分组，而是将Ｎ点DFT写成前后两部分：

)]([)(nxDFTkX10)(NnknNWnx

12/1)2/(0)()(NNnknNNnknNWnxWnx＋

12/0)2/(12/0)2/()(NnkNnNNnnkNWNnxWnx＝

nkNNnkNNWNnxWnx12/0)2/()]2/()([＝

因为kkNNNNWW)1(,1)2/(2/，k为偶数时1)1(k，k为奇数时1)1(k，由此可将X(k)分解为偶数组和奇数组：

nkNNnkWNnxnxkX12/0)]2/()1()([)(＝

nrNNnnrNNnWNnxnxWNnxnxrX2/12/0212/0)]2/()([)]2/()([)2(＝

nrNnNNnnrNNnWWNnxnxWNnxnxrX2/12/0)12(12/0)]2/()([)]2/()([)12(＝

令nNWNnxnxnxNnxnxnx)]2/()([)()2/()()(21 12/,,1,0Nn 65 这两个序列都是N/2点的序列，对应的是两个N/2点的DFT运算：

nrNNnWnxrX2/12/01)]()2(＝

rnNNnWnxrX2/12/02)()12(＝

这样，同样是将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT了。频率抽选法对应的碟形运算关系图如下：

abnNWbanNWba)(-1

对于N=8时频率抽取法的FFT流图如下：

这种分组的办法由于每次都是按输出X(k)在频域的顺序上是属于偶数还是奇数来分组的，称为频率抽取法。与前面按时间抽取的方法相比，相同点

问题：如何利用快速算法计算IDFT？

分析IDFT的公式：

1,,1,0,)(1)]([)(10NnWkXNkXIDFTnxNknkN

比较DFT的公式：

1,,1,0,)()]([)(10NkWnxnxDFTkXNnnkN

得知可用两种方法来实现IDFT的快速算法：（１）只要把DFT运算中的每一个系数nkNW该为nkNW，并且最后再乘以常数N1，就可以用时间抽取法或频率抽取的FFT算法来直接计算IDFT。这种方法需要对FFT的程序和参数稍加改动才能实现。（２）因为

基2fft算法

基2FFT算法

一、什么是基2FFT算法

基2FFT算法（Fast Fourier Transform）是一种用于将一个离散信号变换成其频域表示的算法。它通过将离散信号分解为多个较小的离散信号，并对这些信号进行递归处理，最后合并得到频域表示。基2FFT算法是最常用的FFT算法之一，其时间复杂度为O(nlogn)。

二、基2FFT算法的原理

基2FFT算法的核心思想是分治法。根据离散信号的长度，将信号分解为两个较小的子信号，然后对这两个子信号分别进行FFT变换。再将得到的两个子信号的频域表示合并，得到整个信号的频域表示。

具体过程如下：

1. 判断信号长度是否为1，如果是，则直接返回该信号作为其频域表示。

2. 将信号分为偶数索引和奇数索引两个子信号。

3. 对这两个子信号分别进行FFT变换，并得到它们的频域表示。

4. 合并两个子信号的频域表示，得到整个信号的频域表示。

基于分治法，基2FFT算法可以将信号的长度减半，并通过递归的方式处理子信号，直到信号长度为1，再进行合并得到整个频域表示。

三、基2FFT算法的实现

下面是基于伪代码的基2FFT算法的实现：

function FFT(signal):

n = length(signal)

if n == 1:

return signal

else:

even = FFT(signal[0::2])

odd = FFT(signal[1::2])

for k = 0 to n/2-1:

t = odd[k] * exp(-2*pi*i*k/n)

signal[k] = even[k] + t signal[k + n/2] = even[k] - t

return signal

非2-基FFT的素因子算法研究

Ｄ　

【本文献信息】蒋蓝祥，刘昌银．非２一基ＦＦＩ’的素因子算法研究［Ｊ］．电视技术，２０１３，３７（１）　非２一基ＦＦＦ的素因子算法研究　蒋蓝祥，刘昌银　（中国传媒大学信息工程学院，北京１０００２４）　【摘要】提出一种新的非２一基Ｎ点ＦＦＴ的素因子算法。该方案与原素因子分解算法比较，实现了各个小点数ＤＦＴ的同址顺　序运算，并通过简单的地址模加运算得到顺序的输出，省去了多余的整序运算，是一种通用Ｎ点Ｆ兀、算法。设计结构规整简单，　利于硬件实现。以中国数字电视广播地面传输标准（ＤＴＭＢ）规定的３　７８０点Ｆ丌为例，结合ｗＦＴｒＡ算法和混合基算法，介绍了算　法的具体设计与实现方案。　【关键词】素因子算法；同址；顺序；３　７８０点ｎ　【中图分类号】ＴＮ９４９．６　【文献标志码】　Ａ　Ｎｏｎ－ｒａｄｉｘ－２　ＦＦＴ　Ｐｒｉｍｅ　Ｆａｃｔｏｒ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＪＩＡＮＧ　Ｌａｎｘｉａｎｇ，ＬＩＵ　Ｃｈａｎｇｙｉｎ　（Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＣｈｉｎａ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００２４，Ｃｈｉｎａ）．　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ａ　ｎｅｗ　ｐｒｉｍｅ　ｆａｃｔｏｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆ０ｒ　ｎｏｎ—ｐｏｗｅｒ一０ｆｌ＿２　ｐｏｉｎｔ　ＦＦＦ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｐｒｉｍｅ　ｆａｃｔｏｒ　ｄｅｅｏｍｐｏｓｉ—　ｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．ｔｈｅ　ｉｎ－ｐｌａｃｅ　ｉｎ—ｏｒｄｅｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｍａｌｌ　ｆａｃｔｏｒ　ＤＦＦ　ｉｓ　ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｍｏｄｕｌａｒ　ａｄｄｉｔｉｏｎ　ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ，ｔｈｅ　ｉｎ—ｏｒｄｅｒ　ｏｕｔｐｕｔ　ｉｓ　ｇｏｔ　ｆｉｎａｌｌｙ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｒｅｏｒｄｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ．Ｔｈｉｓ　ｄｅｓｉｇｎ　ｉｓ　ａ　ｇｅｎｅｒａｌ—ｐｕｒｐｏｓｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｓｉｚｅｓ　ＦＦＴ．Ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｅ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｓｔｒｕｃ—　ｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｓｕｉｔａｂｌｅ　ｆｏｒ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｈａｒｄｗａｒｅ．Ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｔｏ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａ　３７８０一ｐｏｉｎｔ　ＦＦＩ＂ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ　ｆｏｒ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｔｅｒｒｅｓｔｒｉａｌ　Ｍｕｌｔｉｍｅｄｉａ／Ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ　Ｂｒｏａｄｃａｓｔｉｎｇ（ＤＴＭＢ）ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｄｅｓｉｇｎｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｃｏｍｂｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ＷＶＦＡ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｉｘｅｄ—ｒａｄｉｘ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ】ｐｒｉｍｅ　ｆａｃｔｏｒ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｉｎ—ｐｌａｃｅ；ｉｎ—ｏｒｄｅｒ；３　７８０一ｐｏｉｎｔ　ＦＶＦ　ＤＦＦ是数字信号处理领域最基本的技术之一，有着　非常广泛的应用。Ｎ＝２　点的ＤＦＴ，可直接采用非常成熟　的基一２或基一４算法实现。而对于非２一基Ⅳ点的ＦＦｒ　一般有两种方法：一是通过将Ⅳ内插为基２的Ⅳ　点，利用　基一２或基一４算法实现Ⅳ　点ＦＦｒ，然后通过减采样得到　Ⅳ点ＦＦＴ；￣是将Ｎ分解为Ⅳ】Ⅳ２…　，通过计算　点的　ＤＦｒ来得到Ⅳ点ＤＦＩ＂。　目前，非基一２点Ｆｒｒ的应用也越来越普遍，如ＤＲＭ　系统中ＯＦＤＭ调制　，ＤＴＭＢ系统中的ＯＦＤＭ调制　等。　素因子算法相比混合基算法消去了旋转因子的乘法运算，　与Ｗｉｎｏｇｒａｄ算法相比结构更为简单且可实现同址顺序运　算，是实现非基一２点ＦＦＴ的一种常用方法　Ｊ。文献［４］　提出了一种同址顺序的素因子算法，但针对不同的Ⅳ，需　单独设计各个小点数ＤＦＦ，没有通用性。文献［５］对文献　［４］的方法进行了改进，可适用于一般Ⅳ点的设计，但在　每个小点数ＤＦＴ后需进行整序，仍然需要使用额外的存　储器，结构复杂，且运算速度受限。　本文提出一种新的素因子同址算法，可实现各个小　点数ＤＦＩ＂的同址顺序运算，并通过用模数累加器取代原　有的自然加１累加器来实现最后的顺序输出。各个小点　数ＤＶＩ＇程序不需要单独设计，中间过程也不再需要整序　４　《电视技术》第３７卷第１期（，ｑｊ，￣４０２期）Ｉ投稿网址ｈＲｐ：Ｉ／ｗｖｗ．ＶｉｄｅｏＥ．Ｃｔｑ　运算，避免了使用额外的存储器，且适用于一般Ⅳ点ＦＦＴｒ，　具有很强的通用性。在这种算法的基础上，综合利用　ｗ丌Ａ算法和混合基算法设计了适用于ＤＴＭＢ系统的　３　７８０点Ｆ兀’。　１　素因子算法　按照素因子分解算法，将Ⅳ分解得到各个因子的乘　积，即　Ｎ＝Ｎｊ　ｘⅣ２　ｘ…Ｘ　（１）　对于ｉｊ＝１，２，…，　且当ｉ≠　，有ＧＣＤ（　，　）＝１。　Ｎ点序列　（１２）的ＤＦＦ定义为　（　）＝ＤＦＴ［ｘ（ｎ）］＝∑　（ｎ）　（２）　式中：　＝ｅ　。　如式（１），将Ⅳ分解成　个互素的因子相乘，则将一　维Ｎ点ＦＦｒ变换为Ｍ维ＦＦｒ。为实现同址顺序运算，ｎ　和ｋ采用同样的下标映射方式　，即　：（耋（　ｎｉ　（３）　砉（　ｋｉ　（４）　式中：ｎ　，　＝０，１，…，Ｎｉ一１；（）　表示取模Ⅳ。

按时间抽取的基2FFT算法分析

基2FFT算法是一种快速傅里叶变换算法，它通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。

基2FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分成长度为n/2的两个子序列，并分别做傅里叶变换。然后将两个子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。

具体来说，基2FFT算法的步骤如下：

1.如果输入序列长度为1，则返回输入序列作为傅里叶变换结果。

2.将输入序列按奇偶位置分为两个子序列。

3.对两个子序列分别递归地应用基2FFT算法，得到它们的傅里叶变换结果。

4.根据蝶形算法，将子序列的傅里叶变换结果合并起来，得到原始序列的傅里叶变换结果。

基2FFT算法通过不断将序列分成两半的方式，将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)。在每一层递归中，需要进行O(n)次计算，而递归的层数为logn，因此总的时间复杂度为O(nlogn)。

基2FFT算法的关键之一是蝶形算法。蝶形算法是一种合并子序列傅里叶变换结果的方法。在每一层递归中，对于每个位置k，需要计算一个长度为n的序列上的k点DFT。根据蝶形算法，可以将这个计算分成两个部分：计算序列中偶数位置上的点DFT和计算序列中奇数位置上的点DFT，并通过一些乘法和加法操作合并起来。这样做可以大大减少计算量，提高计算效率。基2FFT算法还可以通过多线程或并行处理来进一步提高效率。由于基2FFT算法具有递归结构，可以将不同的递归层分配给不同的线程或处理器来并行进行计算，从而加快计算速度。

基2FFT算法在数字信号处理、图像处理、通信系统和科学计算等领域有着广泛的应用。它的高效性和快速运算速度使得它成为处理大规模数据的重要工具。

综上所述，基2FFT算法通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了傅里叶变换的效率。它采用递归分治的思想，通过分解和合并操作来实现傅里叶变换的计算。通过蝶形算法和并行处理，基2FFT算法进一步提高了计算效率。基2FFT算法在许多领域都有广泛的应用，是一种非常重要的算法。

基2fft旋转因子

在快速傅里叶变换（FFT）中，旋转因子是一个重要的概念。旋转因子通常用于在FFT算法中实现更高效的计算。旋转因子在FFT算法中的使用可以减少计算量和存储需求，从而提高算法的效率。

基2FFT算法是一种常用的FFT算法，它使用二进制表示的旋转因子来进行计算。基2FFT算法使用二进制表示的复数表示序列，每个复数表示一个采样点。在基2FFT算法中，每个复数的相位可以表示为2的幂次方，从而可以通过旋转因子来快速计算傅里叶变换。

旋转因子在基2FFT算法中的具体应用如下：

1. 选择一个旋转因子，通常是2的幂次方，用于表示每个复数的相位。

2. 将输入序列按照基2旋转因子的幂次方进行分组，每组包含相同数量的采样点。

3. 对每组采样点进行FFT计算，得到一组复数结果。

4. 将每组复数结果按照旋转因子的逆序进行排列，得到最终的傅里叶变换结果。

通过使用旋转因子，基2FFT算法可以在计算过程中减少乘法和加法运算的次数，从而提高了算法的效率。此外，旋转因子还可以减少存储需求，因为每个复数只存储一次，而不是多次重复存储。

在实际应用中，旋转因子的选择通常根据具体的应用场景和数据特点来确定。不同的旋转因子可能会对算法的效率产生不同的影响。因此，选择合适的旋转因子对于基2FFT算法的性能至关重要。

总之，旋转因子是FFT算法中的重要概念之一，它在基2FFT算法中用于实现更高效的计算。通过选择合适的旋转因子，可以减少计算量和存储需求，从而提高算法的效率。在实际应用中，需要根据具体的应用场景和数据特点来确定合适的旋转因子。

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